Geränderte Hessematrix | Beispiele zu ALLEN Fällen

[@MathePeter]

KORREKTUR: Die Geränderte Hessematrix in 15:00 hat in Spalte 4/Zeile 2 und somit auch in Spalte 2/Spalte 4 keine Nullen, sondern jeweils eine -4 stehen. Die Determinante der geränderten Hessematrix ist damit nicht Null, sondern -256. Der Punkt (2,2,0) ist also ganz klar ein lokales Maximum. Ein schönes Gegenbeispiel wären die beiden kritischen Punkte (0,0,±2) der selben Aufgabe. Das Kriterium aus dem Video versagt, weil sich keine zugehörigen Lambdas und somit keine Hesse- oder geränderte Hessematrix berechnen lassen. Die Art der kritischen Punkte können dann nur noch mit der Quadratischen Form bestimmt werden ( kzbin.info/www/bejne/hn7XgWSnfblrr8k ).

[@peterlustig9299]

Hallo Peter, Extremst hilfreiches Video! Eines ist mir allerding noch immer unklar, wie berechnet man die beiden benötigten Lamdas?

[@MathePeter]

Dafür einfach die Lagrangefunktion aufstellen, nach einer der Variablen ableiten und den Lösungspunkt dort einsetzen. Es bleibt nur noch eine Gleichung mit Lambda über, nach dem man umstellen kann.

[@cryptvortex2882]

​@@MathePeter hallo Peter, leider ist mir noch nicht klar, wie ich auf diese Lambdas komme. Ich nehme mal Aufgabe 1 als Beispiel: Die Lagrangefunktion wurde aufgestellt und nach jeder Variablen abgeleitet. Nun setze ich den Lösungspunkt P1(0,1) in Lx=-2xλ=0. Hier kann ich nun x=0 einsetzen, kein Problem, y gibts halt nicht. Aber wie soll ich nun Lx=2*0*λ=0 nach λ umstellen, ohne etwas anderes als 0 zu erhalten? Ly kann ich umstellen und erhalte λ=-2/2*y, was man nochmal vereinfachen kann zu -1*1/y. Setze ich hier mein y=-1 aus P2 ein, dann erhalte ich 1, wie du auch geschrieben hast. Setze ich hier das y aus P1 ein, erhalte ich -1, wie du geschrieben hast? Zuerst habe ich gedacht jede Ableitung gibt ein spezifisches Lambda, aber woher weiß ich welche Ableitung mir das Lambda für welchen Punkt liefert? Bei Beispiel 2 komme ich auf -1, wenn ich Lx nach λ umstelle, und auf -4 wenn ich Ly nach λ umstelle, sowie -25, wenn ich Lz umstelle. Doch woher weiß ich, dann gerade Lz mir das Lambda für P5,6 liefert? bzw. Ly für P3,4 und Lz für P1,2? Es wäre sehr wenn, wenn du das Vorgehen ein wenig näher erläutern könntest. 1000 Dank und lg pS: Bsp 2 ist ziemlich ekelhaft mit der Determinantenmethode zu lösen oder?

[@Dennis-ku6ol]

Super Video, nur mit Script hätte man es niemals verstanden. Sehr hilfreich wenn jemand Mathematik "vorliest" und an Beispielen erklärt.

[@Djayy2023]

Schaue es mir gerade noch einmal an und denke mir nur, wie kannst du das alles nur so gut erklären?! Bitte werde Proffesor :D

[@MathePeter]

Haha danke dir! Würd ich machen 😄

[@PhilippSelig]

Hallo Peter, bei 15:00 warum kommt bei der geränderten Hessematrix 2. Zeile/4. Spalte 0 raus? Sollte da nicht -4 stehen, wenn man den Punkt (2,2,0) einsetzt? Analog 4. Zeile/2.Spalte

[@MathePeter]

Ja du hast Recht! Ich schreibe die Korrektur in die Videobeschreibung. Vielen Dank für deinen Einsatz!! :)

[@updatedotexe]

Eine Sache verstehe ich nicht: In deinem Video kzbin.info/www/bejne/goW8m5upmNOWjKs sagst du bei 4:40, dass wenn die Eigenwerte positiv und negativ sind, die Matrix indefinit ist. Und in dem Video steht auf der Tafel auch, dass aus "indefinit" => "Sattelpunkt" folgt. Aber in diesem Video hier über die geränderte Hessematrix sagst du bei 2:05 zwar auch, dass aus positiv und negativ auf der Hauptdiagonale einer Diagonalmatrix (also den Eigenwerten) Indefinitheit folgt, aber hier sagst du, dass man dann nicht sagen kann, ob es Max, Min oder SP ist. Wie denn nun?

[@MathePeter]

Genau wie du es sagst. Hessematrix indefinit -> Sattelpunkt. Geränderte Hessematrix indefinit -> keine Aussage.

