충격적인 멘붕 포인트. 이보다 쉬울 순 없다!

[@user-um3jv7xt5c]

Zorn's lemma와 그 활용을 보면 '지구는 둥그니까 자꾸 걸어나가면 온 세상 어린이를 다 만나고 오겠네'라는 노래가사가 생각이 나더라고요 😂😂

[@hyeonsseungsseungi]

멋진 견해입니다!

[@rein8510]

지구가 완벽한 구가 아니라서 계속 걸어나가면 직선으로 가정한다면, 다만날 시점은 언제일지 구하시오. (3점)

[@Onuma-sz9qz]

@@rein8510 다 만날 수 없습니다. 지구 육지의 면적은 약 1억 5000만 km^2 인데, 150m^2 정사각형 면적 안의 어린이를 10초마다 만난다고 가정해도 4000일 이상 소요됩니다. 4000일 안에 지구 내에서 새로운 어린이가 태어날 것은 자명하므로, 지구상의 모든 어린이를 만나는 것은 불가능합니다.

[@RyeedAglan]

선택공리에 대해 언급할 때 제가 자주 소개하는 수학자 제리 보나(Jerry Bona)의 농담이 있어요. The Axiom of Choice is obviously true, the well-ordering principle obviously false, and who can tell about Zorn's lemma? 선택공리는 직관적이고, 웰오더링은 직관에 반하는 것 같고, 초른의 레마는 직관이 쉽사리 답을 내리지 못한다는 뜻에서 남긴 말이라고 합니다.

[@note5jang]

그라고 보면 위대한 자도 일반인도 직관에 있어서는 같은 사람인가 봅니다! 어려운 것은 같이 어렵고 쉬운 건 같이 쉽게 느껴지고..ㅎㅎ

[@user-ghj3d8dgh]

이게 왜 무섭냐면 농담이었다는 게.... ㅋㅋㅋㅋ

[@민수김-t3n]

12형님, 간단하지는 않겠지만 갈루아 이론을 다뤄주실 수 있나요? 5차방정식의 근의공식이 없는 이유를 이해하려고 위키도 보고 영어로 된 유튜브도 여러 개 찾아봤는데, 어느순간 길을 잃고 깨닫는게 아니라 내용을 받아들이는 수준에 그치더라고요. 언젠가 다뤄주시면 너무 기쁠 거예요. 영상은 너무 잘 보고있어요. 감사합니다!

[@찬-h9t]

군, 환, 체에 대한 기초적인 배경지식을 상당히 많이 요하므로 이해하고싶으신거라면 현대대수학을 완독하는게 낫습니다. 유튜브에 요약본으로 올린것을 보신다면 겉핥기식, 혹은 그에도 미치지 못할 가능성이 높아요.

[@민수김-t3n]

저도 무슨 말씀이신지 잘 알고 있습니다. 다만 유튜브 영상이 겉핥기식이 될 거란 의견엔 생각이 다릅니다. 영상에 따라 깨우침을 줄 수 있고, 많은 사람에게 놀라운 평가를 받는 영상도 이미 있다고 생각해요. 물론 군, 환, 체 등의 배경지식을 요하기때문에 요약하기 어렵다는 의견은 저도 동의합니다. 다만 저는 현대대수의 정의들을 알지만 왜 다항식의 솔버블이 오토몰피즘의 솔버블로 이어지는지 깨우치지 못 했고, 이를 이해하기 위해 대수책 후반부까지 완독하는 것이 직장을 다니면서 시작하기에 부담스럽긴 합니다. 쓰고보니 이해하려면 공부하는게 당연한데, 제 논리가 이상하네요. 한국어로 5차방정식의 근의 공식이 없는 이유를 잘 설명하는 영상은 아직 많이 없는 것 같아요. 반면 외국에는 인기 영상이 몇 개 있는데, 영어가 문제인지 논리가 문제인지 저는 보다가 길을 잃더라고요. 그래서 희망사항을 적어보았습니다. (조심스럽지만, 제가 도움을 얻으려고 봤던 영상들이에요) kzbin.info/www/bejne/sHS4aqeQZ7uejcU kzbin.info/www/bejne/eISrp2x7odBkg7c kzbin.info/www/bejne/eajZpo1ulq2sfpY

[@note5jang]

ㅎㅎ 저두 도전중인 주제로군요..우리가 듣고자 하는 핵심은 이거 아니겠습니까! 그 문제를 푸는데 결정적 시발점 아이디어의 역사적 발견과정. 번쩍하는 시발점 아이디어(실마리!)가 떠올랐다고 해도 문제를 해결하는 것은 많은 노력이 필요하다는 건 다 알지만 문제해결의 큰 줄기를 잡는데는 핵심적 실마리가 아주 중요하고 생각합니다. 음..그 문제를 푼 선구자들의 핵심적 실마리가 저두 매우 궁금하네요

[@열공하는고양이]

갈루아 이론은 분량 자체가 유튜브 10분으로 뚝딱 할 수가 없는 내용이라 그냥 책 "갈루아 이론의 정상을 딛다" 완독하시면 도움이 됩니다... 기초부터 확실히 쌓아올리는 책입니다.

[@민수김-t3n]

좋은 정보 감사합니다! 도움이 될 것 같아요.

[@dukasgeorge7584]

선택공리를 설득하는 유일한 방법은 선택공리 반대자의 뚝배기를 망치로 깨버리는 방법 밖에없습니다. 머리로 납득이 안되면 물리로 설득을 해야죠.

[@dezpac4912]

학자(물리)

[@gamemode23784]

물리학자네요

[@longtail9230]

이 채널의 장점은 초반 빌드 업을 잘 해줘서 수학을 잘 몰라도 그 논리를 따라가는 게 어렵지 않다는 점이 최고의 장점입니다. 이렇게 수학을 배웠으면 학창 시절에 참 재밌게 수학 공부했을 텐데 ...

[@note5jang]

이런 주제의 설명도 보다 널리 일반인에게 공유해야 된다고 늘 생각해 왔는데...설명이 아주 좋습니다. 👍

[@비트컴퓨터-f6f]

수학과 1학년 시작부터 내가 알던 수학에 관한 정체성의 혼란이 느껴지는 순간이죠

[@xiti2834]

와 ZFC 공리계 저번에 해달라고 부탁드렸던 건데 너무너무 감사합니다😭

[@Snowflake_tv]

땡큐

[@민수김-t3n]

땡큐

[@iyj9152]

수리논리/기호논리학 관련 내용도 한번 영상으로 나오면 재밌을거 같슴다...

[@ABCDE-y4t]

혹시 선택공리와 관련해서 바나흐-타르스키 역설도 다뤄주실 수 있으신가요?

[@김용재-l1c]

선택공리에서 Banach-Tarski paradox의 증명도 이어질 수 있는 것으로 아는데, 저는 Banach-Tarski paradox가 정말 이해가 안되더라고요... 혹시 이 부분에 대한 영상도 올려주시면 감사드리겠습니다. 쉽게 쉽게 잘 풀어 설명해주셔서 영상을 보게 된다면 조금 이해할 수 있지 않을까 싶어서요...

[@Snowflake_tv]

저두 동의. 영상 기대합니다!

