La supersommation linéaire, stable et régulière 🌶🌶

[@cyrilpujol2047]

Ces videos hardcore sont vraiment bien, les gens sur KZbin veulent toujours vulgariser pour un publique qui ne connait pas le domaine, mais il y a toute une autre communauté qui s'interesse déjà au sujet mais qui ne peut pas continuellement progresser car less vulgarisation ne concerne que des sujets "simples". Tes videos sont une pépite trouvable nul part ailleurs

[@T.O404]

exacte ta tous dit

[@ScienceClic]

Une vidéo très intéressante, et étonnement limpide, c'est très bien fait ! On ne trouve quasiment aucune vidéo de ce type sur KZbin, où les maths sont poussées au fond des choses, et c'est bien dommage. Je pense qu'il y a là un vrai potentiel !

[@le_science4all]

Merci ! Je suis le premier surpris de l'intérêt suscité par ce format !

[@evaristegallois8860]

Science4All (français) salut j j'ai une question est ce que étant en troisièmes je peut apprendre les math sup ? P.S:en math je suis en avance de 2ans

[@fandeslyc]

Abderrahmane Ismaili Tu as accès à énormément de contenu sur internet, dont des cours alors si tu te sens capable d'apprendre par toi même, tu n'as aucune raison de te limiter Tu pourrais même demander de l'aide sur des forums

[@evaristegallois8860]

fandeslyc merci beaucoup pour ta réponse paceque je suis un peu confus 😊

[@thebatmanmagicianparapente3967]

je suis pas vraiment d'accord : bonne vidéo mais je n'ai RIEN compris... (je suis en terminale S peut être pour ça...)

[@ElJj]

Excellent ! Je connaissais pas du tout cette théorie, et c'est facinant. J'avoue que j'ai eu un peu peur à 2:36 quand tu as commencé à lister les mauvaises démonstrations de la somme 1+2+3+... ;)

[@le_science4all]

Haha! L'astuce pour trouver des maths que ne connaît pas El Jj : les développer soi-même ! On a eu pas mal de discussion avec Rémi Peyre et David Louapre et ça m'a conduit petit à petit à ce que j'ai présenté là :P

[@ScienceEtonnante]

Génial, je suis content de voir que finalement un commentaire de blog peut donner lieu à tant de développements !

[@moadcolos464]

ScienceEtonnante Oh m'y good il y a les 3 puissances francophones de la science ! Fascinant mmhh...

[@RealArdor]

La démonstration de Rémi Peyre ne tient pas. En fait si on fait le calcul sur une somme finie pour mieux comprendre, avec n quelconque, on voit bien que 0=0 et non pas 1=0. J'ai corrigé Wikipedia.

[@RealArdor]

ps: le lien sur le commentaire de Rémi ne fonctionne pas

[@mrlaul7130]

14:25 ceci me semble faux, lorsque on applique e, on va "décaler tous les termes de la suite à droites". Ainsi, la formule exacte devrait être (si je me trompe pas) : u(k+n) = c(k)+somme(j=0 à n-1, a(j)u(k+n+j))

[@Maxence1402a]

C'est excellent, enfin quelqu'un qui fait des maths post-bac sur KZbin !

[@alexisjuillard4816]

Si tu cherche vraiment a progressrr en maths et que tu est pret a suivre des cours de fac va sur la chaine d ethienne parizot. Il s occupe de la liscence de physique a descartes et a ma connaissance esy la seule source de cours formels complets bac+3. Il poste tous ses cours donc t'qs le cursus entier en physique (thermo meca meca fluide electromag meca quantique relativité) et les cours dd math de L3. Ca demanfe un certains niveau initiale, bac +1/2 en maths mais c est un prof exceptionnel et c est des maths pour lz physique donc moibs formels et pedant.

[@maitrephenix5976]

​​@@alexisjuillard4816il y a quoi de pedant a faire des maths formellement ? Ça permet pas de mieux comprendre que ce qui en font vite fait ? Pedant de justifier qu'on n'intègre pas un fonction qui passe par 1/0 ? 😂😂

[@mazhaa3989]

@@maitrephenix5976 Mon prof d'analyse I l'a dit lui même : les mathématiciens sont tous pédants, et si t'en es, tu l'es bien !

[@raynat9986]

je crois que ca fait des années que je suis à la recherche d'une chaine youtube comme la tienne , je découvre et redécouvre plein de trucs , c'est juste génial , je crois que tu as vraiment trouver le juste niveau de vulgarisation pour des gens qui font des maths post-bac. Tu es à ma connaissance le seul francophone (en fait le seul humain , meme en anglais je trouve rien de similaire) à faire ca , alors pitié pitié pitié pitié pitié pitié continue ! Aussi bravo à ceux qui font le montage et les "effets spéciaux", c'est très propre , très agréable et ca participe beaucoup à donner à tes vidéos leur grande qualité .

[@le_science4all]

Merci pour ce message ! Je me permets de recommander 3Blue1Brown qui fait des trucs bien poussés lui aussi.