[@updatedotexe]

@@MathePeter Ah okay. Perfekt :D

[@Djayy2023]

Wie wendet man die geränderte Hessematrix bei der Determinanten Methode an, um das Extrema zu bestimmen? PS; deine videos sind göttlich :D

[@MathePeter]

Leider ist die Determinantenmethode nur gut, um den kritischen Punkt zu bestimmen, nicht für die Art des Extremums. Es gibt mehrere Möglichkeiten die Art zu bestimmen. Wenn z.B. die Nebenbedingung eine kompakte (=abgeschlossene+beschränkte) Menge ist, wie z.B. ein Kreis, dann muss ma gar nichts weiter rechnen. Dann sagt der Satz von Weierstraß, dass es ein globales Min und ein globales Max geben muss, also einfach nur die Funktionswerte vergleichen. Andernfalls kommst du um die Lagrangefunktion leider nicht drum herum.

[@Djayy2023]

@@MathePeter Alles klar, vielen herzlichen Dank fü die schnelle und ausführliche Antwort. Dann werde ich einfach die Determinanten Methode mit der normalen Lagrange zsm. benutzen. :D

[@MathePeter]

So mach ichs auch haha

[@updatedotexe]

@@MathePeter Vielleicht meinte er mit "Determinantenmethode" nicht die Methode, mit der man die Extrema berechnet, sondern son anderes Ding, was ich gestern in einem Skript gesehen habe, welche die Art angibt. Aber diese andere "Determinantenmethode" ist nur ein herunter gebrochener Fall der geränderten Hessematrix für den Fall mit x, y Variablen und einer Nebenbedingung: - man skipt Schritt 1 (Prüfen über Definitheit der einfachen Hessematrix) - macht einfach gleich die geränderte 3x3 Hessematrix -> Da man in dem konkreten Fall ja nur den 3. Hauptminor braucht, der ja nix anderes als die Determinante der Matrix ist, berechnet man diese - Prüfen: k = 1 ungerade: - - - - MIN n = 2 gerade: - + - + MAX Der dritte Hauptminor ist der letzte -> Vergleichen mit letztem Vorzeichen der beiden Dinger da Dritter Hauptminor = Determinante der (Geränderten Hesse-) Matrix > 0 also positiv, also + => MAX / HP negativ => MIN / TP = 0 => SP Ich glaube so ging das.

[@svenmartin1489]

Ich weiß nicht ob nach so langer Zeit noch antwortet. Beim letzten Beispiel erhalte ich beim Umstellen von Ly für Lambda 2 eine 1 und beim Umstellen von Lz für Lambda 1 eine -1 und nicht -3/2. Welchen Fehler mache ich hier?

[@MathePeter]

Beim letzten Beispiel hab ich nur den einen Lösungspunkt P7(2,2,0) herausgegriffen. Für diesen speziellen Punkt kannst du nicht Lz nach lambda 1 umstellen, weil ja z=0 ist und dort einfach nur "0=0" steht. Also musst du dein x=2 und lambda2=1 in die erste Gleichung Lx einsetzen und nach lambda1 umstellen. Dann bekommst du -3/2 raus.

[@svenmartin1489]

@@MathePeter Vielen Dank! Ich beschäftige mich rein Hobby-mäßig mit Mathematik, um den Geist etwas fit zu halten. Deine Vidoes sind echt toll und ich finde es großartig, wie Du die Leute auch noch weiter unterstützt. Dicker Daum nach oben!

[@youssefhafez7159]

Ich hätte einige Fragen bezüglich der 2x2 Hessematrix. Frage 1: Die Indefinitheit meiner Hessematrix impliziert nichts konkretes bei Lagrange-Funktionen, aber bei gewöhnlicher Extremwertberechnung von f(x,y) Funktionen (ohne Nebenbedingung) impliziert die Indefinitheit der Hessematrix einen Sattelpunkt? Frage 2: Wann liegt ein Sattelpunkt im Falle von n=2 und k=1 vor? Frage 3: Was passiert wenn die geränderte Hessematrix eine Determinante =0 aufweist?

[@MathePeter]

Frage 1: Ja. Frage 2: Im Falle der Indefinitheit der geränderten Hessematrix musst du lokale Untersuchungen in dem Punkt anstellen. Dafür gibts kein allgemeines Schema, soweit ich weiß. Du musst es individuell bei jeder Aufgabe unterschiedlich untersuchen. Frage 3: Ist die Determinante der geränderten Hessematrix gleich Null, ist keine allgemeine Aussage möglich.