[@Snowflake_tv]

이거 도움돼요. m.blog.naver.com/vbnfgh231/222883324457

[@fierydino9402]

흥미롭군요!! 감사합니다😀

[@ylogicmachine6812]

정말 재미있는 내용이네요 잘 봤습니다

[@이재원-i1g]

cardinality, 가산, 불가산을 배워서 그런지 관련 내용이라 흥미로웠네요 감사합니다

[@규규-o7y]

질문이 있습니다.. 웰 오더링을 위해선 최소 원소를 정의해서 룰을 만들어 크기 관계를 정립하는 것이 가장 중요하다고 이해해도 문제가 없는 걸까요? 음의 정수가 포함되는 모든 정수의 웰 오더링을 위해선 먼저 0을 최소 원소로 두고 그 뒤로 양수 음수가 반복되는 룰을 만들어 크기 관계가 정립이 되니 웰 오더링이 가능하다고 이해를 했습니다. 하나 영상의 말씀대로 모든 실수의 영역에서 웰 오더링이 가능하다 라고 하려면, 모든 실수 영역에서 최소 원소를 하나 정해두고 어떤 룰을 만들어 모든 실수 영역에서의 크기 관계를 정립시킨다면 해결되는 문제인 건가요? 분명 추상적으로는 가능해 보이는데 그 룰을 정의하기가 굉장히 난해해 보이네요.. 항상 영상 재밌게 보며 배우고 있는데 제가 잘못 이해한 것일까 걱정되어 질문을 남깁니다.

[@user-ghj3d8dgh]

선택 함수를 어떻게 정의하느냐가 제일 중요하죠... 그런데 집합에 무리수가 있으면 거기서 멘붕이 온다는 게 함정...

[@성이름-q8t8u]

ㅇㅈ....궁금하다 이거

[@규규-o7y]

​@@user-ghj3d8dgh그러면 누구나 납득 가능한 무리수를 포함하는 잘 정의된 선택함수를 증명하면 해결되는건가요? 물론 제가 잘 몰라서 하는 이야기입니다😂

[@user-ghj3d8dgh]

@@규규-o7y 선택함수는 공리니 믿으라는 겁니다.

[@snu__cse]

@@규규-o7y 선택공리가 '선택'이자 '공리'가 된 이유는 기존 ZF 공리계와 아예 독립적인 명제임이 증명되었기 때문이라고 알고 있습니다. 즉 이 명제가 참이어도 거짓이어도 ZF 공리계 하에서는 말이 된다는 거죠... 선택공리가 ZF 공리계에서의 불완전성 정리를 증명하는 실례인 셈입니다. 이 점으로 미루어 볼 때 "선택함수가 존재하더라도 이 함수는 우리가 아는 방법으로 기술할 수 없다" 따위의 명제가 성립하지 않을까 싶네요(저도 아직 잘은 모릅니다...) ZF와 일관적이므로 최근에는 대부분의 수학자들이 선택공리를 가정하고 들어간다고 들었습니다. 선택공리로 인해 참이 되는 유용한 명제들이 많거든요.

[@이강혁-w1d]

최근에, 괴델 에셔 바흐를 읽으면서 완전한 공리계에 대해서 좀 생각이 많았는데, 재미있는 영상 감사드립니다. 건강 잘 챙기세요.

[@비트컴퓨터-f6f]

12:45 오 우리과도 이걸로 공부했었습니다 교수님과 같은책으로 공부했다니 괜히 자부심생기네요 ㅎ

[@성이름-q8t8u]

와 진짜 어지럽네.... 선택공리가 규칙 없이 그냥 선택만 해도 되는거면 참인거같은데, well-order를 할려면 규칙이 있어야 할거같은데 실수집합에서는 이 규칙을 만들수가 없을거같아서 거짓인거같고... 근데 이 둘이 필요충분조건이라니(주입식교육에 익숙해진 나도 피해자인듯 하 이걸 이해하고싶다는 생각을 해야되는데 그냥 생각이 막혀버려 우리나라 교육 어떡하지 문제많다아아) 미치겠넹 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

[@Orange_77]

초실수체에 대해서는 항상 최소 원소를 수월하게 정의할 수 있어 보이는데, 사실 알고보면 그동안의 실수 체계에 대한 정의가 오히려 틀렸을 가능성도 있는걸까요 ㄷㄷ...

[@konigmitte1123]

초실수를 구성하는 과정에서 자연수집합의 free ultrafilter를 사용해야하는데 free ultrafilter가 존재함을 증명하려면 선택공리를 가정해야해서.. 그리고 초실수체를 제대로 공부해보시면 아마 얼핏 찾아보신거랑은 많이 다르실거예요 초실수체에선 least upper bound property조차 성립하지 않는답니다😢

[@견생원두메리]

무한히 많은 별들이 흩어져 있는 밤하늘에서, 선택공리는 별 하나를 선택하는 손길을, 정렬정리는 그 별들을 선으로 연결해 하나의 별자리를 그리는 지혜를 의미한다. 그러나 만일 그 별들이 잡히지 않는다면, 별자리는 결국 상상 속에만 존재할 뿐이다.” 이렇게 표현할 수 있을 것 같아요. 선택공리가 별을 선택하는 능력이라면, 정렬정리는 그 별들을 나열하는 과정이니까,

[@김제용-z4u]

숨 참고 다음 영상 기다립니다!

[@rld3199]

선택공리를 보면 항상 바나흐 타르스키 역설이 생각나는데, 그걸 설명해주시는것이 가장 직관성을 해치는 예시가 될 것 같습니다!

[@정광빈-x2d]

선택공리, zorn's lem, well ordering thm, maximal thm 이거 동치명제 증명하는 거에서 수학과 후회했었는데

[@chqhxx]

선택공리 순환 들으면서 재밌네 생각했는데 이렇게 또 나오는군요 간만에 또 듣고 갑니다~

[@hyeonsseungsseungi]

제가 평소에 어려워 하던게 선택공리인데 잘 배웠습니다.

[@vrlxtsm]

수직선에서 부분집합?을 잡을때 시작과 끝만 정의하면 최소원소가 있는거 아닌가요?

[@posterouspre8333]

임의의 순서를 정해서 그걸로 크고 작음을 정의했을 때, 실수 집합 안의 그 어떤 부분 집합을 선택하더라도 그 순서로 크고 작음을 정의할수 있어야대는데 그게 안되죠

[@finalFinalfinalFinal]

원래 순서집합의 순서를 이용해서 새로운 순서를 생각하는게 자연스러운데, 직관적으로 느끼기엔 실수에 well order를 (구성 할 수 있다면) 원래 순서를 이용해서 구성하는게 불기능한게 아닐지... 그러니깐, 영상에서 예시로 든 정수의 well order는 부분집합(자연수)에서 바라보면 완전 동일한데 실수에는 (어떤 well order가 존재해서 그 집합에서는 실수의 원래 순서랑 일치하는) 그런 부분집합이 (자명한것 빼면) 없는게 아닐까 그런 생각이 드네요.

[@finalFinalfinalFinal]

9:30 정수집합의 well order 구성

[@rtboa111]

제가 이해한 어떤 집합에 well-order를 준다는 의미는 어떤 기준 하에 관계로서 대소 비교가 가능하도록 정렬하는 것인데 그러면 실수의 집합을 수직선에 찍어두고 어떤 한 점을 기준으로 하는 거리를 기준으로 하면 대소비교가 되는게 아닌 건가요? 아니면 혹시 제가 잘 못이해하고 있는 건지 궁금합니다.

[@user-ym9xp2ib6u]

거리를 기준으로 하면 |-1|=|1|이라서 대표원이 2개가 되어버리는게 문제 아닐까요? 함숫값이 2개가 되어버리니까요

[@냥돌이석공-u4e]

그 점을 선택할 수 있다는 것이 선택공리이기 때문에 순환논리가 되는것같네요.

[@졸지마]

순서관계를 주는 것으로 끝나지 않고, 실수의 어떤 부분집합을 잡아도 대표 원소가 존재해야 합니다

[@ZeulS2]

@@user-ym9xp2ib6u 그럼 rule 을 이렇게 두면 어떤가요? 첫번째로 거리 기준으로 비교하고 만약 거리가 같으면 양수를 뽑도록 하면, 함숫값이 1개가 될 수 있는데.

[@user-qf2eb5ob9e]

혹시 이게 불완전성정리랑 관련이있나요? 비슷한맥락에서 연속체가설이 생각나네요

[@뚜레쥬르-w1x]

ZF 공리계 하에서 선택공리는 증명 및 반증이 불가능합니다. 불완전성 정리의 한 예죠.

