ENEM 2013 Matemática #40 - Coordenadas de um Ponto Equidistante a Outros Três Pontos

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Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:
A torre deve estar situada em um local equidistante das
três antenas.
O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas
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Vamos juntos. Você não está sozinho, eu estou contigo. Até o próximo vídeo!

[@luciano31415]

Usei o Teorema do olhômetro.

[@anacarolinasantos5392]

Né kkkkkk

[@carlosrocha9643]

Também

[@rayanemoura5515]

Eu também kkkkk

[@sniwtek5041]

kkkkkkkkkk eu também, melhor que esse não tem!

[@luciam7193]

Exatooooo!! Acertei no olhômetro hahahahah. Nossa senhora que resolução. Se dependesse dela acertava nunca.

[@amandafarias8262]

dica: se na questão falar que é "equidistante dos vértices" vc usa o circuncentro (encontro das mediatrizes) e quando falar "equidistante dos lados" vc usa o incentro (encontro das bissetrizes)

[@AlfredoBatistaDeAlmeida]

Tem um nome pra quem quiser estudar isso de forma mais aprofundado: "Lugares Geométricos"

[@ageucelestino4974]

Gostei!!!! Achei bem interessante pois eu aprendi as duas maneiras de resolver essa questão. Deus te abençoe sempre mais do que ele tem abençoado!!!

[@victoralves9167]

nós sabemos que você conseguiu fazer só olhando!!! quem está deseja saber a CAUSA das coisas, nem sempre o enem vai te favorecer visualmente ;)

[@thallespires3966]

Para quem quer saber a fórmula é o seguinte, sendo três pontos equidistante, podemos aplicar a fórmula da distância entre os pontos ao quadrado, a qual será igual para o três pontos. Ex: distância será a letra minúscula d: dAP^2 = dBP^2 = dAP^2. Sendo dAP= (Xcoordenada - Xp) + (Ycoordenada - Yp). Pela fórmula: dAP^2= (Xcoordenada - Xp)^2 + (Ycoordenada - Yp)^2. Lembrando que P (Xp e Yp) são os pontos equidistantes que queremos descobrir, e que eles são comuns a quaisquer um de "dAP^2 = dBP^2 = dAP^2" ,ou seja, você substitui os pontos, e, provavelmente, achará o valor de x ou y e depois um fará um sistema, ou uma equação simples de primeiro Grau. (30-xp)^2 + (20-yp)^2 = (70-xp)^2 + (20-yp)^2 Isso é um monte de produto notável, só resolver =====> xp=50 (60-xp)^2 + (50-yp)^2 = (30-xp)^2 + (20-yp)^2 =====> x=80-y yp=30

[@allyssonqueirozcosta450]

kkk sim

[@gilbertosilva1699]

Professor respondeu certo, no entanto eu respondi usando o Baricentro que da 53,33. Não entendi o porquê do 50....

[@gabriellaricato]

Se eu não me engano, a fórmula do baricentro de um triângulo só serve para triângulos equiláteros. O triângulo da questão é isósceles, então eu acredito que para triângulos que não são equiláteros a maneira de resolver a questão seja essa que o professor fez.

[@natalyamorais7962]

A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. O ponto notável que tem essa propriedade é o circuncentro, o baricentro não equidista dos vértices, por isso você chegou em um resultado diferente...

[@joaopauloguimaraesf]

É pq nao é o encontro das medianas, e sim das mediatrizes

[@Jesus_Pixel]

kzbin.info/www/bejne/bZ6oaYabo9iMh7s

[@thallespires3966]

