Krümmung und Krümmungskreise

Heute betrachten wir Krümmungskreise an Graphen.

[@jonah5501]

Haben sie die Simulation am anfang am Taschenrechner gemacht oder am Computer? Ich probiere dies gerade mit Geogebra, da ich über den Krümmungskreis eine Präsentation halten soll, aber weiß noch nicht wie ich das vernünftig darstelle

[@reik2006]

Schöne Visualisierungen mit Desmos. Eleganter sind die Herleitungen jedoch mit impliziter Differentiation. Aus Kreisgleichung (x - x_m)^2 + (y - y_m)^2 = r^2 mit Mittelpunkt M = (x_m, y_m) folgt für die erste Ableitung (x - x_m) + (y - y_m)y' = 0 und für die zweite Ableitung 1 + y'^2 + (y - y_m)y'' = 0. Umstellen der zweiten Ableitung y_m = y + (1+y'^2)/y'' eingesetzt in die erste Ableitung gibt nach Umstellung x_m = x - (1+y'^2)/y'' * y' und durch Einsetzen in Kreisgleichung folgt (1+y'^2)^3/y''^2 = r^2. Aus y=f(x), y'=f'(x) und y''=f''(x) folgen dann der Radius r und Mittelpunkt M des Krümmungskreises der Funktion f im Punkt (x,f(x)).

[@undefinedgirl5150]

bei 10:30 steht hoch 3/2 anstatt hoch -3/2

[@matheundkaffee6194]

Vollkommen richtig. Der Exponent 3/2 ist falsch und muss -3/2 heissen. Vielen Dank fuer den Hinweis.