[@andmathanitopia8278]

주변에 다른 친구들은 다 그냥 받아들이는데 그걸 그냥 받아들이기가 너무 어려웠던.... 나이 40근처가 되니 자연스럽게 미련을 버리게 되더라구요. 그 때 이후로 좀 많이 편해졌는데 그걸 받아들이고 나니, 20살때 그걸 못받아들여서 수학공부 손놓았던게 후회도 좀 되고 그렇더라구요. 그렇다고 40넘어 다시 하자니 그러기엔 이미 잘먹고 잘살고 있는데 굳이 할 필요성을 못느끼겠고 뭐 그렇습니다. 그래서 이렇게 넋두리나 주절주절하네요. ㅎ

[@Redbibles1970]

제곱한 값을 크기순으로 하면 어떻게 되는건가요? 0이 가장 작은수가 ...???

[@김명훈-g3o]

0이 가장 작은 수가 되겠지만, “0을 제외한 모든 실수의 집합”에서 가장 작은 수를 찾을 수 없을 것 같습니다.

[@Euler-yg1nt]

유익한 영상 감사합니다. 조회수로 보답하겠습니다.😊

[@윾.윾]

모든 부분집합에 랜덤하게 수를 뽑고 먼저 뽑은 순으로 순서를 부여하여 순서번호의 최소원소가 존재 하는것으로는 안되는걸까요

[@1LUXION]

가산/비가산집합의 내용과 살짝 닮아있는 부분이 있는 것 같은데, 직관적으로 가산 집합이면 무조건 well-order 가능하지만 well-order 가능하다고 무조건 가산 집합은 아닐 것 같다는 생각이 들었습니다.. 이것이 참인가요??

[@Etz_Chayim]

전자는 가산집합의 정의인것같고 후자는 영상을 보면 선택공리랑 필요충분조건이라는거 같네요

[@carsurta]

실수 범위 정도는 정수에서 했던 것처럼 절대값으로 오더링하고 부호가 반대인데 절대값이 똑같을 때만 임의로 순서를 정해주면 되지 않을까요..?

[@Cindy-dl8ny]

저도 이방법이 왜 안되는지 궁금합니다! 임의의 부분집합 원소들 중 기준점을 정하고 거리에 대응해서 order를 주고 부호는 앞서 정의하신 것처럼 같은 거리면 양의 부호가 음의 부호보다 작다고 하면 수직선 위에서는 다 well order이지 않나요?? 복소수도 기준점을 기준으로 같은 거리의 수가 무수히 많다고 하더라도, 라디안 값이 작을수록 수가 작고, 2pi 주기를 더할수록 수가 작아진다고 가정하는 등의 순서만 명시해주면 항상 기준점이 최소원소가 될 것 같은데 왜 모순일까요?!

[@하갸-c7n]

@@Cindy-dl8ny 만약 절대값을 기준으로 한다면 다음과 같은 질문에 대답할수 있어야 최솟값을 정할 수 있습니다. "0보다 큰 실수 중 가장 작은수는 무엇인가?" 왜냐하면 (0,inf)도 실수집합의 부분집합이니까요 (0초과인 실수) 딱봐도 어려워보입니다. 따라서 이를 부정하는 사람이 존재하는 것입니다.

[@Cindy-dl8ny]

@@하갸-c7n 답변주셔서 감사합니다! 존재하기만하면 될 줄 알았는데 원소를 구할 수가 없어서 문제인걸까요?? 0.0000000....1등의 가상의 수를 생각했는데 이걸 원소로 표현을 못해서 그런걸까요..!

[@하갸-c7n]

@@Cindy-dl8ny 정확히 이야기하면 무한은 수가 아닙니다. 사실 수가아니라 개념에 가깝습니다. 예를들어 x = 2x 라는 방정식이 있을 때, 이에 대한 답은 0이지, 무한 또한 답이 될 수 있다고 말하지 않죠? 따라서 (-inf,inf)에서 가장 작은수는 뭐야? 라는 질문에 선뜻 대답할 수 없습니다. '수'를 물어봤기 때문이죠. "세상에서 가장 작은 정수는?" "0보다 큰 수 중에 가장 작은 실수는?" 라는 질문에 "아 그 수는 n이야~"라고 답할 수 없다면 그 n이 존재한다고 할 수 있을까요? 오히려 그런 수 n은 존재하지 않는다고 보는게 오히려 더 타당해 보입니다. 사실 이 문제는 말그대로 '선택'공리의 파생형이기 때문에 존재한다고 하든 하지 않는다고 하든 선택입니다. 대신 사람들이 이 문제를 선택하는데 왜 어려움이 있는지 제가 잘 전달했다면 좋겠네요.

[@teknolozik]

Well-ordering이 안 되는 이유를 "{0보다 큰 실수의 집합} 이라고 하면 어떤 양의 실수를 가져와도 그것보다 더 작은 양의 실수를 무한대로 가져올 수 있으니 순서를 정하는 것은 불가능하다"라고 이해하면 되는 건가요? 공업수학에선 미분방정식, 푸리에변환 같은거 배우기 바빠서 공대생 입장에선 참 생소한 이야기네요 ㅎㅎ

[@졸지마]

아니요, 여기서의 순서는 크기와는 다른 의미입니다. 기존의 1

[@snu__cse]

order라는 개념이 우리가 생각하는 크기가 아니라 다른 방법의 대소관계를 잘 정의할 수 있는지 따지는 것입니다. 그리고 애초에 Well-ordering이 안 되는 집합이 존재한다는 것 자체가 선택공리가 거짓이라는 것인데, 선택공리가 참이라고 해도 기존 ZF 공리계 하에서 아무런 문제가 되지 않습니다. 여담이지만 저는 공대생 1학년 친구들이랑 이런 얘기 하고 노는데... 아닌 친구들도 있죠 뭐

[@강현규-g3g]

와 이거 진짜 너무 전공자한테 듣고싶었어요... 책 봐도 맞는건 알겠는데 그냥 받아드리기가 너무 힘들었는데 진짜 감사합니다.

[@김민영-h5s1i]

실수 집합에서 well-ordering을 정의 했다면 결국 첫번째로 작은 수, 두번째로 작은 수, 세번째로 작은 수.. 이런 식으로 실수 전체를 수열로서 나열하게 되는데 수열은 정의역이 자연수인 가산집합이고 실수는 비가산 집합이니 웰 오더를 정의 할 수 없지 않을까요?

[@elate-o]

대박 ㄷㄷㄷ

[@sloan00]

분명 제가 잘 이해하지 못해서 그런 거겠지만 처음에 정수를 나열했을 때 방식을 동일하게 사용하면 되지 않을까요? 절댓값이 큰 걸 더 큰 수라고 하고 절댓값이 같으면 음수가 더 큰 수다라고 생각하면 분명 실수의 부분집합에 대해서도 가능할 것 같은데... 제가 빼먹은 게 뭘까요? 연속한 경우엔 단순 크기 비교만으로는 불가능한가요? 아니면 허수 단위에서도 생각해 봐야 하나요?

[@sloan00]

@@abs_1818아하 무슨 이야기인지 알 것 같아요! 감사합니다 :)

[@local-q5c]

제가 어떤 데이터베이스를 만들고 그 데이터베이스에 들어간 실수 순서를 기준으로 정렬한다는건 말이 안되는건가요?

[@whitedream06]

이 영상은 정말로 충격적인 멘붕 포인트를 다루면서, 강의자가 그 문제를 해결하는 방법을 자세하게 설명해주었습니다. 어려운 문제에 대한 해결법을 배울 수 있었고, 강의자의 설명 덕분에 덜 어렵게 느껴졌습니다. 수학에 대한 새로운 도전을 경험할 수 있는 강의였습니다!

