Cambiando l'ordine degli addendi... il risultato cambia?

[@mathITA]

Nei primi anni di università, a analisi 1 e 2, una delle cose che più mi stupiva era come alcune proprietà che sembravano ovvie si "rompono" andando all'infinito. Ad esempio, una successione di funzioni continue può tendere a una funzione discontinua. Il risultato del video di oggi mostra come, in somme infinite, cambiare l'ordine può far cambiare il risultato. Pagina instagram: instagram.com/_mathita Canale telegram: t.me/mathita_official CORREZIONI: in parte 3, minuto 9:42 c'è un errore di battitura: l'esponente di (-1) dovrebbe essere m+1 e non m [grazie a @valeriochuwa6597 per avermelo fatto notare]

[@davidepaolillo7218]

In realtà non è propriamento preciso dire che una successione di funzioni continue può tendere ad una funzione discontinua. O meglio, dovresti specificare puntualmente. Se non specifiche intendi che il limite è rispetto alla norma usuale dello spazio delle funzioni continue, cioè una convergenza uniforme, in questo caso il limite sarà sempre una funzione continua.

[@domenicoconsoli8546]

Ottimo... lo proporrò ai miei alunni... si si conoscevo la tematica ma non mi era venuto in mente di applicare la commutatività alle serie infinite dove è palese che troncandole il risultato incomincia a cambiare. Insomma mi piacciono gli esempi che hai fatto. 🎉

[@SimoneBuralliMaj7]

ingegnere meccanico, non credo di aver visto questo teorema né ad Analisi I né alla II. Bravo. Chiarissimo

[@martindespagna]

finalmente manim è arrivato qui 🎉 Continua cosi amoi tuoi video!

[@carlomaggiolo2180]

Follia. Fantastico. Anche se sarebbe bello capire come diamine sia possibile.. Perché per i compleanni mi avevano dato una cosa minimamente più intuitiva: ogni volta che tu aggiungi una persona, stai anche aggiungendo una data a caso, quindi con la 3 persona hai sia la probabilità delle 1 con 2, della 1 con la 3, della 2 con la 3 e volendo anche 1,2,3 assieme. Con 4 allora le coppie possibili diventano 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,4 e la crescita è sempre più grande

[@bernysaudino668]

Non hai applicato solo la proprietà commutativa ma anche l'associativa e la distributiva, tra cui la proprietà distrubutiva si può applicare se le due serie convergono, se una converge e l'altra diverge o se divergono allo stesso segno no se una diverge a +∞ e un'altra a -∞ perché entra in gioco una proprietà che abbiamo studiato al calcolo dei limiti ∞-∞ questa se ricordiamo una proprietà dei limiti è una delle 7 forme indeterminate

[@LucaArriosti]

Innanzitutto bravissimo, un video interessantissimo. Posso farti due domande: - sei un professore? - come fai a creare i tuoi video? Usi un software in particolare? Le transizioni sono da urlo! Bravissimo e grazie se mi risponderai Ciaoooooo

[@mathITA]

Ciao e grazie :) No non sono un professore. Ho coperto qualche CFU in un paio di corsi universitari ma nulla di più. Per le animazioni uso il Manim, trovi il link nella descrizione del video

[@LucaArriosti]

@mathITA beh allora bravissimo, mille volte meglio del mio professore. Ma come fai a fare quelle presentazioni?

[@mathITA]

@@LucaArriosti motore grafico "Manim". Trovi il link in descrizione al video

[@valeriochuwa6597]

ho un paio di quesiti, a inizio capitolo tre hai fatto vedere una serie (-1)^m ecc ma non dovrebbe partire con -1? in più con le condizioni di permutazione messe in alto m=5 non fa si che come risultato si abbia 7?

[@mathITA]

Hai ragione, l'esponente dovrebbe essere (m+1). Mi è scappato un errore di battitura (e, per copia-incolla, me lo sono portato dietro). Per la permutazione σ, m=5 si ottiene con k=2 per cui 3k+1=7. Ed infatti il termine m=5 (a_m = 1/5) viene spostato in settima posizione. EDIT [aggiungo un po' di dettagli alla permutazione in alto a destra]. Per leggerla devi fare in questo modo: - m=1 quando k=0 nel primo dei tre casi, per cui σ = 3k+1 = 1 → σ(1) = 1 - m=2 quando k=0 nel secondo dei tre casi, per cui σ = 3k+2 = 2 → σ(2) = 2 - m=3 quando k=1 nel primo dei tre casi, per cui σ = 3k+1 = 4 → σ(3) = 4 - m=4 quando k=0 nell'ultimo dei tre casi, per cui σ = 3k+3 = 3 → σ(4) = 3 e così via

[@marcellorossi-uf5du]

Che io sappia la proprietà commutativa è mantenuta per tutti i numeri eccetto per gli ordini superiori ai quaternioni e ad alcune matrici. Tra l’altro la differenza tra AB-BA in matrici regola il principio di indeterminazione delle particelle

[@mathITA]

I questo caso ti riferisci alla commutatività della moltiplicazione. Sia per matrici che per quaternioni l'addizione rimane commutativa, mentre la moltiplicazione no

[@bruno68berretta53]

Complimenti per il video.

