Gradient + Richtung des steilsten Anstiegs

[@henrikeverts8541]

Krass, wie 5min Video lehrreicher sein können, als eine ganze Vorlesung und mehrere Kapitel im Lehrbuch xD Vielen Dank für die Videos!!!

[@MrMrz1punkt0]

Danke fürs retten der Mathe 2 Klausur!

[@fabio19h]

Das habt ihr in Mathe 2. wir haben das im ersten Semester

[@tiefenentspannt1155]

@@fabio19h Kommt jeweils auf den Studiengang an, Du Schlaumeier...

[@blankerhans9659]

@@fabio19h Du bist ne ganz coole Sau 8)

[@fabio19h]

Nur um das mal ganz kurz klar zu stellen. Ich habe das damals geschrieben, weil ich ehrlich erstaunt darüber war, nicht weil ich meine uni so viel geiler finde oder so, sondern weil ich damals dachte, dass die Themen zumindest in höherer Mathematik überall eigentlich gleich sein sollten. So zu mindest laut meiner Vorstellung. Ich dachte halt damals dass es so war. Kann aber nachvollziehen wie man das falsch verstehen kann. LG

[@battlecombathd5417]

Hoffe das rettet meine Mathe 2 Klausur morgen auch

[@malteiwa]

Ich mag deinen kleinen Tanz am ende :) Video hat mir allgemein sehr geholfen, dankeschön dafür!

[@philloffel5131]

Echt gutes Video. Habe erst jetzt gecheckt, was mir das ganze bringt. Kannst wirklich gut und anschaulich erklären. Dankeschön!

[@erhock-rhonthuringerwald9122]

Das Beispiel am Schluss den Punkt einzusetzen hat mir bei vielen anderen Videos gefehlt. Das hat mir für mein "räumliches" Verständnis vom Gradient sehr geholfen! Danke sehr.

[@sgtjango5244]

Geile Kiste, ging ja mega easy. In der Vorlesung hat unsere Dozentin nur Fachchinesisch Gesprochen. Sehr schöne und vorallem VERSTÄNDLICHE Erklärung!! Dank dir :)

[@3theamy]

Einfach gut gemacht, hat für jeden Lerntyp etwas, ein Beispiel, wichtige Begriffe, Erklärung des Zusammenhangs. Chapeau:)

[@Masoud_En]

Besser als 1,5 Stunde Vorlesung, Vielen danke

[@finnheimberg7350]

durch corona hab ich mir dir bequemlichkeit antrainiert meine mathevorlesungen nicht mehr zu konsumieren, und jetzt bin ich lost in einem Meer aus verwirrender Mathematik, und MathePeter ist das Rettungsboot

[@en1gma-1]

geile metapher, geht mir genau so

[@Quiz.Professor]

Du bist der Beste Wirklich, danke dass es dich gibt

[@Bennfredable]

Besser als der gute Daniel ich bin impressed

[@lars_hbm]

Daniel war fürs Abi gut, Peter rettet jetzt das Studium :D

[@jokowonderland842]

Die mischung machts :D

[@admsn2967]

Naja nicht besser, beide gut, Daniel macht eher Abistoff während Peter sich mit Unistoff beschäftigt.

[@user-gy1jv2tg4p]

@@lars_hbm daniel videos sind 0 hilfreich

[@olympiakospiraus635]

Du bist einfach nur großartig! Danke, MathePeter!

[@bpack16]

Besser als jeder Vorbereitungskurs für ne Klausur an der Uni!!

[@dieweltnochdieselbe]

Lieber Peter, könntest du ein Video zu "Wegzusammenhängend und zusammenhängend" machen?? Deine Videos sind der Hammer.

[@MathePeter]

Danke dir, in Zukunft werden zu allen Themen Videos erscheinen :) Ich werd mich nur jetzt erst mal um ein paar Grundlagen Videos kümmern müssen.

[@mattisamackern6981]

Einfach Daniel Jung mit besser Frisur und ohne Fabfilter. Starks Video!

[@budchristii9679]

krass so einfach habe ich mir das nicht vorgestellt. You're the best!

[@updatedotexe]

Mit dem hoch 2 bei dem x musstet du im post-editing ja echt Spaß gehabt haben :D

[@MathePeter]

Es war der Horror hahaha 😂

[@manne8575]

Wirklich sehr gut erklärt, und das sage ich als absoluter Matheidiot. Super!

[@leon_noel1687]

Danke Bruder, die Ehre ist groß in dir!

[@RoronoaShu27]

Und das in weniger als 5 Minuten! Chapeau!

