竞赛几何题，求圆面积，如此简单却全军覆没！

[@ruohan1503]

设最左侧第一个正方形的左下角坐标为（0,0），不难看出，最右侧正方形的右上角坐标为（16,8），右下角坐标为（16,4）。这三个点均在同一个圆周上。令此园方程为(x-k)^2+(y-t)^2=r^2.。将上述三个坐标带入，解得k=7, t=6，k^2+t^2=r^2.则r^2=85

[@wandoujiangshuxue]

妙！👍👍👍

[@陳書凱-w5q]

這才是正解!!

[@jiangchuYT]

Right! Actually, we know t=6 without solving since the perpendicular bisector of a chord passes the center. So we only need to plug in two points to solve for k and r.

[@shuaizhao8124]

@@wandoujiangshuxue 都是正方形，三个坐标都是整数，第一感就是上解析几何。

[@krsna2888]

😂思路對了解起來快得多，搞那麼多輔助線啊定理啊，不如直接解方程

[@wangzhe8719]

這個講解，讓會解的人聽得懂，不會解的人聽不懂😂

[@exlife9446]

重点是分析在圆上的三点，可知道圆心在三条边的垂直平分线的交点，进而可以分析出 r ² = 2² + (1+4+4)² = 85，所以圆面积 = sqrt(85) * pi。

[@紫瞳-w6t]

且看另一種解法。 1.最左邊正方形與圓有1交點為點A，最右邊正方形與圓有2交點為點B(較高)點C(較低)。則圖中的圓即為三角形ABC之外接圓，圓半徑R即外接圓半徑。 2.觀察三角形ABC，BC=4，AC=sqrt(16^2+4^2)=4sqrt(17)，AB=sqrt(16^2+8^2)=4sqrt(20)。 3.由餘弦定理，cosA=[(AC)^2+(AB)^2-(BC)^2]/[2*(AC)*(AB)]=(272+320-16)/[2*4sqrt(17)*4sqrt(20)]=18/sqrt(340)=9/sqrt(85) 4.sinA=sqrt[1-(cosA)^2]=2/sqrt(85) 5.由正弦定理，BC/sinA=2R，R=BC/2sinA=4/[4/sqrt(85)]=sqrt(85) 6.圓面積=Pi*R^2=85Pi 與你的解法明顯不同!

[@紫瞳-w6t]

我覺得不用那麼多花裡胡俏的輔助線，大道至簡

[@wandoujiangshuxue]

好方法！就是计算稍微多一点

[@ChienningChen]

圓心在BC的中垂線上，距離為x。圓心到ABC三點等距，畢氏定理就能解x。

[@紫瞳-w6t]

我猜你的意思是2^2 + x^2 = r^2 = 6^2 + (16-x)^2， x =9 ； r^2 =85， 計算確實較簡潔， 但是要多畫3條輔助線。

[@BibaoInc]

其实用交于圆的三点做三角形，三边长为a=4，b=8sqrt(5)，c=4sqrt(17)，面积为S=32，用外接圆半径公式可得 r = abc/(4S) = sqrt(85)

[@jasonlin5884]

但，S=32 是要用海龍公式算嗎？ 那這太繁雜了！

[@BibaoInc]

@@jasonlin5884 不需要，三角形以右边竖边为底长度是4，从左边一点到右边的高的4个正方形连长和为16，于是面积是4*16/2=32

[@woopiter7259]

最右侧正方形的一边与圆相割得一弦，做它的中垂线，这条线是最重要的辅助线，视频播到完也没有画出来，若画出来，线段8和过圆心的小三角形的2线段，就迎刃而解了。

[@vincentsmyang]

算出x之後，x+4+4+4+4 這條弦與最右邊的正方形右側的垂直邊構成直徑的圓周角，所以用畢氏定理直接可以算出半徑 = 1/2 sqrt( (x+4+4+4+4)^2 + 4^2 )

[@李近象-d2e]

难点就一个：x*16=4*8 ，我不记得有这个公式了。

[@pangeladelia7725]