[@simoneboscaglia9404]

video interessante, grazie!

[@bernysaudino668]

Infatti la proprietà commutativa della somma vale sempre, mentre del prodotto può non valere, in quanto se parliamo di matrici, di quaternioni ecc. non vale la proprietà commutativa del prodotto.

[@fuscello]

Quello tra matrici è un altra operazione, non a caso chiamata in un altro modo “prodotto righe per colonne”. Inoltre non si può parlare di “sempre” ma al massimo in anelli commutativi (o campi a maggior ragione)

[@cesarelai]

Dipende dallo specifico insieme e dalla specifica operazione binaria che si sta considerando. se a e b sono due numeri reali e con + si indica l'operazione usuale di somma algebrica la proprietà commutativa è sempre valida.

[@antonymari1139]

AL 4 minuto ero gia' inpalla...

[@ZannaZabriskie]

Sul fronte invece degli "errori logici", domando in che modo il teorema di Riemann da lei citato avrebbe come conseguenza il corollario che poi espone e applica. Perché a me pare che dal primo (teorema) non discenda in alcun modo il secondo (corollario) - almeno non i modo così diretto. Quindi o 1. la conseguenza teorema->corollario non è così immediata, o 2. c'è qualcosa che sfugge/manca nell'enunciazione del teorema.

[@mathITA]

Non è una conseguenza così immediata in effetti. Ma hanno alcuni aspetti simili soprattutto nella dimostrazione. Per dimostrare il teorema si costruisce la permutazione che permette di convergere a un generico valore M. Per il corollario, invece, si dimostra che tale permutazione non può esistere

[@mariodesimoni3367]

10:30 ma si sta usando la proprietà associativa.. che non vale

[@mathITA]

Se la serie converge (come in questo caso) vale sia la associativa che la distributiva. Per queste due è sufficiente la convergenza classica, non è necessaria quella assoluta

[@paololazzarin2215]

☠️

[@vrcfncpdci]

Ehm..ehm.. la somma non è una operazione ma il risultato della addizione. Le parole sono importanti diceva Nanni Moretti..

[@cesarelai]

E' usanza diffusa utilizzare il termine "somma" per indicare l'operazione, oltre che il risultato di tale operazione. Per esempio si usa dire "somma algebrica" che in alcuni casi è un'addizione, in altri una sottrazione. Allo stesso modo la parola "prodotto" indica la moltiplicazione e il risultato della stessa. Vedi le espressioni "prodotto scalare", "prodotto vettoriale".

[@ZannaZabriskie]

@@cesarelai Usanza da cui, tra l'altro, discende il verbo "sommare".

[@vrcfncpdci]

Una delle cause del difficile apprendimento della matematica è proprio questo usare termini impropri... Le parole sono importanti.. rivedete lo sketch

[@ZannaZabriskie]

@@vrcfncpdci No, allora, sia chiaro: concordo assolutamente con lei! Al di là della battuta di Moretti che mi ha accompagnato per metà della mia vita :) Le parole sono importanti, particolarmente in matematica. E quinid è vero, non esistono proprietà della somma, esistono proprietà dell'addizione, e il fatto che sia molto usata nel linguaggio comune non cancella l'imprecisione. Detto questo: l'uso di "somma" in luogo di "addizione" nel nostro contesto non ha imho comportato nessun fraintendimento. Quindi, visto che la generale precisione e coerenza dell'autore (che purtroppo cresce di molto se comparata a quel che troviamo in giro su YT - lo so, non è un gran compliimento😅) direi che è peccato veniale.

[@mathITA]

