Isolierte Singularitäten | Hebbare Singularitäten, Polstellen, Wesentliche Singularitäten

[@jaugretler9140]

Vielen Dank für das Video. Du bist nun offiziell mein neuer Prof für Komplexe Analysis

[@crezy1huurcompeletiens353]

Iozzi does not approve that hahah

[@eminrayman247]

Peter du bist einfach ein Ehrenmann. Wenn ich mein Bachelor schaffe, bist du auch dran beteiligt. Danke!

[@MathePeter]

Freut mich, dass ich einen Teil beitragen konnte! :)

[@r.w178]

Danke für das Video! Super erklärt! Hoffe es kommt noch mehr in diese Richtung (komplexe Analysis) 😄

[@MathePeter]

Auf jeden Fall, das hier war nur der Anfang! :)

[@eneskilic297]

@@MathePeter ich finde irgendwie nichts mehr von dir dazu....

[@supermatin-vj9sq]

​@@eneskilic297😔😔😔

[@bjornthomas4632]

spitze diqqa meega gutes Video! Ich feier das Tempo und dein Enthusiasmus :D

[@saaji]

Super erklärt, ein dickes Danke für solche Videos!

[@louighi91]

Du bist wirklich der beste Mann, Peter!

[@catchphraseish]

Deine Videos sind echt Mega. Vielen Dank, dass du das hier machst!

[@claudiamarinho3802]

Top Video...hat extrem geholfen...sehr gute Erklärung...gutes Schaubild...weiter so ;-)

[@PIensaenMate]

Das Video war einfach geil. Das ist super erklärt. Sehr anschaulich. Ich abboniere

[@oliverherrmann4975]

Richtig richtig stark erklärt!!! Weiter so!

[@theman83744]

Hätte ich nur 100 likes geben können. Einfach top!

[@mazewine8962]

TOP, TOP, TOP! Vielen Dank für diese Darstellung...:)

[@Sarah-pu8un]

Top erklärt (wie immer ❤)

[@tomfleischmann4994]

Vielen Dank Peter!

[@julianmoiser5390]

Mal wieder ein sehr hilfreiches Video. Dankeschön!!!!! Könntest du ein Video zum Residuum bzw. zum Residuensatz/Residuenkalkül machen?

[@MathePeter]

Ja das kommt nach Fourier, Laplace und Partiellen DGL :)

[@joe0657]

Richtig stark

[@nicebear40]

extrem gut erklärt, danke!

[@Sarah-mp9lb]

Endlich verstanden!

[@3ndr3wmusic56]

Schon mein ganzes Studium lang ein Lebensretter

[@rhonir3209]

Klasse erklärt!

[@paulaschweinberger4841]

Vielen Dank!!

[@eddill2638]

Hey, du hast in den Kommentaren bzw. in dem Video erwähnt, dass du ein Video zur Laurent-Reihen bzw. zu Holomorphie machst. Gibt es diese Videos bereits oder müssen wir uns noch gedulden? 😅

[@MathePeter]

Bin leider noch nicht dazu gekommen 😅 Ich beschäftige mich gerade intensiv mit dem Thema „Partielle Differentialgleichungen“. Vermutlich wird es dazu bald mal Videos geben.

[@camillohinz1838]

der Beste!

[@Kanal263]

Die Funktion f(z) = e^(-1/z^2) habe ich inzwischen für z in der Menge der Komplexen Zahlen gelöst. Wenn z reell ist, dann ist z_0 = 0 eine hebbare Singularität, da die Funktion gegen 0 konvergiert. Für Re(z) 0, also rein imaginäres z würde aber e^(-1/z^2) = e^(1/|z|^2) und damit für z gegen 0 betragsmäßig gegen unendlich divergieren. Generell wird das in Abhängigkeit des Argumentes von (z) entweder gegen 0 konvergieren, betragsmäßig gegen unendlich divergieren oder im Fall, dass das Argument von z arg(z) = +- pi/2 (mod pi) würde f(z) = e^(-1/z^2) unbestimmt divergieren.

[@TheNormMan]

bester Mann

[@theman83744]

gut erklärt

[@AgnaktoreX]

9:28 Darf man bei der Regeln von L'hospital denn nach 2 verschiedenen Variablen ableiten? Das ist komplett neu für mich 😱

[@MathePeter]

Nur nach z wurde abgeleitet :)

[@AgnaktoreX]

@@MathePeter Aaah, innere mal äußere Ableitung, jetzt seh ichs :D Und wirklich vielen Dank für deine Videos. Jedes Mal wenn ich bei KZbin ein Thema suche und sehe, dass du ein Video dazu hast, fällt mir ein Stein vom Herzen, weil ich weiß, in 15 Minuten werd ich die Grundlagen verstanden haben

[@moritzpfurtscheller4248]

Video liken, dann anschauen!

