ETF prijemni ispit 2017. zadatak 16 i KAKO JE MAINSTREAM "STRUKA" UPROPASTILA MATEMATIKU!!!!!

[@tritonettritonet9788]

Meni su u ovom videu sporne dve stvari: 1.Ja sam ucio mainstream matematiku, u osnovnoj, srednjoj skoli pa zatim i na elektro fakultetu gde sam imao dve matematicke analize, diskretnu matematiku, slucajne procese itd. I svi ti silni profesori su me ucili ovaj deo matematike bas na ovaj nacin koji Vi ovde prezentujete. Dakle, ja bih ovaj zadatak resavao bas ovako kako i Vi resavate i dobio bih ista resenja. E tu mi je onda sporno, odakle sad ta informacija da mainstream matematika danas uci ljude nesto drugo? Moram priznati da su me iznenadili i komentari na ovaj video koji potvrdjuju da ima drugih misljenja. Medjutim, ja ne mislim da je problem do mainstream matematike, vec do pojedinaca koji ucenike/studente uce pogresno ili povrsno. Bas sam posle odgledanog videa pitao suprugu koja je takodje zavrsila elektro fakultet: "Koliko je koren iz cetiri?" Odgovorila je kao iz topa: "Plus minus dva". 2. Malo strci ovo ponavljanje da nema boljeg matematicara od Vas. Mozda samo zelite da privucete paznju? :) U svakom slucaju, ne tvrdim da niste najbolji (ili medju najboljima) matematicar na svetu, ali to bi iapk trebalo da dokazete na nekom ozbiljnijem primeru, a ne na zadatku koji se svodi na primenu nekolicine prilicno jednostavnih sablona. Ovaj zadatak, kao i ostali sadrzaj na Vasem kanalu, je ipak veoma jednostavan za bilo koga ciji je zivotni put matematika. Tako da ovde malo licite na virtuoza na muzickom instrumentu koji svoju virtuoznost pokazuje svirajuci deciju pesmicu. Dakle, bilo bi lepo da vidimo resavanje nekog ozbiljnijeg matematickog problema. Postoje i oni koje razni matematicari pokusavaju godinama da rese, pa mozda da pokupite neki od njih? Pa cak i ako ga ne resite, bilo bi zanimljivo videti Vas pristup resavanju tih problema.

[@markojovanovic9651]

Potpuno se slazem, isto sam ovako ucio na fakultetu. Kad je rekao da je najbolji matematicar video sam da ima neku sifru u glavi doduse 😂

[@serbiaking1]

Da da slažem se, u tome je baš i poenta, to što je *matematika od pre 50-100 godina bila mnogo bolja nego ova današnja matematika* koja se prezentuje. I tada je postojao prostor za usavršavanje, ali je generalno kritičko razmišljanje bilo mnogo veće nego danas, ne samo u matematici, nego i u mnogim drugim sferama života. Primera radi, Kantorova teorija skupova je tada bila gotovo uvek preispitivana (primer Leopold Kroneker), a danas slabo ko to preispituje. Čak i da preispituje, *matematička zajednica danas ta preispitivanja ignoriše* , nažalost. Matematika je nauka koja ne trpi greške, trebamo stalno da preispitujemo ono što radimo. Matematika je apsolutno precizna ako se pravilno definiše i interpretira i u tom smislu *ne postoje nikakvi "paradoksi"* , tako da je problem u pogrešnim interpretacijama i nekorektnostima koji proizilaze iz pogrešnih manipulacija matematičkim objektima, a ne u samoj matematici. Problem je što je današnja matematika mnoge "starinske" istine odbacila zbog izgovora poput "praktičnosti". Ipak, bez starca nema udarca, kako kažu. Nauka je tada generalno bila u mnogo boljem stanju nego danas. Danas se uopšte ne podstiče kritičko razmišljanje i analiza problema, što je ključ za pravi uspeh u nauci, a i generalno za svakodnevni život. Danas je mnogo onih koji bubaju matematiku, a retko je onih koji preispituju i najosnovnije pojmove. *U matematici ne postoji "očigledno".* *Matematika kao sam koncept je fenomenalan i IZUZETNO moćan alat i za teoretske i za praktične potrebe (ako se pravilno definiše)* . Nije u matematici problem, već je u njenoj interpretaciji problem. Mnogi ne shvataju poentu matematike i onda je pogrešno tumače i definišu. Iskreno, trebalo bi više obratiti pažnju na filozofiju matematike, nego na samu matematiku. Svakako je činjenica da su pre 50-100 godina formalizam i matematička dosledost bili mnogo veći nego danas, i svakako je tačno da je tadašnja matematika svakako bila mnogo bliža ovoj matematici koja je u videu prezentovana. Nažalost, danas su se tokom vremena uvukle mnoge nekorektnosti kroz matematiku namerno ili nenamerno (jedan od primera je (fog)(x)=f(g(x)), umesto g(f(x)). *Čak postoje i neke alternativne teorije za izvod funkcije koje određuju koeficijent tangente koristeći čistu Euklidsku geometriju, znači bez ikakvog korišćenja limesa i epsilon-delta definicija (postoji kanal koji na yt govori o tome). Pa se postavlja logično pitanje, da li je onda možda moguće da se cela matematička analiza zasnuje na čistoj Euklidskoj geometriji ?* U svakom slučaju, problemi koji nastaju sa korenom i u onim jednakostima poput "1=-1" upravo proističu iz pogrešnih interpretacija korena kao matematičkog pojma. Oni dobijaju tu jednakost zato što jer ne koriste pojam korena kao skupa, nego pojam korena kao fragment od skupa (tj kao funkcije), i onda naravno da se dobija jednakost "1=-1" iz očiglednih razloga. Evo uzmi npr pojam korena kao najopštiji moguć i napiši čemu su jednaki √1, √-1 i √-1 : 1)√1={1,-1} 2)√-1={i,-i} 3)√-1={i,-i} Sada ako uzmeš i napišeš da je √1=√-1*√-1, onda sa leve strane dobijaš skup {1,-1}, a sa desne strane opet isto taj skup {1,-1} (u skupu je redosled elemenata i broj ponavljanja nebitan), što znači da nikada nećeš da dobiješ besmislice poput 1=-1 zato što jer će vrednosti uvek da ti budu u okviru jednog te istog skupa. Ali ako sada koren definišeš kao funkciju i uzmeš da je √1=1, √-1=i, √-1=i, onda naravno da ćeš da dobiješ da je 1=-1, zato što jer se pojam korena kao funkcije pogrešno upotrebljava i zato što jer se simbol √ koristi za dva različita konteksta. U tome i jeste problem, zato što jer je korektnije da se *na koren gleda kao na izvorni pojam, odnosno na skup* . Jednoznačnost naravno može da se postigne, i to vrlo lako preko klase ekvivalencije.

