Goniometria - 13 - Equazioni goniometriche riconducibili a equazioni elementari

[@thomasbaglioni]

nell'ultimo esercizio non potrebbe esserci anche un angolo che parte dai 90 gradi fino all'ipotenusa dell'angolo beta?

[@thomasbaglioni]

al minuto 3:28 come hai fatto ad ottenere +2sen(al quadrato)x?

[@thomasbaglioni]

mi riferisco al +2(al quadrato)x preceduto dal 5-2

[@thomasbaglioni]

@@apriparentesi grazie mille!

[@silvyadav]

come posso risolvere tramite metodo del confronto e degli archi associati la seguente equazione? ctg(5x-125) = -tg(15-3x) sono nel pallone grazie

[@apriparentesi]

Il punto è cercare di ricondursi all'uguaglianza della stessa funzione goniometrica, ad esempio tan(alpha)=tan(beta). In questo caso quello che ti da fastidio sono due cose: la cotangente e quel segno meno. Cominciamo dal segno meno. Esistono due archi associati le cui tangenti hanno segno opposto? Se sì, quali? Non è l'unica. ma una risposta è alpha e -alpha, ovvero tan(-alpha)=-tan(alpha). Ricordati che l'uguaglianza si applica in entrambi i sensi, per cui -tan(15-3x)=tan(3x-15). E il segno meno è andato. Ora la cotangente. Esistono due angoli per i quali la cotangente dell'uno è la tangente dell'altro? Se sì, quali? Anche qui la risposta non è una sola, ma a noi basta che tan(pi/2-alpha)=ctg(alpha) e viceversa, per cui ctg(5x-125)=tan(pi/2-5x+125). Applicando le due sostituzioni ottieni: tan(pi/2-5x+125) =tan(3x-15). A questo punto i due angoli devono essere uguali a meno di multipli interi di pi. Tutto chiaro? Sapresti riapplicarlo a una equazione diversa?

[@silvyadav]

@@apriparentesi grazie per la risposta! le spiego il mio problema in questo tipo di esercizi. io uso il formulario degli archi associati, però non so scegliere quello giusto! nel caso della mia traccia cui devo trasformare la cotangente in tangente, sono indecisa tra quelli pi/2 + alpha, pi/2 -alpha, 3/2pi + alpha, 3/2pi - alpha, eccetera... cioè non so quale applicare perchè nell'argomento non trovo questi angoli pigreco pigreco/2, 3/2pigreco e così via. spero di essermi espressa bene nello spiegarle la mia difficoltà, c'è un modo per non perdersi tra quelle formule degli archi associati anche quando non ci sono proprio quegli angoli notevoli? inoltre, seguendo esattamente la sua spiegazione, il risultato mi viene x= 115/4 + k45/2, il libro invece mi porta x=25/4+ k45/2 quindi commetto altri errori che non riesco a trovare ancora. la ringrazio ancora per l'aiuto e scusi se le faccio altre domande!

[@apriparentesi]

