BIG CHALLENGE: 1+7+13 + ... + x = 408

[@calitony4912]

Toujours un plaisir ! Merci

[@h.younous3290]

C'est fascinant comme exercice. Merci continue.

[@soubac1991]

Très intéressant ! Bravo pour votre explication. Continuez.

[@michelbernard9092]

Dans une équation du second degré ax²+bx+c=0, lorsque b est pair (b=2b'), c'est sympa d'u utiliser le Δ' Δ'=b'²-ac et (x1,x2)= (-b'± √Δ')/a ici Δ'=1+3*408 = 1225 = 35² et x1=(1+35)/3=36/3

[@fabricecourousse787]

très intéressant, merci!!

[@ph.so.5496]

Moins de 3,5 secondes et sans spoiler : 408 - 1 = 407 407 : 6 = 67,83 donc x =67 car c'est le dernier entier (avant 68 qui n'est pas encore exprimé et qui, s'il l'était, entrainerait une somme supérieure à 408; cqfd) Hi.😊👍

[@flight7218]

c'est juste la somme : Som(1+6k) =408 , pour k compris entre 0 et p , avec 1+6p=x

[@learnmentalmath]

oui et avec linéarité de la somme on trouve aisément la quadratique qui nous permet de trouver la valeur de n

[@saltimbanckjo2203]

On peut aussi remarquer qu'il y a n+1 termes en 1 plus la somme des premiers naturels de 1 à n multipliée par 6. Soit 408=(n+1) + 6*(1+2+...+n)=(n+1) + 6*n*(n+1)/2=(3n+1)(n+1). Cela donne 3n^2+4n-407=0. On trouve alors Δ=4900 et la seule solution positive n=11. Ainsi x=6n+1=6*11+1=67

[@Romajous]

Est ce qu’il n’aurait pas été plus simple d’inverser l’équation x = 1 + 6(n-1), d’exprimer n en fonction de x et d’injecter dans la formule de somme [(1 + x)*n]/2 = 408?

[@cofbmaitres1177]

C'est ce j'ai fait, j'ai exprimé le nombre de termes en fonction de x, ce qui donne (1+(x-1)/6)=(x+5)/6 Ainsi, S=(x+1)/2*(x+5)/6=(x²+6x+5)/12. S=408 x²+6x+5=408*12=4896 x²+6x-4891=0 Δ=36+4×4891=19600=140². On a alors x1=(-6-140)/2=-73 et x2=(-6+140)/2=67, qui est la seule solution recevable

[@learnmentalmath]

somme de k allant de 0 à n vaut n(n+1)/2 ici on a somme de k allant de 0 à n de 6k+1, par linéarité de la somme on a 6*n(n+1)/2 + (n+1) =3n^2+4n+1 et donc 3n^2+4n+1=408 => 407=n(3n+4) on regarde les facteurs de 407, on trouve 11*37 et donc n=11 car x=6n+1 on a x=67

[@Sorenspeed]

Ne serait-ce pas la formule de sommation de Gauss ?

[@hedacademy]

C’est la forme générale de la formule oui

[@olivier3240]

Ce qui manquait au lycée, c'était de comprendre à quoi ça sert de savoir résoudre des équations du 2nd degré. On apprenait bêtement les formules. C'est bien d'avoir des applications "concrètes" ❤

[@florianbasier]

Perso je ne me souvenais plus de formule initiale mais c'est pas grave, elle se retrouve facilement quand on connait (et on devrait tous!) la somme des k. Ensuite j'ai fait mon maximum pour ne PAS avoir à calculer delta parcequ'avec un 408 merci bien, mais à la place utiliser la decomposition en facteurs premiers (et là aussi on devrait tous!). Bref, il existe n entier tel que x=6n+1. S=somme (1+6k) pour k=0:n. S=somme(1)+6.somme(k)=(n+1)+6.n.(n+1)/2 = (n+1)(1+3n) = 408=2*2*2*3*17. Puisque n est entier, 1+3n ne peut PAS etre multiple de 3 donc n+1 est multiple de 3. Il existe donc k dans N (puisque n=2 ne marche pas) tel que n=3k+2 donc (k+1)(9k+7)=2*2*2*17. On remarque que si k est pair, alors (k+1) et (9k+7) sont tous deux impairs, donc leur produit l'est aussi - ce qui est faux. donc il existe p dans N tel que k=2p+1. Alors (2p+2)(18p+16)=2*2*2*17 et donc (p+1)(9p+8)=2*17. Comme p>0 9p+8>p+1 donc p+1=1 (avec 9p+8=34) ou p+1=2 (avec 9p+8=17). Du coup p=0 (avec 8=34 donc non valide) ou p=1 (avec 9+8=17 donc valide) et donc une seule solution: p=1, donc k=3, donc n=11 et donc x=67

