[강연] 수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설 (1) _ by기하서 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 3강

2018 봄 카오스 강연 ㅣ 모든 것의 수數다 제3강 ㅣ
수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설 (1)
*연사: 기하서_연세대 수학과 교수
*패널: 김영원_서울대 수학과 교수
*사회: 이준엽_이화여대 수학과 교수
강연개요
오래전부터 사람들은 소수가 무한하다는 것을 알고 있었다. 1859년 리만은 리만제타함수의 어떤 가정을 하면 주어진 양의 실수보다 작은 소수의 개수가 얼마나 있는지 알 수 있다고 생각했다. 리만을 포함하여 많은 수학자들은 이 가정을 증명하려고 하였으나 모두 실패하였다. 이것이 수학 역사상 가장 유명한 난제인 리만가설이다.
패널토의
1. 리만가설과의 만남
* 김영원 교수님의 미니강연 '악마와 리만가설'
2. 리만가설은 왜 어려운가?
3. 외계지성체는 리만가설을 알까?
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[@2w051]

리만가설 쉽게 설명드리자면 정수론은 정수의 성질을 다루는 학문이죠 근데 정수 중에 음수는 자연수에 부호를 붙여서 표현할 수 있습니다. 또 자연수는 소수들로 이루어져있으므로 소수의 성질들을 파악한다면 정수의 성질을 파악하는 것이나 다름없습니다. 이만큼 정수론 수학자들에게 있어서 소수는 중요한 연구주제이고 그 규칙성이나 성질에 대해 알고 싶어하는 사람들이 많습니다. 그런데 소수는 얼핏봐선 그 패턴을 찾기 굉장히 힘듭니다. 아예 패턴이 존재하지 않아보이기도 하죠. 이런 와중에 가우스는 소수의 분포를 어림하는 소수정리를 발표하고, 오일러는 오직 소수로만 이루어진식이 원주율과 관련되어있다는 것을 알아내면서 소수가 어떤 규칙성을 가지는지는 모르지만 무언가와 연결고리가 있다는 것은 어림해볼 수 있게 됐습니다. 하지만 그 뒤로 수많은 수학자가 소수의 규칙을 찾아내려해도 번번히 실패하였고 이때 가우스의 제자 리만이 자연수 역수의 거듭제곱으로 이루어진 무한급수, 즉 오일러곱으로 알려진 소수로만 이루어진 식과 같은 함숫값을 가지는 식의 정의역을 자연수 실수가 아닌 복소수영역으로 확장시킵니다. 그니까 소수의 규칙을 직접적으로 구하기에는 아무런 규칙성이 안보이니 소수와 연결고리를 가지는 식을 변형시켜 그 식의 성질을 탐구함으로써 소수의 특징이나 특성등을 알아내겠다는 거에요. 그런데 이 리만이 다룬 무한급수로 정의된 식 '리만 제타 함수'는 무한이 사용되는 극한으로 정의가 된 식입니다. 그렇다보니까 함숫값이 무한대로 발산해버려서 정의가 안되는 영역이 생기는거에요. 리만 제타 함수의 그래프를 보신분들은 아시겠지만 이 정의가 안되는 영역이 너무나 칼같이 일직선으로 딱 잘려있습니다. 수학자가 아니더라도 본능적으로 이 그래프를 정의가 안되는 영역까지 확장시킬 수 있지 않을까? 싶은 생각이 들 정도로요. 하지만 아예 아무것도 없는 공간에 그래프를 그려 정의역을 확장시켜나가면 그게 무슨 의미가 있겠습니까 그냥 자기 맘대로 정의시켜버리면 되는거겠죠. 이때 리만은 복소영역에서 정의된 정칙함수의 해석적연속은 유일하다라는 사실을 기반으로 제타 함수의 정의역을 s = 1을 제외한 모든 복소수영역으로 확장시키는 것에 성공합니다. 