[@paullebreton5988]

Merci beaucoup pour cette vidéo, passionnante comme toujours! Il y a juste un point qui, je crois, n'a pas été abordé en commentaire, à propos de la bonne définition de T dans l'analyse-synthèse finale. En effet on définit T par rapport aux coefficients de la relation de récurrence, or pour une suite donnée il n'y a pas du tout unicité de cette relation de récurrence! (c'est un peu le même problème que pour la périodicité des fonctions, cosinus est 2pi-périodique mais aussi 4pi, 6pi...). En fait la condition de récurrence non barycentrique pourrait se réécrire "il existe un polynôme P non nul tel que P(e)(u)=c soit dans C, avec P(1)=! 0 (la somme de ses coefficients)". Dans ce cas tout multiple QP de P peut servir de relation de récurrence, car Q(e)(c) appartient toujours à C, ce qui prouve bien la non-unicité de l'écriture "récurrente linéaire à erreur convergente près". Dans ce cas précis on n'a pas de soucis, on tombe bien sur le même résultat en prenant P ou QP: il faudrait cependant voir si ces polynômes peuvent toujours s'exprimer comme multiples d'un même polynôme minimal, ou s'il est possible d'avoir 2 polynômes premiers entre eux qui donneraient chacun une suite convergente. Si ce deuxième cas est possible, la question de la bonne définition de T (la partie "synthèse" du raisonnement) serait beaucoup moins triviale. Je sais qu'il existe toute une théorie des polynômes d'endomorphismes, si quelqu'un s'y connait merci de m'éclairer! (je sais que j'arrive un peu après la bataille, seulement 3 ans... ;) ) Merci d'avoir lu jusqu'au bout j'espère avoir été à peu près clair, et merci encore à Lê pour cette super vidéo!

[@manun7105]

C'est une très bonne remarque 😉. En fait, elle a été abordée (sous un point de vue un peu différent) en commentaire par Jérémie Marquès en réponse à un commentaire de Thibaut Benjamin (c'est le commentaire de cette vidéo qui a le plus de réponses). Je vais le traduire pour que ce soit plus clair. Soit une suite u pour laquelle il existe un polynôme P, avec P(1) =/=0, tel que P(e)(u) = c appartienne à C. On suppose de plus qu'il existe Q et c' dans C tels que Q(1)=/=0 et Q(e)(u) = c'. Alors il est facile de montrer (il suffit de l'écrire bien proprement) que P(e)(Q(e)(u)) = P(Q(e))(u) = Q(P(e))(u) = Q(e)(P(e)(u)). Mais vu que P(e)(u) = c et Q(e)(u) = c', on a alors P(e)(c') = Q(e)(c). Ainsi, en sommant par T, il vient: T(P(e)(c') )= T( Q(e)(c)) et donc P(1)*T(c') = Q(1)*T(c) (par stabilité de T). Ainsi, on a bien T(c')/Q(1) = T(c)/P(1). Ainsi, quel que soit le couple (P, c) qui convient pour u (avec P(1)=/=0 et c appartenant à C), la définition de T par T(u) = T(c)/P(1) est bien posée. Notre application linéaire est donc bien définie. ps: Dans cet excellent doc (arxiv.org/pdf/0705.1578.pdf , partie 3 juste en dessous du Corollaire 3.2), il y a sensiblement la même idée (à l'exception près que lui utilise un autre opérateur que e). Il explique que l'ensemble de tels polynômes forment un idéal de l'anneau des polynômes (et on a donc bien existence d'un unique polynôme minimal, à la 1ère constante près). 😊

[@manun7105]

Dans l'ensemble, une très bonne vidéo, bravo! Le sujet a été très mûrement réfléchi (les commentaires sur l'article de Science étonnante et ton article datent de 2014!) et ça se sent dans l'approche nouvelle (à priori) sur la question des séries divergentes. Je n'ai pas encore eu le temps de bien me pencher sur la question, mais je compte m'y mettre très prochainement. Une remarque toutefois. Je trouve vraiment dommage - et c'est le seul gros point négatif de cette vidéo - la remarque faite à 2:38. Pour au moins trois raisons: - C'est inexact (voire même faux) de dire que leurs calculs sont faux. Leur calcul montre juste que S'il existe une Supersommation stable linéaire et régulière (SSLSR), ALORS elle donne la valeur -1/12 à la suite des entiers. On ne dit pas qu'elle existe! "S'il existe une licorne invisible rose alors il existe une couleur invisible (le rose en l’occurrence)" est une phrase logiquement vraie. ça ne prédit rien sur la véracité de l'existence d'une couleur invisible; c'est juste la véracité d'une implication. Du coup, le faire ressortir en mode sensass comme ça dans 2 vidéos c'est vraiment moyen...:/ - ça donne de l'eau au moulin de ceux qui ont tout plein de méchants préjugés sur les maths. En gros, on peut penser un truc vrai comme ça et paf du jour au lendemain tout s'écroule. Cela n'arrive (et est déjà arrivé je le reconnais) que quand une erreur de raisonnement ou de rigueur s'est glissé dans un des énoncés ou une preuve; ça ne remet absolument pas en question le monde mathématique (donc pas besoin de le sauver) mais juste notre manière de l'explorer. - C'est des calculs heuristiques. Par définition, un calcul heuristique c'est "un truc qui est faux et que je sais pertinemment que c'est faux mais qui donne une idée pouvant montrer que c'est pas si faux que ça et que dans le bon cadre c'est en fait vrai". Or c'est très exactement l'esprit de ces vidéos. Dire que c'est faux, c'est un peu pousser Mémé dans les orties, c'est gratuit. A part ça je renouvelle mes félicitations sur la globale très bonne qualité de la vidéo. ;) Petite précision pour ceux (nombreux en commentaires) qui ne comprennent pas la preuve faite ici (rapidement) sur l'existence de l'opérateur sur l'espace H. Il ne s'agit ni plus ni moins que d'un raisonnement par Analyse-Synthèse (fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_analyse-synth%C3%A8se). Analyse: On suppose l'existence de l'objet dont on veut démontrer l’existence (oui je sais dit comme ça, ça à l'air chelou). La simple supposition de son existence va entraîner des conditions précises sur la nature de l'objet, voire le réduire à une seule possibilité. ça ne signifie pas que cette seule possibilité marche, mais simplement que s'il en existe une, ça ne pourra être que celle-là (unicité). Synthèse: On teste le seul candidat qui peut marcher. S'il marche, on prouve l'existence (parce qu'on a fournit un exemple d'individu existant vérifiant la condition) et s'il ne marche pas, on prouve l'inexistence (parce que le seul candidat ne satisfait pas la condition). L'Analyse-Synthèse est un raisonnement puissant, et là est toute l'astuce et la beauté de cette méthode car elle permet de prouver l'unicité et l'existence d'un objet à partir de "rien" en construisant l'objet comme si de rien n'était. On a l'impression que c'est une méthode arbitraire qui permet de tout démontrer. Mais vous verrez que ça ne marche pas avec la suite des entiers. Vous pouvez supposer que la SSLSR existe (sur un espace construit spécialement pour ça) et somme la suite des entiers. Si vous obtenez un certain candidat, essayez de montrer qu'il est bien SSLSR. Normalement, ça va foirer à cause de la stabilité (en fait c'est la preuve de Matheux). Enfin un dernier détail: je me suis posé la question et ça ne m'a pas sauté aux yeux directement bien que se soit simple, mais les conditions SSLSR du blog scienceetonnante et de science4all sont bien sûr équivalentes (je ne sais pas si quelqu'un l'a prouvé ou déjà dit, mais dans le doute je préfère le préciser). Pour l'une on a: 1) Linéaire, Régulière (mêmes définitions) et Stable i.e. que T(0;a0;a1,...)=T(a0;a1;...) et pour l'autre, on a: 2) Linéaire, Régulière (mêmes définitions) et Stable i.e. que T(a0;a1,...)=a0+T(a1;a2;....). Il est évident que 2 implique 1 car c'est le cas particulier ou le premier terme de la suite est nul. Vérifions que 1 implique aussi 2. Si T est SSLSR-1, alors T(a0;a1;a2;.....)+T(-a0;0;0;0...) = T(0;a1;a2;.....) (linéarité) =T(a1;a2;...) Stabilité-1 or T(a0;a1;a2;.....)+T(-a0;0;0;0...) = T(a0;a1;a2;......) - a0 (régularité). D'où T(a0;a1;a2;.....) = a0 + T(a1;a2;...) et T est bien SSLSR-2.