[@marvinkiel1842]

Hi Peter, wo kann ich das am Ende erwähnte Video finden? (Definitheit der quadr. Form)

[@MathePeter]

Das ist gleich das nächste Video: kzbin.info/www/bejne/hn7XgWSnfblrr8k Damit solltest du jetzt jeden kritischen Punkt aus Lagrangeaufgaben auf seine Art untersuchen können :)

[@patrickjoos577]

bei 13:50 sagst du was zu dem Punkt P = (2,2,0) dieser ist aber gar kein Kritischer Punkt Peter. Ich hab folgende Kritische Punkte erhalten: P1 = ( sqrt(2+sqrt(3)), sqrt(2+sqrt(3)), sqrt(2+sqrt(3)) P2= (sqrt(2+sqrt(3)),-sqrt(2+sqrt(3)), sqrt(2+sqrt(3)) P3 = (-sqrt(2+sqrt(3)),sqrt(2+sqrt(3)),-sqrt(2+sqrt(3)) P4= (-sqrt(2+sqrt(3)),-sqrt(2+sqrt(3)),-sqrt(2+sqrt(3)) P5 = (sqrt(2-sqrt(3)), sqrt(2-sqrt(3)), sqrt(2-sqrt(3)) P6= (sqrt(2-sqrt(3)),-sqrt(2-sqrt(3)),sqrt(2-sqrt(3)) P7=(-sqrt(2-sqrt(3)),sqrt(2-sqrt(3)), -sqrt(2-sqrt(3)) P8 =(-sqrt(2-sqrt(3)),-sqrt(2-sqrt(3)), -sqrt(2-sqrt(3)) P9 = (0,0,2) P10 = (0,0,-2) Nach langem Lösen des Nichtlinearen GS hab ich diese 10 Kritischen Punkt erhalten...Rausfinden welcher Punkt was ist tu ich mir jetzt bei den 10 Punkten mit Wurzeln inklusive nicht an aber ich würde gerne mal wissen ob das wirklich die 10 Kritischen Lösungspunkte sind?!?! Weil du hast ja einen Punkte (2,2,0) welcher bei mir gar nicht vorhanden ist. LG

[@MathePeter]

Das ist ein Beispiel aus dem Gelben Rechenbuch 2, S. 116 (Peter Furlan). Die zehn kritischen Punkte sind (1,1,±sqrt(3)), (1,-1,±sqrt(3)), (0,0,±2), (±2,±2,0), (±2,-+2,0). Überprüfe noch mal deine Rechnung.

[@patrickjoos577]

Hi Peter, ich bekomme für die 6 kritischen Punkte auch 6 verschieden Lambda-Werte. für P1 (0,0,10) resultiert Lambda = -25 für P2 =(0,0,-10) resultiert Lambda = 25 für P3 =(0,10,0) resultiert Lambda = -4 für P4 =(0,-10,0) resultiert Lambda = 4 für P5 = (10,0,0) resultiert Lambda = -1 für P6= (-10,0,0) resultiert Lambda =1 Stimmt das? Ich bekomme dann 6 verschieden Hesse - Matrizen heraus die ich dann auf Definitheit zu überprüfen versuche. für P1 erhalte ich einen Eigenwert 0 also keine Aussage zur Definitheit => Geränderte Hesse-Matrix aufstellen für P2 z.B. erhalte ich nur positive Eigenwerte (alle Werte auf Hauptdiagonale >0) woraus resultiert dass die H (P2) = positiv definit ist => Lokales Minimum in P2 für P3 erhalte ich einen Eigenwert 0 also keine Aussage zur Definitheit => Geränderte Hesse-Matrix aufstellen für P4 erhalte ich wieder nur positive Eigenwerte => H(P4) positiv definit => lokales Minimum in P4 für P5 erhalte ich einen EW 0 also keine Aussage = > Geränderte Hesse-Matrix aufstellen und für P6 erhalte ich wieder nur positive EW => H(P6) ist positiv definit => Lokales Minimum in P6 hab ich das richtig gemacht oder warum hast du diese Ergebnisse nicht raus? Wo liegen die Fehler? Bitte um Rückmeldung diesbezüglich wäre echt hilfreich.. LG und danke für die lehrreichen Videos!

[@MathePeter]

Wie kommst du auf die verschiedenen Vorzeichen? Mal einfach gesagt: Da die x,y,z-Werte ungleich Null sind, kannst du ja durch sie teilen. Sie fallen weg, unabhängig von ihrem Vorzeichen. Die lambdas können keine unterschiedlichen Vorzeichen haben.

[@johanxhoga9365]

Zum ersten Beispiel: Die Hessematrizen der Lagrange´schen Funktion sind indefinit und deswegen Sattelpunkte. Warum ist das nicht Lösung? Danke!

[@MathePeter]

Wenn die geränderte Hessematrix der Lagrange Funktion indefinit ist, kannst du nicht auf einen Sattelpunkt schließen. Das Kriterium kannst du nur bei der normalen Hessematrix bei Funktionen ohne Nebenbedingungen nutzen.