위의 말을 엄밀하진 않지만 쉽게 설명드리자면 정의역 내 모든 점에서 부드럽게 연결되는 함수의 정의역을 확장시킬 때는 그 새롭게 확장된 영역에서도 그래프가 부드럽게, 뾰족하거나 끊기는 점이 없이 연결돼야한다는 거에요. 사실 이 설명을 들어도 어떤분은 이렇게 생각하실거에요 "아니 애초에 정의가 안되던 부분인데 그렇게 정의역을 늘린다해서 그 부분이 무한급수에 대해 어떤 의미를 가지는거지?" 이 의문에 대한 제 생각을 이렇습니다. 무한급수로 정의된 영역은 우리가 찾고자하는 함수의 '일부분'일 뿐이고 극한으로 정의된 함수이니 만큼 정의역의 조건에 따라 극한이 수렴하는 정도로 달라지면서 정의역에 제한이 걸리면 그 함수의 원형을 잃어버리게 되는거라고 쉽게 말씀드리면 우리가 찾고자하는 그래프를 원형 함수라고 생각했을 때 이 함수는 당연히 단순한 무한급수로만 이루어져있지 않겠죠? 그런데 극한으로 정의된 함수이다보니까 정의역이 제한되면 제한될 수록 점점 더 0으로 수렴해서 함수식 자체에서 사라지는 항들이 많아지는 겁니다 결국 사라질대로 사라지고 마지막으로 우리가 아는 가장 간단한 무한급수 꼴만 남게 되는 원리인 것이고 우리가 아는건 무한급수 뿐이니 이 무한급수 꼴에서 복소함수의 성질을 이용해 다시 역으로 원래 함수가 어떤 형태를 띄고 있을까 찾아나가는 것이라 보면 됩니다. 쨋든 소수의 규칙을 탐구하려고 우회해서 만든 함수를 복소수 영역으로 확장시키고 나니까 소수에 대한 중요한 정보들을 담고 있다는걸 리만은 발견합니다. 리만 제타 함수는 자연수 역수의 제곱들의 무한합으로 나타난 식이지만 소수들의 무한곱으로도 표현할 수 있으므로 이 식을 변형하여 '멜린 역변환'이라는 적분연산을 시행해주면 소수 계량 함수(소수의 개수를 세는 함수)와 밀접하게 연관된 식을 구할 수도 있구요. 이를 이용하여 어떤 적절한 가정만 세워주면 소수정리가 참이라는 것도 증명할 수 있게 됩니다. 소수 계량 함수 식 자체에서 리만 제타 함수의 영점들은 굉장히 중요한 역할들을 하는데요. 영점이란 함숫값이 0이 되는 지점을 뜻하는데 f(s) = 0일 때 이 s값을 말하는 겁니다. 그런데 리만이 이 리만 제타 함수의 영점들을 막 계산하다보니까 그 영점들이 모두 복소평면 상에서 일직선 위에 위치해 있는 거에요. 복소평면 상에 어떤 수들이 일직선으로 나열돼있다는 것은 복소수에서 실수부 또는 허수부가 일정하게 유지가 된다라는 건데 리만은 처음 이 영점들을 4개 계산했을 때 모두 일직선 위에 있는 것을 보고 나머지 영점들도 다 그럴 것이다 라고 추측을 했고 이것이 바로 위에서 말한 소수정리를 증명하기 위한 적절한 가정이자 리만가설이라 불리 우는 세계에서 가장 어려운 수학 난제가 되겠습니다. 아무런 규칙이 없어보이던 소수의 성질을 탐구하기 위해 소수만을 이용해 함수를 정의하고 복소평면으로 확장시키니 이런 규칙성이 발견된 것을 보고 수학자들은 상당한 충격을 받았고 이 영점들의 성질이 소수의 성질과 밀접하게 연관되있다는 것을 깨닫고 제타 함수의 영점에 관한 많은 연구가 이루어졌지만 아직까지도 그 베일이 거의 벗겨지지 않은 상태라고 보시면 됩니다. 제타 함수의 영점들이 일직선 위에 있는 것과는 별개로 영점들이 출현하는 분포와 양자역학에서의 에너지 분포가 상당한 유사성을 보이는데 이로써 리만 제타 함수가 우주의 비밀과도 연관이 있을거라는 그런 추측도 나오고 있는 상황입니다.