其实是相似三角形来的。 做两个直角三角形 然后应用圆周角相等定理。

[@xxldao]

相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

[@pangeladelia7725]

@@xxldao 嗯，您讲标，我讲本，甚至已经就说明了如何证明

[@李近象-d2e]

@@pangeladelia7725 香蕉悬定理，我想起来了🤣🤣🤣

[@Zack-hh8uk]

没记得教过这个啊。初中还是高中的？

[@easonqiu7326]

用海倫公式，外接圓半徑 （abc/4r）外接圆面积公式。

[@viscourtroy]

對不起，我真的不敢說那段數長度真的是8且碰到圓周，我不承認。

[@wuwoo8586]

把下面格子鏡射到上面就知道。

[@ocm0104]

8是對的，但是解釋不是很理想

[@lovelf2net52]

應該是這樣解釋 直的綠虛線 跟 最右邊正方形的弦 是平行的 這兩弦的垂直平分線是同一條=直徑 所以可以推出 綠虛線的一半是6 整個為12

[@superterrynet]

8是對的，但她的解釋對不懂的了等於沒說，不是每個人都適合教人

[@damnit00000001]

垂什麼徑？垂的徑在哪裡？3:00在說什麼幹話？不要胡扯好嗎？順序都錯了算什麼解答。先有直徑，才有垂徑好嗎？

[@raymawm]

垂徑定理，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。她想得太快，說明太簡略。如果用右手邊的正方形解釋比較容易。因為所有弦的一半的垂直線，必定經過圓心。 所以左手邊的弦線一半的垂直線也剛好穿過鉛芯圓心。 也就是大弦減細弦=（4+2）-4/2=4 。❤❤😊

[@unpika8893]

是有啦 不過不是她那超簡略的帶過證實的出來的 右邊正方形的短弦跟左邊平行的？單位長的弦中垂線是 同一條直徑 又因為其下半是已知的4+2=6 總合自然是12

[@damnit00000001]

​@@unpika8893 你講得我都知道，但解答的順序很重要好嗎？以前電子學小訊號分析，好像是smith第四版用了省略法一步出結果，而且沒說明，結果另外花錢買neamen電子學才發現smith第四版省略超級多步驟，根本有bug。這種一句用XX定理帶過的老師是最可惡的老師。後面學生要花多少時間才能找出原因？

[@user-vm8fv6nm6k]

@@raymawm 你这个解释和她一样让人莫名其妙。

[@wupoi9]

3:00 根據「垂x定理」，是什麼定理啊？ 再者，8那段也不是完整的弦，會有什麼定理可以用？

[@wandoujiangshuxue]

@@wupoi9 垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧

[@wupoi9]

@@wandoujiangshuxue 這樣有問題呀，8那一段不是弦，垂直8的那條直線也不是直徑，怎麼能用垂徑定理呢？

[@mujium]

@@wupoi9 圓冪定理（英語：circle power theorem）裡面的 「相交弦定理」　 維基百科 zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%9C%86%E5%B9%82%E5%AE%9A%E7%90%86

[@wupoi9]

@@mujium這個定理是用在求2那一段的長度時用的，我要問的是8的長度是怎麼算出來的？因為8那一段不是弦，應該是沒有定理可以用的。

[@mujium]

@@wupoi9 它有畫一條利用3個正方形的邊，延伸而出一條水平的弦，利用同樣方法，往上也可以畫出平行前述水平弦的2條水平弦（它沒畫出），利用這兩條弦往左與圓交會，你就可以看出 為什麼是8。 用講的很難描述，如果你還是看不懂，我也就艾莫能助~

[@AMOSCHANG1979]

8那一段，怎麼確認直接往上畫就說是8

[@DerayHsueh]

跟我想的一樣，但我當年沒考這麼簡單的題目 我沒辦法發揮🕶️

[@王明-c4q]

这个证明不完美

[@usherchen1143]

最大的問題點在於，你必須自己強加一個設定，說最右邊那個正方形的兩個點在圓上，才可以解.... 但嚴謹來說，題目沒說就不是，所以解不出來！

[@樂咖阿北]