[@아잉-r1g]

Axiom of choice 배우고 바나흐 타르스키 역설을 증명했을때 멘붕이 온 적이 있었는데 소개하면 재밌는 주제가 될 것 같습니다

[@aigumoney]

정수처럼 하면 되는 것 아닌가요. 실수집합의 원소 x를 하나 뽑아. (실수 집합원소 ~ x ) "차"를 기준으로 절대값이 되겠죠. 적은 순서로 배열하면 되겠네요. 정수도 그렇게 했잖습니까. 절대값이 작은 순서로 배열. 그러니, 실수집합의 무작위 원소를 잡아서 그 원소와의 차가 작은 순서로 배열하던가 혹은 좌표로 따지자면, 무작위 좌표 하나를 잡아서 그 좌표와 거리 순서대로 집합원소들을 배열하면 되겠네요.

[@방성원-q4v]

x=0 으로 잡으면, 실수 집합에서 어떤 원소가 최소값이죠? ㅎㅎ

[@홀란드는홀란해]

질문있습니다 일하고있는데 일한지 1년이 넘어서 질문하기 살짝 쪽팔린 공식이 있는데 가격 매익률 구하는거랑, 매익률에따른 가격ㄱ구하기 어떻게 하나요 예를들어 800원에 구매한 물건을 1300원데 팔았을때 매익률 900원에 구매했을 때 매익률 16퍼센트를 남길려면 얼마로 팔아야하는지

[@jjnevermind3099]

이정도 중학교 수학은 본인을 위해서라도 천천히 스스로 풀어보심이 어떨까요?

[@홀란드는홀란해]

@@jjnevermind3099 풀이 공식을 알려달라고

[@성이름-q8t8u]

아이고

[@Etz_Chayim]

실수에 부여된 순서 A가 존재한다고 생각해보면 뭔가 공포가 느껴지긴 하네요. 왜냐면 우리가 정의할 수 있는 수는 가산개에 불과한데, A 순서대로라면 그 접근불가능한 수들이 아무렇지도 않게 하나둘씩 늘어놓아지는거니까...

[@qwer1234-n2x]

well ordering 실수부분에서 떠오른게, 규칙을 ’0에 가장 가까운수가 최소원소다‘이런식으로 정하면 괜찮을것같은데 제가 잘 이해하지 못한건가요?

[@졸지마]

(0,1)의 최소원소는 무엇인가요?

[@posterouspre8333]

그 수를 딱 정할 수가 없다는게 문제죠 0에 가장 가까운 수를 질문자분께서 딱 골랐다고 하면 그것보다 0에 더 가까운 수는 무한대로 있으니까요..

[@jaycheong8298]

실수에 well-ordering theorem을 정수에 적용했듯이 아래와 같이 정의하면 되지 않나요? Ordering 규칙 : 실수의 절대값의 크기의 순으로 정하되 같은 절대값일 경우는 양수가 음수보다 큰 것으로 정의. 이 경우 어떠한 실수의 부분집합이어도 크기를 비교할 수 있지 않을까요?

[@카키스-l4t]

1보다 크고 2보다 작은 모든 실수의 집합에서 말씀하신 방법으로는 최소원소를 찾을 수 없습니다

[@kyuha0731]

잘 모르지만, 실수 집합의 well-ordering이 가능하다면, 이건 가산집합이라는 것과 무엇이 다른가요? 우리가 흔히 실수집합의 비가산성을 증명할 때 사용하는 대각선 논법도, 결국 실수를 모든 자연수와 매칭해도 남는 것이 있다라는 것인데, 실수가 well-ordering이 된다면 결국 모든 실수와 자연수가 1대1 대응되는 것으로 밖에는 생각되지 않네요.. 만약 실수를 well-ordering 했는데도 자연수와 1대1대응이 불가능해 남는 실수가 있다고 얘기한다면, 이건 순서가 부여되지 않은 실수가 있다는 얘기 아닌가요?

[@sosEHorizon]

왜 선택공리를 믿지 않는지 이 글을 보고 이해했네요. 감사합니다. 이분 글에 틀린 점이 있는지 아시는분 있나요? 그리고 위의 이유로 불완전성정리가 zf공리계에서 라는 서두가 있는건가요?

[@졸지마]

조금 달라요. 어떤 비가산 집합에서 최소 원소를 뽑는 걸 반복한다 하더라도, 그 집합을 거덜낼 수가 없어요. A가 비가산집합일때, A-{a₁,a₂,a₃,...}≠∅ 인 거죠. 최소원소를 반복해서 뽑는 과정 자체를 반복하더라도 ∅는 못 돼요. A-{a₁,a₂,...}-{b₁,b₂,...}-{c₁,c₂,...}≠∅.

[@졸지마]

실제로 well ordering이 가능한 비가산 집합도 있어요. 초한서수 개념을 아시나요? 모든 가산서수를 모은 집합을 Ω혹은 ω₁이라 하는데, 이것 역시도 서수이며 비가산집합입니다. 그럼에도 이 집합의 모든 원소가 서수인지라 항상 최소원소가 존재하죠. 말하자면 well-ordering이 가능한 집합은 가산집합보다 더 큰 범위를 가리키는 거죠.

[@jimijezi600]

안녕하세요 저는 평소 12math님의 영상을 보면서 수학에 흥미를 지니게 된 고등학교 1학년 학생입니다 다름이아니라 산술평균과 기하평균의 관계, 그리고 코시-슈바르츠의 부등식에 대해서 배웠는데 이에 대한 내용이 문제집에는 공식과 증명에 관해서만 나와있더라구요 근데 저는 이것을 왜 사용하고 어떨 때 사용하는지 등 조금 더 깊은 내용을 알고 싶기도 하고 단순히 공식을 암기하고 문제만 푸는 것 보다 조금이나마 이해를 하고 싶은데 지금까지 배웠던 고등수학의 내용인 함수나, 방정식 등과는 사뭇 달라 낯설어서 그런지 더욱 어렵게 느껴지더라구요 혹시 이에 대한 내용으로 영상을 만들어주실 수 있으실까요? 조심스럽게 부탁드려봅니다..!

[@성이름-q8t8u]

ㄹㅇ 이런게 주입식교육의 문제...

[@Zeddy27182]

1. 산술 평균은 말 그대로 두 값의 평균. 2. 기하 평균은 곱들의 평균값이라 제곱근. 예1) 가로, 세로의 길이가 2와 8인 직사각형과 같은 정사각형의 한변의 길이는 sqrt(2*8)=4 즉, 2와 8의 기하평균은 4 예2) 투자를 했는데 작년엔 60%이익을 봤으나 올해는 60%의 손실을 봤다면 연평균 수익률은? 1.6*0.4=0.64 즉, 사실상 36% 손해율. 연평균 수익률을 계산한다면 sqrt(1.6*0.4)=0.8 즉, 매년 20%의 손해. 3. 조화평균은 역수의 산술평균의 역수. 예) 학교까지 10km를 왕복. 갈 때 시속 20km, 올 때 시속 30km였을 때의 평균 속력은? 20/(10/20+10/30)=24km 참고로 기하평균은 조화평균과 산술평균의 기하평균 4.코시-슈바르츠의 의미는 양수에서만 적용 가능하던 위의 평균들의 한계를 없애고, 실수, 복소수, 벡터 등에서도 성립하므로 다양한 분야에서 두루 활용 예) 점과 직선 사이의 거리. 이건 교과과정이 아니므로 한 번 생각해보시고, 나머지 예들은 대부분 벡터와 적분이라서 생략. 재밌죠? 수학과 오시면 더 재밌습니다. 기다리고 있을게요😁

[@youtheq7131]

수학에서 가장 쓸데없는 질문 중에 하나가 왜? 라고 생각해요. 그냥 그런게 있는거에요. 받아들여요. 왜 보다는 어떻게? 가 중요합니다

[@ztzeros]