[@cofbmaitres1177]

Moi j'ai exprimé le nombre de termes en fonction de x, ce qui donne (1+(x-1)/6)=(x+5)/6 Ainsi, S=(x+1)/2*(x+5)/6=(x²+6x+5)/12. S=408 x²+6x+5=408*12=4896 x²+6x-4891=0 Δ=36+4×4891=19600=140². On a alors x1=(-6-140)/2=-73 et x2=(-6+140)/2=67, qui est la seule solution recevable

[@zakiater]

suite geomtrique loi de la somme de n elements=408 avec r=6 et t0=1 et en cherche x

[@cyruschang1904]

1 + (1 + 6) + (1 + 6 + 6) + … (1 + 6(n - 1)) = n + 6 + 2(6) + 3(6) + … + (n - 1)(6) = n + 6(n(n - 1)/2) = n + 3n(n - 1) = 408 3n^2 - 2n - 408 = 0 (n - 12)(3n + 34) = 0 n = 12 x = 1 + 6(n - 1) = 1 + 66 = 67

[@Timino-fk7ip]

En quelle classe peut on participer aux olympiades ?

[@Pierre.sardaigne]

Ça dépend de où tu habites...

[@Timino-fk7ip]

@Pierre.sardaigne région parisienne

[@Pierre.sardaigne]

@Timino-fk7ip t'as la coupe animath ( renseigne toi sur Pofm) à partir de la 5ème ==> si t'es bon tu peux être pris à la préparation française et faire des olympiades de plus haut niveau ( IMO,..). T'as également les olympiades de 1 ère je crois et tu dois également avoir les concours du type kangourou... J'espère que ça t'as aidé ! ( ps : j'ai en peut être oublié j'habite en Belgique)

[@Timino-fk7ip]

@@Pierre.sardaigne ça marche merci, là je suis en terminale du coup ya plus grand chose non..?

[@Pierre.sardaigne]

@Timino-fk7ip non effectivement tu es déjà trop vieux pour participer à des compétition internationales ( même si t'avais l'âge tu te ferais absolument défoncer par des jeunes qui se préparent depuis leurs 12ans), et en terminale je crois pas qu'il n'y ait grand chose... Peut être à l'université mais je ne connais absolument pas ce type d'olympiades ( jamais entendu parler d'olympiades à l'université)

[@ManuCath]

67, trouvé en 3,5 secondes avec Excel. Bon d'accord j'ai triché...

[@martial6429]

Déjà tu maîtrises excel😂

[@pascalschark7875]

C'est sans doute un hasard mais 408 : 6 = 68 ; 68- 1 du premier terme = 67 On peut vérifier 67 +1, 61 + 7 etc c'est rapide même si ce n'est pas orthodoxe et transposable.

[@nanapiou9482]

Ça m'a bien l'air d'être un hasard, ça ne marche plus pour la somme jusqu'au terme suivant

[@Gauvin-2005]

J'aurais trouvé d'une manière moins correct, mais plus intuitive 😅 J'ai vu que c'était une suite arithmétique de raison 6, et que x était à la fin. Donc j'aurais additionné jusqu'à trouver la somme de 408 😅 Donc je serai arrivé rapidement à la solution mais j'aurais pas su la démontrer proprement.. Mais maintenant je sais refaire merci ! 😄

[@Fyoken]

Le problème avec ta solution c'est que si tu changes 408 par un nombre très grand, ça te prendrait des heures

[@MicMic-31]

oui très rapide avec la calculette. Et pour un nombre très grand Excel est ton ami et encore plus rapide. 🙂

[@Fyoken]

@@MicMic-31 C’est vrai qu’en Olympiades, c’est pratique la calculatrice et Excel 😬

[@adamboulaid1365]

Il y a une erreur, car vous avez oublié le moins du -b+√∆/2a et par suite N2= 34/2 ≈ 11,33 d'où le nombre des termes est 11 , donc : X = 1 + ( 11-1 ) 6 = 61 . Est ça le résultat 🙂🙂. J'ai vérifié le résultat par le symbole sigma et ça me donne 408 .