[@serbiaking1]

Da da slažem se, u tome je baš i poenta, to što je *matematika od pre 50-100 godina bila mnogo bolja nego ova današnja matematika* koja se prezentuje. I tada je postojao prostor za usavršavanje, ali je generalno kritičko razmišljanje bilo mnogo veće nego danas, ne samo u matematici, nego i u mnogim drugim sferama života. Primera radi, Kantorova teorija skupova je tada bila gotovo uvek preispitivana (primer Leopold Kroneker), a danas slabo ko to preispituje. Čak i da preispituje, *matematička zajednica danas ta preispitivanja ignoriše* , nažalost. Matematika je nauka koja ne trpi greške, trebamo stalno da preispitujemo ono što radimo. Matematika je apsolutno precizna ako se pravilno definiše i interpretira i u tom smislu *ne postoje nikakvi "paradoksi"* , tako da je problem u pogrešnim interpretacijama i nekorektnostima koji proizilaze iz pogrešnih manipulacija matematičkim objektima, a ne u samoj matematici. Problem je što je današnja matematika mnoge "starinske" istine odbacila zbog izgovora poput "praktičnosti". Ipak, bez starca nema udarca, kako kažu. Nauka je tada generalno bila u mnogo boljem stanju nego danas. Danas se uopšte ne podstiče kritičko razmišljanje i analiza problema, što je ključ za pravi uspeh u nauci, a i generalno za svakodnevni život. Danas je mnogo onih koji bubaju matematiku, a retko je onih koji preispituju i najosnovnije pojmove. *U matematici ne postoji "očigledno"* . *Matematika kao sam koncept je fenomenalan i IZUZETNO moćan alat i za teoretske i za praktične potrebe (ako se pravilno definiše)* . Nije u matematici problem, već je u njenoj interpretaciji problem. Mnogi ne shvataju poentu matematike i onda je pogrešno tumače i definišu. Iskreno, trebalo bi više obratiti pažnju na filozofiju matematike, nego na samu matematiku. Svakako je činjenica da su pre 50-100 godina formalizam i matematička dosledost bili mnogo veći nego danas, i svakako je tačno da je tadašnja matematika svakako bila mnogo bliža ovoj matematici koja je u videu prezentovana. Nažalost, danas su se tokom vremena uvukle mnoge nekorektnosti kroz matematiku namerno ili nenamerno (jedan od primera je (fog)(x)=f(g(x)), umesto g(f(x)). *Čak postoje i neke alternativne teorije za izvod funkcije koje određuju koeficijent tangente koristeći čistu Euklidsku geometriju, znači bez ikakvog korišćenja limesa i epsilon-delta definicija (postoji kanal koji na yt govori o tome). Pa se postavlja logično pitanje, da li je onda možda moguće da se cela matematička analiza zasnuje na čistoj Euklidskoj geometriji ?* U svakom slučaju, problemi koji nastaju sa korenom i u onim jednakostima poput "1=-1" upravo proističu iz pogrešnih interpretacija korena kao matematičkog pojma. Oni dobijaju tu jednakost zato što jer ne koriste pojam korena kao skupa, nego pojam korena kao fragment od skupa (tj kao funkcije), i onda naravno da se dobija jednakost "1=-1" iz očiglednih razloga. Evo uzmi npr pojam korena kao najopštiji moguć i napiši čemu su jednaki √1, √-1 i √-1 : 1)√1={1,-1} 2)√-1={i,-i} 3)√-1={i,-i} Sada ako uzmeš i napišeš da je √1=√-1*√-1, onda sa leve strane dobijaš skup {1,-1}, a sa desne strane opet isto taj skup {1,-1} (u skupu je redosled elemenata i broj ponavljanja nebitan), što znači da nikada nećeš da dobiješ besmislice poput 1=-1 zato što jer će vrednosti uvek da ti budu u okviru jednog te istog skupa. Ali ako sada koren definišeš kao funkciju i uzmeš da je √1=1, √-1=i, √-1=i, onda naravno da ćeš da dobiješ da je 1=-1, zato što jer se pojam korena kao funkcije pogrešno upotrebljava i zato što jer se simbol √ koristi za dva različita konteksta. U tome i jeste problem, zato što jer je korektnije da se *na koren gleda kao na izvorni pojam, odnosno na skup* . Jednoznačnost naravno može da se postigne, i to vrlo lako preko klase ekvivalencije.

[@Peter-kn2mk]

Ljudi, koji je vama, šta vam nije jasno? Četiri klipa po 15-20 minuta čovek je potrosio ponavljajuci jednu te istu mantru, koja se inače prenosi djaku, koji je zreo da to razume, za minut-dva, Zašto? Zato što je to jedino što ovaj profesor zna. O kakvoj crnoj analizi i ostalim matematikama ti pričaš, o kakvom rešavanju poznatih matematičkih problema? Domet ovog čoveka su polinomi i tu je kraj. Pogledaj druge snimke, kad ga neko u komentarima pita za neku drugu oblast, on odgovara da mora jos dosta da prica na ovu temu. Znači, jos 10 klipova ce pričati da je koren iz 4 skup {2, -2}… jer sta bi drugo mogao pričati? A naravno da jeste skup, to i zvanična matematika tvrdi, ali nas postepeno vodi ka tome. Dok smo znali samo prirodne brojeve učili su nas da je 7/2 = 3. Tek kad smo matematički sazreli da razumemo realne brojeve, naučeni smo i da je 7/2 = 3,5. Bukvalno je ista priča i sa ovim: dok nismo bili zreli da razumemo kompleksne brojeva, učili su nas pojednostavljeno sa je koren iz 4 jednako 2. Tako da, dragi Božo, eto ti još jedan case, mogao bi sledećih 5 klipova da posvetis problemu 7/2 i da nas ubedjujes kako zvanična matematika tvrdi da je to 3.

[@Peter-kn2mk]

Ljudi, šta vama nije jasno? Četiri klipa po 15-20 minuta čovek je potrosio ponavljajuci jednu te istu mantru, koja se inače prenosi djaku, koji je zreo da to razume, za minut-dva, Zašto? Zato što je to jedino što ovaj profesor zna. O kakvoj crnoj analizi i ostalim matematikama ti pričaš, o kakvom rešavanju poznatih matematičkih problema? Domet ovog čoveka su polinomi i tu je kraj. Pogledaj druge snimke, kad ga neko u komentarima pita za neku drugu oblast, on odgovara da mora jos dosta da prica na ovu temu. Znači, jos 10 klipova ce pričati da je koren iz 4 skup {2, -2}… jer sta bi drugo mogao pričati? A naravno da jeste skup, to i zvanična matematika tvrdi, ali nas postepeno vodi ka tome. Dok smo znali samo prirodne brojeve učili su nas da je 7/2 = 3. Tek kad smo matematički sazreli da razumemo realne brojeve, naučeni smo i da je 7/2 = 3,5. Bukvalno je ista priča i sa ovim: dok nismo bili zreli da razumemo kompleksne brojeva, učili su nas pojednostavljeno sa je koren iz 4 jednako 2. Tako da, dragi Božo, eto ti još jedan case, mogao bi sledećih 5 klipova da posvetis problemu 7/2 i da nas ubedjujes kako zvanična matematika tvrdi da je to 3, a ti nam tobož dokazuj da je 3,5. Smejurija...