[@Oldman5555]

닉부터 수학천재

[@user-eo7fy5ur2g]

7:20 골드바흐의 강한추측은 증명이 된게 아닌가요?

[@user-dl9zg1fj1t]

약한추측만 증명되었습니다

[@user-rax146]

기하서 교수님이 98년도에 오셨군. 그때 수업 들었던거 같은데.

[@user-nj9td7il2u]

6:40초 시작..

[@gykim4373]

진짜 멋있다......

[@user-mu5st8yv6u]

5:33 부터

[@user-ox9fg8wd9j]

The king of all is Nature~~~

[@kimjihan7009]

정말 큰 도움이 되었습니다.

[@junghochul]

슈카형 때문에 이걸 보네 ㅋㅋ

[@parkjinsuify]

이미 리만가설은 정설로 받아드려지고있습니다. 공학쪽에서 리만가설을 이용한다면 이용이 가능하지만, 수학쪽에서는 단하나의 오차도 남기지 말아야하기때문에, 증명하는게 매우 어렵다고합니다. 아무리 많은 소수가 리만가설을 만족한다고 하지만 이 수가 무한으로 확장될 때 성립한다는 보장은 없으니까요.

[@노시훈-u4y]

이분이 17 수능 가형 30번을 출제하신 수학자아신가요? 성지순례하고 갑니다. 물론 강연 내용은 전혀 따라가지 못했습니다.

[@smy2436]

181130과 함께 올타임 레전드 문제

[@eleall5295]

@@smy2436 171130의 깔끔한 뒷맛은 그 어떤 기출문제와 비견이 불가하다고 생각합니다

[@user-sd6mi9vo9d]

그 문제 낸 적 없습니다... 기하서 교수님은 2005학년도 9월 물리량 문제 출제하셨어요

[@JJangtayc1112]

5:36

[@user-rax146]

댓글이 하도 불만이 많아 영상을 다 봤는데 뭐가 불만인지 모르겠네. 이해하기 어려운 수학적 세부사항을 이야기하는것도 아닌데. 아무 생각도안해도 이해한다고 착각하는 학원식 강의를 원한건가? 대중이 이해하는 수학이라. 대중을 어디까지로 볼것인가? 충분히 대중적이라 생각하는데. 아 그럼 2편에 문제가 있는 것인가?

[@1iz1]

나도 직접 보고싶다..ㅠ

[@jinhanyoon4431]

바쁘신 분들은 15:03 부터

[@user-jq1mx3dz2k]

사람들이 착각하는데 교수는 강사가 아님 ㅋㅋㅋㅋ

[@user-nk3yu5px1c]

교수는 강사임

[@user-sw3ik4xd4f]

@@user-nk3yu5px1c 대학 안가본 티 내지말고 모르면 제 발 닥치셈

[@user-ri1vp2pp5f]

ㄹㅇ 교수는 연구직임 가르키는게아니라

[@나묵]

@@user-sw3ik4xd4f 교수는 공부를 젛아하는 분들이져 강사는 고등수학 알려주는 사람들이 강사죠

[@user-sx4ct2nn9f]

대수적 해석적 정수론 조화함수론 복소함수론 대수기하도 모르는 일반적 불편러들이 이해하기엔 다소 난이도 있는 문제죠. 강연 목적이 일반적 고등학교 수준의 지식을 가진 사람한테 이해를 바란다고 느꼈다면 그게 이상한거에요^^

[@user-eh9tw4rc6y]

그 어떤 뛰어난 수학자도 아직까지 못푼 세계최대 난제중 하나인데 고등학교 수준따위로 이해하려는것 자체가 매우 건방지다고 생각합니다 그런분들이 많이 보이네요ㅋㅋ

[@inj4163]

전 고1인데 리만가설에 관심이 생겨서요. 뭐를 기본적으로 알아야 할까요? 너구리구리 님이 말하신 것을 일단 유투브로 보면 되려나요?