[@vitamine6265]

+

[@derlibertarefreiheitskampf1603]

13:49 sagt man da nicht normal "aus schlaftabletten kann man auch kein Speed herstellen"?

[@MathePeter]

Auch nicht schlecht xD

[@Kenh99957]

echt gut

[@oliverherrmann2708]

Hey Peter, noch eine Frage: Darf bei dem hebbaren Fall der Grenzwert auch c=0 betragen?

[@MathePeter]

Ja das ist erlaubt.

[@henryfuball7852]

Hallo, danke fürs Video, viel besser als die Professoren an der Uni. Aber wie erkennt man eine isolierte und nicht isolierte Singularität?

[@MathePeter]

Genau wie im Video, du musst alle Fälle durchgehen, um die Singularität einordnen zu können.

[@son-gohan2246]

3:20 Ist für c=0 auch eine hebbare Sing.?

[@MathePeter]

Ja. Allerdings muss es aus jeder nur möglichen Richtung den selben Wert c ergeben. Gegenbeispiel in 14:01.

[@oliverherrmann2708]

Hey Peter, Ich hätte eine Frage zu deiner Grenzwertmethode: Hätte ich die Funktion exp(- 1/z^2) vorliegen, so müsste mir die Überprüfung auf deine Weise ausspucken, dass es sich bei 0 um eine hebbare Singularität handelt, da von beiden Seiten der Grenzwertbetrachtung der Grenzwert 0 gebildet wird. Aber eigentlich handelt es sich bei 0 um eine wesentliche Singularität. Weißt du wo das Probelm deiner Methode dabei liegt? LG Olli

[@MathePeter]

Hey Olli, die erklärte Methode ist richtig, schau dir das Video besser noch mal vollständig an. Bei der Funktion exp(- 1/z^2) ist für z gegen Null nicht eine der beiden genannten Bedingungen für eine hebbare Singularität erfüllt. Genau diese Beispiel habe ich doch in 14:02 angesprochen. Wenn du dich im komplexen befindest, dann reicht es nicht aus nur die beiden reellen Richtungen zu untersuchen; es gibt unendlich viele Richtungen aus denen du dich annähern musst. Überleg mal selbst aus welcher Richtung du dich der 0 annähern müsstest, damit der Funktionswert unbeschränkt groß wird.

[@oliverherrmann2708]

@@MathePeter oh hoppla, tut mir leid ich hab's halt echt nicht zu Ende geschaut!! Aber danke für deine Nachricht! Frohes Neues noch und mach bitte weiter so!!

[@oliverherrmann2708]

@@MathePeter Ah und der Funktionswert haut mir gegen unendlich ab wenn ich mich von oben und unten annähere, also in Z=x+iy das x gleich 0 lasse

[@MathePeter]

Genau, sehr gut! :)

[@vitamine6265]

Bei der wesentlichen Singularität, wenn der Grenzwert bestimmt wird, da muss man doch den Betrag der Funktion anschauen, um Polstelle zu prüfen , würde das dann was ändern? weil hier haben wir ja einfach e^(-1/z) genommen ohne Betrag.

[@MathePeter]

Der Betrag würde eine reelle Zahl daraus machen. Aber f(z)=e^(-1/z) ist eine komplexe Funktion.

[@nishazim9050]

Hallo Peter, wenn ich bei z=0 eine Polstelle erster Ordung habe, wie kann ich das dann zeigen? ich kann ja schlecht (z-0)^k schreiben oder😂

[@MathePeter]

Wieso nicht? Laut Definition kannst du bei einer Polstelle 1. Ordnung in z=0 an die Funktion ein (z-0)^1=z dran multiplizieren und der Grenzwert wird verschieden von Null sein. Andernfalls ist es keine Polstelle erster Ordnung.

[@hiepnguyencanh6467]

Residuen bitte

[@vitamine6265]

Eine Frage hab ich : Wird ein Term der z.b. Hoch k ist, also k als Potenz, mit k im limes gegen 0 auch zu 1 oder nur bei einer echten 0? also reicht es aus, dass k gegen 0 geht für die Regel, dass irgendwas hoch 0 zu 1 wird?

[@MathePeter]

Leider nein. Terme wie 0^0 und ∞^0 sind ebenfalls unbestimmte Ausdrücke, also wenn die Basis durch den Grenzübergang zu Null oder Unendlich wird.

[@vitamine6265]

@@MathePeter Danke für die Antwort, d.h. wenn ich z.b. limes k => 0 von 5^k habe, wird der Term nicht zur 1, weil k keine "echte" 0 ist? Oder nur wenn auch die Basis eine (echte/Grenzwert-)Null ist?

[@vitamine6265]

@@MathePeter d.h. der Ausdruck eine fast 0 hoch einer fast 0 ist ebenfalls nicht definiert?