[@ismarmuslic2775]

Brkate funkciju korijena i rješenje kvadratne jednačine. Korijen (znak √) kao funkcija je definiran na skupu R+, nad argumentom koji također pripada tom skupu. Definira se kao pozitivno rješenje jednačine oblika x² = c, gdje je c konstanta, također iz R+. Korijen nekog broja x je broj y takav da je y² = x. Drugim riječima, funkcija korijena vraća onaj pozitivan realni broj koji kvadriran daje vrijednost njenog argumenta. Prema tome, √(x²) = x samo ako je x nenegativan cijeli broj. Ukoliko se proširi domen korjene funkcije na cijeli skup R, tada je dozvoljeno da je x < 0 te je važi √(x²) = |x|, što ponovo znači da je rješenje isključivo pozitivno. Ovo važi po definiciji. Kada govorimo o tome da "korijen ima dva rješenja", to je isključivo posljedica općeg rješenja kvadratne jednačine oblika x² = c koje ima pozitivnu i negativnu vrijednost. Dakle: √4 = +2 i samo +2, dok za kvadratnu jednačinu x² = 4 važi da je x1 = 2 i x2 = -2, jer je funkcija f(x) = x² definirana na cijelom skupu R.

[@ismarmuslic2775]

Jedino matematičko šarlatanstvo ovdje je Vaša definicija funkcije u domenu realnih brojeva koja umjesto realnog broja vraća skup... Kada se postavi rješenje u ovakvom obliku: x² = 16 x = +/- 4 To ne znači da je x i +4 i -4 istovremeno već da postoje dvije jednakosti: x1 = +4 i x2 = -4, koje su spojene operatorom "i" (and ili ^).

[@serbiaking1]

@@ismarmuslic2775 Stvar u celoj ovoj priči je da ste zapravo i ti i profesor u pravu. Ti si u pravu za praktičnu definiciju, ali formalno je profesor u pravu. Naime, koren kao funkcija je zaista potekao od izvornog pojma korena kao skupa. Ta definicija što si napisao je proistekla upravo iz pristupa korena kao skupu, pa je zapravo matematički korektnije da se na koren kao izvorni pojam gleda kao na skup, a ne kao na funkciju. Ovo i ima smisla zato što je sam pojam funkcije proistekao iz relacije, a pojam relacije je proistekao od skupa, pa zato ima smisla da na koren gledaš kao na skup. Evo sada na prvu ako mi ne veruješ, poslaću ti jedan link da vidiš i da se uveriš u ovu činjenicu. Profesor Vladimir Baltić koji je u Matematičkoj gimnaziji u Beogradu, upravo ovu činjenicu je priznao na jednom seminaru iz 2016 godine u kojem kaže da se koren formalno definiše kao skup tj kao klasa ekvivalencije, i da to odgovara pristupu od pre 50 godina, kada je koren bio definisan kao skup, a ne kao funkcija. Baltić ističe da i danas neki matematičari rade po tom pristupu, uključujući i profesora Radeta Doroslovačkog sa FTN u Novom Sadu. I u Veneovim zbirkama se isto koren definiše kao skup, tako da je formalno zapravo ispravno da se koren definiše kao skup. To je i Baltić priznao, i taj pristup je matematički korektan. EVO LINKA, OBAVEZNO GA POGLEDAJ !!! (STRANA 11) m4t3m4t1k4.wordpress.com/wp-content/uploads/2018/07/sem_nast_2016_koren-1.pdf

[@serbiaking1]

U svakom slučaju, ako bi matematički rigorozno moralo da se bira, prof je 100% u pravu vezano za koren, zato što je opštije da ga posmatraš preko skupa, i jednoznačnost je mnogo prirodnija jer odmah sledi iz klase ekvivalencije, i ja se s tim slažem apsolutno. Jedini problem sa tim bi bio da bi onda mnoge druge stvari u matematici morale da se menjaju, ko zna da li su možda i neki matematički problemi proistekli upravo iz pogrešnih definicija. Prosto, danas su osim korena mnogi drugi koncepti definisani preko funkcije, pa bi to bio ogroman posao da se sve modifikuje, zato što bi praktično gubljenjem funkcije u današnjem obliku morali da redefinišemo i matematičku analizu, i linearnu algebru, i sve vitalne discipline. Zapravo dobili bismo neku vrstu uopštavanja matematike, a Dekartov koordinatni sistem bi izgubio na značaju, jer čim nema funkcije, nema ni koordinatnog sistema. Matematika bi bila svakako drugačija. Praktično bismo formalizovali matematiku i dobili bismo neku teoriju sličnu već poznate teorije kategorije, teorije relacija, itd.

[@ismarmuslic2775]

​@@serbiaking1Pogledajte bukvalno sljedeću stranicu predavanja koje ste poslali. To je ono o čemu ja govorim. Neosporivo je da -2² i 2² daju 4 ali tu je riječ o rješenjima kvadratne jednačine x² = 4. Konvencija je da se za vrijednost principijelnog kvadratnog korijena uzima pozitivno rješenje te jednačine što znači da je √4 = 2. To upravo i autor predavanja koje ste poslali potvrđuje u drugom paragrafu na 12. stranici.

[@serbiaking1]

