La Brachistocrona: arrivare primi senza fatica

Oggi vi parlo di uno dei problemi classici del Calcolo delle Variazioni: il problema della Brachistocrona.
Vedremo insieme la storia del problema, per poi passare alla sua soluzione.
Inoltre, dimostreremo una propietà poco nota ma incredibilimente interessante della cicloide: l'essere Tautocrona.
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Parti:
00:00 - Introduzione
00:33 - Storia del Problema
01:42 - Formalizzazione del Problema
02:28 - Soluzione del Problema
10:22 - Una Curva Tautocrona
-- links --
Animazioni in manim : github.com/3b1b/manim​​
Musiche da Wintergatan : / @wintergatan
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[@orlandinabellini395]

Mi ha sempre interessato questo curioso problema. Ora e'piu' chiaro (senza considerare I calcoli brrr) Conosco anche le cicloidi

[@giacomocolangelo9880]

Grazie, stasera ho appreso una cosa incredibile.

[@mathITA]

Grazie a te 😊

[@ulvarzaiss4894]

😂

[@giannineve]

Roba da mal di testa. Ma interessantissimo. Grazie

[@nick45be]

Ottimo video. Su spiderman 2 Peter Parker cita le curve a discesa rapida di Bernoulli mentre dialoga col dottor Octopus! 😂

[@mathITA]

Ma che figo 🤩 non me lo ricordavo

[@alebenny78]

A 5:57 manca il quadrato applicato ad y' Comunque splendide lezioni! Sono proprio nel mio stile!

[@mathITA]

Hai ragione, purtroppo spesso mi sfuggono alcuni errori 😅 Grazie dei complimenti ☺️

[@arrigo7476]

La grafica ricorda fortemente 3Blue1Brown! Bel video, continuate così! P.S.: com'è che avete solo 65 iscritti?

[@mathITA]

Sì. Il motore grafico è lo stesso (il manim, trovi il link in descrizione) e 3b1b lo ha reso pubblico qualche tempo fa. Grazie per i complimenti :) Se ti va di condividere il video sarebbe di grande aiuto!

[@Mr2t2b]

Chiarissimo 😂.... grazie comunque per l'ispirazione

[@pazzicuriosi6660]

Che bel video! Complimenti!

[@mathITA]

Grazie 😊

[@maxtwin5380]

@@mathITA ottimo video

[@Chiavaccio]

Bel video!

[@mathITA]

Grazie :)

[@Chiavaccio]

@@mathITA 👍👍

[@eligiolupo9241]

😮Una domanda, ma nel momento dell'arrivo prima o dopo che sia le sfere hanno la stessa velocità istantanea e di conseguenza la stessa energia cinetica? Perché in quel punto devono avere per forza entrambe la stessa energia cinetica, visto che l'energia di caduta non dipende dal percorso, ma esclusivamente all'altezza, altrimenti c'è qualcosa che non quadra.

[@mathITA]

Sì, pur percorrendo percorsi diversi, nel punto più basso hanno la stessa velocità (anche se chiaramente raggiunta in momenti diversi)

[@luckyspiritsrls7420]

Questo discorso vale anche per il verso di percorrenza opposto? Cioè se avessimo una molla compressa in B, un oggetto arriverebbe in A nel minor tempo possibile seguendo questa traiettoria?

[@mathITA]

Se intendi dire un corpo fissato ad una molla allora no, in quanto una molla può far percorrere un moto esclusivamente in linea retta (lungo la direzione della molla). Se ti interessa approfondire guarda i risultati sul moto armonico smorzato. Se invece intendi dire che da B un corpo riceve una spinta orizzontale dalla molla, su due piedi non saprei con certezza ma non credo in quanto in questo caso la gravità fungerebbe da "rallentante" anziché da "acceleratore".

[@phibetakappa629]

bravi, bel video. Però mi sono sempre domandato: qualcuno hai mai provato a risolvere il problema introducendo anche un coefficiente d'attrito? (e sì, ovvio che l'appetito vien mangiando: attrito e resistenza dell'aria)

[@mathITA]

Grazie :) Cercando ho trovato solo due articoli (uno del '95 e uno del '97, li lascio in coda al commento) in cui affrontano l'argomento per l'attrito viscoso con l'aria. Interessante il fatto che aumentando il coefficiente d'attrito, il percorso più breve tende a essere il segmento. Intuitivamente ha senso: più cresce l'attrito viscoso, più tempo la massa viaggerà a velocità terminale, e il percorso più veloce coincide col più breve, visto che la velocità tende a essere costante. www.jstor.org/stable/2974953 www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0020746297000267