관계식이 뜬금포로 튀어나와서 저랑 같은 고민을 하시는군요. 평균이면 평균이지 뭐가 기하고 조화냐, 역수의 평균은 갑자기 왜 구하는거냐 싶었습니다. 행렬의 곱셈이 곱셈이 아니라 합성 내지는 변환인데 굳이 점곱이니 가위곱이니 억지로 곱셈이라고 부르는것처럼 용어 자체가 뜬금포입니다. 일본식 번역어의 영향도 아니고(영어 원문도 표현 동일), 개념이 제시되는 맥락도 뜬금포고요. 개념 자체가 어려운게 아니라 맥락이 동떨어져서 '갑자기 이걸 왜? 뜬금포로 이걸 쑤셔넣어도 되는거면 다른것도 쑤셔넣어도 되는거 아니야? 제곱의 평균 제곱근의 평균 a^b와b^a의 평균 수도 없이 많겠는데 왜 이것만 배워야함? 아주 미분평균 적분평균도 있겠구만 f와 f''의 평균은 f'라고 할건가?...' 같은 생각을 했었습니다만 삼십줄인 지금도 뭐 대단한 깨달음이 오진 않더군요. 실제로 그리스시대에는 12가지가 넘는 평균을 이야기했고 제가 언급한 평균들도 이미 재미로 해본 수학쟁이들이 있었으며 그 중에서 자주 쓰이는걸 교육상의 문제로 몇개 뽑아서 가르칠 뿐이라는게 그나마 얻은 대답입니다. 요는 교육과정에서 개념도입 과정이 매끄럽지 않은데 연역추론 강조하는 수학에서 뜬금포로 들이미니까 거부반응 일어나는 것. 똑똑한 사람이라면 보자마자 깊은 뜻을 깨닫고 감탄할지 모르겠지만 평범한 사람은 그냥 외우고 넘어가는 수밖에 없습니다. 내가 그로센딕도 아니고...

[@졸지마]

​@@youtheq7131 공학수학이면 몰라도 수학 자체로 보면 왜는 중요하죠... 정리, 법칙이면 왜 이 법칙이 성립할까, 공리라고 해도 왜 공리를 이렇게 설정했을까 물음을 던져야죠

[@worldhello8908]

그런데 선택 공리가 왜 필요한 공리인건가요?? 집합론을 구성하는 공리체계에서 이 선택공리가 빠지게 되면 왜 안되기에 이렇게 뜨거운 감자가 되는건가요??

[@bbo_ba_dda]

실수에 절대값을 씌워서 크기 순서대로 나열하되, 두 절대 값이 같다면 양수를 먼저 배치하는 방식으로 나열하면 안되나요?

[@김민준-h7x4g]

(0,1)에 그 규칙을 부여하면 최솟값이 없네요

[@김민준-h7x4g]

진짜 해주시네요 감사합니다

[@CrackThrough]

수알못 개발자입니다. 저 선택 공리가 모든 공집합이 아닌 집합에 대해 성립한다고요?.. 그렇군요. 실수 집합 ordering은 뭐 그렇다 쳐도 무한한 길이의 모두 다른 문자열의 집합같은 uncountable infinity라 불리는 집합은 어떻게 order할지 감이 안오네요. 대소비교도 불가능하니까요. 논제범위 바깥인가요? 복소수 집합의 well-ordering도 단순히 실수라는 수의 범위를 한 차원 더 높이는 개념이라고 생각한다면.. 그러한 개념을 무한히 많이 적용한게 제가 언급한 문자열 집합이라고 생각하면 좋겠네요. 무한한 차원의 공간에서 한 지점을 고르는 것(즉, 그 지점의 좌표 하나를 표시하는데 무한한 양의 숫자 파라미터를 갖는 것)처럼 비유를 들 수도 있겠네요. 그냥 그렇게 그려보면 이쁠 것 같아요. 대소비교가 가능한 모든 집합의 well-ordering 알고리즘에 대해서도 생각해 봤는데.. 1) 0 혹은 그와 가장 가까운 근사치를 찾고 첫 element로 둔다 2) 나머지 모든 element는 절대값으로 sort한 이후, 절대값이 동일한 양수와 음수에 대해 양수를 먼저 배치하고 음수를 그 뒤에 배치한다 이런 take는 최악의 경우 연산에 무한한 시간이 걸리니 증명으로 쓰기 힘들까요? 증명으로 받아들여지기 위한 조건이 뭔지 잘 모르겠네요

[@성이름-q8t8u]

와 진짜 12님 답변 듣고싶다 재밌다..

[@김명훈-g3o]

“0보다 큰 모든 실수의 집합”의 첫 element는 무엇인가요?

[@CrackThrough]

@@김명훈-g3o 0보다 크고 0과 가장 가까운 실수가 없군요. 어째선지 1번부터 막힌다는 걸 생각 못 했네요. 저도 모르는 새에 iterable한 것 같은 개념이면 모두 셀 수 있다고 착각하게 된 것 같아요. 좋은 조언 감사합니다 ㅎㅎ

[@사모예D]

혹시 well ordering theorem에서 실수를 순서대로 나열하는 법에 대해서 갑자기 생각나서 적어보는건데요... 정해진 집합 안의 모든 실수의 합을 구할 수 있을테고 그 실수들의 합의 평균값과 집합안의 실수 사이의 거리로 well order를 하는건 안되는건가요? 진짜 전공자도 아니고 자세히 몰라서 여쭤봅니다...

[@사모예D]

정수에서 0 -1 1 -2 2 이렇게 order 하시는거 보고 문득 생각나서 여쭤봅니다

[@방성원-q4v]

실수의 조밀성에 의해 거리순으로 가장 가까운 어떤 숫자를 뽑더라도 그 숫자보다 더 가까운 실수는 항상 존재합니다. 즉 가장 가까운 실수를 뽑는 다는것 자체에 모순이 있는거죠.

[@사모예D]

​@@방성원-q4v아하 이해했습니다. 감사합니다!!

[@졸지마]

모든 실수의 합이 발산하면요...

[@졸지마]

실수의 부분집합을 {1, 2, 4, 8, 16, 32, ...}과 같이 잡으면 평균이 발산합니다.

[@Anonymous-kj6cu]

대학에서 배우지만 고등학생 정도가 생각해보면 좋을만한 개념 소개식 영상도 너무 좋은 것 같습니다!

[@심심해-m5v]

정말 오랜만에 집합론 책을 들쳐봤어요 ㅋㅋㅋ 옛날 생각이 나서 좋네요. 책 귀퉁이에 필기도 되어있고 제 생각도 적혀있는 게 당시에는 나름 이해를 했던 거 같은데 지금은 이해가 하나도 안가네요. 아무튼 실수에 웰오더를 줄 수 있나 잠깐 생각해봤는데 임의의 부분집합에 대해서는 안될 거 같다는 생각이 듭니다..

[@심심해-m5v]

갑자기 든 생각인데, 0이 있으면 0을 기준으로 크기 순서를 주고, 0이 없으면 0을 추가해서 크기 순서를 주고 0을 빼면 어떨까요..?

[@졸지마]

​@@심심해-m5v 순서는 줄 수 있겠지만 항상 최소원소가 존재할까요?

[@minjunkim9922]

여기서 나오는 필요충분조건이 수학 하 집합과 명제 단원에서 나오는 필요충분조건 개념이랑 다른건가요? 필요충분 조건은 x=1 같은 조건에 대해 다루는 개념이라고 배웠는데 영상속에서는 공리(명제)에 대해서 다루는것 같아서 좀 헷갈리네요

[@뚜레쥬르-w1x]

x=1도 명제입니다.