Para quem quer saber a fórmula é o seguinte, sendo três pontos equidistante, podemos aplicar a fórmula da distância entre os pontos ao quadrado, a qual será igual para o três pontos. Ex: distância será a letra minúscula d: dAP^2 = dBP^2 = dAP^2. Sendo dAP= (Xcoordenada - Xp) + (Ycoordenada - Yp). Pela fórmula: dAP^2= (Xcoordenada - Xp)^2 + (Ycoordenada - Yp)^2. Lembrando que P (Xp e Yp) são os pontos equidistantes que queremos descobrir, e que eles são comuns a quaisquer um de "dAP^2 = dBP^2 = dAP^2" ,ou seja, você substitui os pontos, e, provavelmente, achará o valor de x ou y e depois um fará um sistema, ou uma equação simples de primeiro Grau. (30-xp)^2 + (20-yp)^2 = (70-xp)^2 + (20-yp)^2 Isso é um monte de produto notável, só resolver =====> xp=50 (60-xp)^2 + (50-yp)^2 = (30-xp)^2 + (20-yp)^2 =====> x=80-y yp=30

[@danilloaquino752]

Brabo demais 🎉🎉🎉

[@vitoriapark9656]

Fazendo analiticamente essa questão fica linda. Verdade!

[@lyppelyppe]

Geometricamente tbm 🤙

[@gabrielramos557]

cara ce salvou minha vida kkk essa questão caiu na minha prova da escola e olhando a explicação me ajudou muito (^.^）👏

[@michaeloliveira3352]

Baricentro só equidistante dos três vértices quando se trata de um triângulo equilátero?

[@MrBrian1337]

Exatamente

[@Jesus_Pixel]

kzbin.info/www/bejne/bZ6oaYabo9iMh7s

[@michaeloliveira3352]

@@Jesus_Pixel O vídeo que enviastes o link confirma ou distorce o que eu disse?

[@p.hmatematica2816]

É o ponto do circuncentro que equidista a mesma distancia. Não o baricentro.

[@lallasds]

Não sei se rio ou se choro! KKKKKK demorei muito tempo fazendo essa questão, deu certo, mas usei a distância de ponto a ponto. Como eu sabia que tinha que ser equidistante, fui igualando... achei estranho o tamanho da conta e vim conferir se haviam resoluções mais simples. Sim, haviam! Mas desconsidero as respostas de olhômetro, nem sempre o enem favorece visualmente.

[@mateusmelo4335]

Considerando que o ponto está há 2 quadrinhos de distância entre o ponto (50,30) e os pontos A, C e B, eu imaginei que daria pra traçar uma diagonal (que corresponde há hipotenusa de 2 triângulos retângulo).

[@thelegend3163]

Pior que essa nem é baseada puramente no olhômetro, dá pra fazer a prova real. É literalmente contar que a partir do 50;30 pra chegar nos pontos A, B, e C dá a mesma quantidade de quadrados. Claro, essa tivemos a sorte de estar quadriculada, se não estivesse, aí não tinha como fazer essa prova real de forma tão precisa

[@monizesouzacosta3942]

Por que, se fizer a soma dos y, dividir por 3, e fazer o mesmo para x, não da certo?

[@joyceoliveira5327]

Nossa , pelas alternativas tava dada, amei

[@pierre_gabriel]

Eu fiz essa questão apenas olhando a figura sem fazer nenhuma conta e achei a resposta certa. Não sei se é prudente fazer assim e se eu acertei pq tive sorte, mas o fato é que deu certo.

[@tdias25]

Ia comentar a mesma coisa hehe, será que foi sorte?

[@mikeschneider9830]

sim. Nem toda vez no olho dá certo

[@johnnykleytonful]

Eu também não precisei de cálculo hehe só dei uma olhada nas alternativas e via qual ficava mais ao centro e era equidistante dos pontos

[@brunacastelo1405]

Não é sorte nao. O desenho esta em um plano cartersiano quadriculado, e as distancias estao em escala. ela é pra ser feita assim, considerando que a prova do enem nos da 3 min pra cada questao

[@colidera]

Sim, você pode fazer isso, mas tente entender a linguagem matemática.

[@gatspsag]

Você é o cara!