[@manun7105]

Alors je retire un point dans ce que j'ai dis plus haut: " Leur calcul montre juste que S'il existe une Supersommation stable linéaire et régulière (SSLSR), ALORS elle donne la valeur -1/12 à la suite des entiers". En fait les calculs heuristiques ne sous-entendent *absolument pas* que _s'il existe une telle Supersommation (LSR) pour la suite des entiers_ alors blabla. Nous l'interprétons comme ça, parce que l'heuristique ne permet pas de discerner les règles qui se cachent derrière les manipulations algébriques. Mais en fait le calcul est parfaitement bon (purement algébriquement) quand on connait les règles qui se cachent derrière. Par exemple, notez que la stabilité n'est jamais utilisée pour la suite des entiers et que seule la simplification des 0 est faite. Du coup qu'est-ce qui nous autorise à penser que ce calcul implique nécessairement que l'opérateur soit stable sur la suite des entiers? Rien du tout. On dit juste que si cet opérateur existe, alors il "somme" la suite des entiers et est stable (en plus de les sommer) pour au moins deux suites (1-1+1-1+1-1+1... et 1-2+3-4+5-6+... ), donc certainement un ensemble particulier de suites. "Oui mais" certains objecteront, on ne peut pas introduire ou faire disparaître des zéros comme ça dans la "somme", en prenant l'exemple classique du 1-1+1-1+1-1+... (=1/2) et 1-1+0+1-1+0+1-1+0+... ( = 2/3) ou même 1+0+0+0+...-1+0+0+0+0+... (= m/n ; m < n). Alors oui c'est vrai que certaines disparitions de zéros modifient la somme. Mais le calcul n'a jamais dit que *quel que soit* la simplification de 0, alors elle est autorisée. Il a juste dit que la simplification 0+a0+0+a1+0+2a+0+...=a0+a1+a2+a3+... est autorisée. Si on voulait être tatillon, on dirait même que le calcul dit seulement qu''elle est autorisée pour la de suite des entiers (et les autres de "son genre" qui serait donc l'ensemble des suites pour lesquelles la simplification peut se faire). Mais il se trouve que cette simplification est légitime pour un très gros ensembles de suites, dont celles sommables par des méthodes classiques (Césaro, Abel,...). Et ce n'est pas très dur à montrer. C'est comme si je disais qu'en permutant ma série convergente avec telle permutation particulière, je préserve la valeur de ma série, et qu'on me rétorquait "ah mais non regarde _le théorème de réarrangement de Riemann_ ". Je n'ai jamais dit que *toutes* les permutations préservaient la convergence des séries -____- . J'ai dit que *cette* permutation particulière là le faisait. Et oui, il en existe un paquet des permutations qui préservent la convergence (et la valeur) des séries. Tout comme il existe un paquet d'introduction de 0 qui préservent la sommation d'un (assez) gros ensemble de séries divergentes.

[@neloka4313]

Je revois cette vidéo après d'innombrables visionnages et je pense pouvoir dire que cette vidéo est ma vidéo préférée de vulgarisation mathématique de tout le youtube mondial ! :) Dans l'idée je trouve d'ailleurs que ces supersommations ont une histoire très semblable aux nombres complexes à leurs débuts : les supersommations étendent les séries convergentes tandis que les complexes étendent les réels, les supersommations sont introduites par des relations algébriques (linéarité, stabilité, régularité) tandis que les complexes sont aussi introduits par des relations algébriques (i² = -1, les propriétés de corps) et les deux ont reçu le même genre de critiques ! "Une somme de termes positifs ne peut pas être négative" / "Un nombre au carré ne peut pas être négatif", "C'est pas une vraie somme" / "Ce ne sont pas des vrais nombres" !