[@minjunkim9922]

변수 x에 어떤 값을 대입하냐에 따라 참/거짓이 결정되기 때문에 명제는 아니고 '조건' 아닌가요?

[@qwer-pu9tb]

​@@minjunkim9922 명제 : 참, 거짓을 판별할 수 있는 문장 조건 : 미지수의 값에 따라 참, 거짓이 달라지는 문장 조건 역시 참, 거짓을 판별할 수 있는 문장이기 때문에 명제에 해당합니다.

[@hohohohho]

다시 말해서 선택함수는 절대적으로 참인 공리는 아니지만 유리수 영역에서만 공리로 쓰자는 얘기 아닌가요? 그러면 애초에 본질적으로 공리가 아닌 것인데 편의적으로 공리라고 치자는 얘기니까 이게 공리냐 아니냐로 왈가왈부할 게 아닌 것 아닌가요?

[@gusdnr911]

근데 정수크기를 저렇게 정의를 왜 하는건가요..? 그냥 마이너스 방향으로 가면 점점 더 작다고 정의하면(근데 이거 당연한거 아닌가요? 제가 30대라서 뭘 잊어버린건가요?) 되는거 아닌가요?

[@βεομκυν]

그렇게 하면 가장 작은 정수를 정의할 수 없어서 그런 거 아닌가요?

[@roadin9300]

저희가 아는 부등호(order)로는 well order가 아니기 때문에 새로 정의하는 거에요

[@유리메기]

-1보단 -2가 더 최소값이고 -100000보단 -1000001이 최소값이라 실제의 최소값을 정할수가 없어요. -∞를 최소로 하자는건 말이 안되고

[@Tivec123]

실수의 순서보다 복소수 집합은 순서를 정의하는 방법으로 원점에서부터 출발해서 무한히 가는 선을 말아서 그 선의 시작지점부터 크기 순서를 매기는 게 어떨까 싶어요. 원이 평면을 가득 채울 수 있으니까 가능하지 않을까 생각해요.

[@aigumoney]

복소수 집합의 순서는 복소평면에서 원점(예를 들어 원점)과의 거리를 기준으로 순서를 잡되. 동일한 거리 일때는 실수부의 순서가 절대값이 작은 순서대로 잡으면 되겠네요.

[@h2ogun26]

@@aigumoney 실수축 기준 동위각을 두번째 크기의 기준으로 둘 수도 있을거 같아요

[@donpottopnoble9447]

well ordering을 잘못 이해하신 것 같아요. 그렇게 정의하게 되면 예를 들어 (1, 2) 같은 집합의 최소값을 정할 수 없게 됩니다. well ordering의 요점은 '임의의' 부분집합에서 최소값을 정하는 게 가능해야 해요.

[@졸지마]

그 집합에서 0을 제외한 집합의 최소 원소는 무엇인가요? 없습니다. well ordering이 아니죠.

[@우이천]

|x| < |y| 이면 x < y 이고 |x| = |y| 이고 |x|/x = -1, |y|/y = 1 이면 x < y 라고 정하면 실수 체계에서도 크기 관계를 재정의 할 수 있는거 같아요

[@totoistk]

|y|/y=0 를 만족하는 실수가 존재하지 않아서 안돼요 (혹시 =1 의 오타인가요? 그럴거면 그냥 x>0 이고 yy 다랑 다를게 없는데요..😅)

[@우이천]

@@totoistk 0이 아니라 1이라고 수정할게요

[@totoistk]

그리고 크기를 재정의했다고 한들 여전히 대표원소는 고를수가 없어요.

[@우이천]

@@totoistk 에잇...

[@mjjun2257]

임의의 실수 구간인 경우, 중간에 아무 점이나 잡고 그 점을 최소값으로 정의한 뒤, 그 점에서의 거리에 따라 ordering 을 하면 될 거 같습니다...

[@hoillee8296]

중간에 아무 점이나 잡고

[@mjjun2257]

@@hoillee8296 그렇다면 양끝점의 중앙에 가장 가까운 정수, 만일 그 구간이 1보다 작다면 1/10씩 스케일을 축소하면서 구간이 그 값보다 커질때의 가장 가까운 유리수를 선택... 이렇게는 될까요?

[@jinsejang2220]

​@@mjjun2257참고로 이렇게 할 경우 (루트2, 루트3)의 양끝점기준 중앙값이 (루트2+루트3)/2가 되고 이는 무리수이므로 근처 어떤 유리수를 잡더라도 그보다 더 가까운 유리수가 존재합니다. 즉 가장 가까운 유리수는 존재하지 않게 됩니다.

[@withnotbrain]

y=x인 그래프를 그린다. 어떤 실수 x에서 직선을 향해 x축과의 직각으로 가서 도달할 수 있는 거리가 있다. 똑같은 거리가 1사분면과 3사분면에 항상 2개가 생성되는데 순서는 둘 중 어떤것이든 앞에 오게 정해도 된다. 정수일 때와 비슷한 방법으로 생각해봤습니다..ㄷㄷ;;;

[@뚜레쥬르-w1x]

열린구간 (1, 2) 의 경우 그러한 원소가 존재하지 않습니다

[@하갸-c7n]

살짝 이해가 안되는 분들을 위해 댓글 남깁니다. 저도 처음엔 그냥 크기로 정하면 되잖아 생각했다가 이게 엄청 어렵다는걸 알게됬네요 (0,1)은 0초과 1미만인 실수들의 집합인데 "0보다 큰 실수들중 가장작은수는 무엇인가?" 라는 질문을 하면 숨이 턱 막혀버리네요 어떤 수를 가져와도 2로 나눠버리면 그것보다 0에 가까울텐데 이런 수가 존재하나? 싶기도 하고 이래서 사람들이 부정하는구나 이해했습니다

[@이주홍-d5u]

헐 그렇네요 크기 순으로 정해버리면 최소 원소가 존재하지 않게 되네요.

[@ohio1972]

열린구간이라도 위아래 끝의 중간은 항상 정의 가능한 거 아닌가요? 정수집합에서 0을 최소로 정의한 것처럼

[@andrewlee9704]

Well-ordering을 정의하는 것은 우리가 흔히 사용하는

[@하갸-c7n]

@@andrewlee9704 맞는말이긴 한데 본인도 예로든게 절대값 씌워서 크기비교 해놓고 무슨 대단한 예를 드는것처럼 포장하는건 좀... 심지어 정수범위 가져다가 예를 드는건 좀... 저는 이 문제가 절대 쉬운문제가 아니라는 이유에서 적은거고 님의 대댓은 보충설명이라기엔 대화의 맥락에, 반박이라기엔 논리적 맥락에 맞지 않네요

[@andrewlee9704]

@@하갸-c7n 그렇게 느꼈다면 죄송해요. 저는 단지 제가 처음에 이 문제를 접했을 때 시야가 좁아 “최소값” 에만 집중해서 혹시 다른 분들도 그렇게 생각하진 않았을까 싶어서 댓글 남겼어요.

[@김먼산]

실수에서 왜 크기 비교(?)가 어려운 이유를 잘 모르겠어요. 그게 원주율이나 자연상수 같은 숫자들의 크기 아니 정확한 위치를 알기 어려워서 일까요?

[@김먼산]

그러고 보니 정수 부터 으엥 뭐지 싶어서 다른 분들 덧글 참고 중이에용 ㅋㅋㅋ

[@유일-o6z]

걍 가우스씌워버리면 정수중에 고르는거랑 똑같은거아닌가? 조건 몇 개 추가하면 끝일거같은데

[@jinogura4026]

수학 1도 모르는 사람입니다만 저만 직관적으로 선택 공리가 참이라면 웰 오더가 참인게 이해가 되나요...? 선택 공리 원칙대로 아무거나 배열에서 하나 가지고 와서 그 요소로부터 거리가 가까운(값이 근사치인) 순서대로 배열하면 그것만으로 웰오더가 되는 것이 아닌가...하는데 제 생각이 틀렸다면 알려주십사 합니다.