Cara @@silvyadav, temo che la mia risposta sarà un po' (molto) lunga e per certi versi non ti piacerà (alcuni miei studenti si sono rifiutati a lungo salvo poi darmi ragione parecchio tempo dopo). Però spero che se avrai la pazienza di leggerla e rileggerla, magari ne verrà qualcosa di buono. Intanto il miglior modo per non perdersi, secondo me, è questo: metti via il formulario e cerca di capire, di trovare un modo per dare senso alle formule (e anche un modo non mnemonico per ricordarle, o prima o poi le sbaglierai). Capisco che all'inizio non è semplice e che tu possa forse pensare di non essere in grado, ma non credo che sia così. La matematica è comprensione prima di esecuzione, e se usiamo l'approccio giusto, è sempre possibile capire. Nel caso degli archi associati, guarda sempre la circonferenza goniometrica (come nel video sugli archi associati). Comunque, tornando alla domanda, perdona se prendo la risposta alla lontana ma io lavoro così, per cui comincio con una domanda. Cosa significa per te che due cose sono "uguali"? Fermati un attimo a riflettere prima di proseguire. Ora fai finta che ti chieda di darmi un bicchiere e tu mi risponda "quello blu o quello giallo?", cosa significa se ti dico "è uguale"? La riflessione è che se "è uguale" allora vanno bene sia quello blu che quello giallo, entrambi i bicchieri mi risolveranno il problema. Tutto chiaro fin qui? Spero di sì, ma cosa c'entra con la tua domanda? Proseguiamo. Le formule degli archi associati dicono che cot(alpha)=tan(pi/2-alpha), ma anche che cot(alpha)=tan(3pi/2-alpha). Ma allora quale DEVO usare? AIUTO!!! Qual è la formula GIUSTA? OOOPS, ma non è qusto il problema. Il fatto è che sul formulario non c'è scritto così!!! Sul formulario c'è scritto tan(pi/2-alpha)=cot(alpha). Oppure che cot(pi/2-alpha)=tan(alpha), ma nel mio esercizio non c'è nessun pi/2 dentro la cotangente e adesso come la applico la formula? E' questo il problema, vero? Torniamo allora al significato di "essere uguale", verbo. Se a=b allora b=a sembra quasi ovvio no? Il punto è che le formule possono anche essere lette (e soprattutto applicate: se due cose sono uguali, sono UGUALI!) da destra a sinistra e non solo da sinistra a destra! Se tan(pi/2-alpha)=cot(alpha) allora cot(alpha)=tan(pi/2-alpha). Non si tratta di prendere le formule e usarle così come sono, ma di capire dove vogliamo arrivare e quali formule ci possono tornare utili. Qui vogliamo che la cotangente di un angolo diventi la tangente di un altro angolo. Non mi interessa cosa c'è DENTRO la cotangente. Qualunque cosa ci sia a me serve di trasformare la cotangente in tangente (a volte il seno in coseno se è per questo) e io so che cot(alpha)=tan(pi/2-alpha). alpha decido io cos'è e non mi interessa se ha dentro pi, pi/2 o niente. alpha è ciò che sta dentro la cotangente. Nel caso del tuo esercizio alpha è (5x-125). Quindi cot(5x-125)=tan(pi/2-(5x-125)). Ripeto, non sta scritto da nessuna parte in che verso devi usare le formule!!! In questo senso c'è anche un problema di l'approccio (rassicurati, non sei sola in questo): non esistono formule GIUSTE. Esistono solo formule e sono tutte corrette. E poi esistono situazioni. E infine esistono formule utili in alcune situazioni e inutili in altre. E non c'è un solo modo corretto per fare l'esercizio. Purtroppo per te ce ne sono tanti e sta a te decidere quale seguire (lo so, è una brutta notizia). Per dire, se avessi usato cot(alpha)=tan(3pi/2-alpha) sarebbe cambiato qualcosa? Forse nei calcoli, ma non nella soluzione. Tra parentesi, c'è un'altra formula simile: cot(alpha)=-tan(pi/2+alpha), che differisce nelle posizioni dei segni. Cosa sarebbe successo se avessi usato questa formula invece dell'altra? Non sembra possibile che due formule diverse sono tutte e due corrette! E invece no, vanno bene tutte e due. Certo, se usi quest'ultima, non devi cambiare secondo membro. L'equazione diventa infatti -tan(pi/2+(5x-125))=-tan(15-3x). Ora i segni meno si eliminano cambiando di segno e otteniamo tan(pi/2+(5x-125))=tan(15-3x). Sembra diversa da quella di prima, eppure... se la risolvi scoprirai che le soluzioni sono le stesse. So che probabilmente speravi che ti dicessi "fai così", ma non posso. La matematica non funziona così. Può non piacere e ci sta, ma pretendere che sia diverso, che esista una sorta di "bacchetta magica", un insieme di regole procedurali che in ogni situazione ci dica esattamente cosa fare, e che imparandole tutte a memoria mi consenta di risolvere qualsiasi esercizio, mi spiace, temo non funzioni. In conclusione, congratulazioni se sei riuscita ad arrivare in fondo. Perdonami se sono stato un po' accedemico, ma sono e resto un docente. E spero davvero che queste poche righe ti possano tornare utili.

[@apriparentesi]

@@silvyadav (prima leggi l'altra risposta). Sei proprio sicura che x= 115/4 + k45/2 sia diverso da x=25/4+ k45/2? Ma certo, ovvio, 115 è diverso da 25, che domande!!! Vero, 115 è diverso da 25. Ma che significa + k45/2? Sta lì perché l'ha detto il/la prof. o ha un significato? In matematica tutto ha un significato, quindi in questo caso, che ci sta a fare lì?Ora, + k45/2 significa che il tuo insieme delle soluzioni è infinito. è costitutito da tutti i numeri che partono da 115/4 e distano da questo numero un numero intero di volte 45/2. Sei sicura che l'insieme che parte da 25/4 sia diverso? Prova ad elencare esplicitamente quali elementi fanno parte di ciascun insieme (e ricorda che k può avere anche valori negativi), ti accorgerai che in relatà i due insiemi sono uguali e la tua soluzione è assolutamente corretta, ovvero non hai commesso nessun altro errore.

[@silvyadav]

@@apriparentesi ho capito tutto. grazie per l'infinita pazienza nel rispondermi e soprattutto per averlo fatto così dettagliatamente e scrupolosamente! mi sto approcciando piano piano a questo tipo di esercizi e devo dire che alcuni dei miei problemi nascono proprio da dove ha detto lei. mi è stato davvero di grane aiuto, non sa quanto! grazie ancora tantissimo, le sono molto grata!