[@phibetakappa629]

@@mathITA grazie a voi. La domanda mi è venuta perchè, appunto,con le resistenze il problema si fa molto interessante: man mano che prendono importanza, le irreversibilità tendono a penalizzare percorsi che ne hanno troppe. Però per dipendenze da esponenti >1 (immaginiamo aria in regime turbolento, quindi al quadrato) intuitivamente uno si immagina che convenga stare a velocità costante; solo che questo non è il caso del segmento rettilineo: in qualche misura meglio accelerare al più presto verso la velocità media. Ancor di più dall'altra parte, con un attrito che diminuisce con la velocità (un po' succede sempre, ma in modo molto tenue. Immaginiamo invece proprio che il grave resti "impantanato" se non raggiunge una sufficiente velocità): l'inizio rampa dovrebbe subito togliere il grave dall'impantanamento. D'altra parte ancora, la maggior parte dei casi reali sta in mezzo e, come hai detto tu, la linea più vantaggiosa tende ad avere pendenza costante. Come ben sanno sia un ciclista che uno sciatore: con la resistenza dell'aria, le pendenze costanti sono le più vantaggiose, l'importanza del transitorio di partenza svanisce rapidamente.

[@phibetakappa629]

grazie anche per i link. Peccato che siano abstract, gli articoli sono a pagamento, avrei provato a togliermi un po' di ruggine analitica. Ma credo che anche il vostro canale ne offra l'occasione, ho visto un sacco di cose interessanti

[@orlandinabellini395]

Pero' il percorso della brachistocrona e' piu' breve solo nello spazio ma non su un piano?

[@mathITA]

Non è il più corto. È il più veloce. Il più corto sarebbe un segmento! Inoltre, la brachistocrona è nel piano, non serve la terza dimensione

[@orlandinabellini395]

@@mathITA in greco vuol dire piu' breve quindi il cammino piu' corto mi pare un sinonimo e non piu' veloce. Poi ci sono energia cinetica e potenziale che su un piano non dovrebbero esserci .... Va beh forse senza matematica non ci capiro' nulla ah ah

[@mathITA]

@@orlandinabellini395 chronos è tempo. Quindi è il più "corto" solo nel senso temporale

[@mathITA]

@@orlandinabellini395 il piano è orientato verticalmente

[@mathITA]

ciao orlandina, scusa se ieri ho risposto in breve ma ero indaffarato e non volevo lasciarti senza informazioni, ma credo sia opportuno essere più esaustivi. L'etimologia di brachistocrona è Comp. del gr. brákhistos, superlativo di brakhýs ‘breve’, e khrónos ‘tempo’ Quindi la curva che impiega il tempo più breve, non lo spazio. La traiettoria più corta sarebbe il segmento, ma non è il più veloce (c'è una simulazione nel video in cui si confrontano le due). Per l'energia potenziale, devi immaginare il piano posto in verticale (come un muro per capirci). Quindi c'è il potenziale gravitazione.

[@RobertoVirzi]

Bravissimo! Mi sa che ho sempre pronunciato "brachistocrona" in modo sbagliato 😅

[@MsSlash89]

No! Entrambe le pronunce sono corrette! Una è di base Greca e una di base Latina!

[@ladybugxavier6099]

Roberto deciditi😘😘

[@ladybugxavier6099]

Da lady bug passo e chiudo🐞🐞

[@RobertoVirzi]

@@ladybugxavier6099 a fare cosa? 🤔

[@ladybugxavier6099]

@@RobertoVirzi ad acumizzarmi😈😈

[@milanfanas]

Sono digiuno di matematica da un po', ma questo video ha riacceso la fiammella. Credo che spiegare passaggi e semplificazioni senza limitarsi a mostrarli aiuterebbe a seguire. Altrimenti bisogna mettere in pausa, guardarsi cosa c'era scritto prima e poi andare avanti e fare il confronto. Un po' scomodo

[@ulvarzaiss4894]

😂😂😂😂

[@longflyer63]

Maledetta musica di sottofondo ... che tanto di sottofondo non lo è neppure ...

[@mathITA]

Posso capire che sia invasiva. Questo è uno dei miei primi video e avevo moltissimo ancora da impare (e molto ancora devo impararlo), negli ultimi il volume della musica è decisamente più basso

[@longflyer63]

@@mathITA grazie cmq del filmato e della risposta. Buone cose