[@martinhumann4202]

Vielen Dank für deine Videos! Du bist ein wahrer Helfer in der Not :D

[@jan2280]

Dankeschön, sehr verständlich erklärt

[@mansourd4917]

dein Lächeln ist schön vielen Dank für das Video

[@Stryk3r_x]

Echt tolle Erklärung!

[@anonumeente5493]

Richtig gut erklärt. Danke!

[@Gettomix222]

Omg du bist so geil! Danke!!! Bin gespannt auf mehr von dir

[@Austria002]

Da sitz ich hier auf der Uni, der Dozent faselt gut 30min unnötig kompliziert herum, dabei wär das Thema in unter 5min abgehandelt. Danke!

[@ziangduan9699]

boah, super sauber erklaert, sehr hilfreiches Video!!!

[@wernerheisenberg71]

Saubere Sache Peter! Vielen Dank!

[@n3xt349]

du carriest mich durch die uni danke

[@soulintent7052]

2:50 Hallo Mathe Peter, zwei wichtige Dinge an dieser Stelle: 1) der Gradient, den du da ausgerechnet hast, muss laut der Definition ein Zeilenvektor sein: grad(f) = (df/dx, df/dy, .....), also steht bei dir der transponierte Vektor. 2) der Gradient ist ein Vektor, aber die Funktion, von der man den Gradienten bildet, ist kein Vektor. Grüße

[@MathePeter]

Nein, tatsächich ist der Gradient per Definition ein Spaltenvektor. Nur wenige Autoren meinen sie müssten die Mathematik neu erfinden und definieren den Gradienten als Zeilenvektor. Und klar ist f kein Vektor, hab ich auch nie behauptet :)

[@soulintent7052]

Schau Mal das Video hier auf KZbin: Gradient - Beispiel vorgerechnet von Rene Matzdorf, der Herr ist ein Professor in Mathematik und schreibt es auch als Zeilenvektor auf. Warum ich dir sein Video vorschlage, liegt daran, dass ich zurzeit meine Bachelorarbeit schreibe und mein Betreuer (auch ein Professor in Mathematik) meinte zu mir: "ist Ihre Iterationsvorschrift für Gradientenabstiegsverfahren richtig? Sie müssen aufpassen, denn sie schreiben (in Vektoren): w_neu = w_alt - s * grad(f) und Gradient ist ein Zeilenvektor". Das hatte mich dazu bewegt im Internet nochmal nachzuschauen und ich bin dann auf dieses Video eines Professors gestoßen, der das als Zeilenvektor aufschreibt. Den Gradient als Zeilenvektor aufzuschreiben macht so gesehen mehr Sinn, weil der Gradient die erste Zeile der Jakobimatrix ist. Grüße

[@MathePeter]

Wie gesagt das liegt daran, wie man den Gradienten definiert. Und die meisten Professoren und Lehrbücher definieren den Gradienten als Spaltenvektor. Du kannst ihn auch gern als Zeilenvektor definieren, weil du dann in der Jacobimatrix nicht mehr transponieren musst. Allerdings kann ich nur davon abraten zu behaupten, dass diese selten verwendete Definition die einzig wahre wäre.

[@soulintent7052]

@@MathePeter ja komisch, ich Frage mich warum mich mein Professor darauf hingewiesen hat und meine ich soll da ein Transponiert Zeichen hinschreiben. So gesehen hab ich diese Iterationsvorschrift auch nie mit einem Transponiert Zeichen gesehen

[@MathePeter]

Er definiert einfach gern den Gradienten als Zeilenvektor. Und das ist auch in Ordnung. Als sein Student solltest du dich in deiner Arbeit nach ihm richten oder einfach den Gradienten vorher klar als Spaltenvektor definieren. Mir ist nur wichtig, auf diesem Kanal hier zu vermitteln, dass keine der beiden Definitionen die absoluten Wahrheiten sind. Es sind lediglich Definitionen, die wir selbst festlegen.

[@taninati17]

Wow besser als meine lehrer

[@AA-kn2vw]

Perfekt erklärt 👌💪

[@yaraashmawi2234]

super erklärt , vielen dank

[@yados93]

BAM! Es sitzt! Danke!

[@MathePeter]

Mega!!

[@f8rk9n]

Sehr hilfreich, danke!!

[@Calisonx90]

richtig guter Content! Mach weiter so!