[@bertrand3055]

i²=-1 démystifié : kzbin.info/www/bejne/aHjahIh6osSFnZom43s

[@jolanmoussier9267]

Il parle de nombres reels hein. i^2 est bien egale a -1 ou par czsi definition avec la def de C comme cloture algebrique de R ou par qimple constat avec les deux autres constructions​@@bertrand3055

[@jolanmoussier9267]

Alors la je suis pas d'accord. Deja le concept de nombre est extensif dans le sens ou il ne donne rien de reellemsnt tangible alors que celui de somme si. Donc non je ne ditais pqs que la supersommation est reellement une somme. La on veut donner un sens a une syntaxe alors que la somme on a clairement donné une syntaxe a un sens une idee. Meme si ca reste merveilleux on est d'accord

[@fred9297]

J'ai rien compris mais j'ai tout regardé

[@LaitheAboudouIbouroi]

vraiment, tes videos harcores sont extraordinaires alors que je ne comprend vraiment ces vidéos. On en veut plus. A plus

[@manun7105]

Il était une fois, un groupe de français qui n'avaient toujours vécu qu'à Paris. Ils n'avaient strictement rien vu d'autre. Un beau jour, leur vint l'idée de formaliser ce que pourrait être un humain. Ils regardèrent donc les humains directement à leur portée, et listèrent différentes propriétés pour essayer de les caractériser. Vu qu'ils avaient des exemples vivants sous les yeux d'humains satisfaisants toutes ces propriétés, il étaient clair que leurs propriétés caractérisaient bien les humains de Paris. Ce qui signifiait dans leurs têtes, les humains tout court (n'ayant rien vu d'autre). L'une de ces propriétés était "Un humain aime nécessairement le fromage". Tous les humains de Paris la satisfaisaient. Mais un scientifique clairvoyant se dit que cette propriété ne semblait pas nécessairement attachée à la notion intrinsèque d'humain même, et que le choix de cette propriété de caractérisation d'un humain paraissait arbitraire. Il essaya donc une nouvelle liste de propriétés en ôtant cette propriété ("aimer le fromage"). Il déroula les implications, et constata avec surprise que rien dans ses calculs ne s'opposait à l'existence de tels "objets" (des humains n'aimant pas le fromage donc). Cependant, les parisiens choqués, clamèrent haut et fort que c'était "absurde", qu'on avait jamais vu "quelqu'un ne pas aimer le fromage", et "que ces gens ne pouvaient pas exister". On entendait aussi "que ce ne pouvait pas vraiment être des humains". On proposa alors l'idée de mettre le scientifique au bûcher. Pour sauver sa vie, celui-ci dû s'enfuir de sa ville natale pour s'établir ailleurs. Du temps passa, et notre scientifique rencontra finalement dans des contrées lointaines, des humains qui n'aimaient pas le fromage. Il avait donc trouvé un exemple d'objets existants, satisfaisants les propriétés qu'il avait posé. Il revint dans sa ville, et les présenta aux parisiens. Le scepticisme était palpable. On les regarda bien fixement. Puis après plusieurs jours d'observations, ceux-ci durent finalement se rendre à l'évidence: il existait bel et bien de véritables humains qui n'aimaient pas le fromage. Bien que cette propriété leur eut paru intuitive et naturelle, les faits semblaient montrer que leur intuition (probablement conditionnée par leur environnement) s'était trompée. Il paraissait désormais très déraisonnable de redéfinir la notion d'humain, pour en exclure ceux qui n'aimaient pas le fromage. Parce qu'en eux, tout fonctionnaient quasiment comme les humains dont ils avaient l'habitude. Le temps passa, et on accepta finalement l'idée que ces individus étaient bien des humains. Ceux-ci s'installèrent et finirent par s'établir à Paris. Avec encore plus de temps, il se trouva même que ces humains apportèrent une contribution citoyenne importante (de part leur travaux, connaissances et savoirs-faire, ...) à cette nouvelle, et plus riche, belle ville de Paris.

[@Fumeal]

Je commence petit à petit à découvrir ta chaîne et franchement... gros respect pour se que tu fait :) Je viens juste de rentrer en école d'ingé et etant passionné de math je trouve ta chaîne extrêmement intéressante Sinon pour en revenir au sujet de la vidéo je me souviens avoir montrer à mon prof de math de prépa la demonstration de la somme des entier =-1/12 et je viens juste à l'instant de comprendre son explication sur pourquoi c'etait des conerie ^^ donc bravo à toi et continu comme ça !

[@PafLeRenard]

Passionnant et tellement bien expliqué, merci !! Si un jour tu nous fait une série sur les systèmes dynamiques, tu pourras faire un lien avec les développements asymptotiques Gevrey ou la théorie de la résurgence et reparler de ce sujet ! (si je ne dis pas de bêtises... pour le peu que j'ai "compris" à ces deux théories !)

[@yoavalbrecht9]

superbe vidéo !! pas évidente à suivre mais on est prévenu . À part ça , à 3 :04 j'ai du mal à croire que vous seriez tombé dans le panneau , votre modestie vous honore !

[@pierreg.8456]

Super cette vidéo !!! (enfin, il y a aussi toutes les autres !!!). J'ai une question : d'un point de vue pratique, à quoi servent ces super-sommations ? cette video montre comment les formaliser, mais je me demande à quoi elles peuvent etre utilies. Merci encore !

[@nino_94]

hello tous! petite remarque de forme: le terme d'indice k de la suite image de la suite u par l'endomorphisme e^n, [(e^n) (u)](k), n'est-il pas égal au terme d'indice (k-n) de la suite u plutôt que celui d'indice (k+n)? peut être que je bloque dessus mais j'ai vraiment l'impression que c'est dans ce sens... après c'est un détail^^, bye, Nino

[@manun7105]

Oui carrément. Je me suis dit la même chose en regardant la vidéo la première fois :/ Et pour k

[@jackseg1980]

Je savais que je ne devais pas venir sur cette video... j'ai mal à la tête.