@@ismarmuslic2775 Da da slažem se, ono što Vi ističete je današnja konvencija koja uzima da je √4=2, i po toj današnjoj konvenciji je svakako tačno da se danas u školama uči da postoji razlika između korena kao funkcije i rešenja jednačine x²=4. To se danas uči po školama, to naravno nije sporno. Upravo to je i istaknuto na 12 strani, a i prof Baltić je napomenuo da je danas koren funkcija i da je to postala praksa u osnovnim i srednjim školama. Ali kao što znate, mnogi današnji pojmovi koji su definisani preko funkcije su upravo nastali iz definisanja tog pojma preko skupa*. To znači *da je zapravo jedno konvencija, a drugo formalizam. Konvencijski, koren je danas zaista definisan preko funkcije i po školama tako uče, to je ono o čemu govorite* . Ali ako pogledamo širi kontekst, onda kao što znate, postoji razlika između konvencije i pozadine te konvencije (formalizma). Kao što znate, jedno je konvencija a drugo je pozadina priče. Npr, danas se izraz tipa 6:2*3 rešava putem konvencije tako što se prvo računa 6:2, pa tek tada se množi sa 3. To je današnja konvencija. *Bitna razlika između konvencije simbola i formalizma simbola* : *Konvencija simbola je samo specifična interpretacija formalizma simbola, dok formalizam simbola kao širi okvir omogućava različite varijante interpretacija simbola* . *Formalizam i konvencija nisu isto (konvencija simbola je "podskup" formalizma simbola)* . *Formalizam je skup različitih kriterijuma, a konvencija je samo jedan od tih kriterijuma koji se primenjuje* . Konvencija je specifičan kriterijum koji je odabran za primenu. Formalizam je skup konvencija (kriterijuma), i izraz dobija vrednost tek onda kada jasno definišete simboliku. Upravo iz tih razloga koji se tiču formalizma i simbolike, morate da imate različite notacije za isti pojam koji se koristi u različitim kontekstima ako hoćete apsolutnu preciznost. Zbog toga formalno, izraz 6:2*3 nema jasnu formalnu i simboličku interpretaciju, i u tom smislu ne znamo šta on predstavlja dok ga ne interpretiramo pravilno matematički. Taj izraz nema SIMBOLIČKU DEFINISANOST (dakle ne u smislu da nije definisan kao 1/0 nego u smislu da se ne zna u kojem kontekstu se koristi taj simbol, tj taj poredak simbola). To je zato što jer kao što možemo da imamo tumačenje izraza kao (6:2)*3, tako možemo da imamo i tumačenje izraza kao 6:(2*3). *Dakle ne postoji KRITERIJUM po kojem bi vrednost izraza bila (6:2)*3, osim konvencije* . *To ne znači da taj izraz nije definisan, to znači da je potrebna dodatna simbolika da bismo precizno odredili njegovu vrednost* . Konvencija je mogla da bude i da to bude 6:(2*3). Dakle, nema KRITERIJUMA. To znači da ako formalno gledate, izraz 6:2*3 nema jasnu i izraženu matematičku interpretaciju, zato što jer nismo definisali šta ti simboli predstavljaju. Zbog toga, izraz 6:2*3 nema vrednost SVE DOK MU NE DATE JASNU INTERPRETACIJU, koja je moguća na dva načina: (6:2)*3 i 6:(2*3). Drugim rečima, potrebno je da preciznije definišemo naš izraz da bi mogli da ga odredimo. U matematici može lako da dođe do nesporazuma ako ne znamo sa kojim matematičkim objektima baratamo i onda lako može da dođe do besmislica, zato što se loše manipuliše matematičkim objektima. *To je kao da imate neki nov izmišljen simbol, npr ○* . *Sve dokle god ne znamo šta taj simbol predstavlja, on nije definisan i nije precizno određen jer se ne zna šta reprezentuje (dakle ne u smislu da nije definisan kao 1/0 nego u smislu da se ne zna u kojem kontekstu se koristi)* . Dakle mora simbolika da se isprecizira da bismo odredili vrednost izraza . Svi simboli i izrazi mogu da se odrede ako se definiše kontekst u kojem se oni koriste. Nešto slično je i sa simbolom √-1. KONVENCIJA je da je √-1=i, ali formalno gledano, ne postoji KRITERIJUM da to bude "i". Isto tako, formalno *ne postoji KRITERIJUM da √4 bude 2, zato što jer je moguće da potpuno ravnopravno definišete i funkciju koja mapira 4 u -2, √4=-2* . Drugim rečima, mi posmatramo samo jedan FRAGMENT i mogućnost definicije korena. Moguće je da definišemo koren kao funkciju koja mapira u negativan izlaz potpuno ravnopravno (i to preko klase ekvivalencije skupa) Zbog toga, *naravno da je izraz tipa √-1 definisan* , ali morate da odredite sa kojim matematičkim objektim baratate. Da li je √-1 funkcija, ili je to skup ? Drugim rečima, *potrebne su dodatne oznake za simbol √-1 da bi se odredila njegova vrednost i da bi se znalo u kojem kontekstu se taj simbol koristi* . Zato i dolazi do problema sa korenima zato što jer se simbol √ koristi univerzalno i ne postoji jasna simbolika koja razdvaja koren kao funkciju od korena kao skupa. Kada bi svaki koren imao svoj jasno izražen simbol, bilo bi neuporedivo lakše da se barata sa izrazima. Iz ovih razloga, kada govorimo o korenima, najbolje je da svaki pojam ima svoj simbol. Tada definitivno dobijamo 100% preciznu matematičku vrednost, zato što jer znamo sa kojim matematičkim objektima baratamo. U tom smislu, naravno da je izraz tipa √-4+√-9 definisan, ali treba da se simbolika isprecizira kako bismo mogli da odredimo njegovu vrednost. U matematici mora sve da bude apsolutno precizno i bez ikakvog prostora za dvosmislenost. E sada primer sa korenom, problemi koji nastaju sa korenom i u onim jednakostima poput "1=-1" upravo proističu iz pogrešnih interpretacija korena kao matematičkog pojma. Oni dobijaju tu jednakost zato što jer ne koriste pojam korena kao skupa, nego pojam korena kao fragment od skupa (tj kao funkcije), i onda naravno da se dobija jednakost "1=-1" iz očiglednih razloga. Evo uzmite npr pojam korena kao najopštiji moguć i napiši čemu su jednaki √1, √-1 i √-1 : 1)√1={1,-1} 2)√-1={i,-i} 3)√-1={i,-i} Sada ako uzmete i napišete da je √1=√-1*√-1, onda sa leve strane dobijate skup {1,-1}, a sa desne strane opet isto taj skup {1,-1} (u skupu je redosled elemenata i broj ponavljanja nebitan), što znači da nikada nećete da dobijete besmislice poput 1=-1 zato što jer će vrednosti uvek da ti budu u okviru jednog te istog skupa. Ali ako sada koren definišete kao funkciju i uzmete da je √1=1, √-1=i, √-1=i, onda naravno da ćete da dobijete da je 1=-1, zato što jer se pojam korena kao funkcije pogrešno upotrebljava i zato što jer se simbol √ koristi za dva različita konteksta. U tome i jeste problem, zato što jer je korektnije da se na koren gleda kao na izvorni pojam, odnosno na skup. Jednoznačnost naravno može da se postigne, i to vrlo lako preko klase ekvivalencije.

[@SlobodanZaric-u1p]

Zadatak se može rešiti bez upotrebe komleksnih brojeva. Radi lakšeg i bržeg pisanja i rešavanja, uvedu se smene x+1=a, x-1=b, i x+2=c. Početna jednakost onda postaje: sqrt(ab)+sqrt(ba)=4thrt(b^2) i to se daljim transformacijama dovede do jednakosti: 16ab^4c=b^4(1-(a-c)^2)^2). Tu se vraća početna promenjiva x i onda izraz a-c postaje jednak broju -1, tako da desna strana izraza postaje 0. Tako dobijamo da je 16ab^4c=0, odnosno 16(x+1)(X-1)^4(x+2)=0, što daje skup rešenja: R(x)={-2,-1,1}. Zadatak je baš podmukao - napravljen je da ti prosto izmakne jedno od tri rešenja, ali valjda je i svrha prijemnih zadataka da budu takvi i da nijanse presuđuju u rangiranju.

[@LudiBoza]

Odlično, svako pojednostavljenje rešenja je dobrodošlo.

[@goranpjanic7781]

Pređite na drugi kanal, slabo šta ćete ovde naučiti.

[@Cr4zyN00b95]

Kvadratni koren kako funkcija je jasno definisana. Nema mainstream matematike nema tumacenja matematike, veoma je jasno i precizno definisano, ne treba da nam se svidja/ne svidja niti da imamo stav o tome. Kvadratni koren slika skup nenegativnih realnih brojeva (R+ U {0}) u skup nenegativnih realnih brojeva, kao takav ima samo jedno jedino resenje jer je funkcija. Primer koren iz 9 je 3, koren iz 4 je 2, koren iz 256 je 16... Ovo nije podlozno diskusiji jer je jasno definisano. Dakle deco koja upisujete fakultete, bezite koliko vas noge nose odavde, i trazite resenja zadataka na drugom mestu.

[@LudiBoza]

Prijatelju, ti si sramota za nauku. Crkva je pravo mesto za tebe. Tamo se ništa ne preispituje, niti se kritički razmišlja. Sve što si naveo su matematičke mainstream zablude, koje nemaju veze sa mozgom, tako da pomišljam da uopšte nisi gledao video.

[@Nekitamodecko]

Помаже Бог

[@СтефанКарић]

Бог помогао!

