毫無準備,直接挑戰傳奇大學聯考題的樣子

我在毫無準備下被曹老師問了一題來自於72年次的⼤學聯考題. 題⽬是要我們找 2/sinθ+3/cosθ
在0跟 π/2之間裡的最小值. 我直覺性的知道要⽤到柯⻄不等式, 但是過程沒有我想像中的順利...
這題我們還沒有放棄： • 毫無準備,直接挑戰傳奇大學聯考題的樣子 後續
題⽬來源: www.threads.ne...
xmt=AQGzKBlJbiffI2NoQ7ifRX3tIoFmUqHIRTvHu2V1We66xg
北一⼥女教師潘振輝⽼師對此題的文章: web.math.sinic...
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#數學題 #高中數學 #柯西不等式 #李翰數學

[@lihanmath]

這題我們還沒有放棄：kzbin.info/www/bejne/eWqwoHmjl82nd7M

[@alanmai3773]

這題的詳解很有問題，柯西等式成立的時候是f(x)*g(x)的最小值，而不保證是f(x)最小值，跟等號右邊是不是常數沒有關係。

[@user-xj8he4gr2h]

這題嚴格說起來在數學知識上考的不難，算是有些偏，在考試中，能保持冷靜大膽採取兩個變動向量內積成定量的方式填入柯西不等式，這才是真正的難度。也許那個年代，在柯西不等式上，有著大量的著墨，就像現在中國的高考，在柯西不等式也是花樣很多。

[@grason0011]

如果完全不使用微積分方式算,也不使用柯西不等式 sin1度=cos89度,sin2度=cos88度...以此類推到sin45度(sin pi/4 rad)=cos45度 2/sin1度=2/cos89度,3/cos1度,因為cos 89度3/cos1度 2/sin1度+3/cos1度=2/cos 89度+3/cos1度 驅近於2/cos89度 以此類推2/sin2度+3/cos2度 驅近於2/cos88度,因為cos88度>cos89度,所以2/cos89度>2/cos88度 度數越大值會越小 一直到sin45度=cos45度,2/sin45度=2/cos45度 2/sin45度+3/cos45度=2/cos45度+3/cos45度=5/cos45度 值約5*(根號2)約為7.071(5*根號2)為最小值 這是完全不使用微積分,也不使用柯西不等式的解法

[@bprptw]

3:15 我那個時候真的頭腦不知道在想什麼 哈哈哈

[@chongli8921]

老師是不是想說線性代數的3個向量圍成1個三角形那個方向😂

[@Changmc2]

老師講的是三角不等式 ，其中a, b為向量

[@bprptw]

我最近想到了啦！我那時想的是a^2+b^2>=2ab 😄

[@pashaw8380]

你想成 AM-GM inequality 了。

[@user-vw9lo6on6g]

還有另一個作法，可參考：柯西不等式的推廣　─　梁順豪，國立政治大學 應用數學系。另外當年考出來之後，激發一些學生做了科展，也可參考：第24屆--民國73年 數學科 第三名 嘉義女中 作者 吳素幸、林怡君、林溫慧。

[@豬先生-x2u]

@@user-vw9lo6on6g 您怎麼那麼專業

[@user-vw9lo6on6g]

@@豬先生-x2u n年前練trml考古題遇到這一題,老師講古說當時考出來很多名師也不會。後來3年前李祥、張旭也在講解這一題,於是我就在網上找了一些資料,相當有趣。例如在數學傳播裡寫到當年聯考數學科問題多多,抄襲日本考題,數字都沒變動。

[@jackshih2262]

@@user-vw9lo6on6g 呵呵我前幾天也是看到李祥、張旭的舊影片，很有趣!