[@soulintent7052]

Hallo Mathe Peter, wieso zeigt der Gradient in Richtung des steilsten Anstiegs? Weil, wenn wir in zweidimensionalen Raum sind und eine Funktion haben, die nur von einer Variable abhängt z.B. f(x) = x^2, dann gibt die erste Ableitung df/dx = 2x doch nur die Steigung der Tangente an einer bestimmten Stelle, daher wenn wir jetzt für x = 3 einsetzen, dann kriegen wir f(3)=2*3 = 6. Die 6 sagt aber NICHT aus, ob es max. Steigung ist, sondern es ist die Steigung der Tangente an einem Punkt und warum sollte es sich bei f(x,y) anders verhalten? Wenn wir partiell ableiten, dann leiten wir einmal nach x und einmal nach y ab, ist das etwa eine Ebene statt eine Tangente, die man sich da anschaut und warum soll das der steilste Anstieg sein? Ich hab die Kommentare durchgelesen und deine Antwort "Wenn du den Anstieg in eine beliebige Richtung (Richtungsableitung) berechnest, dann wird der Wert maximal, wenn die Richtung r selbst der Gradient ist" nicht so ganz verstanden. Was heißt genau "wenn die Richtung r selbst ein Gradient ist"? Die erste Ableitung ist laut dem Video bereits der Gradient? LG

[@MathePeter]

Schau dir mal das Video zur Richtungsableitung an: kzbin.info/www/bejne/l2ecqKNshbF2gas Die Richtungsableitung gibt den Anstieg in Richtung r an. Du kannst jetzt beweisen, dass dieser Zahlenwert maximal groß ist, wenn die Richtung r gleich der Richtung des Gradienten ist.

[@immanuelbroda7039]

allein fuer das kopfrechnen gibts den daumen hoch und den kommentar.. impressed

[@michelmeister5763]

Hallo Peter, wie immer super Video. Kleine Frage, wenn ich die Funktion habe e^x/(1-y) und ich möchte nach y ableiten, so findet kein VZ Wechsel statt? Auch laut Ableitungsrechner nicht. habe ich hier einen Denkfehler oder ist die partielle Ableitung hier eine Sonderfall?

[@MathePeter]

Es kommt beim Ableiten des Bruches zum Vorzeichenwechsel. Durch die innere Ableitung wird das Vorzeichen wieder zurück gedreht.

[@mandanabeuck7691]

Vielen dank

[@Morpheus-zw4px]

4:08 würde es nicht heissen am steilsten bergab wegen dem minus?

[@MathePeter]

Der Gradient zeigt immer in Richtung des steilsten Anstiegs. Das Minus in der x-Komponente heißt nur, dass dieser steilste Anstieg in der Richtung liegt, wo wir 2 Schritte in die negative x-Richtung gehen.

[@Morpheus-zw4px]

@@MathePeter Vielen Dank 👍

[@alexanderwurfl2879]

Wenn der Gradient die Richtung des steilsten anstieges ist, hat dann die Länge auch ein bekannte bedeutung?

[@MathePeter]

Ja, die Länge des Gradienten entspricht dem Anstieg in diese Richtung. Das lässt sich direkt beweisen, wenn du in der Richtungsableitung für die Richtung den Gradienten selbst noch mal einsetzt.

[@Emi-tc5ju]

Was ich nicht verstehe ist, du hast ja in dem anderen Video gesagt, dass wir müssen den Punkt in den Gradient einsetzen und dann mit r multiplizieren. Aber in meiner Aufgabe die sagen ich soll den steilsten Anstieg berechnen und dann die Richtungsableitung dazu. Heißt es dann, ich muss den gleichen Wert zweimal multiplizieren und dann durch seinen Betrag teilen? Weil dann wäre ja r gleich das andere was davor kommt.

[@MathePeter]

Wenn ichs richtig verstehe, sollst du die Richtungsableitung in Richtung des steilsten Anstiegs berechnen, also r=Gradient? Das ist ein schöner Sonderfall, weil dann nach allem zusammenrechnen und wegkürzen nur noch der Betrag des Gradienten über bleibt. In jedem Fall musst du aber den Punkt in den Gradienten einsetzen!!

[@judacabra5709]

Sehr gut. Klar und deutlich. Eine Frage bleibt mir zu stellen. Wie bekommt man anschließend einen Zahlenwert für die Steigung heraus? Mit freundlichen Grüßen

[@MathePeter]

Den Anstieg in eine bestimmte Richtung kriegst du mit der Richtungsableitung raus: kzbin.info/www/bejne/l2ecqKNshbF2gas Im Spezialfall, wenn es sich bei der Richtung um den Gradienten handelt, bricht die Formel in sich zusammen und das Ergebnis ist der Betrag des Gradienten. Witzig, weil damit die Länge des Vektors zahlenmäßig gleich dem Anstieg in Richtung des steilsten Anstiegs entspricht :)

[@ninaxfandom5368]

Mega danke

[@janniskuhne1790]

Perfekt danke :)

[@fabie862]

Geiles Video vielen Dank

[@levimemer5045]

Ehrenmann, danke!

