공학수학(1) [13강] 2계ODE - 론스키안 (Wronskian), 해의 독립 판단 (2023년 Ver.)

[@ODE_PDE]

19:37에서 y'=lnx 라고 적었는데 lnx는 1/x를 적분한 결과이고 우리는 미분을 해야하기 때문에 -(1/x^2)이 맞습니다. 그래서 W를 구해보면 -2/x 가 나와서 항상 0이 아니므로 W은 0이 아닙니다. 따라서 y1과 y2 는 독립입니다.

[@이지연-l6w]

후원 기능 좀 열어주세요 제발

[@이민규-v6k]

강의가 너무 깔끔해서 좋아요!

[@재와니의취미생활]

Linear algebra도 해주시면 너무 좋았을 것 같은데 시간이 안 나시나 보네요 ㅠㅠ 지금 강의 찍으셔도 1학기만에 다 끝내서 들을 수가 없어 저는 괜찮지만 선대가 뭔가 정리되지 않아 머릿속에 나뒹구는 느낌이 많아요. 그런데 미방은 영상 보고 너무 깔끔히 정리돼서 정말 좋습니다!

[@lister731]

안녕하세요 항살 잘 보고 있습니다!! 올려주신 2계 ODE 풀이들이 많은 도움 되었습니다. 이후 문제들도 해설 기다리겠습니다. 교수님 진도가 너무 빨라요ㅠㅠ

[@짱물리]

방정식의 해가 독립이 되어야 하는 근본적인 이유가 무엇인가요?

[@appearhigh8326]

18:05 항상 0이 아니라는 보장이 없으므로 론스키안 값이 0이 될 수 있으니 종속 아닌가요? 좋은 강의 항상 감사드립니다

[@ODE_PDE]

항상 0 이여야만 종속이고 나머지 모든 경우에 대해서는 독립입니다. 예를들어 y1=x, y2=2x로 W값을 구해보시면 정확히 0이 나옵니다. 영상처럼 W값이 x^2, lnx, sinx 등 항상 0이 아닌 값/함수 (결국 0이 아닌 그 어떠한것) 라면 결국 y1, y2는 독립관계입니다.

[@2_aana_playlist]

9:54

[@조원석-l4u]

284번에 coshx, sinhx는 (e^x+e^(-x))/2, (e^x-e^(-x))/2꼴로 나타내면 상수계수ODE로 푸는 것까진 알겠는데 람다가 어떻게 나오는지 잘 모르겠습니다...

[@ODE_PDE]

cosh, sinh도 결국 지수함수이고 상수 치환을 이용해서 y1=e^(5x), y2=e^(-5x)로 볼 수 있습니다. G드라이브의 "질의응답09.pdf" 파일을 참조해주시면 됩니다.

[@공학수학에이쁠]

강의 항상 잘 보고 있습니다!!!! 280번에서, 4와 3x는 1과 x로 바꿔서 풀 수 있다고 하셨고, 그 이유는 4와 1, 그리고 3x와 x는 종속관계이기 때문이라고 하셨습니다. 왜 '종속 관계이면' 1과 x로 바꿔서 풀 수 있는지 그 이유가 궁금합니다.

[@강진수-c6k]

282번 정답 -6y' + 9y 아닌가요?? 부호 바뀐거 같아요!

[@ODE_PDE]

굿! 좋은 지적 감사합니다. 수정완료하였습니다.

[@ODE_PDE]

77번 질문주셨는데 댓글이 사라져서 여기에 대신 적습니다. G드라이브 "질의응답14.pdf" 파일을 참조해주세요.

[@강진수-c6k]

@@ODE_PDE 앗 풀어서 지웠습니다 감사합니다!!

[@남자는씩씩]

290번 베타가 3이면 x^2y''+xy'+9y 아닌가요? 어떻게 13y가 나오죠??!

[@user-GOATDO]

주인장님 혹시 태블릿 뭐쓰시는건가요?

[@ODE_PDE]

휴이온의 액정타블렛을 사용하고 있습니다.

[@kevinroie6591]

26:49 오일러코시일때 하나 빠진다고 하셨는게 뭐가 빠지신다고 하신건가요??

[@ODE_PDE]

ODE로부터 특성방정식을 유도할때 상수계수ODE와 다르게 오일러코시방정식 : x^2y''+axy'+by=0 특성방정식: m^2+(a-1)m+b=0 y'의 계수인 a 가 특성방정식에서 m의 계수로 오는데 그때 a-1을 해야 한다는 것입니다. 주의사항: 오일러코시방정식의 경우 y''의 계수가 x^2으로 맞출 것. 만약 3x^2 y'' 이라면 양변을 모두 3으로 나누어야겠죠.

[@효준임-k2h]

285번 람다=+-5i 에서 근과계수의 관계를 이용해서 특성방정식을 어떻게 찾나요?

[@ODE_PDE]

람다라는 문자를 댓글로 적기 어려워서 k라고 적을게요. k=5i 또는 -5i 이죠. 둘을 더하면 0 둘을 곱하면 25 따라서 k^2+25=0

[@효준임-k2h]

@@ODE_PDE 근과 계수와의 관계가 둘을 더한게 일차항 이고 곱한게 상수항이 되는건가요?

