これはムズい！解けたらスゴ過ぎる！【中学受験算数】

[@katekyo-aspiration]

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[@アニオタ軍師]

これはtanの加法定理を使う例題だよな(高校生) 直角を挟む2辺と2つの三角形にtanを与える角の和が45°になるような問題だしね それを三角比どころか三平方の定理すら使わずに解けと言う離れ技をやれと言う難問

[@sillabubn.2875]

2:42 こばちゃん先生「ここに線を引いてもダメですね」 ⇒ 「いいえ、ダメでもなさそうですよ」 点B から辺AC に下ろした垂線の足をE 、AD とBE の交点をF とします。 まず△ADC と△BEC は∠C を共有する直角三角形なので相似、さらに△AEF と△ADC も∠DAC を共有する直角三角形なので相似です。 そして△BEC と△AEF は BE=AE なので合同です。つまりAF=5cmです。 次に△BDF に注目すると、これも∠CBD を △BEC と共有する直角三角形なのでこれまで上げた3つの三角形と相似です。 そして相似である △BDF と△ADC ですが、BD:DF=AD:DC が成り立ち、わかっている長さから 2:DF=AD:3 です。 AD=DF+5cmなので、DF * (DF+5) = 6 です。 ＃ こっからそれいいんかいとも思うんですが 12:42 からの手法に則って ここから総当たりですが、(DF, DF+5) = (1,6), (2,3), (3,2), (6,1) から、条件にあてはまるのはDF = 1cm なので、AD=6cm です。

[@ina-j2p]

ACを軸に△ABCを折り返すと四角形ABCB'の面積は5x=(x^2+4)/2+√(x^2+9)-｛√(x^2+4)/√2｝√(x^2+4)/√2 5x=√｛(x^2+9)(x^2+4)｝/√2 5x√2=√｛(x^2+9)(x^2+4)｝ 50x^2=x^4+13x^2+36 x^4-37x^2+36=0 (x^2-1)(x^2-36)=0 ∴x=6(cm)

[@single_growmwell]

途中までは先生と同じ方法でしたが、最後2次方程式っぽい方法は避けて解いてみました。 BGとCGの差が1cmで、△BCG＝6cm2を求めるところまでは一緒です。 次に、BG+CGを1辺とする大きな正方形を作ると、その面積は6×4+25=49となり、BG+CG=7cmが導けます。 足して7cm、引いて1cmとなる2つの数は3cm、4cmですので、ここから正方形AEGFの1辺の長さが6cmと求めることができました。

[@MedakaNoBoo]

7が素数だからか…証明でもあるわけだね、2×2の正方形3個と3×3の正方形が2個のとき45°ってことだ、素晴らしい👍

[@悩み坊や-v3y]

ありがとう御座いました🙇‍♂🙏

[@正村祐一]

10:03 風車使うのであれば、5×5の正方形の外側にも同じ直角三角形を4つつければ、一辺が□×2‐5の正方形ができ、これの面積が49と分かるので、□×2‐5=7 □=6と解けます。

[@tatsujin-bl9lg]

一番シンプルで、わかりやすかったです。

[@onoder]

△ABDをコピーして左回りに90℃回転させます(△A'B'D') A'をBに合わせます D'がBCの延長上にあります 角B+角A'=90°でありAB=A'B'なので △ABB'は直角二等辺三角形です △B'D'Cが△ABB'からはみ出した感じになります D'Cの長さをyとします ADとB'D'は平行なので△ADCと△B'D'Cは相似です 求めるADの長さをxとすると 2:a=x:3なのでa=6/x またx=2+3+a=5+a これからx=5+6/x x(x-5)=6です x=6のときに成り立つのですが、二次方程式なので小学生では習ってないと思い、他の方法を三日間考えましたがギブアップしました 他にも解き方はありましたが、いずらも二次方程式になってしまいます しかし、先生のように整数の組み合わせを使っても良かったのですね 厳密には整数の組み合わせで解いた場合、他に解が無い事を示さないとならない気がするのですが、明らかに6しかありませんし ちょっとモヤモヤしました

[@MedakaNoBoo]

x(x-5)=6のところで、長方形の辺と面積の関係として、整数の総当たりから「はさみうち」にすれば、証明もできるしモヤモヤも消え答えもわかる、試していないけどそんな気がするなあ…… 中学生なら二次方程式のグラフを描くのと同じことだからねえ

[@yukiarata-ph7mm]

ん～、中学受験算数とありますがどこの学校で出題された問題か教えて下さい。

[@dh1275]

このような問題で一番大事なのは発想・・・言い換えると天性 問題慣れすれば出来るかもしれないが、複雑に形を変えた場合には問題慣れした人は 壁を感じると思う。 問題を解くためには図形の性質はもちろんだが、思考の立体性も大事だ。 私には到底無理な問題でした。

[@英樹野上-m9q]