my .02 Chiaramente non è corretto parlare di "somma commutativa", ma ci tengo a spiegare perché ho scelto di usare questo termine (in ogni caso grazie della discussione, la ritengo molto interessante). [1] Il mio è un prodotto divulgativo e non accademico. Per questo mi prendo numerose libertà sulla terminologia, pur imponendomi il fatto che i concetti siano corretti. Questa filosofia l'ho ereditata da Bressanini quando spiegò perché lui, chimico, dice che il ghiaccio si scioglie invece di fondere quando fa divulgazione su YT. [2] Per mio gusto personale, ritengo che quando si usa il linguaggio naturale (invece di quello formale) per esprimere concetti matematici si stia già commettendo un "abuso". Se quindi abbiamo già peccato tanto vale farlo in grande se rende la discussione più facile da seguire 😅 [3] Personalmente non credo che le grandi difficoltà nell'apprendimento sia l'uso di termini improprio (entro certi limiti). Anzi trovo che in un percorso scolastico, soprattutto della scuola dell'obbligo, attaccarsi troppo a questi aspetti possa essere dannoso. Preferisco uno studente che confonde i termini "somma" e "addizione" ma abbia internalizzato i concetti rispetto a uno che ha imparato a memoria la proprietà. Ho fatto qualche anno di didattica in università e anche lì c'è chi prova a imparare le definizioni e i risultati senza comprenderli: preferisco uno che invece li abbia compresi con abuso di notazione (anche qui entro certi limiti, ad esempio dipende se stiamo parlando di un aspirante matematico o di un aspirante ingegnere)

[@paramatematico198]

Non ha spiegato la successione delle somme Sn.

[@francescosantese3115]

18 minuti sprecati. Ovviamente non c' entra niente con la proprietà commutativa dato che infinito non è un numero ma un limite. La proprietà commutativa vale ovviamente quando il numero degli addendi è finito non per i limiti. Ed è ovvio che un principio così basilare non può essere confutato se non nei video clickbait come questo.

[@IoDavide1]

Guarda che con le serie non puoi giocare liberamente con i termini. Non stai cambiando "l'ordine degli addendi" stai cambiando il risultato cambiando il grado dei termini negativi e positivi. Per non parlare del fatto che per la formula che hai dato i segni sono al contrario.

[@mathITA]

Cosa intendi con "non posso giocare liberamente coi termini"? Chi me lo vieta? Non so a che formula ti riferisci. Se intendi l'esempio su come una permutazione cambia il valore, quella ha gli stessi esatti valori e segni della serie armonica a segni alterni

[@IoDavide1]

@@mathITA te lo vieta il fatto che le serie, anche se convergenti, sono composte da infiniti elementi, quindi se li cambi di posto, lo fai all'infinito cambiando il risultato perché se cambi di posto all'infinito non è più un semplice cambiamento di posto ma stai cambiando il risultato. È un po' come il gioco della somma dei numeri naturali che secondo taluni calcoli fa -1/12, sono strafalcioni, non calcoli.

[@mathITA]

Scusa ma l'hai visto il video? Spiego esattamente questo. Non è che "non puoi farlo", ma che se lo fai con serie condizionamente convergenti il risultato cambia mentre invece per serie assolutamente convergenti anche se cambi l'ordine dei termini il risultato non cambia. Nessuno ti VIETA di cambiare di posto i termini. Devi solo stare attento che sotto certe condizioni accadono certe cose.

[@francescodlx]

Vengono fatti troppi errori logici per dimostrare l'assunto iniziale, che rimane quindi sempre vero. Troppa filosofia? Incredibile!

[@mathITA]

Che errori verrebbero commessi?

[@francescodlx]

@@mathITA Non ho nessuna voglia di aprire una polemica, dato che già so che tutti rimarremmo sulle nostre posizioni. Ma con gli errori logici, talvolta sottili come in questo caso, si può dimostrare tutto. Per esempio, facendo gli stessi errori logici, posso facilmente dimostrare che la circonferenza di un cerchio disegnato all'interno di un quadrato di lato 1 è 4 (per cui pi greco è 4). Nulla di personale.

[@mathITA]

@@francescodlx non voglio fare nessuna polemica... Vorrei sapere dove, secondo te, sono gli errori logici. Tutte le cose che ho riportato sono accettate dalla comunità matematica e pubblicate sui libri di testo, non c'è nessuna mia invenzione. L'esempio che porti tu su pi=4 (che immagino sia la finta approssimazione del quadrato che si stringe) è un argomento volutamente fallace fatto o per meme o per far capire che quando si parla di infinito bisogna stare attenti.

[@francescodlx]

@@mathITA Poichè la matematica è un settore in cui la maggioranza non fa la legge, capirà perchè rimango sulle mie posizioni.

[@mathITA]

@@francescodlx non è questione di maggioranza. È un risultato dimostrato e chiunque studi matematica studia la dimostrazione (e il controesempio che ho portato sulla serie armonica a segni alterni). Secondo lei invece c'è un errore logico che è sfuggito a tutti tranne che a lei. Quindi sarei curioso di conoscere questo errore legico

[@jonapw3852]

conoscevo questa proprieta nella meccanica quantistica ma non per le somme di numeri reali grazie per la pubblicazione

[@jonapw3852]

molto interessante : e´una proprieta´che conoscevo studiando meccanica quantistica es (x)*(px) - (px) * (x) = ih ma non per le somme di numeri reali , GRAZIE della pubblicazione