[@belaidhocineanis3968]

Salut Si j'ai bien compris, il n'y a donc aucun moyen algébrique de définir une valeur finie a la somme de 1+2+3+4 .... N'y a t-il pas d'autres moyens d'arriver au résultat de -1/12 ? à part la fonction Zeta.

[@apeiron-logos]

Très excitant ! Tu comptes le publier ? PS : Si j'ai une idée je t'envoie ça. ^^

[@apeiron-logos]

Je pense que j'ai quelque chose ! \o/ dr-apeiron.net/doku.php/fr:vulgarisation:series-divergentes#reponse_a_science4all

[@leonfauste3889]

je ne suis surement pas LA référence mais le raisonnement à l'air juste ! bien joué ;)

[@Fine_Mouche]

Défis : Sur Excel (ou un autre tableur), modélisez graphiquement une trame tridimensionnelle d'un réseau cristallin où chaque atome est représenté par un point séparé par un espace qui délimite un cube et dont les distances peuvent variées selon les caractéristiques d'un ressort virtuel au repos dans la position normale des points, les ressorts virtuels (i.e. qui n'apparaissent pas sur le graphe), sont identiques pour toutes les arrêtes virtuelles de tous les cubes élémentaires formés par 8 points les plus proches les uns des autres. Tous les points ont une même "masse" (coefficient d'inertie) et tous les ressorts ont bien la même raideur mais ces deux caractéristiques sont paramétrables séparément. Une IMPULSION doit pouvoir être donnée en un point et vous devez pouvoir montrer l'évolution de l'effet de cette impulsion à travers le temps.

[@mathaleph8501]

Salut! Tu pourrais partager tes références? Livres, articles universitaires sur lesquels tu t'es appuyé pour faire cette vidéo?

[@vincentrobert3813]

En espérant que quelqu'un lise ce commentaire : Benoît Rittaud déclare que la valeur-1/12 est correcte tant qu'on considère le bon ensemble mathématique à savoir les nombres p-adiques. Du coup est-ce que plutôt que inconsistent ou faux, ce ne serait pas juste un problème mal regardé, (et qui une fois bien regardé n'est plus un problème)?

[@DanielBWilliams]

Benoît Rittaud dit que si l'on change de cadre, alors il est possible de donner du sens à 1+2+3+... = -1/12. L'histoire des nombres p-adiques, c'est pour montrer qu'en changeant de cadre on pouvait avoir d'autres résultats surprenants comme ...999=-1, mais ce n'est pas dans le cadre des nombres p-adiques que l'on a 1+2+3+...=-1/12. L'inconsistance dont parle Lê ici ne concerne -1/12 que si l'on demande à 1+2+3+... de vérifier certaines propriétés, et ce que Lê n'a pas remarqué (au moment d'écrire la vidéo), c'est qu'on peut se passer de ces propriétés et quand même démontrer l'égalité étrange, et donc effectivement pas d'inconsistance. Au fond oui, c'est une question de point de vue, de définition, sur le sens à donner à 1+2+3+...

[@flutterwondershyyay8255]

Je me posais la question de la somme des décimales de pi dans la vidéo mais en fait elle n'est pas définissable par récurrence linéaire donc elle ne vérifie pas la conjecture :/

[@TheMaxtimax]

Wow, je t'avoue que tes autres vidéos sur ces sommations cheloues m'avaient déçu, en effet tu ne formalisais pas du tout la chose et on aurait cru à une énorme arnaque (en tant que matheux ça me faisait mal au coeur de te voir dire ça, tu avais l'air de dire qu'en dehors de Q2, la somme des 2^n avait un sens et ça me gênait à ce moment-là, mais t'inquiète ça a changé ;) ); mais là en donnant cette définition précise et tout, à laquelle je t'avoue je n'avais pas du tout pensé (pas beaucoup d'imagination...) tu changes tout, et bah c'est super ! Bravo pour cette vidéo, qui rattrape largement les autres parce que du coup si on est frustré du manque de rigueur sur les autres, bah on n'a qu'à venir ici ^^ ("les autres" ne fait référence qu'aux autres vidéos où tu abordais les supersommations) Donc non seulement ça m'enlève ma frustration et me donne un nouveau point de vue sur un truc qui finalement n'est pas une arnaque mais est juste génial, mais en plus je crois que tu viens de me donner une idée de TIPE ! Donc merci, à tous points de vue ! Du coup, pour te remercier, je te propose un sujet pour tes vidéos Hardcore, et Infini: pour l'infini, tu pourrais parler d'un sujet qui me passionne, les ordinaux (généralisation des entiers, pour continuer sur ta lancée de "nombres super méga géants"), que tu pourrais développer en hardcore. Bien sûr ce n'est qu'une suggestion; à nouveau, merci pour ta vidéo

[@TheMaxtimax]