[@user-ov4ht4qx4h]

@@inj4163 존 더비셔가 쓴 리만가설 책 사서 읽어보세요 괜찮음

[@kisungyou6505]

으악 내 복소해석학 ㅠㅠ

[@yaanggenie]

백분입니다 수능

[@kunhyungtwicebamm2860]

492의 의미를 아는 자 중에 그놈이 있음.

[@kunhyungtwicebamm2860]

봤거나 못봤거나 역원리일 뿐임.

[@user-is5vu2rz5p]

진짜소수만 찾는 방법은 없을까? 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 6 9 12 15 18 5 10 15 20 처럼 짝수 배수를 쓰면 중복되는데 짝수 팩토리얼로 하면 2 4 8 16 32 6 12 24 10 20 14 28 처럼 중복된수를 모두 빼고 단하나도 같지않은 짝수에서 짝수 팩토리얼/2하면 각각에 숫자가 겹치거나 중복되지않고 단한번에 소수값을 찻을수 있는것 같다

[@혁-m9c]

리만가설증명..오늘

[@docruelee5714]

는 실패..ㅠ

[@user-rd8os7xs2t]

페터숄체 저분 결국 필즈상 받았네요

[@user-qr5ze7tr8k]

우리가쓰는 수체계론 설명이 불가능한게 한두개가아니지

[@user-vi7iy9kt7n]

연대의 자랑

[@노시훈-u4y]

크으 독수리 최고 아웃풋

[@user-oe9sg5rn5v]

연대 최고 아웃풋 독수리임

[@이승윤-b4i]

이름마저도 '기하'구나 수학할 팔자

[@MetaOptimizer]

이해가능한 문장: 503이 소수군요

[@mabins949]

일반인분은 kzbin.info/www/bejne/l4baio2JfsyLpbs

[@acute3811]

2배속으로 봐 봤는데 재미 말고는 남는게 없군요. 말 잘하고 영상 까리하게만 만들어서 대강 알려주는 방식으로는 누가 수학에 관심을 가질 지 잘 모르겠습니다(순간적으로 지적 쾌감을 누릴지 몰라도). 수학에서 가장 중요한 건 지식이 아니라 사고방식인데 지식만 알려고 하고 자신과 다른 사고방식을 갖고 있는 수학자를 이해하지 못할 거면 무엇 때문에 직접 만나서 강연을 듣겠어요.

[@dannn0812]

Acute 재미가 남았다는 게 중요합니다. 저분들은 물론 지식도 전달해주시지만, 무엇보다 과학의 재미를 잊고 살아가는 일반인들에게 그 재미를 알려주는 것을 주 목적으로 영상을 제작하실 겁니다. 대강 알려주는 방식으로 누가 관심을 가질지 모르겠다고 하셨는데, '리만 가설' 은 전 세계에도 수식적으로 깊게 설명해줄 사람이 없을 뿐만 아니라, 가령 설명을 해준다 한 들, 그게 일반인들이 과학에 관심을 갖게 만들까요, 아니면 오히려 과학의 난해함에 기피하게 될까요? 정답은 본인이 하신 말에 있습니다.

[@user-fw9br2ns4w]

아니 리만가설 보러 왔는데 왜이리 잡소리가 기냐 ㅡㅡ

[@elliotg7749]

리만가설을 직관적으로 동전의 앞(1), 뒤(0)가 나올 확률은 1/2 이다 라고 이해하면 맞는 걸까요?

[@user-vv2gk2gc9o]

롸?

[@user-ds5pc3nb1w]

대중강연임을 명심하시지요.. 그리고 대학 강의가 아니라 짧은 시간에 하는 강의이기에 주제로 직접들어가서 핵심을 전달하는 능력 필요해보입니다..

[@pwnxkcco1349]

우진 충분히 맞는 말인데 왜 그러시죠..