この🔺を長方形で囲えば、お馴染みの図形になる。 方眼紙を使った45°問題。

[@とんとん-f6e]

直角二等辺三角形にして正方形を６個書くと一辺は３cmになるので６cmかな。

[@MedakaNoBoo]

直角二等辺三角形が、6個の正方形に内接するとき、2個の正方形がつくる長方形の対角線とACとは、それぞれを斜辺とする三角形が合同なので、長さが等しくなる、つまり、6個の正方形それぞれ1辺の長さはDCと同じ3cmで、ADはその2個分の6cmってことだね なるほど… 対称性が怪しので、あたりをつけるというか答えとしてはさておいて、図形を描くと確かにそうなる「場合がある」、証明が必要だけどこのチャネルではアルアルだし、辺の長さが整数であれば可能性が高くむしろ選択肢はひとつだけかもしれない、だね

[@とんとん-f6e]

@@MedakaNoBoo これは解法とは言えません。たまたま正方形６個書いたら2：3になってたので答えが出てしまったという感じです。逆に考えるとこの正方形６個から問題を作ったのかと疑いたくなります。

[@JunM-z4l]

最後、整数解だと決めつけて総当たりしているのは良いのでしょうか？まあ、マトモに二次方程式を解いてもこの答えになりますが😅

[@MedakaNoBoo]

小学生ですからねえ、小数点以下1桁までは総当たりの対象ですが分数は1/2と1/3だけがつかえるので、これらを含む整数解でなければ「答えはない」とするのが正解でしょうね、算数の計算結果を求めることと、数の範囲（数論）とでは答えが違う、みたいなことね

[@yhira2010]

余弦定理と三平方と二次方程式と等積式を組み立てて、 x^2-5x-6=0 に行き着いて解くことはできたけれど……… 小学生だったとしたら、の自分には完全に無理な問題やなぁ…😭

[@kiasiyokiasdiyo]

また４５°！例の２対１と３対１の法則で６ｃｍ！

[@kazuk4725]

中学生なら、相似形、三平方の定理、２次方程式を駆使して解ける。高校生なら、tanの加法定理を使う良問かな。小学生にとっては？？？

[@woodbell3001]

久々に図形ソフト起動して補助線引きまくってスマートじゃない解き方して、こばちゃんに負けた気がした。

[@MedakaNoBoo]

そ、そんなところに正方形が！？

[@三銃士-n6e]

BCGは3：4：5ですね。

[@ina-j2p]

AD=6かなと思うけど決めずに解く。 AB=√(AD^2+4) AC=√(AD^2+9) CからABに垂線CPを引くと、AP+PB=√(AD^2+9)/√2+√｛5^2-(AD^2+9)/2｝=√(AD^2+4)=AB 辺々√2倍し二乗すると、 AD^2+9+2√｛(AD^2+9)(41-AD^2)｝+41-AD^2=2AD^2+8 2√ ｛(AD^2+9)(41-AD^2)｝=2AD^2-42 (AD^2+9)(41-AD^2)=(AD^2-21)^2 32AD^2+369-AD^4=AD^4-42AD^2+441 2AD^4-74AD^2+72=0 AD^4-37AD^2+36=0 (AD^2-36)(AD^2-1)=0 ∴AD=6(cm)

[@高緒燦]

幾何を習っている中学生以上なら、△ABCの外接円を描き、その半径を出し、その後、方べきの定理で何とか出せますが、小学生だと、こばちゃん先生のような解法があるのですね。とても驚愕かつ感銘しました。

[@GodAimAkira]

釈然としないです。 他の人も言ってるように、最後のアプローチで整数解と決めつけてます。 これは解法として正しくないです。 余弦定理を使えば解けます。

[@ben.123]

出来そうな方法で線を引いて試してみる、だめだったので線を消す。 と言うトライアンドエラーを繰り返しているので、整数で総当たりしてみる、1違いで掛けると12になる数が有った、というのはトライの結果であって事前に整数と分かっていたわけでは無いですね。 答えが整数では無い場合、整数の総当たりでは解けないので、次は･･･となりますね。

[@MedakaNoBoo]

と思うなら、整数解ではないことを証明せよ、できなければ、根拠のない嫌がらせでしかない……ですよね 余弦定理なんかなくても連立方程式を導き「二次方程式と直線との交点を求める問題」としてやってみれば、整数での総当たりと同じ手順になって、数学の基礎知識だけで解は整数とわかるわけだからねえ

[@yhira2010]

二次方程式を立てて解く方法しか思いつけない……😢

[@Satokun777]

tanの和で解くんじゃないのか…。 求める辺の長さ:x tan45=1 tanα=2/x tanβ=3/x α+β=45 後はtanの和の公式に当てはめ

[@ぼたもち-m3e]

いやぁ…、このような解法を思いつく小学生がいるなんて…。

[@eggmanx100]