[@졸지마]

실수의 임의의 부분집합에 대해서 최소원소가 존재해야 합니다. 그 방법으로 (0,1)의 대표 원소를 잡아보세요.

[@jinogura4026]

1을 기준으로 잡으면 1 0일것이고 0을 기준으로 잡으면 0 1 이겠죠.

[@졸지마]

@@jinogura4026 (0,1)에는 0과 1이 없습니다

[@졸지마]

@@jinogura4026 (0,1)에는 0과 1이 포함되어있지 않습니다.

[@졸지마]

@@jinogura4026 포함되어있다고 쳐도 상황은 달라지지 않습니다. 0을 기준으로 0을 골랐어요. 그런 다음 최소원소는요?

[@선종혁-p9w]

12매쓰 응원한다

[@fkfkfk5038]

실수에서 정수집합처럼 웰오더를 주려면 무한한 수들을 모두 정렬해야하는데 딱 잘라 이야기하기 매우 어렵네요

[@lllllllllllIIl]

ㅈㄴ재밋네 ㅋㅋ

[@근자감-o6u]

그래서❗로또번호 1~45번중 공집합이 아닌 2^45-1의 부분집합중 어느 6개를 취하는 부분집합에도 최소와 최대번호가 존재하는데요 질문드립니다. 다음주 최소와 최대번호 수학적으로 증명해서 가르쳐주세요😝

[@milchholstein884]

13:20 실수에서는 절대값 크기 순으로 나열하는 것도 쉽지 않은가 보군요. 수학 전공자가 아니라서

[@blue-pill]

실수에서 될 것 같은 방법이 떠오르는 걸 보니까 설명해주신 내용이 이해가 잘 안 됐나보다 싶네요. ㅋㅋㅋㅋ

[@답없네-o6l]

절댓값을 씌우면 왜 안되나요? 궁금해서 물어봅니다.

[@homosurplusmaecenas1826]

임의의 숫자를 하나 정하고, 그 숫자에서의 거리를 기준으로 well-ordering하면 선택된 임의의 숫자가 최소 ?!?

[@user-zz3dt5bk3t]

임의의 숫자를 정하는 순간 선택공리가 참이라고 전제됨.

[@나와너너와나]

12math님! 저희 아버지가 사업을 하고 계시는데, 벽지를 파시는데, 주인만 만나면 더 비싸게 팔수있다면서 안파셔요 ㅠㅠ 3년째 매장에 있는데.. 회전률의 중요성에 대해 수학적으로 증명을 할 수 있을까요?

[@난난-r7l]

수학처음부터 공부하랴고 하는데 더하기 빼기 곱하기 나누기 통분? 이거만 알아요..

[@psillionpaseion9003]

오래된 수학말고 20세기 수학 21세기 최신수학을 알려주시면 고맙겠습니다

[@nyuunyuu2704]

내가 잘 이해를 못 한 건가?? 부분집합 원소의 크기 관계를 내 임의로 정할 수 있다면, 부분 집합 내에서 아무거나 하나 찍어서 그냥 그게 제일 작다고 정의하면 되는 거 아님?? 그리고 아무거나 하나 찍은 그걸 선택공리에서의 대표원소라고 생각하면 되는 거 아님?? 반대도 마찬가지이고....

[@qwer-pu9tb]

부분 집합 내에서 아무거나 하나 찍는 것 역시 선택공리입니다. 선택공리의 증명에 선택공리를 사용할 수 없습니다.

[@jhl2458]

웰오더링 정리는 구성주의자들이 매우 싫어하겠네요

[@gaspell]

어떤 양의 실수 epsilon을 잡아도 0

[@방성원-q4v]

선택공리와 well ordering이 동치라는 점을 잘 생각해보면, 선택 공리에 따라 하나 선택한것을 최소라 하고 그것을 제외한 집합에서 다시 하나를 선택하고.. 이것을 반복하면 순서를 줄수있죠

[@gaspell]

@@방성원-q4v 이렇다할 규칙이 있다 보긴 어렵겠지만 말은 되네요.. ㅋㅋㅋㅋㅋ 그니까 어떤 집합이든 어떤 순서로든 쭉 나열할 수 있다는 거네요.. 감사합니다

[@Snowflake_tv]

오 내 관심사

[@박광연-j6j]

실수집합에서의 ordering을 다음과 같이 정의 하면 well-ordering이 안될까요? 워낙 간단한 방법이라 이미 누군가 어딘가에서 제시하고 까였을것 같긴 하지만요.. 서로 같지 않은 두 개의 실수의 순서 관계를 다음과 같이 정의: 1. 두 실수의 절댓값이 같지 않은 경우 절댓값이 작은것이 앞순번, 큰것이 뒷순번 2. 두 실수의 절댓값이 같은경우 하나는 양수, 하나는 음수일것이므로 양수가 앞순번, 음수가 뒷순번

[@roadin9300]

(0,1)에서의 minimum을 잡을 수 있을까요?

[@이재원-i1g]

저도 바로 이 생각이 들었는데 몇 초만에 아니라고 깨달았네요 윗 분이 제시한 게 반례가 되네요

[@podium855]

13:46 소름.. 들켰다

[@posterouspre8333]

질문있습니다 선택공리는 그냥 모든 집합에서 어떤 원소를 딱 선택할 수 있다는건데 이게 왜 웰 오더링 디오럼이랑 필요충분관계라는거죵? 선택공리가 참이라고해서 실수집합에서 모든 부분집합에 다 똑같이 적용이 되는 웰 오더링을 내릴 수 있다는 전제가 참이 되는 근거를 저는 잘 모르겠습니다.. 둘이 그냥 아무 관계도 없어보이는데

[@RaffeTheLiar]

집합론 수업을 들으면 교수님이 선택공리와 필요충분조건인 명제를 증명해주시는데, 엄밀한 증명은 비전공자 수준에서 너무 복잡해서 이 영상에선 생략하신 것 같습니다. 제가 들었던 수업에선 교수님이 영상에 잠깐 나온 네가지 명제를 가지고 1이 성립하면 2가 성립하고, 2가 성립하면 3이 성립하고, 3이 성립하면 4가 성립하고, 4가 성립하면 1이 성립하는 것을 차례로 증명하시면서 그 네가지 명제가 전부 필요충분 관계에 있다고 설명하시던게 기억나네요

[@김진규-h4d]

선택공리부터 말이이상하다고 생각했는데 그 뒤내용보니 이건 무조건 거짓이라고 생각하는중 😅

[@mmhdfmh]

최소 원소를 정하기 어려운 (-inf,0)같은 경우엔 log(x)의 그래프를 그리면 (0,1) 구간에서 (-inf,0)까지 값을 가지니까 대응시키면 (0,1) 구간과 마찬가지로 쉽게 최소 원소를 찾을 수 있을것 같아요!!

[@choisungbin]

그렇다면 (0,1)의 최소원소는 무엇인가요?

[@mmhdfmh]

@@choisungbin 일반적인 크기비교를 할 때 처럼 0으로 정하면 되지 않을까요?

[@choisungbin]

@@mmhdfmh (0,1)은 0을 포함하지 않는 집합이라 0으로 정하는건 불가능할 것 같습니다.

[@caliotemplar5467]

​@@mmhdfmh0 없는데요

[@caliotemplar5467]

저거 ordering 하는건 영상에서 정수집합의 최소원소를 잡는 거랑 똑같이 하면 됩니다. (0,1)로 예를 들면 1/2가 (0,1) 내에 있음을 보인 다음 다른 (0,1) 내의 원소와 1/2의 차를 쓰는거죠. 문제는 내가 1/2를 고른 것 자체가 선택공리를 쓴 거라서 순환논법이 됩니다.