[@user-vo5vv8fu9t]

@@pwnxkcco1349 저게 맞는말이라구요? 애시당초 리만가설이라는건 대중이 이해할수 있는 범위의 수학체계를 넘은 이론인데 그걸 간단하게 이해시켜라? 사실 그건 거의 불가능에 가깝죠 미적분학도 겨우 이해하는 일반인들이 리만제타 함수가 뭔지만 알아도 이미 수준급인겁니다 예시를 들어보자면 당신의 유치원생 자녀에게 간단하게 미적분이 뭔지 알려주고 함수에.대한 기본적인 지식을 알려줌에 초첨을 둔 강의라고 보는게 맞습니다. 이조차도 유치원생에게 기본적인 미적분에 대한 극한의 내용을 알려줄때 알려주어야할 내용은 상당히 많은양에 속하듯 이 강의도 그러합니다 한마디로 강의 초반에도 말햇듯이 리만가설이 뭔지만 알아도 그게 끝입니다 더파고들 능력이 없어요 대중들은

[@user-un5gw1yv5w]

맞는말이지만 리만가설이 밀레니엄이라는걸보면 쉽게설명한게저거아닐까요

[@ililiiilll2042]

자기 배경지식이 부족한걸 남탓을 해버리네,,

[@손바닥대]

리만가설의 오차는 중력 가속도에서 떨어지는 물체와 받아들이는 맨땅의 최종간격이 소수여서 두지점에서 교차하는 충격파가 강해질수록 야 기분좋다^^

[@user-if7jr2ny5c]

소수는 수학적으로 설명할수 없습니다..수학적뿐 아니라 물리적 화학적 기타학문의 공통성이 나오게 되는 원초적 시점인데 쉽게말해 우주원리죠..

[@user-tr2ss4fg3h]

파닥 전형적인 패션이과 시이비

[@gwangyounglee3157]

지랄좀 하지마라 진짜

[@user-mo4op4kw9d]

너 미분도 못하잖아;;

[@user-lr2kw3cl1j]

15세기 이전이라면 이 분은 지구가 평면임을 의심하는 사람에게 하나님이 말씀하시는 성경에 나오는 원초적 시점인데 라고 말하셨겠다는 상상이 되는게 참 흥미롭네요 원초적이라는 것을 어떻게 정의하시나요?

[@user-if7jr2ny5c]

@@user-lr2kw3cl1j 정의를못하는게 인간임

[@user-dw4xq5jg4k]

이분은 이거 할 시간에 리만가설 증명에 열중하시는게 나을듯합니다. 자료준비하시느라 쓴 시간아 아깝게 느껴짐. 각자 잘하는걸 하는게...

[@user-nk3kv9fw1w]

소수를 실제로 100억개를 구해보았더니 10101400000번째의 소수가 248169949981이었습니다. 이말은 x/log(x)로 구한값과 약 6.8% 오차가 있다는 의미로서 위에서 말한 x/log(x)로 추정한 값이 틀렸다는것을 의미합니다.

[@user-ic3gp6xp6m]

경향성이 그렇다는거지 정확한 값이아닌거 아시잖아요;;

[@user-jg5vz3lo3l]

x를 무한으로 보내면 오차는 0에 수렴합니다

[@imuhoo]

장동건이 보인다

[@daesungkim9010]

우리나라에 유명한 수학자나 저런 난제를 푸는 수학자나 학자가 안 나오는 이유 대학교수가 되거나 연구원이 되는 순간 그의 머리 속에는 오늘 저녁은 뭘 먹고 휴가 때는 어딜갈까 차는 뭘로 바꿀까를 고민하기 때문이지 한마디로 학문의 의의를 두기보단 그냥 월급루팡이 되자는 사람이 이 나라엔 너무나도 많다

[@bishstar5185]

어느 나라나 존재합니다.. 우리나라만 많다고 주장하는 건 어디서 나온 근거인지 ㅡ,.ㅡ

[@gjwqak6609]

그런 생각을 하며 사는듯.

[@user-rl2qp2pv1e]

우리나라에 학문에 뜻을 둔 사람이 적다라고 보는게 맞습니다

[@user-on5zm2jm4i]

물리학이나 수학과 가보시긴 하셨는지 궁금하네요. 열정 넘치고 열심히 하시는 교수님들 많습니다 ㅎㅎ 원래 아는만큼 보인다죠

[@user-qy7np8us1g]

좌파네 ㅋ

[@user-ke9yh7ix7q]

현학적 허세 극혐