[@isadoragoncalves1324]

Eu testei cada uma das opções e vi que a (50;30) dava dois quadradim pra cada ponto kkkkk

[@biancabrito6748]

Ótima explicação 👏

[@thallespires3966]

Para quem quer saber a fórmula é o seguinte, sendo três pontos equidistante, podemos aplicar a fórmula da distância entre os pontos ao quadrado, a qual será igual para o três pontos. Ex: distância será a letra minúscula d: dAP^2 = dBP^2 = dAP^2. Sendo dAP= (Xcoordenada - Xp) + (Ycoordenada - Yp). Pela fórmula: dAP^2= (Xcoordenada - Xp)^2 + (Ycoordenada - Yp)^2. Lembrando que P (Xp e Yp) são os pontos equidistantes que queremos descobrir, e que eles são comuns a quaisquer um de "dAP^2 = dBP^2 = dAP^2" ,ou seja, você substitui os pontos, e, provavelmente, achará o valor de x ou y e depois um fará um sistema, ou uma equação simples de primeiro Grau. (30-xp)^2 + (20-yp)^2 = (70-xp)^2 + (20-yp)^2 Isso é um monte de produto notável, só resolver =====> xp=50 (60-xp)^2 + (50-yp)^2 = (30-xp)^2 + (20-yp)^2 =====> x=80-y yp=30

[@mayaraferreira5835]

Boa noite professor , você poderia fazer um vídeo aula com uma explicação mais detalhada desse cálculo ?

[@thallespires3966]

Para quem quer saber a fórmula é o seguinte, sendo três pontos equidistante, podemos aplicar a fórmula da distância entre os pontos ao quadrado, a qual será igual para o três pontos. Ex: distância será a letra minúscula d: dAP^2 = dBP^2 = dAP^2. Sendo dAP= (Xcoordenada - Xp) + (Ycoordenada - Yp). Pela fórmula: dAP^2= (Xcoordenada - Xp)^2 + (Ycoordenada - Yp)^2. Lembrando que P (Xp e Yp) são os pontos equidistantes que queremos descobrir, e que eles são comuns a quaisquer um de "dAP^2 = dBP^2 = dAP^2" ,ou seja, você substitui os pontos, e, provavelmente, achará o valor de x ou y e depois um fará um sistema, ou uma equação simples de primeiro Grau. (30-xp)^2 + (20-yp)^2 = (70-xp)^2 + (20-yp)^2 Isso é um monte de produto notável, só resolver =====> xp=50 (60-xp)^2 + (50-yp)^2 = (30-xp)^2 + (20-yp)^2 =====> x=80-y yp=30

[@karolayne1452]

pq n pode usar baricentro? :(

[@pedrocampos1557]

Baricentro é pra triangulos equilateros

[@annacarolina1046]

utilizando a partir do baricentro dá a letra B

[@ismaelsantos2238]

poiser, da 53,333.. to bugado

[@pedrocarneiro2907]

o baricentro divide na razao 2:1 em relaçao aos pontos A,B e C, mas isso nao significa que sao valores iguais!

[@mclovinpikadoce3432]

Se eu não me engano, a fórmula do baricentro de um triângulo só serve para triângulos equiláteros. O triângulo da questão é isósceles, então eu acredito que para triângulos que não são equiláteros a maneira de resolver a questão seja essa que o professor fez.

[@Jesus_Pixel]

kzbin.info/www/bejne/bZ6oaYabo9iMh7s

[@thallespires3966]

Para quem quer saber a fórmula é o seguinte, sendo três pontos equidistante, podemos aplicar a fórmula da distância entre os pontos ao quadrado, a qual será igual para o três pontos. Ex: distância será a letra minúscula d: dAP^2 = dBP^2 = dAP^2. Sendo dAP= (Xcoordenada - Xp) + (Ycoordenada - Yp). Pela fórmula: dAP^2= (Xcoordenada - Xp)^2 + (Ycoordenada - Yp)^2. Lembrando que P (Xp e Yp) são os pontos equidistantes que queremos descobrir, e que eles são comuns a quaisquer um de "dAP^2 = dBP^2 = dAP^2" ,ou seja, você substitui os pontos, e, provavelmente, achará o valor de x ou y e depois um fará um sistema, ou uma equação simples de primeiro Grau. (30-xp)^2 + (20-yp)^2 = (70-xp)^2 + (20-yp)^2 Isso é um monte de produto notável, só resolver =====> xp=50 (60-xp)^2 + (50-yp)^2 = (30-xp)^2 + (20-yp)^2 =====> x=80-y yp=30

[@brunacorrea6603]

Obrigada, professor!