[@vaks2l]

Au, prijatelju, imaš ti opasne propuste, slabo ti razumiješ matematiku.

[@LudiBoza]

Gde su prijatelju propusti? Izgleda da si ti propustio matematiku.

[@vaks2l]

@ Zašto tolika diskusija oko običnog korijena? Dajte nam Vašu definiciju za npr. arkus sinus…

[@MilanStojanovic9]

Ovo je sve samo konvencija i vrlo je lepa ideja da funkcija kvadratnog korena slika u skup dva broja {x,-x}

[@serbiaking1]

Nastavak priče: Inače postoji još jedna nekorektnost koja se u praksi ipak sprovodi, iako formalno nije tačna. Recimo, kod asimptotskih oznaka i malog "o", i beskonačno malih funkcija za koje važi f=o(g), ako bi uzeli da je g(x)=x, ono što je zanimljivo je da je nekorektno da se kaže x²=o(x) kada x teži 0, već je ispravnije da se kaže da je x² ∈ o(x) za x teži 0, zato što jer formalno o(x) ne označava jednu funkciju, već sve funkcije koje su beskonačno male višeg reda u odnosu na x kada x teži 0. Drugim rečima, o(x) zapravo označava SKUP funkcija koje su beskonačno male višeg reda u odnosu na x kad x teži 0. Korektnije je da se kaže da x² ∈ o(x) x^3 ∈ o(x), itd, a ne x²=o(x), x^3=o(x) itd, ali su ipak usvojili da se umesto znaka pripadnosti piše znak jednakosti i ta nekorektnost se provukla u matematiku, pri čemu se kod malog o čita sleva na desno. Slična nekorektnost je i sa korenom u tom smislu, to je dobra analogija sa korenom kao skupom jer je nekorektno da se napiše da je x=√4, već umesto toga trebalo bi da se kaže da x ∈ √4, itd. Takođe, sabiranje a+b nije binarna operacija, već je preslikavanje (a,b)--->=+((a,b))=a+b binarna operacija. Onda, (fog)(x) bi trebalo da se definiše kao g(f(x)), a ne kao što se danas radi f(g(x)). Takođe, kod izvoda funkcije postoje određene interpretacije oko koeficijenta sečice, postoje neki alternativni pristupi koeficijentu sečice putem čiste Euklidske geometrije, ne koristeći koncept limesa i epsilon-delta definicija, imate na internetu jedan kanal koji govori o tome. Mada je formalnije i lakše ipak preko limesa nego preko čiste geometrije jer se stvari mnogo komplikuju kada se ide na veće dimenzije i teorija postaje pomalo nefunkcionalna. Osim toga, lično sam svedok kako se u većini udžbenika definiše kao f(g(x)), a u manjem broju udžbenika gde je formalizam veći se ipak definiše kao g(f(x)), što znači da nemaju uopštenu usaglašenost. Dalje, kod funkcija, nije ispravno da se kaže f(x) već vrednost funkcije f u tački x, pa treba da se zada i domen i kodomen i pravilo preslikavanja, pa za funkcije bi bilo pravilnije da se kaže IDENTIČNOST funkcija, a ne JEDNAKOST funkcija, i tako dalje. Postoji puno ovih nekorektnosti i terminoloških grešaka koje su se nažalost u praksi provukle, neke namerno neke nenamerno. Mada, možda bi nekada bilo nepraktično da se izgovara npr "rezultat primene funkcije f na element x" pa se to jednostavno skratilo samo u "funkcija f(x)", itd.

[@joshicune]

Čoveče, funkcija koren je definisana kako je definisana, tako da svi razumemo na isti način šta je pisac hteo da kaže. Možeš da napraviš neku drugu funkciju, nazoveš je Božin koren, objasniš kako se koristi i to je to.

[@LudiBoza]

Pa to i jeste poenta, pogrešno je defininisana, i teorija na kojoj je zasnovana daje polutačna rešenja i to hoću da ispravim.

[@joshicune]

@LudiBoza brate, dobar si nadimak odabrao :-)

[@maliktintilic6886]

Što bi rekao Bora T. u "Profesionalcu" - "E, samo si nam ti trebao da nas spasiš!". Hoću reći, vratiš matematiku na pravi kurs ... Počeo sam gledati ovaj klip jer sam mislio da se radi o ozbiljnom čovjeku, ali ovaj Boža, zaista, nije u vinklu. Doduše, na fakultetu sam imao profesora "Matematičke analize 1" koji je tvrdio da je "ispravio" Gausa u mnogim dijelovima teorije skupova. Samo, niko mu nije vjerovao ...

[@LudiBoza]

Počeo si da gledaš, a jel si završio? Ti si jedan od onih površnih što sve počnu a nikad ne završe, jer i nemaju intelektualnih sposobnost da ukapiraju suštinu problema.

[@dalibormaksimovic6399]

Koren iz 4 nije skup. Koren iz 4 je pozitivno resenje jednacine x^2=4. Drugo imaginarna jedinica i se definise kao jedno od resenja jednacine x^2+1=0. Ali posto ta jednacina ima 2 resenja od kojih se ne mozemo odluciti koje je negativno, a koje je pozitivno, koren iz -1 nije definisano, kao ni koren iz -4.

[@LudiBoza]

Molim te, pogledaj video još jedanput. Upravo negiram sve što si napisao. Koren iz četiri je SKUP, a ne broj. Tvrdim da je zvanična definicija pogrešna, i sto posto znam da sam u pravu. To je i bio smisao ovog videa.

[@dalibormaksimovic6399]

@@LudiBoza a sta je onda koren iz 4 puta koren iz 4. Kako definises prvoizvod dva skupa?

[@LudiBoza]

Kao skup, naravno. Jel si ti uopšte gledao video kad sam objašnjavao koliko je koren iz minus 9 puta koren iz minus 4.

[@dalibormaksimovic6399]

Kako mozes da zaobidjes hiljade godina razvoja matematike, celu algebru koja govori o poljima, prstenima bez koje danasnja matematika ne bi postojala, samo zato sto se to tebi ne svidja? Jedno je skup resenja jednacine, a drugo je koren iz neke vrednosti

[@dalibormaksimovic6399]

Drugo, prvo se ispituje definisanost(podkorena vrednost mora biti veca ili jednaka od nule)... ne znam koji fakultet ste zavrsili, ali pisem vam kao bivsi ucenik Matematicke gimnazije i student 3. godine Matematickog fakulteta. Da moji profesori ovo vide ne bi im bilo dobro

[@LudiBoza]

Pa to je i bio smisao videa. Kada se koren definiše kao skup, potkorena veličina može biti negativna, tako da je BESMISLENO da se određuje kada je potkorena veličina pozitivna, a što se tiče tvojih profesora, bez uvrede, nisu mi dorasli je nablaže što mogu da kažem (što se tiče matematike).

[@lazarsudzum4256]

​@@LudiBozaNa osnovu kog kriterijuma Vam nisu dorasli? Nemam pojma ko su ljudi, kao što ne znam ni ko ste Vi ali na ovaj način omalovažavati profesore Matematičkog fakulteta moze biti samo dokaz arogancije i ničega drugog.

[@arcsinalpha]

Koliko ti prijatelju ne razumeš matematiku, to je zastrašujuće...