Du coup j'ai réfléchi à ta petite question, en m'inspirant des 2 réponses déjà proposées, et j'ai trouvé une solution, il me semble complète. Je la complèterai et la rédigerai bien plus tard, mais voici les idées que j'emploie : (petite remarque: si je ne me trompe pas c'est généralisable à tout corps, moins bien à des anneaux puisqu'on a besoin de diviser) On cherche un couple (H,T) où H est un sev de R^N contenant le sev Cv des suites à série convergente, tel que : H est stable par e et par l'action inverse de e lorsque celle-ci a un sens, T soit une forme linéaire dont la restriction à Cv est S : Cv -> R qui à une suite associe la somme de sa série, telle que pour tout u de H, T(e(u)) = T(u); T soit la seule forme linéaire sur H vérifiant ces conditions. On a envie de voir s'il existe un tel couple où H est maximal. On se donne donc (H,T) un couple vérifiant cela et on regarde quelles sont les suites qui ne lui appartiennent pas, pour savoir sous quelles conditions on peut les ajouter afin d'obtenir un nouveau couple (H',T') vérifiant les conditions imposées. Les calculs sont bien faits dans la réponse de Thibault, à ceci près qu'il faut changer Cv par H et S par T, mais les conditions sont les mêmes: on peut ajouter une nouvelle suite si et seulement si celle-ci vérifie une relation de récurrence linéaire à un terme appartenant à H près, avec la somme des coefficients du polynôme différente de 1. Ce que j'apporte de "nouveau" est donc concernant la fin de la réponse de Thibault: lui n'a pas réussi à gérer le cas où la suite à ajouter est définie par une récurrence linéaire à un terme de H près, et pas de Cv près. Ce qu'on peut faire dans un premier temps est penser au lemme de Zorn pour montrer l'existence d'un couple (H,T) maximal, ce n'est pas très compliqué. Un problème cependant est que le couple qu'on obtient n'est pas facile à décrire: H est l'union de Cv et de l'ensemble des suites vérifiant une relation de récurrence linéaire dont la somme des coefficients est différente de 1, à H-terme près, ce qui ne nous aide pas puisqu'on utilise H pour le décrire. Mais au moins cette approche permet de voir qu'il existe bien un couple maximal (on va voir par la suite qu'il est unique). On peut se demander si on ne peut pas avoir comme description la suivante: H est l'union de Cv et de l'ensemble des suites vérifiant une relation de récurrence linéaire à Cv-terme près, telle que la somme des coefficients soit différente de 1. La réponse à cette question est non: si l'on considère Cv + (somme directe) (2^n)R (qui sera inclus dans un couple (H,T) maximal), alors la suite définie par u(n+1) = 3u(n) + 2^n et u(0) = 1 par exemple appartient bien à l'ensemble maximal, mais n'est pas définie par une relation de récurrence linéaire à Cv-terme près. On va quand même donner une expression plus explicite, et montrer qu'elle n'est pas arbitraire: on obtiendra ainsi le seul couple maximal. Posons H(0) = Cv, T(0) = S. Pour tout n dans N, on pose alors H(n+1) = H(n) U {suites qui vérifient une relation de récurrence linéaire à H(n)-terme près, telle que la somme des coefficients ne vaut pas 1}, et T(n+1) comme la seule supersommation sur H(n+1) qui prolonge T(n) (on peut vérifier qu'elle existe, et qu'elle est bien unique). On pose ensuite H = union des H(n), T = union des T(n). On vérifie aisément que (H,T) est un couple qui vérifie les conditions recherchées, en particulier que T est la seule supersommation convenable sur H. Ensuite, on montre que H est maximal: les seules suites qu'on pourrait y ajouter sont déjà dedans (ça provient du travail de Thibault). Ensuite, si H' est un autre ensemble maximal, comme H' contient Cv et qu'il est stable par définition par récurrence linéaire à H'-terme près, on en déduit par une récurrence assez simple que pour tout n, H(n) est inclus dans H', et donc H inclus dans H'; par maximalité de H, H'= H. Ainsi le H ainsi construit n'est pas arbitraire: c'est le seul sev maximal; c'est donc celui qu'on recherche, et il est plus facilement descriptible, notamment parce qu'on peut le munir d'un rang qui stratifie un peu ses éléments. Il faudra que j'écrive tout ça au propre, masi ça me semble répondre à la question

[@manun7105]

Alors? Qu'est-ce que ça a donné au propre? ;)

[@francoiso]

La formule générale est: 0 + 0 + ... + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = -1/12 + k^2/2 où k est le nombre de zéros au début de cette série qui n'est pas stable.

[@Ysniruk]

Activez les sous-titres (non automatiques) et soyez en choqués. (Ce commentaire ne sera plus valable lorsque les sous-titres seront corrigés.)

[@julien31415]

Kamen Sentai 3 ans après, ce commentaire est toujours valable

[@Kaggan-zf7np]

J'ai rien compris! Autant quand on touche à la relativité, ça va, autant là je vais devoir me refaire quelques fois la vidéo avec note pour comprendre. Hâte d'y arriver ^^

[@rufinekoumako3931]

Merci.Tes vidéos sont très utiles

[@illuzionnistfr8936]

A 2:20 c'est pas -1-2-3-4-5-6... Mais plutôt 1+2+3+4...? Sur la 3e ligne

[@le_science4all]

Oui ! Merci de le signaler. J'ai rajouté une annotation.

[@amiralx88]

Je suis toujours impressionné par le temps que tu consacres aux montages :O avec tes études ca ne doit pas être facile de trouver ce temps :(

[@Edward23409]

Il est prof à politech, il a fini ses etudes si je ne me trompe pas.

[@le_science4all]

+Edward Petite correction : je ne suis pas professeur. J'ai repris en main le projet Wandida de l'EPFL qui propose du e-learning sur KZbin

[@YannLeBihanFractals]

Casimir, dans la démonstration de l'effet qui porte son nom utilise somme des entiers = -1/12. Expérimentalement vérifiée l'effet Casimir nous amène à penser que cette somme vaut bien -1/12, bien que mathématiquement on ne puisse le démontrer de façon rigoureuse. Un calcul physique différent (sciencetonnante.wordpress.com/2015/09/11/leffet-casimir-et-le-retour-de-12345-112/) amène au même résultat. Que penser de cette coïncidence?

[@le_science4all]

On en parle lundi ;)

[@YannLeBihanFractals]

Volontiers.