[@mosonbin8496]

這題真的不容易，要看到李翰老師苦思應該是非常難得的事XD

[@gutewu]

早年大學聯考數學科的冷僻，可以從徐氏窺見一斑。

[@deansusu2075]

呈現真實解題 和 推敲過程 讚

[@Sendoh1191]

民國72年當年如果有滿分的人 真是太神了~ 這題實在太花時間~

[@user-yz6ef2bv6u]

據說，當年只有3個學生做對

[@op173928]

想說這題怎麼那麼眼熟，就想到李祥老師和張旭老師也解過，李祥老師是用廣義的柯西解，張旭老師用微分解

[@user-fz2nx9cm5c]

真實呈現，李翰老師很棒❤❤❤

[@user-fz2nx9cm5c]

這題要用廣義的科西，三個括號相乘，還要三角函數的分數次方，答案還那麼難看，真的太難了，身為數學老師，還是得稱讚李翰老師不做假，思慮已經很縝密，方向也接近，真的直接按個讚

[@blimpiefodor]

best you tube format I have seen so far! thanks

[@user-jh8mo1wv8q]

數學課考試才幾分鐘啊，這些試題就是亂出，出題者自己都不能在第一次看到這題時能在3分鐘內解出來，找考生麻煩而已

[@iron33heart]

這題算網紅題, 李祥,kzbin.info/www/bejne/fZDQpp-Leb54aas 張旭,kzbin.info/www/bejne/pIjNnX-gqbuKgbc 李祥用廣義柯西,張旭是用微積分 在進階一點用拉格朗日乘數方式, 第一象限,t= sin x ,u= cos x , t^2 + u^2 =1,求 2/t +3/u極值

[@agrushnev]

The minimal value of this function from the other hand is the max length of a segment which can pass "under the point" (3, 2) when we move its endpoints along x,y axes. It equals (2^(2/3) + 3^(2/3))^(3/2)

[@user-yn5bk2pe9o]

Well I can’t understand the logic in this lol

[@agrushnev]

@@user-yn5bk2pe9o this expression 2/sin(x) + 3/cos(x) gives us the length of a segment which passes exactly through point (3, 2) \in R^2 having an angle x with x-axes. But also each such segment has greater or equal length than every segment passing under the point (3, 2) since when the last one is closer to the coord-s. origin O when they are both parallel. Anyway, we can just take a derivative of 2/sin(x) + 3/cos(x) and so find its minimal value

[@user-ei7ni8re7o]

Can you show the detail, I want to learn your method.

[@claireli88]

Using the AM-GM inequality, 2/sinθ+3/cosθ ≥ 2√[(2/sinθ)(3/cosθ)] 2/sinθ+3/cosθ ≥ 2√[6/(sinθcosθ)] 2/sinθ+3/cosθ ≥2√[12/(2sinθcosθ)] 2/sinθ+3/cosθ ≥2√[12/sin2θ] If sin2θ is max for 0

[@longshin55]

But 2/sin x ≠ 3/cos x when 2x=90°

[@jackshih2262]

等號不成立

[@mayihelpyou5557]

驗過了沒

[@郭俊麟-y4k]

知道以前聯考跟現在的差距了吧😮 民國71年數學系分數最低的靜宜應用數學系要267分 清華數學系341分 只差74分 那時候墊底的靜宜 考上的現在很多都當教授或開公司當老闆 連墊底的都那麼厲害 哪像現在學店大學生只有小學程度 上次遇到一個東吳商學院畢業的女生 跟她討論股票的時候 發現她連基本的會計名詞都不知道什麼意思😢 不知道怎麼畢業的?