[@foueddhaya1117]

Danke fürs Video! Sehr gut erklärt!! Einen Hinweis zum letzten Punkt hätte ich gerne, e^(-1/z²) , wie kommt man auf Unendlich? :) Im reellen kommt man immer auf 0 da bei 0 + oder - ist immer 0 + wegen dem Quadrat! aber im Komplexen .. Hmm vielleicht von der Richtung von Imaginären Teil ? also : z * i , wobei z aus R und geht richtung 0 ? :D

[@MathePeter]

Freut mich, dass du drüber nachdenkst :) Und ja, genau DAS ist die Lösung!!! Komm einfach aus der Richtung der imaginären Achse, also setze z=i*y und schicke y gegen Null, damit läuft ja auch z gegen Null. Aus f(z)=e^(-1/z²) folgt mit z=i*y dann f(i*y)=e^(1/y²) und für y gegen Null geht die Funktion gegen Unendlich. Hammer! :)

[@foueddhaya1117]

@@MathePeter Na Super !! Vielen vielen Dank !! :)

[@tobiaswienand1160]

Wenn sin(z) im Zähler steht, gibt es dann auch Singularitäten dafür?

[@MathePeter]

Wenn sin(z) im Zähler steht, dann kann dieser Term nicht für eine Singularität verantwortlich sein, jedoch kann er eine bestehende Singularität beeinflussen. Beispiel: 1/z hat bei z=0 eine Polstelle und sin(z)/z hat bei z=0 eine hebbare Singularität.

[@steve580]

Frage zur Polstelle: warum durfte man bei der mittleren Gleichung 0/0 annehmen, also auch Zähler=0, und dadurch lopital nutzen, aber in der Gleichung darunter ist es nur fast 0. Hätte man dort auch gesagt, dass der Zähler nur fast 0 ist, hätte man bei k=0 1/0.

[@steve580]

Übrigens, ohne dich und Braingain wäre mein Studium die Hölle

[@MathePeter]

Bei Grenzwerten ist es immer nur "fast Null durch fast Null". Wenn man bei k=0 sowas hat wie "1/0", dann kommt da was unendlich großes raus. Wenn es aber wirklich eine Polstelle ist, dann gibt es eine natürliche Zahl k, sodass es nicht mehr unendlich groß ist, sondern was endliches bei raus kommt.

[@son-gohan2246]

ich finde die erste Definition für Polstellen sogar irreführend, da bspw. exp(1/z²) bei 0 eine wesentliche Sing. hat und das ist mit dem limes im Betrag gar nicht nachzuweisen, außer man führt das in die potenzschreibweise der E-Funktin um

[@MathePeter]

Für die Definition kann ich leider nichts 😅 Allerdings lässt sich danke der Definition ziemlich schnell ausschließen, dass es eine Polstelle ist. Denn unabhängig davon, wie oft wir (z-z0) dran multiplizieren, der e-Term setzt sich von seiner Stärke her immer durch. Dafür reicht allein das Wissen über Wachstumsgeschwindigkeiten aus.

[@FunctionalIntegral]

1) Bei lim z to 0 sin(z)/z darf man die Regel von L'Hospital nicht anwenden, auch wenn 0/0 ist, da die Ableitung von sin(z) selbst vom gleichen Limit abhängt! 2) Wesentliche Singularität ist ein Pol der Ordnung unendlich. Das sieht man schnell, wenn man die Exponentialfunktion als Potenzreihe schreibt. Ansonsten ein sehr gutes Video!

[@MathePeter]

Danke für den kritischen Austausch :) Erklär mal bitte genauer, warum deiner Meinung nach die Regel von L'Hospital hier nicht angewendet werden sollte. Laut Peter Furlan "Das Gelbe Rechenbuch 3", S.136 ist es erlaubt, weil die Funktion in einer Umgebung von der Singularität holomorph und beschränkt ist und damit der Riemannsche Hebbarkeitssatz greift. Ein Beispiel, wo allerdings wirklich nicht die Regel von L'Hospital angewendet werden darf, hab ich in 14:02 gegeben, weil dort die Bedingungen nicht erfüllt sind; die Funktion ist in einer Umgebung von z=0 nicht beschränkt. Zu 2): Das ist geplant für das Video zu den Laurent Reihen ;)

[@sihingvonfelix4251]

@@MathePeter Um die Ableitung vom Sinus zu berechnen, muss man genau diesen Grenzwert ausrechnen. Also wenn du L'Hospital anwendest, um den Grenzwert zu bestimmen, machst du einfach nen Kreisschluss. Das ist so n Ana 1 Ding um unvorsichtigen Studenten Punkte abzuziehen, aber da die Ableitung vom Sinus bekannt ist und man es in fast allen Beispielen, wo der Nenner ungleich z ist anwenden kann, ist das kein allzu großes Problem.