[@LudiBoza]

Samo ti nastavi da gledaš da nešto naučiš.

[@arcsinalpha]

​@@LudiBozaovde se nema šta naučiti... Za ovo treba da vratiš diplomu MATFu, ako je uopšte imaš...

[@LudiBoza]

A jel je imaš ti? Ako je imaš možeš da obrišeš dupe sa njom, jer si bezveznjak koji nema veze ni sa čim, i da si prekinuo da neprimereno odgovaraš, dok sam još dobre volje.

[@arcsinalpha]

@@LudiBoza imam je. A ti, kad već, ne znaš matiš, nauči bar da komuniciraš.

[@84m800cha]

Porazgovaraj sa psihologom, ne muci te matematika

[@LudiBoza]

Ne, ne muči me matematika ni najmanje, problem su mi beznačajni likovi kao što si ti.

[@84m800cha]

@@LudiBoza Eto vidis, samo potvrđuješ moje sumnje

[@ixajot]

Vidim da se ovdje skupilo dosta matematičara, pa da ja postavim jedno pitanje. Ako pretpostavimo da je funkcija korijen definirana samo na R+, vrijedi li sqrt(-1)=sqrt(-1)? Je li to točna jednakost, je li to netočna jednakost ili se ne može tvrditi ni jedno ni drugo jer funkcija korijen nije definirana na negativnim brojevima?

[@LudiBoza]

Potpuno je tačna. Imaš jednake skupove na obe strane.

[@milanciga]

Nisi se ti Božo mnogo bavio matematikom, vidim 🤔

[@MilanLukic-c9n]

Meni nije jasno zasto je -1 resenje, niste dobro objasnili.

[@LudiBoza]

Slažem se da nisan dovoljno dobro objasnio. Pogledaj sledeći video gde ću do detalja to objasniti. Pozdrav.

[@srdjannalis3037]

Nešto ti ne prijaju ETF-ci. Ja sam završio ETF i nije tačno da su se pojavljivale u moje doba ovakve gluposti, Nešto se ipak bitno promenilo. Izgleda da je nivo i kvalitet nastave u ovom milenijumu opao. Ne znam, nagađam. Moji profesori su bili svetski poznati i priznati matematičari.

[@LudiBoza]

Nemam ništa protif ETF-a. To je dobar fakultet. Trebao mi je samo ovaj primer sa prijemnog.

[@daliborsekulic414]

ETF nije fakultet koji izucava matematiku kao nauku, vec kao pomocni alat za pronalazenje resenja izenjerskih problema, slicno kao i fizika. I zna se da matematika moze nuditi vise resenja, ali nisu sva resenja fizicki smislena......

[@dalibormaksimovic6399]

Dati cu jednostavan primer zbog cega koren iz 4 ili koren iz 9 mora biti samo 2 ili 3(redom). Ako bi uzeli da je koren iz 4 jednako -2 a koren iz 9 jednako -3, kako bi onda definisali koren(koren(4)+koren(9))? To bi bilo nesto imaginarno, sto nije moguce. Zbog takvih razloga korem se definise samo kao pozitivno resenje jednacine

[@serbiaking1]

Pa što se tiče profesora sa MG i MATF-a, iskreno, sumnjam da se oni ne bi složili sa ovim, zato što je formalno koren zapravo definisan preko skupa, i to kao klasa ekvivalencije, samo što se to ne ističe toliko. To se ranije pre 50ak godina isticalo. Npr, na jednom seminaru koji je održan 2016 godine "Male i velike priče o korenu" prof Baltić (koji je iz MG) je na 11 stranici istakao da koren može sasvim korektno da se definiše kao skup, ali da se "komplikuju operacije". Napomenuo je da tako radi i prof Doroslovački sa FTN u Novom Sadu, kao i da je koren bio definisan kao skup pre 50ak godina u našim knjigama. Mateljević isto u kompleksnoj analizi na nekim mestima tako radi. U Veneovoj zbirci isto možete da pronađete da je kompleksni koren definisan kao skup (Vene je stara zbirka pa to odgovara tom pristupu). Takođe, kada sam čitao neki od matematičkih časopisa DMS-a (ili je bio matematički list ili tangenta, ne mogu da se setim) sećam se kroz maglu da sam u nekom broju pročitao da koren može da se definiše kao skup (mislim da je bio neki od starijih brojeva). Sve u svemu, mislim da mnogi profesori ne bi imali ništa protiv da se koren definiše kao skup, zato što je to jednostavno uopštavanje definicije koje je svakako mnogo korektnije nego ova definicija sa pozitivnim rešenjem. Jedini problem je praksa zato što bi za real life probleme stalno moralo da se odbacuje ovo drugo rešenje, ali dobro to se ionako radi i po standardnoj definiciji kada se dobije negativno rešenje. Mada teoretski bi mogla da se definiše i jednoznačnost od korena kao skupa, i to potpuno korektno. Možda bi morali samo da se uvode novi simboli pa bi bilo malo problema, ali u svakom slučaju je to apsolutno moguće. Evo pogledaj ovaj seminar iz 2016 godine, stranica 11, tu jasno Baltić priznaje da koren može da se definiše kao skup: m4t3m4t1k4.wordpress.com/wp-content/uploads/2018/07/sem_nast_2016_koren-1.pdf

[@dalibormaksimovic6399]

@serbiaking1 na 13. strani fino pise da je koren iz kvadrata realnog broja nista drugo sem apsolutne vrednosti. Na MATFu se cesto ne pazi iz prakticnog razloga kad se definise inverzna funkcija, da se zivot ne bi zakomplikovao, ali to treba da bude tacno. Pre 50 godina se tako mozda ucilo, ali pitaj sad bilo kog prof iz MG reci ce ti da je koren broj, a ne skuo

[@serbiaking1]