こういう問題が解ける小学生って一体・・・

[@TexasRose45]

誘惑に負けて二次方程式で解いてしまいました。😛

[@ドリームマスター-g5z]

これは難しいわｗまず区切った直角三角形をそれぞれ作ることに気が付かないｗ いや正確に言えば同じ三角形を作ってBCに平行になるように考えたから長方形になって45度の角度が意味をなさなくなってどうやればいいか全くわからなかった。

[@藤田宗之]

先生、お疲れではありませんか？

[@katekyo-aspiration]

@@藤田宗之 お気遣いありがとうございます😊 最近よくそう言われるのですが、そう見えますか？

[@masamasa8049]

パズルを解いている様で興味深いですが、私には絶対解けそうに有りません。 補助線の発想にはセンスが必要かと思いました。

[@aromaclinic4112]

高校入試レベルなら、正方形の一辺の長さ=x　として、三平方の定理で瞬殺。

[@watawataboubou]

この問題、補助線を使わなくても解くことはできますね（ただし、高校数学の知識が必要ですが）。 AD=x（x>0）・∠DAB=Θ1・∠DAC=Θ2と置くと、tanΘ1＝2/x、tanΘ2＝3/x、tan(Θ1+Θ2)=（tanΘ1+tanΘ2）/（1-tanΘ1・tanΘ2）に代入すると、 （5/x）÷（1-6/x^2）となる。x≠sqrt(6)であれば、tan(Θ1+Θ2)＝tan45°＝1なので1＝（5/x）÷（1-6/x^2）→（1-6/x^2）＝5/x→x^2-6＝5x→x^2-5x-6＝(x-6)(x+1)＝0 x>0なので、x=6　これはx≠sqrt(6)も成立するので適。x=sqrt(6)であれば、ピタゴラスの定理よりAB＝sqrt（2^2+sqrt(6)^2）＝sqrt（10）、AC＝sqrt（3^2+sqrt(6)^2）＝sqrt（15） AB^2+AC^2＝sqrt（10）^2+sqrt（15）^2＝25、これはBC^2と等しいので∠BAC=90°となり問題と合わず不適。したがって、AD=6[cm]。

[@御巫シゲル]

算数検定6級は中学受験算数だとどこぐらいの学校ですかね？

[@TY-lq1if]

😅グルリのとこから意味不明（・д・）??還暦には苦しい。

[@ruhbeh]

結局こういう問題って「2次方程式の解法」「三平方の定理の解法」を小学算数で説明するような方法を使っているだけなんだよな こういう方程式や定理の意味を知っていれば小学生でも解けるってことだろうけど 難関校の入試でさえ「そのレベルで学力を留めなきゃいけない」というシステムのせいで 日本中の「数学天才少年（外国ならとっくに大学行ってるレベル）」たちが「数学的能力を停止させられている」のではないだろうか？学力のある子たちに高等数学の門戸を開いてあげないと日本の天才は潰されまくるのではないだろうか？

[@h.s.1143]

おっもしろ

[@kagakukyouzai]

面白かったけど、個人的にこういう先生嫌い(笑)。

[@sta5096]

整数解と決めつけているね。おかしいね。たまたま整数解だからよかったが。

[@MedakaNoBoo]

勘違いだろうね、そもそも整数じゃない解は存在しない、証明まで必要ないよね、問題の図形から連立方程式が導びけて、これが「二次方程式と定数直線との交点を求める問題」ってだけさ、図形でマイナスはないことから交点は単純増加側に一つしかない、ここで定数部分に着目するなら数学というより算数の問題で、整数の掛け算をして整数になる値が答えになるから、だよね もちろん、たすき掛けなら誰でも解るし中学で習って知っている、けど解が「たまたま整数だった」じゃないことまでは知らなかった、そういうことだよね、これは角度が45°のときの性質のひとつなのさ、2つの正方形がつくる対角線と3つ横に並べた正方形からつくられる対角線、この二つで挟む角は45°になり直角二等辺三角形をつくる（内接する）、これが今回もあてはまる、合同図形で比べてみるとわかるのだけど、だから正方形の「個数」に従い辺の比が「整数倍」になるってだけ ひとことでいうと、直角をはさむ短辺からみた長辺（45°からの垂線）は、2か3で整数倍になる、それだけだよ 中学受験では俗に「枡目問題」と呼ぶのだそうな、そういった問題から選んでいるのもあるけど、だから小学生でも解けるわけ、答えがわかっていて補助線が引けるってことだよね、これだって些細なことだよ、わたしだって知らなかったからね、正方形をいくつも並べて理解を深めた、けどあまりに変則な「正三角形（60°）枡目」とか「俵問題」だとか、チートなやつは未だに1を足すのか引くか理解もできん、そこだけまだちょっと理解が足りなかったあ勘違いしてたあ、みたいな感じでいいんじゃないかな