[@doejohn8407]

Salut Lê ! Pour la somme des entiers, OK elle est interdite Le prolongement de zeta-riemann(s) en s=-1 semble bien donner -1/12 ?

[@arthurreitz9540]

Doe John Doe John Oui mais (apparement) la fonction zeta en (s) est définie par la somme des inverses de n^s seulement sur ]1 ; + inf [ Donc ça donne l'impression de zeta(-1) = -1/12, mais en faite c'est quelque chose sortis hors de son domaine de définiton puisque (je crois) le prolongement de la fonction zeta en dehors de cet intervalle est définis autrement.

[@manun7105]

Oui, la valeur -1/12 vient bien d'une autre expression de la fonction zêta que la formule sous forme de série définie sur ]1 ; + inf[. On trouve ces valeurs grâce à ce qu'on appelle les équations fonctionnelles vérifiées par zêta (des équations faisant intervenir d'autres fonctions connues comme du sinus, cosinus et factorielle). et on appelle toujours cette plus grosse fonction (définie sur presque tout le plan complexe) "zêta". Donc on a bien zeta(-1) = -1/12. C'est dire que la série des 1+2+3+... = -1/12 qui n'est pas exact rigoureusement (même s'il y a un lien). Cependant, il est facile de définir une opération "somme" (construite à partir de la fonction zêta) qui, elle appliquée en la suite (1;2;3;4;5;6;....) renvoie -1/12. Si on interprète cette opération là comme le "+" dans 1+2+3+4+5+6+.... = -1/12, alors là oui l'égalité est vraie. Mais il faut s'y prendre proprement. Et non, pour répondre à Doe John, la somme des entiers n'est pas interdite. La limite de la somme partielle des entiers ne donne pas de résultat réel et la somme - au sens de forme linéaire stable et régulière - ne peut pas agir sur la suite des entiers. ça ne veut pas dire qu'on ne peut en faire la "somme" (je viens d'en parler d'une le paragraphe d'avant rapidement) dans un autre sens. Il faut juste voir les propriétés algébriques qu'on peut mettre derrière le mot "somme"; parce que oui c'est juste ça une somme: une opération algébrique vérifiant certaines propriétés calculatoires. Et si on trouve la bonne, alors il fait sens de dire que 1+2+3+4+5+6+.... = -1/12. :)

[@fandeslyc]

Du coup, est-ce qu'un papier sur le sujet a été écrit?

[@Fyoken]

Oui, lisez le commentaire de Dr Apeiron, il expose une solution qui m’a l’air mathématiquement viable, à vérifier.

[@alexisjuillard4816]

Merci, c’est dur de trouver du contenu de niveau élevé sur yt, j’ai l’impression que les cours formels disponibles gratuitement s’arrêtent a bac+2, 3 max J’ai conscience que c’est pas un vrai cours mais pr qq qui étudie la physique et s’intéresse au math avec un niveau prepa ce genre de format est parfait. Unique meme, a part passe science et el ji je ne connais pas de chaines qui abordent plus rigoureusement des pb largement hors de notre portée, et encore la le niveau est plus faible. En tout cas merci j attend avec impatience d’autres épisodes hardcore a part celle sur la Relativité que je maitrisait toutes tes videos m’ont apris beaucoup. Pour finir si je peux recomender des futurs sujets hardcore ca serait genial de voir des problemes du millénaire, en tant que futur physicien j avou qu un épisode sur les solutions des équations de Navier-Stokes serait un vrai cadeau :p

[@phixi7417]

Prend des livres.

[@alexisjuillard4816]

@@phixi7417 c'est pas le meme format et ca ne s approche pas de la meme facon, les livres c'est bien si tu est vraiment motivé pour progresser et pret a passer des heures seuls a bosser. Ce type de format est complètementaire car il permet de rentrer plus en profondeur dans un sujet que les autres moyens tout en n étant pas aussi formels qu un livre et plus facile a suivre. C est parfait pour identifier quels sujets t interressent vraiment et sur lesquels tu esy pret a te mettre aux livres

[@phixi7417]

@@alexisjuillard4816 c'est vrai mais justement. Certains livres presentes très bien les concept. Tu pars du debut pour arriver au resultat et c'est ultra satisfaisant. Comme ce qu'il a fait quoi.

[@moumilelion1]

est-ce que 0 fois l'infini est égal à 0? Est-ce que 0 fois S est égal à 0?

[@gaelyte2550]

0*infini, on sait pas, mais 0*S, si, car ça fait 0*1+0*2+0*3+0*4...=0+0+0+0....=0

[@eishichill619]

Salut, je trouve que tu as bien prouvé toutes les propriétés des SSLRS (merci à ScienceEtonnante parce que c'est long). Mais peut-être que c'est parce que je suis fainéant mais pour moi, la vidéo disait juste que si la série géométrique (q la raison) Sn=1-q^n/1-q alors car série infini -q^n disparaitra à cause du fait que 1+2+4...=0+1+2+4... (SSn=supersomme) En effet, SSn-qSSn=1+0+0... =>SSn=1/1-q. Donc c'est une SSLRS, et d'après tes propriétés, toutes combinaisons linéaires de SSLRS est une SSLRS voir linéarité. Donc, la question que je me pose est bien sur, existerait-il une formule mathématique permettant de faire la combinaison linéaire de plusieurs SSLRS (suite géométrique) pour obtenir une suite arithmétique, et si ce n'est pas le cas, alors la série infini 1+2+3+4... n'aurais sans doute pas les mêmes propriétés que les SSLRS. Donc le raisonnement de S-2S+S avec les propriétés d'une SSLRS ne prouverait en faite plus rien. Et aussi ce que tu as dit à la fin implique si ce n'est pas à un barycentre près que par exemple, 1+2+4+8...=-1 -1-3-9-27...=1/2 => -1-5-19...=-1/2 Mais ceci n'est pas une suite arithmétique non plus et donc 1+2+3+4+... ne sera jamais combinaison linéaire d'une SSLRS. Et donc, Ramanujan aeka le génie absolu, même si certaines de ses démonstrations à ce sujet étaient foireuses ne c'était pas trompé.