是不是買不起尺阿........那不如直接拿張紙對齊中線做記號，你就知道直徑了，然後拿沒有數字的那段去對16的邊看是幾分之幾，算一算就知道直徑是多少了，知道直徑後除與二就是半徑了，就可以直接計算了

[@DavidLiuHome]

怎麼解，根本不是重點，怎麼想才是關鍵。首先要看出來這裡有一個圓和一個內接三角形，只要知道這個內接三角形的數值就能找到唯一外接圓的數值。這是第一個思考的關鍵。 第二個是其次的就是發覺可以用自訂直角座標軸，輕易找到這個三角形三個端點的座標。 剩下的只是看你怎麼用這些已知去推那個圓的面積了，套什麼公式根本不是重點，公式忘光了也可以用簡單的一些座標和向量關係去推導，發現這些關係才是這個題目真正希望我們腦袋能發現的概念。🌰🐾🐿️ 好吧，好吧，如果有了前面的兩個發現的條件，還無法簡單找到解，那就再發現一個概念吧，圓的內接三角形三頂點到圓心必然是等距離的，這個距離就是圓的半徑。我們不知道圓心的位置，可以把圓心設為一個未知代數座標（x,y)，這樣圓心到三角三頂點的距離可以得出三個代數方程，它們兩兩相等，於是就有三個x,y相關等式，能解出x,y了吧？這樣半徑也可以得到了吧？知道半徑的圓會解面積嗎？ 第三個觀察所得的概念就補給那些沒把圓和內接三角間關係學好或忘了的的朋友吧。🌷

[@BruceMilpitas]

如此简单，只花了六分多钟！😂

[@joeimck]

這是甚麼年級的數學?? 我在香港念了中學5年也沒有聽過，是普通數學?

[@ibvocean]

x * 16 = 4 * 8 是根据什么定理?

[@Jerry-pe1gc]

还有一个方法就是把所有格子补全

[@Tr3e1986]

看起來比較複雜一點的圓內接三角形

[@gto901111]

對於"簡單"是有什麼誤解？

[@user-vm8fv6nm6k]

看过几个讲数学题的频道，你这个视频还是删除了吧，那个垂径定理部分的讲解是个硬伤。

[@cub22000]

用兩支筆來測圓心在哪？

[@hanwushen7918]

题目没有给出四个正方形是平行排列

[@howiechang3225]

我只是凡人.... 直接放棄😂😂😂！

[@shaorenyuan8926]

正弦定理+勾股定理，很快解出来

[@arthuryu7141]

3'46"时就有简便方法求园面积：Pai x ((2+4+4+4+4)^2 + 4^2)/4

[@tonedeaf7672]

有個外國人又是說這個

[@dummynightmare3076]

垂直平均線你話係就係？

[@mayihelpyou5557]

最喜歡看你一本正經的胡說八道了 誰告訴你這是正方形了

[@欸不是]

這個…隨便一個國小生都解得出來吧…怎麼可能競賽全軍覆沒 亂講 直接封鎖 再見

[@user-io4rn6rk9h]

啰嗦😂

[@gn00345629]

你X都能算出來 為什麼還要花這麼多時間 直接用勾股定理不就知道直徑了........ 題目的難點有兩個 第一個是右邊的正方形的邊是圓的弦 第二個是 相交弦定理太冷門 冷門到維基百科上都沒有中文版..... en.wikipedia.org/wiki/Intersecting_chords_theorem

[@周永明-c6q]

X乘16=4乘8，這句完全沒說清楚！

[@TW88888]

同问

[@Reiya_love_Rinko]

@@TW88888 圓上兩弦相交，設弦A，B，交點一側稱A1/B1，另一側稱A2/B2 則A1*A2=B1*B2 成因是，相交的兩弦可構成兩對等比三角形，經過計算簡化可得上列公式

[@iamtzemin]

對到同一個圓弧，相似直角三角形，對應邊成比例。4：x =16：8

[@smallpaosmallpao]

X*X*3.14159 PURFECT

[@hongko9858]

乱來