[Eng Sub] What is Distance in Infinite Dimensions?

English subtitles available!
If we extend the general distance in finite dimensions directly to infinite dimensions, the distance diverges to infinity. How should we define the distance in infinite dimensions?
Outline of the proof of the triangle inequality at 9:20:
Given A,B,C≥0, you can show that if A≤B+C, then A/(1+A) ≤ B/(1+B) + C/(1+C). Using this, you can prove the triangle inequality.
The details are provided on pages 36 to 37 of the reference (1) below. However, please note that the book is in Japanese.
[References]
(1) 抽象への憧れ - 位相空間:20世紀数学のパラダイム (大人のための数学 5)
(2) 集合・位相入門 (松坂 和夫)
I mainly referred to (1), but for l^2, I referred to (2).
[BGM]
ほのぼのワルツ【リコーダー】(commons.nicovideo.jp/)
[Materials]
VOICEVOX:ずんだもん
VOICEVOX:四国めたん
立ち絵(坂本アヒル様)
効果音ラボ
pixabay
#math

[@nekodesu.4649]

1次元：1歩進む 2次元：横にも1歩分進むから最短距離でも1次元よりは遠いわな 3次元：上にも行く分もっと遠いよな 無限次元：そりゃ無限だわな。圧縮するのはいいけど無限歩だわ。

[@user-kq2me8ut4d]

f(x)=x/(1+x) (x≧0) は有界・狭義単調増加・上に凸・連続・f(∞)=1という特徴をもちますが、逆に言えば「この特徴をもつf」とだけ述べて抽象的に進めることもできますね。 他の簡単な具体例として、f(x)=(2/π)arctan(x) (x≧0) があります。 確率論ではf(x)=min{x,1}なんてのも時々（これは「広義」単調増加）。

[@user-es4ug4gl8b]

圧縮関数とでも言えばいいのかな 面白い

[@user-og7ic4nx8l]

f:R→[0,1] なら何でもいいわけではないと思うよ。 三角不等式など距離の3公理を満たす必要がある

[@user-kq2me8ut4d]

f(0)=0を書き忘れましたが、「単調増加で上に凸」という条件をつけているので、三角不等式も満たされます。 その証明は少し難しいですが、凸という条件から一般に、「広義単調減少かつ左連続なg(x)を用いてf(x)=∫[0,x]g(t)dtと表せる」が言えるので、f(x+y)=∫[0,x+y]g(t)dt=∫[0,x]g(t)dt+∫[0,y]g(x+t)dt≦∫[0,x]g(t)dt+∫[0,y]g(t)dt=f(x)+f(y)が成り立ちます。 d(a,b)が距離ならd(a,b)≦d(a,c)+d(c,b)なので、上のf(x+y)≦f(x)+f(y)と単調増加を使うとf(d(a,b))≦f(d(a,c)+d(c,b))≦f(d(a,c))＋f(d(c,b))となり，f(d(a,b))も三角不等式を満たすわけです。

[@user-og7ic4nx8l]

@@user-kq2me8ut4d 難しかったけど、 「三角不等式がちゃんと満たされる」ってことだけ理解できた

[@dai7822]

成分ごとに重み付けが異なるのがなぁー

[@chicha5358]

圧縮したあとにシグマごとnで割るとダメなのかな～って思いました （追記）公理1を満たしてませんね

[@nayutaito9421]

この定義で距離が1以上になる点を形式的に追加すると何か面白いことが起きそう

[@user-hh1px1vy1u]

ユークリッド距離にf(x)=x/1+xを組み込んでも……大体全部 になっちゃうか

[@user-sm9il9wg2v]

おもしろいー！

[@KUGOBlin]

シレっと最後の一言の後半w。>位相空間 そして浅瀬から深みにハマる？www

[@takazin11de]

面白い！ 全然分野違いだけど、3Dグラフィックでは距離というか深度を対数取ったものを使うんですよね。遠くの物体の距離をそのままfloat（32bit）で扱うと表現範囲外になることがあるので対数を取って距離を圧縮してfloatで十分扱えるようにする。距離の公理の通りカメラ視点からの順序さえ正しければ良いからね。それとなにか共通点を感じました。

[@user-yy4dr5ed5f]

n次元の距離を無理数次元や複素数次元に一般化できる？

[@jalmar1619]

今回の話のモチベーションとして「各点収束」について触れないのが不思議だな ただ距離の公理を満たすって話なら自明な距離でええやん

[@user-mk8bg9xu4b]

ここのコメ欄洗練されすぎ

[@IDTYF-taman004]

距離なんて無粋だ〜。

[@shone7064]

もっと大きな無限だったらどうなるでしょうか？

[@user-ct4mk4wk3u]

距離関数を変えても要素の大小関係が保存されるような距離関数の条件？

[@user-mi7xp8kr6e]

無下限呪術か・・・

[@user-gfhgfhthtfhtgd]

無限次元の内積はどうなるの？

[@jalmar1619]

ℓ^2空間には内積が定義できる　ヒルベルト空間の具体例

[@human.piisuk]

ちょっと信じられない定義だったけど、公理があれなら仕方ないと思ってしまった

[@aetos382]

いろいろな定義を考えるのはいいけど、それってよく知られている低次元でも同様に成り立たなければいけないとかではないのかしら？

[@johnblue5937]

くりぃむしちゅーのANN

[@ANONAAAAAAAAA]

L^\infty ちゃんは自分が貰っていきますね

[@MS-gq4gx]

10:11 極限の交換警察だ！ 勝手に極限の交換をしないでください。 (すみません、自分が交換していい理由を知らないだけです。)

[@zunda-theorem]

たしかに、そのあたりはあやふやでしたね！ 結果としては問題なさそうです。a/(1+a) の部分は n を含まないので、定数として Σ の外側に出せるからです。ここで a を ∞ に飛ばす前に Σ を先に計算してしまった方がお行儀が良かったかもしれませんね👍

[@MS-gq4gx]

なるほど！よく考えたら当たり前ですね。ありがとうございます！😊

[@user-ue6fk1py3n]

座標軸の取り方を変えたら距離が変わるのが嫌＞＜

[@user-hh1px1vy1u]

座標軸を変えたときに、その影響を取り入れた形にすることはできそう。

[@sakaemysawa]

無限次元の果てを１と定義したってことかしら？

[@jalmar1619]

[-∞,∞]と[0,1]が順序位相に関して同型であるということだ