幾何学チャレンジ問題　ADの長さは？

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YUUU0123

Ай бұрын

考えてみてください

Пікірлер: 33

@epsom2024 Ай бұрын

最短の解法でした。 BP , AQ を円 O の直径とすると PC=2√5 , △BPC≡△QAD が示せたので AD=PC=2√5 としました。最初に，正弦定理を用いて AD=2√5 を求めてから，平面幾何の解法を考えました。 ∠BAC=α,∠ABD=β とすると α+β=90° △ABC で正弦定理より sinα=2/3 を得る。 sinβ=cosα=√5/3 △ABD で正弦定理より AD=2R*sinβ=2√5

@YUUU0123 Ай бұрын

解法ありがとうございます。 △BPC≡△QAD を示したほうが、証明はすっきりとしますね。正弦定理からの解法も、勉強になります。

@s884letitbe8 Ай бұрын

一見簡単な図形に見えて、なかなかの難問です。自分は、Bを通る直径をBEとし、AとB,Eを結び、ACとBDの交点をHとし、BA=a,BC=b,BH=hとすると、△ABCの外接円の半径をRとすると、2R=ab/h より、6=4a/h h=(2/3)a。［説明としては、弧ABに立つ円周角として∠AEB=∠ACBより、△ABE∽△HBC ∴AB:BE=HB:BC a:2R=h:b ab=2Rh ですが、テクニック的に定式化してます。］△ABHの三平方より、AH=(√5/3)a。 ∠ADH=∠BCHより△AHD∽△BHC。AH:BH=(2/3)a:(√5/3)a=2:√5 ∴AD=BC×√5/2=2√5 としました。先生の模範解答には、よく興味深いポイントが含まれていて、ためになります。

@YUUU0123 Ай бұрын

詳細なる解法ありがとうございます。△ABE∽△HBCからh=(2/3)aを導き、三平方から、BH;：HA＝２：√５がわかりますね。三平方から相似比を導くという、とてもユニークな解法ですね。

@user-yy4sy1nl7p Ай бұрын

こんにちは！　しばらく考えましたが、まったく手が付けられず、諦めました。先生の解法を見て、なるほど！！っと、驚きました。面白い問題を有り難うございます。

@YUUU0123 Ай бұрын

こんばんわ。考えていただいてありがとうございます。単純な図からは、解法をいかに気づくかが難しいですね。

@user-yy4sy1nl7p Ай бұрын

お早うございます！　この問題、私にとっては、難問でしたが、それ以上に、実に新鮮で、こんな問題、一体誰が考えたのかな－？と、感心すること頻りでした。勉強になりました。有り難うございます！！！

@YUUU0123 Ай бұрын

@@user-yy4sy1nl7p おはようございます。中国人が出している動画をもとに作成しました。

@user-lr1ef1rk9e Ай бұрын

なるほどですね。二つの二等分三角形を利用するとは思いませんでした😅 私の場合、点Oから点Bと点Cに補助線を引き、二等辺三角形を作りました。点Oから垂線を下ろし、交点をEとします。また、点Aと点Bに補助線を引きました。すると、円周角と中心角の関係から、角BOC＝角ABD×2となることに気付きました。 △OBCは二等辺三角形ですから、線OEは角BOCを二等分します。従って、角BOE＝角BACであることが分かります。ここで、BDとACの交点をFとすると、直角三角形BAFと直角三角形BOCが相似になり、AE:BE の比が2:√5となります。さらに△BCF∽△ADFで、相似比が2:√5になりますので、4:AD＝2:√5の式が成り立ち、AD＝2√5と求めてみました😅 気付くまでに、かなり苦労しましたが、何とか解けて良かったです😊

@YUUU0123 Ай бұрын

詳細なる解法ありがとうございます。△BAF∽△BOCから△BCF∽△ADFへと考え、２：√５を導く方法、勉強になります。中心角と円周角の関係からいえることも多いですね。

@EdenStonerJPN Ай бұрын

AC と BD の交点：Ｐ点Ｏから BC へ垂線を下ろしたときの交点：Ｈこのとき、△OBH ∽ △DCP . また、( BC × CD ) / PC ＝ ( AD × DC ) / PD . ここから、AD ＝ 2√5 .