[@ODE_PDE]

@@효준임-k2h 두 근 더한것에다가 -1곱한것이 1차항 계수. 두 근 곱합것이 상수항 계수입니다. (이때 이차식 최고차항 계수는 1)

[@sssieun]

강의 항상 잘 보고 있습니다! 연습문제 280번 풀이 21:35에서 x^2으로 나누셨는데, x=0일 경우를 고려하지 않아도 되나요?

[@ODE_PDE]

1. 좋은 질문입니다. 이부분은 저도 잘 몰라서 설명드릴 수 없습니다. 미분방정식과 관련된 수학적 이론을 깊이있게 공부하면 나올 내용일것 같은데 공대생은 문제풀이 위주로 배우고 연습해서 이렇게 깊이있게 생각해본적은 없습니다. 2. 오일러코시방정식에서 a=0, b=0인 경우는 x^2 y''=0은입니다. 그래서 특성방정식은 m^2-m=0 -> m=1, 0 따라서 y=c1 x+ c2 이렇게 푸셔도 됩니다.

[@sssieun]

@@ODE_PDE 이해했습니다! 답글 정말 감사합니다

[@열정유미유미]

안녕하세요! 혼자 공부를 하던 중에 너무 답답해서 이렇게 댓글 남기게 되었습니다. 교재에 y’’y-xy’=0에 대해 y1=x^2, y2=1이 위 미분 방정식의 해가 되는지에 대해 구하는 문제인데요. 1. 저는 각 y1과 y2를 미분하여 위 식에 대입해서 맞는지 확인하고, 둘이 선형 독립임을 확인하여 맞다고 생각했는데 이렇게 푸는게 맞는 방식인지 궁금합니다 2. 그렇다면 y1+y2 한 값도 위 미분 방정식에 해가 돼야하는데 동일방법으로 계산해봤을때 2=0 이런식으로 정리가 되어 해가 되지 않았습니다. 어디서 잘못된 것인지 잘 모르겠습니다..ㅠ

[@seungjaelim9824]

안녕하세요 항상 좋은 강의 감사드립니다!! 강의 내용 중에 질문이 있어 댓글 남겨요! 280번 풀이해주실 때 기저가 1, x인데 1을 e^0으로 해석하면 안된다고 말씀하시고 오일러 코시로 풀어주셨는데 1=e^0, x= x*e^0 으로 보고 상수계수 방식에서의 '중근'으로 생각하고 풀어줘도 풀리는 것 같아서요! 혹시 잘못된 부분이 있을까요>?? 읽어주셔서 감사합니다.

[@민희-w4e]

개인적인 궁금증이 생겨 질문드립니다. y1, y2 의 기저 2개가 있을 때 이 기저가 서로 독립인지 알기 위해선 y1 = ky2 (k는 상수)의 형태로 나타내줄 수 없다면 이는 독립임을 알 수 있다고 공부했습니다. 이렇게 빠르게 독립 여부를 파악할 수 있는 방법이 있음에도 불구하고 론스키안이라는 방법으로 독립 판단을 하는 이유가 무엇인가요?

[@ODE_PDE]

좋은 질문입니다. 1. 논리적 구조만 본다면 W(y1, ky1) 은 항상 0 이므로 "y2 = k y1 인 경우 (쉽게 말해서 서로 상수 배수) 독립이다" 가 성립하는 것입니다. 즉, 서로 상수배수 차이나면 무조건 종속 관계이다를 보장해주는게 W(론스키안) 연산입니다. 2. 15강 비제차ODE_매개변수법을 들어가시면 공식을 이용해서 비제차해라는것을 구하는데 그때 W(y1, y2) 연산을 하신 후 구한 W를 공식에 정확히 대입해야 합니다. 그래서 빠르고 정확하게 W를 구하는 연습을 해두시는게 좋습니다.

[@민희-w4e]

@@ODE_PDE 이해했습니다. 좋은 설명 감사합니다!

[@hihanyang]

295번 문제를 이전 문제들처럼 풀긴 했는데 문제 조건 중에 '공식으로 암기하지 말 것!' 이라고 적혀 있어서 제가 잘못 공부 중인가 싶어 질문 드립니다! 295번의 조건은 예제 1,2번처럼 풀라는 뜻이신가요? 아니면 아예 정의를 유도해야하는 건가요? 처음에는 그냥 형태만 보고 풀지 말라는 말씀으로 이해하긴 했습니다.

[@ODE_PDE]

예제 1, 2번처럼 풀어보라는 뜻입니다. y1, y2가 독립임을 확인하고 y1, y2를 기저로 가지는 ODE는 찾아보아서 어떠한 형태의 유형이 나와도 잘 대비하자는 취지입니다. 어떤 공식이 나오게된 배경, 유도과정, 활용법 등을 남에게 논리적으로 설명할 수 있다면 그 공식은 충분히 이해를 하신것이므로 암기하시면 됩니다. 암기 자체가 잘못된게 아니고 그것을 남에게 설명할 정도로 완벽히 이해하지 못한 상태에서 무지성 암기가 잘못된것입니다.

[@hihanyang]

@@ODE_PDE 아아 넵 알겠습니다 !

[@hyundai_worldwide]

감사합니다. 19:37 론스키안 하면서 1/x를 미분했는데 lnx가 나오는 이유가 뭔가요? 답은 맞는거 보면 제가 어디서 놓친건지 모르겠어요

[@ODE_PDE]

질문자님이 맞으십니다. 1/x 미분결과는 -(1/x^2) 입니다. 고정댓글 확인해주세요. 지적해주셔서 감사합니다.