[@Hogojub]

Super Video, aber was heißt denn "in diese Richtung"? Wie schreibe ich das Formal auf?

[@MathePeter]

Formal steht es in 4:12 am Whiteboard. Der Gradient ist ein Vektor und zeigt eine Richtung. In diesem Fall -2 Schritte in die x-Richtung und 1/12 Schritte in die y-Richtung vom Punkt (1,9) ausgehend. In diese Richtung gehts am steilsten "Berg auf", wenn du dir vorstellst im Gebirge zu stehen.

[@Hogojub]

​@@MathePeteraah ok, danke :)

[@TheDortmunderJungs]

Ist immer Anstieg gemeint oder kann mit Anstieg auch der steilste Abstieg gemeint sein, also die extremste Höhenveränderung? Oder wirklich in welche Richtung es am stärksten ausschließlich nach oben geht?

[@MathePeter]

Gradient = Richtung des steilsten Anstiegs Antigradient = - Gradient = Richtung des steilsten Abstiegs Es gibt keine Richtung, in der der Anstieg größer ist als im Gradienten und keine Richtung, in der der Anstieg kleiner ist, als im Antigradienten. Damit hast du schon indirekt die Frage nach dem Wertebereich der Richtungsableitung ( kzbin.info/www/bejne/l2ecqKNshbF2gas ) beantwortet ;)

[@larawilliams896]

Ich hab jetzt ne Altklausuraufgabe wo ich die Richtung des steilsten Abstiegs bestimmen soll. Bei dem Video Richtungsableitung meintest du die Richtung des steilsten Abstiegs bestimmt man mit dem Anti Gradienten. Also einfach Gradient mal -1 ??

[@MathePeter]

Genau so!

[@larawilliams896]

Vielen Dank für deine Antwort 🙏🏼

[@habernack2932]

1:30 Woher genau kommt jetzt das negative Vorzeichen?

[@MathePeter]

Wenn du nach etwas ableitest, das NUR im Nenner vorkommt, kannst du diesen Trick benutzen. Schaus dir gern genauer in dem Video an: y2u.be/xMfS-VNV-Q4 Alternativ kannst du eine 1/x auch umformen zu x^(-1). Beim Ableiten kommt das negative Vorzeichen ins Spiel :)

[@AmatoBaker]

2:35 -1/3 minus 1 ist doch - 4/3 oder?

[@MathePeter]

Richtig, aber 1/3 - 1 = -2/3. Und das ist hier der Fall, weil eine dritte Wurzel umgeschrieben werden kann zu einer hoch 1/3. Ein Minus im Exponenten kommt nur zustande, wenn du einen Bruch umschreibst, denn: Bruch = Minus im Exponent.

[@AmatoBaker]

@@MathePeter vielen Dank für die schnelle Antwort und die super Videos

[@f.r.7693]

Wieso geht man zwei Schritte in die negative x-Richtung und 1/12 Schritte in y-Richtung? Die Komonenten geben doch die Steigung in die jeweilige Richtung an, aber doch keinen horizontalen Abstand?

[@MathePeter]

Du kannst dich im kartesischen Koordinatensystem ausgehend vom Punkt (0,0) zum Punkt (-2,1/12) begeben. In diese Richtung geht es am steilsten Berg auf.

[@josephschuler4697]

Wir haben jetzt die Richtung des stärksten Anstiegs, aber kann man auch den Anstieg selbst berechnen? (Also wie stark der Anstieg in diese Richtung ist?)

[@MathePeter]

Ja das geht mit der Richtungsableitung. Bestimme also einfach die Richtungsableitung in Richtung des Gradienten. Fun Fact: Das ist immer der Betrag des Gradienten ;)

[@tk0014]

Wie bekommt man dann den steilsten Abstieg? Einfach ein minus davor setzten?

[@MathePeter]

Genau, steilster Abstieg = Antigradient

[@franksogusa2514]

was macht man denn, wenn man den Punkt nicht einfach in den Gradienten einsetzen kann? also zB wenn da ein x^2 + y^2 im Nenner steht und wir suchen die Richtung des steilsten Anstieges in (0,0)

[@MathePeter]

Die Funktion muss dann in dem Punkt gesondert definiert sein. In den Fall kannst du mit der Definition der partiellen Ableitung arbeiten, also dem Grenzwert.

[@franksogusa2514]

@@MathePeter danke dir!

[@aware6019]

Hey, warum zeigt der Nabla-Operator immer genau in Richtung des steilsten Anstiegs? Diese Frage beschäftigt mich schon eine Weile😄. Vielen Dank!