[@BPlove281]

22:32 不等式左邊的第二個乘項又不是常數 為什麼等號成立等於第一個乘項是最小值？ 這應該是這解法比較大的問題吧

[@user-ii2fi8dq3i]

之前看到李祥在張旭的節目想這題想很久，我就覺得這題真的太狠了。 沒想到紅黑跟李翰老師也玩這題了🤣🤣🤣

[@jackshih2262]

給各位參考， 柯西: (x1^2 + y1^2)(x2^2 + y2^2) >= (x1x2 + y1y2)^2。 當 x1, y1, x2, y2 > 0 時，√ x1, √ y1, √ x2, √ y2有柯西不等式: (x1 + y1)(x2 + y2) >= (√ (x1x2) + √( y1y2))^2。 推廣至三維空間 (證明寫不下，但我相信你可以接受xd): 當 x1, y1, x2, y2, x3, y3 > 0 時， (x1 + y1)(x2 + y2)(x3 + y3) >= ((x1x2x3)^(1/3) + (y1y2y3)^(1/3))^3。 回到這題， 已知sin^2+cos^2=1，求2/sin+3/cos的最小值。 (sin^2 + cos^2)(2/sin + 3/cos)(2/sin + 3/cos) >= ((4)^(1/3) + (9)^(1/3))^3， 即(2/sin + 3/cos)^2 >= ((4)^(1/3) + (9)^(1/3))^3， 因此2/sin + 3/cos >= ((4)^(1/3) + (9)^(1/3))^(3/2)。

[@彭彥翔-i8j]

高招！

[@郭俊麟-y4k]

這不是柯西不等式啦😂

[@how5787]

經典的這題 李祥跟張旭有用不同算法算過 但是真的不好想

[@Jun-gk7ym]

李祥也是用柯西

[@user-qw6gg3bv1i]

第一眼以為是李想和張濤

[@QQpapababy]

算術平均數大於幾何平均數，所以兩個相乘開根號，分母就有sincos = (1/2) sin (2theta) 。 分母最大是1，theta =45度。然後就有答案了。

[@陳泓叡-r4d]

觀念錯誤，算幾不等式成立等號的條件是2／sinA和3／cosA相等

[@QQpapababy]

@@陳泓叡-r4d 啊！對對對對對。

[@user-iq5hf5zc3t]

可以這樣看到想出來很厲害👍

[@efwefwrrr]

這題是柯西不等式再配合sin cos 天生範圍就可以解出來了 by 20年前求學時期熱愛數學的人 QQ時光飛梭

[@user-jt7pt8vv3t]

畫(x,y)座標圖去看可能比較單純 x:角度；y:值

[@Wade_Chen]

還是社會組題目

[@willie333b]

我做出來ㄌ

[@user-ew2wp6qq9k]

最重要的是科西不等式的取等条件

[@Eddy-hi7tw]

看封面以為黃國昌在算數學題

[@willcheng6069]

角度有限制,可以首用算幾不等式+正餘弦平方關係解?2根號13

[@koktonglan7566]

(sin²x+cos²x)( 2/sinx+3/cosx)²≥(2²+3²)³

[@AffaAu]

let y=2/sin(x) + 3/cos(x), 然後 找dy/dx=0，最少值便能找出。 爲什麽不直接這樣處理？ 題目沒有説不可以...

[@Birdplaymath]

對數學的熱情，不想只用微積分解

[@po-yupaulchen166]

我同意 這種題型太偏了 我個人還是覺的要出就用題組的方式 給出應有的暗示 求級大級小值問題 現在正火的神經網路應用每天在用 很多問題根本沒有完美的closed-form解 所以需要很多GPU用gradient decent 去運算 有時用簡單且實用的方法 其實才是比較有用 說真的在解完這題後 到底學了什麼 有什麼應用？ 個人意見 不要噴我

[@hao-tingliang7037]

那時候考試說不定微積分還不是必修（？

[@benchao2507]

Key : 如何消去變數 ? 得到定值 ? 恰好有哥西不等式 與 定值 1 可以用

[@mayihelpyou5557]

奇怪...我怎麼記得前幾天就有寫過八種解法 怎麼找不到

[@王中緯中緯]

萬能代換

[@user-ub9fe3my4c]

中學生學口塞跟塞,大學生學露個跟弄.