@@dalibormaksimovic6399 Da da slažem se, ti do te definicije i do pojma jednoznačnosti korena kao funkcije koja daje pozitivan izlaz možeš apsolutno da dođeš. Danas se u školama ne posmatra na koren kao na opštiju strukturu u terminima skupa, nego se posmatra upravo na taj fragment te opštije strukture, tj posmatra se jednoznačnost, što je i princip funkcije. To je i prof Baltić napomenuo na tom seminaru, doslovno citat na 11 strani: "kada koren tretiramo kao funkciju, što je postala uobičajena praksa i u osnovnoj i u srednjoj školi". Znači ovaj današnji koren je zasnovan na funkciji. Ali ako ćeš da teraš mak na konac, ti tehnički možeš sve preko skupa da izraziš, tj sve pojmove zasnovane na funkciji možeš najpre da izraziš preko relacije, a sve pojmove zasnovane na relaciji možeš da zasnuješ na pojmu skupa. To bi bilo nešto slično principu ZF teorije. Taj pristup korenu kao skupu je bio pre nekih 50ak godina a možda i ranije, to je bilo pre nego da je došlo do razvoja funkcije i tako se definisalo pre zasnivanja pojmova na funkciji. Pristup mnogim pojmovima na skupski način od pre 50ak godina ima smisla kad pogledaš, zato što jer tada još nije došlo do razvoja funkcije u modernom obliku, tada se sve preko skupa radilo. Taj pristup je opštiji od funkcije zato što je funkcija podskup dekartovog proizvoda. Zato i ima smisla zašto je danas koren definisan preko funkcije a ne preko skupa, zato što jer se upravo težilo da se od skupa dobije funkcija, i ja se slažem sa tim. Stvar je samo u tome što postoje mnogi pojmovi u matematici koji se radi prakse nekorektno (namerno/nenamerno) primenjuju i izgovaraju (napisaću dole neke). Nauka kao celina je generalno imala mnogo manje tih nekorektnosti i nepreciznih simbola pre 50-100 godina nego danas. To je verovatno zbog toga što se tada više težilo ka formalizmu osnovnih simbolima nego ka samoj materiji, a danas je obrnuta situacija - danas se više teži samoj materiji nego formalizmu osnovnih simbola. Čak su se neki pojmovi i potpuno modifikovali od originalne definicije. Evo primer. Isto pre 50-60 godina, kompozicija funkcija f i g, (fog)(x) se definisala kao g(f(x)), a ne kao f(g(x)). Ne postoji ni jedno opravdanje da se definiše kao f(g(x)), osim da bude "u istom redosledu". I dan danas u većini udžbenicima srećem da je to g(f(x)), a u manjim udžbenicima koji insistiraju na formalizmu srećem g(f(x)), baš kao što je i bilo po originalnoj definiciji pre 50ak godina. Onda, zbir a+b nije binarna operacija, nego je preslikavanje (a,b)--->a+b binarna operacija "sabiranje". Nisu isto sabiranje i rezultat sabiranja. Pa onda, funkcija f(x) nije funkcija, nego vrednost funkcije f u tački x. Oni bi za funkciju uvek morali da zadaju domen, kodomen i pravilo preslikavanja. To je jedino korektno. A na ispitima zadaju samo f(x)=...., i onda se tvrdi da se to "podrazumeva" da je funkcija. Pa onda onako kada se pišu oni uslovi jedni ispod drugih...jedino matematički ispravno je da se logičke operacije i logički uslovi pišu u istom redu, a ne jedni ispod drugih. Pa onda kod malog "o", nije ispravno da se kaže x²=o(x) kada x teži 0, nego x² element o(x), zato što je o(x) skup, a ne broj. Pa onda jednom prilikom mi je na testu bio zadatak koji glasi samo: Kvadriraj izraz (a+b)². I ovo je formalno netačno, zato što jer ovo može da se tumači kao ((a+b)²)². Sećam se kada sam to rekao profesorki tada i ona se nasmejala, zato što to formalno nije ispravno (mada verovatno nije pisala toliko precizno zato što odeljenje nije bilo toliko matematički potkovano😂). Ali formalno trebalo bi da kaže npr koliki je kvadrat od binoma a+b, ili odredi rezultat kvadriranja nad zbirom a+b, i tako nešto. To su već formalnije rečenice. Pa onda oko onog 0.999...=1 bi trebala da se uvede hiperrealna teorija, itd. Znači u praksi ima puno ovakvih nekorektnosti koje se namerno ili nenamerno ubacuju. Možeš ovako da teraš mak na konac i da tražiš dlaku u jajetu do sutra. Ipak, u nekim situacijama bi trebalo da budu malo formalniji i precizniji, bez obzira na praksu.

[@serbiaking1]