[@ManojkantSamal]

^=read as to the power *=read as square root As per question 1+7+13+..........+X=408 Here first term 'a'=1 Common difference 'd'=13-7=7-1=6 Sn=408 According to the formula Sn=(n/2){2a+(n-1)d} So, (n/2){2a+(n-1)d}=408 So, (n/2){(2×1)+(n-1)6}=408 So, (n/2){2+6n-6}=408 So, (n/2){6n-4}=408 So, 6n^2-4n=2×408 So, 2(3n^2-2n)=2×408 So, 3n^2-2n=408 3n^2-2n-408=0 So, 3n^2-36n+34n-408=0 So, 3n(n-12)+34(n-12)=0 So, (3n+34)(n-12)=0 So, 3n+34=0 or n-12=0 So, 3n=(-34) or n=12 3n=(-34) is not accepted due to negative So, n=12 We know, tn=a+(n-1)d So, t12=1+(12-1)6 =1+(11×6) =1+66=67 Hence, X=67.......May be

[@tgwitcomfr94]

ah, je pensais que c'était une suite qu'avec des nombres premiers, vu qu'il y a 7 et 13 ; et qu'il fallait déterminer le nombre "x" ultime pour avoir 408.

[@bedelevenerable7914]

LA PROGRESSION DE 6 DONNE 408 DIVISé PAR 6 = 68 AUQUEL IL FAUT SOUSTRAIRE L'UNITé QUI EST NEUTRE DONC 68-1= 67. X=67

[@jean-pierrepizzinato6658]

Et toujours pas de discriminant réduit !!

[@rinkio9044]

Je vois 4×1225 = 4900 la racine est évidente, c’est 70

[@PhilLeChatounet]

1 + 3 + 5 + 7 + ... + x = 2025

[@hedacademy]

Très bonne idée de vidéo 😃👍🏼

[@gyther9281]

Très joli calcul de mathématicien, mais pendant ce temps-là le technicien a lancé deux ou trois fusées en faisant appel à des méthodes plus bourines. Les bourins font décoller des fusées, les matheux écrivent sur des tableaux.

[@mortimer1848]

x=0

[@Sorenspeed]

Facile, il est juste avant 408. À moi la médaille Fields ! 🥇😎

[@boutjimrachid]

X=68

[@dinoslama8243]

bien vu

[@oliviervancantfort5327]

On peut immédiatement voir que c'est faux car tous les termes de la série sont impairs.

[@compsoi]

Pour le coup, j'ai été troublé par l’énoncé. J'en suis à trouver x = 5 et n = 67. En effet, pour moi c'était 1+n*6+x = 408 J'ai mal compris, je penses :/

[@dinoslama8243]

68 après vérification

[@oliviervancantfort5327]

Non, on voit immédiatement que tous les termes de la série sont impairs, donc ça ne peut pas être 68.

[@gelbkehlchen]

Solution: 1+7+13 + ... + x = 408 a0 = 1 a1 = 1+1*6 a2 = 1+2*6 un = 1+n*6 sn = (a0+an)*(n+1)/2 = (1+1+n*6)*(n+1)/2 = (1+3n)*(n+1) = n+1+ 3n²+3n = 408 ⟹ 3n²+4n+1 = 408 |-408 ⟹ 3n²+4n-407 = 0 |/3 ⟹ n²+4/3*n-407/3 = 0 |formule p-q ⟹ n1/2 = -2/3±√(4/9+407/3) = -2/3±1/3*√(4+407*3) = -2/3±1/3*35 ⟹ n1 = -2/3+1/3*35 = 11 et n2 = -2/3-1/3*35 = -37/3 [pas un nombre naturel] ⟹ a11 = 1+11*6 = 67 = x