La geometria frattale: la polvere di Cantor

Contesto: classe quinta, scuola secondaria di secondo grado di un Liceo Scientifico
Strumenti:
- Materiale teorico sulla geometria frattale e su primi esempi di frattali (curva di Koch, triangolo di Sierpinski, ...) da mostrare utilizzando programmi di presentazione come Power Point o Canva, che permettono di personalizzare e rendere più animato il risultato, coinvolgendo maggiormente gli studenti;
- strumenti informatici che supportano l’utilizzo del software di matematica dinamica GeoGebra
Obiettivi:
- conoscenza della geometria frattale e dell’insieme di Cantor
- costruzione iterativa della polvere di Cantor
Nodi concettuali:
- concetti di Geometria Euclidea (in particolare punti e rette, con le loro proprietà) e teoremi fondamentali, in particolare il Teorema di Talete
- nozione di poligono regolare e circonferenza
- concetto di limite
- proprietà caratteristiche e proprietà della Geometria Frattale (finezza, autosimilarità, dimensione, irregolarità, ricorsività), con alcuni esempi (in particolare l’insieme di Cantor e la sua generalizzazione, la polvere di Cantor)
Metodologia: si utilizzano due tipi di approcci:
- Approccio teorico-descrittivo per la prima parte dell’attività, ossia l’introduzione alla geometria frattale e all’insieme di Cantor
- Approccio sperimentale: si prevede un’attività di laboratorio, per costruire in modo pratico la polvere di Cantor, ossia la generalizzazione dell’insieme di Cantor studiato in modo teorico
Descrizione dell’attività: si divide in due parti:
- teorica: introduzione alla geometria frattale e, in particolare, costruzione e proprietà dell’insieme di Cantor;
- laboratoriale: la generalizzazione in due dimensioni, nota come Polvere di Cantor, costruendola iterativamente attraverso Geogebra. Si può scegliere se far svolgere questa attività agli studenti singolarmente o invece in gruppi, potenziando lo sviluppo di attività di collaborazione e di aiuto tra pari.
Riferimenti alle indicazioni nazionali:
Nelle Indicazioni Nazionali del Liceo Scientifico, sezione Matematica, quinto anno, si legge:
- “Nell’anno finale lo studente approfondirà la comprensione del metodo assiomatico e la sua utilità concettuale e metodologica anche dal punto di vista della modellizzazione matematica.”
- “In relazione con le nuove conoscenze acquisite, anche nell’ambito delle relazioni della matematica con altre discipline, lo studente approfondirà il concetto di modello matematico e svilupperà la capacità di costruirne e analizzarne esempi.”
Inoltre, sempre nella sezione Matematica si premetteva
“Gli strumenti informatici oggi disponibili offrono contesti idonei per rappresentare e manipolare oggetti matematici. L'insegnamento della matematica offre numerose occasioni per acquisire familiarità con tali strumenti e per comprenderne il valore metodologico. Il percorso, quando ciò si rivelerà opportuno, favorirà l’uso di questi strumenti, anche in vista del loro uso per il trattamento dei dati nelle altre discipline scientifiche. L’uso degli strumenti informatici è una risorsa importante che sarà introdotta in modo critico, senza creare l’illusione che essa sia un mezzo automatico di risoluzione di problemi e senza compromettere la necessaria acquisizione di capacità di calcolo mentale.”