@@dalibormaksimovic6399 Za koren i za jednakosti poput "1=-1", problem leži u činjenici da je simbol √ postao univerzalan čak za bilo koju vrstu korena kao funkcije (ili kao skupa), i onda se ostavlja utisak da sa tim simbolom može da se barata u situacijama kada pređemo u oblast definisanosti i kodomena potpuno novih skupova. Recimo, ako koristimo simbol √ za R i √ za C, tada prilikom izjednačavanja nekih korena (poput "jednakosti 1=-1") može lako da dođe do pogrešnih zaključaka, zato što jer vrednosti funkcije neće delovati isto u tim skupovima i onda bismo za očuvanje jednakosti morali da stalno redefinisujemo nove funkcije i to sa istim simbolom √. Dakle u jednom slučaju bi imali jednu funkciju koja mapira iz R- u glavnu granu C(0), i koja se označava sa simbolom √, u drugom slučaju bismo opet imali simbol √ za označavanje funkcije koja mapira iz R- u sporednu granu C(1), u trećem slučaju bismo imali funkciju koja mapira iz R+ u R+ koja je standardno označena sa istim simbolom √, itd. Dakle, za različite kontekste, mi koristimo isti simbol √ kako bismo očuvali neke jednakosti. To je nedopustivo zato što jer pri očuvanju jednakosti moramo da promenimo oblasti definisanosti funkcija (odnosno pravila preslikavanja, jer drugim rečima, neće važiti f(ab)=f(a)f(b), već f(ab) će biti definisano kao proizvod ili količnik nekih drugih funkcija g(a) i h(b) recimo). Ako bismo simbol √ zadržali, onda se praktično ostavlja utisak kao da baratamo sa istom funkcijom, iako pri razdvajanju korena i računskim operacijama sa korenima dobijamo potpuno nove oblasti definisanosti koje moramo da definišemo. Ima puno primera sličnih grešaka u situacijama kada se isti simbol koristi za različite kontekste iz kojih mogu da se izvuku slične netačnosti, ali evo recimo, daćemo sledeće primere: To je kao da recimo imamo funkciju f, i da za neke različito definisane funkcije koristimo isti simbol f za različita preslikavanja. Problem sa izračunavanjem zbira √-4 + √-9 je potpuno sličan slučaj kao kada bismo imali izraz koji je zadat sa 6:2*3. U najformalnijem slučaju, ovaj poslednje navedeni izraz nije definisan i nema konačnu vrednost, zato što jer se ne zna da li je (6:2)*3, ili 6:(2*3), jer je formalno ovo moguće ravnopravno tumačiti, bez obzira na dogovorenu konvenciju. Dakle, u vezi korena upravo zato i dolazi do konfuzije, zato što jer se koristi isti simbol za različite kontekste definisanja funkcije. Kada bismo simbol √ prilagodili kontekstima i kada bismo ga uvek označavali u skladu sa kontekstom, onda ne bi bilo nikakvih problema da se odredi vrednost nekih zbirova poput gorenavedenog √-4+√-9. A ovako jednostavno izraz neće biti definisan u simboličkom smislu, zato što jer se ne zna šta ta notacija predstavlja. Potrebni su dodatni notacijski simboli da bismo isprecizirali značenje tog izraza, zato što jer taj izraz može da bude skup, može da bude funkcija 1, funkcija 2, itd. Matematika je apsolutno precizna nauka ako se precizno definiše, i jednostavno iz tih tvrdnji ne mogu nikakvi paradoksi da se izvuku, kao ni kontradikcije. Do paradoksa i kontradikcija dolazi kada se loše manipuliše odgovarajućim objektima i simbolikom, kao u ovom slučaju. Dakle, potrebno je korektno definisati objekte sa kojima baratamo, kao i da se utvrdi kriterijum da li govorimo o skupu, relaciji ili funkciji? Dakle, kada bismo postavili neke dodatne simboličke kriterijume, onda ne bismo imali nikakvih problema sa izračunavanjima, i jednakost bi pri manipulaciji sa nekim izrazima uvek ostajala očuvana. Do nejednakosti i zabune često dolazi zato što jer se koristi isti simbol za različite funkcije. Tu zapravo i leži ceo problem. Budući da hoćemo da definišemo zatvorenost operacije korenovanja u skupu C, onda bi simboliku morali u skladu sa time i da prilagodimo. Kada bi baratali samo sa skupom R, onda bi simbol √ možda i mogao nekako da se zadrži, ali zbog C formalistički ne bismo mogli tu oznaku da zadržimo, već bismo morali da je u potpunosti prilagodimo i pridružimo objektima u izrazu kako bi izraz dobio jasno definisan smisao. Na ovaj način, ako koren definišemo kao funkciju, onda u opštem slučaju neće važiti da je √ab=√a√b, pri čemu je u ovoj jednakosti funkcija √ za sve argumente ista. Ovu jednakost je lakše posmatrati funkcijski kao f(ab)=f(a)f(b) (nešto slično homomorfizmu). Ta jednakost u kojoj je funkcija √ ista za sve argumente će važiti samo u slučaju kada bismo imali √ definisan na R+ u R+, u ostalim slučajevima ćemo uvek dobiti različito definisane funkcije. Recimo, √(-1)*4 neće označavati istu funkciju za √-1 i √4, zato što jer √4 nije ista vrsta funkcije kao √-4 i √-1, zato što je √4 u C specijalan slučaj za b=0. Dakle kada definišemo funkciju sa leve strane jednakosti koja mapira skup u neki skup, tada to može da se razdvoji na dva korena ako i samo ako sve korenske funkcije iz jednakosti mapiraju iz R+ u R+, odnosno akko govorimo o standardnom korenu. U svim ostalim slučajevima, u jednakosti nećemo imati iste funkcije. Recimo, kada bismo imali √4=√(-1)(-4)=√-1√-4, tada ovde ne govorimo o istim funkcijama √ za sve argumente. Ali kada bismo imali √16=√4√4, tada govorimo o 3 iste funkcije √ za odgovarajuće argumente, zato što su argumenti svi pozitivni, pa možemo istu funkciju korena da zadržimo. Dakle prosto kada primenjujemo ovakve jednakosti, najpre moramo da razumemo kako definišemo naše funkcije korena, i to je ključ problema sa korenom. Zato što jer prosto u suprotnom možemo da mućkamo izraze kako želimo i da prelazimo iz jedne funkcije u drugu i da iz tih stvari dobijamo besmislice. Besmislice ne možemo da dobijemo ako tačno definišemo to pravilo i funkcije koje to pravilo prate. Recimo sada da imamo funkciju √1 koja mapira u pozitivno rešenje jednačine x²=1: 1=√1. Sada √1 raspišimo kao √(-1)(-1). Ako sada ovo želimo da razložimo na nova dva korena √-1 i √-1, imajmo na umu da smo sa leve strane imali pozitivan broj, i da smo sada ušli u svet kompleksnih brojeva, pri čemu imamo dva nova korena koji će imati neki imaginarni rezultat, u čijoj kombinaciji možemo da dobijemo -1 ili 1. Da bi dobili 1, sada pri ovom razlaganju moramo da naštimujemo ove dve različite funkcije kako bismo dobili 1 i kako bi se očuvala jednakost. U tom smislu, prvi član √-1 je jedna funkcija, a drugi član √-1 je druga funkcija, odnosno u prevodu naša jednakost je ista kao i jednakost f(a)=g(b)h(b), dakle govorimo o jednakim rezultatima, ali za različite argumente i funkcije. A potpuno nekorektno je da se piše f(a)=f(ab)=f(a)f(b), onda naravno da se dobija netačan rezultat, zato što jer dobijamo grananje u kompleksnim slučajevima. Drugim rečima, ne sme da se mulja sa izrazima dok se ne zna koje funkcije to predstavlja. Pri svakom koraku ako želimo da očuvamo jednakost moramo da štimujemo i definišemo nove funkcije. Drugim rečima, u opštem slučaju, ako su brojevi a,b kompleksni (pri čemu može da neki od njih bude realan), tada jednakost √ab=√a√b nije tačna. Osim R+ u R+ funkcija, jednakost navedenog tipa može da se postigne SAMO kada su sve tri funkcije različite ili kada su dve od tri funkcije jednake. Dakle drugim rečima, ako korene definišemo kao funkcije, onda sa navedenim jednakostima NE SMEMO DA MULJAMO (ili ako to želimo da radimo, onda moramo da definišemo nove simbole i nove funkcije da bi očuvali jednakost!) Primetimo da ovakvih problema nemamo sa skupovima, zato što jer se u skupovima ne teži za jednoznačnošću, pa je onda svejedno da li će parcijalni izrazi da budu jednaki, zato što jer će krajnji rezultat svakako uvek da bude skup: {4,-4}=√16=√(-4)(-4)=√-4*√-4={2i,-2i}*{2i,-2i}={4,-4}. Drugim rečima, kada korene definišemo kao skupove, tada bez straha možemo da primenjujemo gorenavedenu jednakost, zato što jer će se rezultat na kraju uvek kretati u okviru tog dvočlanog skupa. Na ovaj način se postiže jednakost bez straha, ali se gubi jednoznačnost. Kod korena kao funkcije, jednakost ne važi (upravo zbog različitih jednoznačnosti !), ali se definiše jednoznačnost. Dakle, baš iz tog razloga kod funkcija ne smemo tako lako primenjivati tu jednakost zato što jer imamo jednoznačnosti, a kod skupova to smemo da radimo u svako doba. Dakle poenta cele priče je da pre bilo kakvog primenjivanja gornjeg pravila, trebamo prvo da definišemo funkcije korena za sva tri argumenta. Ako su sva tri argumenta iste vrste, sve te tri funkcije biće isto definisane, ali ako nisu, dobićemo različito definisane funkcije zarad očuvanja jednakosti. To u praksi ovako funkcioniše. Posmatrajmo izraz √16=√-4*√-4, dakle očigledno imamo tri argumenta i posmatrajmo ovo najopštije moguće kao skupove: Tada je 1) √16={4,-4} 2) √-4={2i,-2i} 3) √-4={2i,-2i} Ono što funkcija radi je da svakom od ova tri korena pridruži jednoznačnu vrednost. Sada, ako korenu iz 16 pridružimo -4 (tj ako definišemo korenu funkciju koja izbacuje negativan rezultat), onda se pitamo koje rezultate trebamo da pridružimo korenima 2) i 3) da bi dobili taj rezultat ? I upravo ovaj proces štimovanja mi primenjujemo radi očuvanja jednakosti. Dakle kada veći koren razložimo na dve komponente, mi zapravo svakom od tih korena iz skupa kao najopštijeg rezultata pridružujemo jedinstven rezultat i postižemo balansiranje obe strane jednakosti. To je cela poenta priče. Pošto je koren funkcija, onda moramo ovako da selektujemo i da "nagađamo". Da je koren definisan kao skup, svakako ne bismo imali ovakvih problema, zato što jer će vrednosti nakon množenja uvek da ostanu u okviru tih skupova.

[@bjelicbogdan]

-6≠6

[@ivanz6368]

Matematika i nije nauka u strogom smislu bez obzira na egzaktnost. Zato se kaže prirodno - matematički fakultet, prirodne nauke i matematika...