[@user-ub9fe3my4c]

cos sin,log ln

[@施丞晏-k3n]

要用廣亦的柯西

[@joe40173]

廣義柯西要先有賦距空間n-norm的概念， 這絕對不是高中生該學的內容， 不管是哪個年代... 當然， 如果只是把自己當成機器背下來用， 就沒有什麼該不該學的問題， 小學生也可以背高斯係數PI算子。

[@jeffreysung1794]

可不可以用微積分? 用微積分就可以找到 realtive minimum. 又快又不用浪費時間去想

[@yuki0204kimo]

這題答案是5√2嗎？

[@豬先生-x2u]

可以找俞克斌老師嗎？

[@user-np4pf5xp9l]

他沒那麼強

[@healingbolt2530]

可以找李永樂老師嗎？

[@豬先生-x2u]

@@user-np4pf5xp9l 怎說

[@豬先生-x2u]

@@user-np4pf5xp9l 你能告訴我何謂強嗎？

[@bca9323]

@@user-np4pf5xp9l 他滿強的吧

[@stevenwen2263]

有沒有幾何的想法

[@hao-tingliang7037]

直接用微分等於0就可以解了吧？

[@mayihelpyou5557]

理論上是這樣沒錯 有的人就是不會 常常看到理論大神在那邊說得好厲害 隨便拿它一條運算式來驗都是錯的

[@mayihelpyou5557]

let x= tan^2 2/sin +3/cos=2(1+tan^2 )^0.5+3(1+cot^2)^0.5=2(1+x)^0.5+3(1+1/x)^0.5 let d/dx 2(1+x)^0.5+3(1+1/x)^0.5=(x+1)^(-0.5)-1.5(1+1/x)^(-0.5)/x/x=0 x=-1，1.5^0.4 ===>x=1.5^0.4=1.16.... 2/sin+3/cos=2(1+1.5^0.4)^0.5+3(1+1.5^(-0.4))^0.5=2.946....+4.08.....=7.02.....

[@user-cornsoup]

所以說 為什麼不能用算幾🤔

[@chenglons]

算幾的前提是要為正數

[@林筠浩]

題目提到的範圍都是正數~這不是不能用算幾的原因！ 是因為算幾等號成立時：a = b 要成立 題目中如果讓兩個數相等，會跟算幾算出來的最小值不一樣

[@user-cornsoup]

@@林筠浩 喔喔喔喔 謝謝

[@user-xj8he4gr2h]

因為算幾不等式只能列式，解不出值。

[@Somesheep]

在9:12最後讓等號成立的條件有2 1.(2/sinθ)=(3/cosθ) 2.sin2θ=1 這兩者不可能同時成立 因此不等式右邊的sin2θ會沒辦法取代掉

[@thomaswan4956]

2/sin(θ) + 3/cos(θ) = (2cos(θ) + 3sin(θ)) / (sin(θ)cos(θ)) (2cos(θ) + 3sin(θ)) / (sin(θ)cos(θ)) = (2/cos(θ) + 3/sin(θ)) / (1) (2/cos(θ) + 3/sin(θ)) / (1) ≥ 2√(2/cos(θ) * 3/sin(θ)) / (1) = 2√(6) / (1) = 2√(3) d/dθ ((2cos(θ) + 3sin(θ)) / (sin(θ)cos(θ))) = 0 (-2sin(θ) + 3cos(θ)) / (sin(θ)cos(θ)) = 0 2/sin(π/6) + 3/cos(π/6) = 2√(3) 2√(3) = approximately 3.46.

[@郭俊麟-y4k]

這題柯P應該會 當年台大醫科的神人

[@user-bo2qm6us6m]

柯P第一次聯考數學是30分..

[@MachineLearninger]

柯p 考大學是民國66年 有史以來數學第一難題目 當年甲組高標組 30分，但還是出了一個天才 有大學聯考以來最高分 白培霖，真正的天才 後來上台大電機 也是每學期第一年畢業。 他的傳奇 google 查的到。