[@MathePeter]

Dass der Gradient in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt, kannst du zeigen, indem du das Maximum der Richtungsableitungen anschaust und das liegt gerade in Richtung des Gradienten. In keine andere Richtung gibt es einen größeren Anstieg.

[@aware6019]

@@MathePeter Okay. So etwas in der Art habe ich auch gelesen und mein Professor hat von irgendwas „Gleichheitsdiskussion“ geredet. Aber mir ist noch nicht ganz klar: Ist das jetzt definitions-Sache oder ist das die einzige (aus mathematischen Gründen) Möglichkeit für die Richtung von Nabla? Liebe Grüße!

[@MathePeter]

Das ist die einzige mathematische Möglichkeit, wenn du es so ausdrücken willst.

[@jeggarmcjensen3034]

Clean

[@XY-km8ds]

Hast du Videos zur Stetigkeit von mehrerer Veränderlicher

[@MathePeter]

Noch nicht, aber in den letzten Altklausuren Livestreams kam es immer mal wieder vor.

[@judithhuppertz5803]

Bester Mann

[@osamaharbaji6310]

You are the perfek

[@irgendwerirgendwo2720]

Deine Videos sind gut, allerdings nur für Leute die schon recht fit sind und einfach etwas Wiederholung brauchen (finde ich zumindest). Ansonsten ist das etwas zu zügig

[@MathePeter]

Wenn es zu schnell ist, kannst du das Video auch auf 0,75 facher Geschwindigkeit abspielen lassen. Wenn Zwischenfraen zu einzelnen Schritten sind, kannst du sie gern hier in die Kommentare schreiben.

[@abdalrahmanfu8609]

bester

[@donaldduck3731]

eine kleine frage bleibt nach diesem video noch offen.. "wieso ist das die richtung des steilsten anstiegs?"

[@MathePeter]

Wenn du den Anstieg in eine beliebige Richtung (Richtungsableitung) berechnest, dann wird der Wert maximal, wenn die Richtung r selbst der Gradient ist.

[@tobi9481]

Hätte man nicht noch den Vektor durch die Norm teilen müssen? So wurde der steilste Anstieg zumindest bei uns definiert.

[@MathePeter]

Wenn du einen Vektor durch seine Norm teilst, hat dieser Vektor die Länge 1. Wenn du dich für diesen Vektor interessierst, kannst du das gern machen. Allerdings ändert das nicht die Richtung des Vektors; die "Richtung des steilsten Anstiegs" wird davon nicht beeinflusst. Die Norm des Gradienten entspricht dem Anstieg in Richtung des steilsten Anstiegs. Das kannst du beweisen mit Hilfe der Richtungsableitung.

[@Knightfire66]

ich rechne seit 2 jahren mit gradienten und hab erst jetzt raus gefunden, dass das der steilste anstieg in eine richtung ist... dachte man setzt da punkte rein und kommt den anstieg an dieser stelle... keine ahnung wie das gehen sollte xD

[@MathePeter]

War für mich am Anfang auch etwas verwirrend :) Den Anstieg in eine Richtung kriegst du durch die Richtungsableitung raus: kzbin.info/www/bejne/l2ecqKNshbF2gas

[@oguzhansayar2624]

das ist falsch mit dem steilsten anstieg, der gradient gibt mir nur die steigung an. der steilste anstieg in einer richtung ist die richtung in der der gradient maximal ist

[@MathePeter]

Der Gradient zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs. Ist doch richtig :) Edit: Einen Anstieg kann der Gradient nicht angeben, da er ein Vektor ist, gibt also eine Richtung an. Und die Richtungsableitung, die den Anstieg in eine Richtung angibt, wird maximal, wenn es sich bei der Richtung um den Gradienten handelt -> Richtung des steilsten Anstiegs.

[@frankputtbach6198]

Sie sagen immer Vektor wenn sie Vektorfeld meinen. Das ist etwas ungenau, oder?

[@MathePeter]

Ja ist es. Wer allerdings Interesse dran hat, so wie du, kommt selbst drauf. Wer nur seine Prüfung bestehen will, dem kann es egal sein, weil es rechnerisch keinen Unterschied macht. Am Ende hab ichs aus didaktischen Gründen weggelassen.

[@frankputtbach6198]

@@MathePeter Danke.

[@zabiullahafzali7737]

Mit deine Vedio muss gar nicht in die Vorlesung gehen,

[@MathePeter]

Freut mich, dass die Videos weiter helfen! :)

[@markusb3689]

Besser kann man es nicht mehr erklären