[@user-ghj3d8dgh]

12, 34 저는 56인데 수포자들도 이해할 수 있는 내용인 듯...

[@TYMCCK]

대표 하나 뽑고 그게 가장 작다 하면 되는거 아닌가요

[@tuukimm]

영상에서 실수에 대한 예의 경우에 어떤 실수의 부분집합에서 아무거나 하나를 고르는게 어렵다는 뜻인가요? 그게 아니면 순서 주는게 쉬워보이는데 생각의 깊이가 얕은걸까요 (부분집합, 최솟값) 쌍을 쓸 수 있는 종이를 준비한다 누가 어떤 부분집합에서 최솟값이 뭐냐고 물어보면 종이에 쓴거 중에 있는지 찾아보고 있으면 그 옆에 쓰여있는 최솟값을 말하고 없으면 집합 내 아무거나 골라(이게 선택공리인거 같은데 고를 수 있는걸 가정하면 안되는건가요?) 알려주고 그 (부분집합, 최솟값) 를 종이에 쓴다. 반복 이게 임의의 부분집합에 대해 규칙을 만들기 어려운거지 이런식으로 제시하는건 쉽지 않을까요

[@유리메기]

전 왠지 선택공리도 믿기가 어렵네요 단순히 대표를 "아무나"뽑는게 아니라 그 대표의 기준이 항상 일치해야 되니까 그 대표를 주는 기준을 어떻게 잡냐가 중요할거같아요 예를들면 [0,∞)에서의 대표는 0이라고 하고 (0,∞) 에서의 대표는 또 1 이라고 했을때 기 기준이 예를들면 (-∞,0) 에서도 같은 기준이여야 되고 (-∞,-1)에서도 같은 기준이여야 되고(즉, 한 집합에서의 대표는 다른 집합에서도 대표여야 하고)하니까 그 기준이 꽤 중요할거 같고 실수에서 그 기준이 바로 생각나지 않으니 선택공리도 좀 의심스러운 부분이 있네요

[@hijkstuv]

대표의 기준이 일치할 필요는 없습니다. 정해진 기준이 존재할 필요도 없고, 그냥 하나 뽑기만 하면 돼요

[@Naerumi]

생각보다 중요한 통찰이에요. 선택공리를 부정하는 구성주의적 관점과 궤를 같이 합니다. 구성주의에서는 우리가 구성할 수 없는 어떤 것도 존재하지 않는다고 보는데, 그 구성에는 기실 일관된 규칙이 필수적이죠. 그런 관점에서 선택'공리'는 아무 집합에서든 아무렇게나 원소를 뽑을 경우의 수가 존재한다는 엄숙한 선언에 불과하게 됩니다. 구성주의자들이 받아들일 수 없는 주장이죠.

[@hyeonsseungsseungi]

선택공리에서는 대표를 어떻게든 뽑을수만 있으면 되며, 그 규칙이 일관될 필요는 없기는 합니다.

[@유리메기]

@@hijkstuv 2:36 에서 보면 {a,b,c} 의 대표가 a 고, {a,b} 의 대표도 a 고, {a,c} 의 대표도 a 고 해서 일관성이 존재해야 하나 했지만, {a,b,c} 의 대표는 a 지만, {a,b} 의 대표는 b 고, {a,b,d} 의 대표는 다시 a 고 이래도 전혀 상관 없는건가요? 그럼 상당히 비직관적이긴 하네요

[@유리메기]

@@hyeonsseungsseungi 아하 2:36 에서 보면 {a,b,c} 의 대표가 a 고, {a,b} 의 대표도 a 고, {a,c} 의 대표도 a 고 해서 일관성이 존재해야 하나 했지만, {a,b,c} 의 대표는 a 지만, {a,b} 의 대표는 b 고, {a,b,d} 의 대표는 다시 a 고 이래도 전혀 상관 없는건가요? 그럼 상당히 비직관적이긴 하네요

[@자현-j7l]

선생님. 저는 누구이고 여긴 어디죠?

[@junehyukjung]

오늘도 썸네일에 어그로 끌려서 클릭하고 갑니다 ㅋㅋ

[@임승준-z6z]

AC 공리와 동치 명제가 나오는 파트는 처음에는 명제 자체도 이해하기 힘들어서 대충 equivalence relation라고 정리하고 필요할 때 다시 공부하자고 넘어갔다가, Zorn's lemma 이용한 증명이 나오기 시작했을 때부터 뒤늦게 다시 공부한 기억이 있네요. 이 파트는 직관적인 구성이 어려워서 처음 공부할 때는 이해하기 꽤나 힘든 편인데, 핵심을 잘 짚어주셨습니다. 이 영상을 집합론 공부하기 시작한 분들은 꼭 보셨으면 합니다.

[@JR-xz8de]

실수에서 pi를 최소로 잡고 가까운 것부터 나열하는 방식으로 order를 주면 안될까요? 이러면 최소는 정의되는 대신 'pi의 다음이 누구냐'에 답하기는 어렵겠네요. 그런데 서로 다른 두 값의 순서를 결정할 수는 있으니, 실수집합의 원소들을 발견할 때마다 비집어넣는 방식으로 순서를 정의하면 안되나요? 그런데 이 경우 자연수(순서)가 실수와 완전히 일대일대응이 안된다는 문제가 있긴 한데 order라는 것이 반드시 자연수와의 일대일대응이어야만 인정되는걸까요?

[@sung-ryulkim6590]

선택 공리를 얘기하려고 하면 제목만 듣고 알아듣는 사람들이 더 충격. 내용 얘기 안 했는데 아는 척 함. ㅋㅋㅋ

[@user-rz9yx5ee7e]

평소에 궁금했지만 너무 어려워서 포기했던 내용인데.. 감사합니다

[@장현영-o4z]

(0,1)같은 집합이 있다면 두 끝단의 산술평균인 1/2을 처음 순서로 놓고 그로부터 멀어질 수록 뒷 순서라고 가정하는 건 어떨까요? 대신 0.25와 0.75와 같이 거리가 같은 두 수가 있으면 0.25와 같이 더 왼쪽에 있는 수를 더 앞 순서에 놓는거에요. 꼭 연속 집합이 아니더라도 상한과 하한 값의 평균으로부터의 거리로 순서를 생각할 수 있지 않을까요? 무한대가 문제긴 한데 그때는 다른 규칙을 적용하고요.

[@thxios9636]

(-1, 0)∪(0, 1) 같은 경우는 어떻게 될까요? 아니면 언급하신대로 (0, ∞) 는요? 핵심은 공집합이 아닌 임의의 어떤 집합에 대해서라도 well ordering이 존재해야 한다는 거에요

[@euijunc]

그러면 (0, 1) - {1/2} 에서 가장 작은 원소가 존재하지 않지 않을까요? ㅎㅎㅎ

[@euijunc]

(0, 1) - {1/2} 가 well ordered set이고 최소 원소가 a라고 해볼게요. 그러면 실수의 완비성에 의해 1/2와 a 사이에는 무조건 다른 실수 b가 존재하고 말씀하신 '거리' 정의에 의하면 b가 a보다 1/2에 가까우니까 더 작습니다.

[@장현영-o4z]

가장 작은 원소를 제거한 집합에도 가장 작은 원소가 존재하여야하는군요,, 고민 도와주셔서 감사합니다 ㅎㅎ

[@hyeonsseungsseungi]

well-order라는 것은 그것의 어떠한 부분집합에서도 최소 원소가 존재해야 합니다. 가령 (0, 1)이라는 집합에서 말씀하신 순서를 적용한다면 (0, 1)에서 1/2을 제외한 모든 원소의 집합은 (0, 1)의 부분집합이니까 그 최소 원소가 무엇인지 말할 수 있어야 하는데, 그렇지 않기 때문에 well-order가 아닙니다.

[@iyj9152]

참참참참참차맟맟맟마참참참참참참 공리!