[@hidyanvicenzzo121]

Pq tipo, quando foi calcular a distancia usou PA e PC? Pode usar PA e PB ou PB e PC? Pq quando eu fiz PA e PB deu zero ._.

[@shidoki7247]

perceba, nunca esqueco (novamente)

[@pedromaia1917]

mermao. fiquei entre E e B, ai so criei triangulosinhos e usando os pontos da alternativa E, as tres distancias davam √500

[@gyarusw]

Eu resolvi da forma mais intuitiva possível, até tentei resolver usando a fórmula do ponto médio só que não deu certo.

[@thallespires3966]

Ponto médio leva ao baricentro, equidistância é mediatriz

[@gessicademorais4298]

Grata

[@colidera]

Negócio é fazer no olhometro (sqn)

[@dmitriblyat8237]

ainda com relação à essa questão qual é a distancia em quilômetros, entre o ponto correspondente à antena A e a reta que passa pelas antenas B e C? a) 20√10 b) 15√10 c) 18√10 d) 12√10 e) 10√10 Quero cálculos, urgente

[@shirleynunes3439]

Resolvi olhando o ponto no meio dos três kkkkkk deu certo

[@LadyEsarhal]

Acertei no olhômetro.

[@Fabiozeraz]

Não seria mais facil calcular o baricentro??

[@raio90]

+Fabiz Z Não!! O baricentro não é equidistante do 3 pontos. Acho que quiseste dizer circuncentro.

[@ivan11883]

Amigo dava sim pra achar a coordenada x = 50 pelo circuncentro pq a mediatriz nao varia no lado AB e o ponto A e B estão alinhado, mas ao meu ver, nao seria possivel achar a coordenada y pq ela iria variar conforme vc fosse deslocando a mediatriz relativa ao lado AC, o mesmo acontece com o lado BC. Mas daria sim pra estimar que seria 30. Eu tbm fiz assim na primeira vez.

[@raio90]

+Ivan gonçalves entendi, mas o ponto da reposta é o circuncentro. Afinal, essa torre tem que ficar equidistante dos 3 pontos e, como esse 3 pontos não estão alinhados, formam um triângulo ABC. E eu acredito que essa seja a ideia por trás da questão - achar o circuncentro. Pra achar este não tem uma fórmula 'bonitinha" igual como se faz pra achar o baricentro, que é oq eu acho que o cara que fez o comentário original quis dizer quando perguntou se "seria mais fácil calcular o baricentro". Como vamos achar um circuncentro varia dependendo do triângulo. Nesse caso ficou mais fácil pq um dos lados do triângulo é paralelo ao eixo das abscissas.

[@ivan11883]

+Raimundo Paiva Neto exatamente, mas eu acho q não dá pra achar a coordenada y justamente pq os outros lados não são paralelos ao eixo das abscissas e quando eu traçar as mediatrizes essa coordenada vai variar em y.

[@raio90]

+Ivan gonçalves pois é, mas em nenhum momento eu disse que é necessário traçar as mediatrizes do triângulo para achar esse ponto, apesar dele ser o circuncentro. Só quis dizer que o ponto notável que se está procurando nessa questão é, de fato, o circuncentro e não o baricentro, como o cara do comentário falou.

[@fernandosouza1984]

Eu fiz ela em 20 segundos -_- só olhando mesmo dava pra acerta

[@andrielsoncarvalho1920]

Outra maneira é calculando o ponto médio...

[@rubiabraganca6502]

Pode desenvolver a resolução, por favor?

[@esteralencar2927]

eu tentei, mas ao calcular as do ponto x fica 53,3 :/ marquei B e errei

[@LucasReiss]

Mediatriz top

[@shidoki7247]

primeiro a comentar

[@michelsaeta3526]

Oss

[@eduardarossoni]