@YUUU0123 Ай бұрын

解法ありがとうございます。△OBH ∽ △DCP から２：√５がでて、ADが求まりますね。意外なところに相似な三角形がかくれているもんですね。

@EdenStonerJPN Ай бұрын

@@YUUU0123 いえいえ。自分も、動画で示された解法がまったく出てこなかったので盲点でした･･････。

@single_growmwell Ай бұрын

こんなふうに解いてみました。辺ACと辺BDの交点を点G、点Oから辺CDへ下ろした垂線の足を点Hとする。（△OCDはOC＝OD＝3の二等辺三角形で△OCH≡△ODH。）円周角の定理より∠COD＝２×∠CBD＝２×∠DAGであることから△OCH∽△BCG∽△ADG。△OCHと△BCGの相似比はOC:BC=3:4。よってCH:CG=3:4よりCD:CG=3:2。このことから直角三角形CDGの各辺の長さの比はCD:CG:DG = 3:2:√5で、 △BCGと△ADGの相似比はCG:DG = 2:√5。AD =（√5/2）× BD = 2√5。

@YUUU0123 Ай бұрын

詳細なる解法ありがとうございます。相似となる三角形をつきつめていき、３：２：√５を導き、最後も相似で２：√５を求めていく。勉強になります。

@user-ui5nd1yb4z Ай бұрын

中学の知識でいけるけど難問ですね！図形の問題たのしいです

@YUUU0123 Ай бұрын

こんばんわ。高校数学、乗法公式、因数分解、不等式・・・進学校ではみんな初め苦労するところですね。私はS工業高校で、数学を３年間教えてきましたので、わからない問題とか、コメント欄に書いてください。コメント欄で解説したり、動画作ったりしますよ。

@user-ui5nd1yb4z Ай бұрын

@@YUUU0123 こんばんわ！課題の多い(自称)進学校選びましたが数学の計算分野、今のところ順調です！不等式の演算とか楽しくやれてますよー！また関数とかで躓いた時はお世話になると思います🥹

@aromaclinic4112 Ай бұрын

COを左上に延長して、円との交点をPとする。 PとA、PとBを結ぶ。 CPは直径なので　∠PBC=90゜ BC=4　CP=6　なので PB=2√5 ∠CAD=∠CBD=a　とする。 △ACB=∠ADB=b　とする。 a+b=90゜ ∠PBD=90-a=b　なので ∠PBD=∠ADB=b PBDAは円に内接する四角形で、ならんだ二つの角が等しいので、等脚台形 AD=PB=2√5

@YUUU0123 Ай бұрын

詳細なる解法ありがとうございます。等脚台形からADを求める方法、角度をうまくだしていますね。等脚台形だからAD=PBは直接いえますね。

@aromaclinic4112 Ай бұрын

ありがとうございます。最近、すぐに等脚台形を探してしまいますw。

@user-us5vj5qc4x Ай бұрын

なるほど、直接ADを求めに行くのではなくて、ECを求めるのと同じなので、問題を置き換える手法を使ったわけだ🐻

@YUUU0123 Ай бұрын

コメントありがとうございます。そうですね。うまくできている問題だと思います。

@makkin-hn4wi Ай бұрын

点Bを適当に決めると点Cは固定されるけど点Dの位置はどうしたら決まるのでしょうか？

@single_growmwell Ай бұрын

点Dの位置も任意に決められると思います。点Dを適当に決めて辺BDと辺ACが直角に交わるように点Aを決めれば辺ADの長さは2√5になるはずです。例えば辺BDが直径になるように点Dを取れば、BD=6、AB=4からAD=√(6×6-4×4) = √20 = 2√5　になります。

@YUUU0123 Ай бұрын

ご質問ありがとうございます。BD、ACの交点をすると、BP：APが４：２√５となるようにとり、BPを延長した点がDとなります。

@user-vj2vl9kh1e Ай бұрын

ACとBDの交点をPとして直角三角形△PCDで考える。 ∠D(∠BDC)は弧BCに立つ円周角であり、∠C(∠ACD)は弧ADに立つ円周角である。よって残りの∠P(=90°)は、円Oの全円周から弧BCと弧ADを除いた円弧に立つ円周角となるが、その角度が90°なので、円Oの半円弧に立つ円周角であるともいえる。すなわち△PCDは円Oに内接する直角三角形（斜辺が直径で長さ６。一辺がBCで長さ４）と相似であるといえる。よって求める長さADは、斜辺６一辺４の直角三角形の残りの辺長となり、三平方の定理から２√５が求まる。要は先生の回答図でのECがADに等しいことを、円周と円弧と円周角を使って説明したつもりです。

@YUUU0123 Ай бұрын

詳細なる解法、ありがとうございます。円周角と弧の関係をフルに使って、最後に三平方へともっていく、たいへん勉強になりました。