[@darkeagle553]

Wo setzt du denn immer die Punkte ein um auf die Lamda Werte für die Matrix zu bekommen? Hier im Video scheinbar in die jeweilige partielle Ableitung. In diesem Video kzbin.info/www/bejne/iJ_Pi2ChrLp_Z6c setzt du sie aber in die Ausgangsfunktion f(x,y) ein. Welche soll man nun nehmen? Zudem stellt sich die Frage, wie das berechnen von Lamda geht wenn nicht einer der beiden x oder y Werte des krit. Punktes 0 ist. Weil dann kann ich nicht einfach so in die partiellen Ableitungen einsetzten weil ja einer der beiden Werte fehlt. Im verlinkten Video hast du natürlich da auch in die Anfangsfunktion eingesetzt um auf diese Werte zu kommen.

[@MathePeter]

In dem verlinkten Video habe ich die lambda Werte nicht berechnet, sondern nur die Funktionswerte. Also aus der Ausgangsfunktion. Wenn du die lambda-Werte bestimmen willst, musst du deinen kritischen Punkt in die partiellen Ableitungen einsetzen. Meist reicht eine der beiden aus. Wenn einmal x oder y nicht vorkommt, dann hast du es noch einfacher, weil es dann dort nichts zum Einsetzen gibt. Nur Einsetzen, wo auch was steht.

[@BlazingTyphlosion]

| 0 0 -2 | | 0 2 0 | | 2 0 -2 | Mal eine Frage zu dieser Matrix: Mann kann ja wegen der oberen Reihe | 0 0 -2 | die kleiner Determinante ausrechnen und dann * (-2) von der oberen Reihe rechnen. Wenn man sich links die Spalte anschaut steht ja | 0 | | 0 | | 2 | dran. Kann man da dann die Determinante oben rechts, also von | 0 -2 | | 2 0 | berechnen und mit 2 multiplizieren? An sich kommt ja das selbe raus: (1): (-2) * [(0*0) - (2*2)] = (-2) * [0 - 4] = (-2) * (-4) = 8 und (2): 2 * [(0*0) - ((-2)*2)] = 2 * [0 - (-4)] = 2 * [0+4] = 2 * 4 = 8# Also (1) = (2) = 8 Geht das auch? Oder war das hier Zufall?

[@MathePeter]

Jas das geht, das ist der Entwicklungssatz von Laplace :)

[@BlazingTyphlosion]

@@MathePeter Danke dir. Dank deiner Videos habe ich es endlich geschafft und meine letzte Prüfung bestanden. 😁

[@MathePeter]

Sehr stark!! Hoffe du kannst den Kanal weiter empfehlen, damit auch die Studierenden nach dir ihre Prüfungen entspannt packen! :)

[@muli8282]

Du schließt ja immer von einer Nullzeile bzw -spalte auf eine Determinante von 0. Das heißt eines von beidem würde ausreichen, um das sagen zu können? Wenn ich also nur eine Nullzeile habe, ist die Determinante immer 0? Und gilt das für alle möglichen Dimensionen von Matrizen?

[@MathePeter]

Ja

[@muli8282]

@@MathePeter Dankeschön!

[@wolfkinic2062]

Was ist denn wenn ich schon mit den Rand erweitert habe, es keine Diagonalmatrix ist und meine Determinante immernoch Null ist, bei einer 3x3 Matrix (also wo mein H3 dasselbe ist wie die Determinante und ich keinen zweiten Hauptminor habe)? Hab ich dann n Sattelpunkt oder kann man das dann einfach nicht bestimmen? Danke im Voraus :)

[@MathePeter]

Soweit ich weiß, liefert das Kriterium dann keine Aussage. In dem Fall würde ich es weiter mit der quadratischen Form versuchen, bei der du lediglich die Vektoren betrachtest, die tangential zu den Gradienten der Nebenbedingungen stehen: kzbin.info/www/bejne/hn7XgWSnfblrr8k

[@wolfkinic2062]

MathePeter Alles klar, vielen Dank. Dann probier ich das mal aus.

[@t_bone1406]

hallo, wie kommt man auf die lambda werte -1 und 1? gleich am anfang des viedeos

[@MathePeter]

Setze die kritische Punkte in die Ly Gleichung ein und stelle nach lambda um.

[@t_bone1406]

@@MathePeter danke für die rasche Antwort, habe morgen Prüfung^^. Dein Kanal ist übrigens mega!

[@MathePeter]

Danke dir! Und viel Erfolg, schreib mal, wie es gelaufen ist!! :)

[@t_bone1406]

Hab die Prüfung bestanden. Ohne deine Videos hätte ich es nicht gepackt. Hast du vlt ein Spendenkonto?😅😅

[@simsimshow1378]

@@MathePeter Wieso genau in die Ly Gleichung? LG