[@fredyfredo2724]

Tu avais dis avoir une preuve de cette sommation via 2-addic.

[@pituitlechat3807]

Les calculs de Rémy Peyre pour la somme de S-2S+S sont exacts mais j'ai un doute sur le résultat de la somme finale 1+0+0+0+0...? En apparence la réponse semble bien évidement être égale à 1 mais si ont applique la méthode de sommation de Cesaro la valeur de cette suite ne devrait-elle pas être égale à 0? Si c'est le cas, la théorie sur la somme infinies des entiers ne serait pas (encore) contredite...

[@echologie8028]

Non, parce qu'on applique pas Cesàro à la suite elle même mais à la suite des sommes partielles

[@jeremiemarques8954]

D'ailleurs, Cesàro itéré coïncide avec la sommation de la vidéo sur les suites de la forme P(n)a^n avec a≠1 et de module égal à 1 et P un polynôme. Il faut une itération de plus que le degré du polynôme pour avoir convergence.

[@dappermink]

Excellente vidéo ! Je tiens juste à faire remarquer qu'à 2:00 tu écris S-2S+S mais pourtant tu as remplacé les + par des - sur la troisième ligne ^^

[@davidfrassati3093]

Bonjour, Du coup dans cette vidéo de el jj : kzbin.info/www/bejne/mn_TlYCPd52jkNV9l dit que la fonction Zeta(-1) = -1/12 qui correspond à la super sommation 1 + 2 +3 + 4 …C’est faux aussi ?

[@apeiron-logos]

Nope, c'est juste que le résultat a été obtenu par un moyen différent. La fonction zeta est bien définie sur l'ensemble des complexes ayant une partie réelle > 1, et elle est analytique, c'est à dire qu'autour de chacun de ces complexes elle est développable en série entière. Or, de telles fonctions peuvent être prolongées de façon unique. Donc, pour tout autre fonction analytique f ayant les mêmes valeurs sur le domaine de définition de zeta, alors zeta aura les mêmes valeurs que f, même hors de son domaine de définition. Notamment, par différentes formules, zeta peut être étendue partout sauf en 1 (qui donne la série harmonique), et nous obtenons ainsi des valeurs pour certaines séries divergentes, comme : 1 + 1 + 1 + ... = zeta(0) = -1/2 1 + 2 + 3 + ... = zeta(-1) = -1/12 pour tout k, 1 + 2^2k + 3^2k + ... = zeta(-2k) = 0

[@le_science4all]

On en parle lundi ;)

[@florianbianco3371]

Salut Lê. Il y a un petit truc qui me dérange sur la définition des ensembles C et H : si on considère que C est l’ensemble des sommes convergentes suivant les standards classiques, Et il existe une condition nécessaire de convergence : le terme principal doit tendre vers zéro. Ce qui implique que si une somme à son terme général qui ne tend pas vers zéro, elle diverge forcément suivant les critères standards. Et donc H n'est pas un sous-ensemble de R^N->R. Ce qui me fait dire que s'il existe une démonstration que 1+2+4+8+...= -1, il faut forcement utiliser d'autre outils que l'analyse standard. Ce que l'on fait dans le corps 2-adique ou la distance n'est plus la même. Ici le terme général tends vers zéro. Bon, y'a surement plein de chose à redire sur tout ça !

[@le_science4all]

Je crois qu'il y a quelques confusions... L'idée de l'ensemble H, c'est que c'est une extension de C qui contient des séries divergentes. On a C ⊂ H ⊂ R^N. Dans mon cas, j'ai construit H comme l'espace vectoriel engendré par C et la suite des 2^n. Il faut de bonnes bases d'algèbre linéaire pour comprendre ceci, mais, en tout cas, par définition de H, H contient la suite des 2^n.

[@florianbianco3371]

Oui. J'ai bien compris ta construction algébrique. Maintenant, considérons l'élément x=(2^n). On a bien que x est dans H mais pas dans C. Si maintenant, avec la fonction T on a T(x)=-1 (d'après la relation T(x) = (1/2)*T(x) - 1/2. Cela veut dire que x appartient aussi à C. Il y a une contradiction flagrante. La relation T(x) = (1/2)*T(x) - 1/2 veut dire que si T(x) existe, il existe une seule valeur possible mais cela engendre une contraction. Donc T(x) ne peut exister dans R.

[@jeremiemarques8954]

> Cela veut dire que x appartient aussi à C. Pourquoi ?

[@florianbianco3371]

Ben H = C + (2^n) (+ est la somme direct). Si x est inclu dans (2^n), il ne peut pas être aussi dans C. (sauf s'il est nul. Ce qui n'est pas le cas).

[@jeremiemarques8954]

Mais quel est ton raisonnement pour arriver à « x appartient aussi à C » ? Quelle est la contradiction « flagrante » ?

[@alberteinstein5637]

Excellente vidéo, j'ai a peu près compris, mais je me sens bien incapable de résoudre la conjecture finale.

[@pellouze]

Je suis ébloui... J'ai vu plusieurs fois le 1+2+3+4+...=-1/12, sans le comprendre, puis j'ai lu le très bon billet de science étonnante, qui ne m'a que moyennement convaincu, puis j'ai lu le commentaire de Rémi Peyre, qui m'a fait dire qu'il y avait un loup quelque part. Donc j'ai pris mon crayon, et j'ai essayé de formaliser ce qui me venait à l'esprit, mais sans y parvenir, je retombais toujours sur la contradiction de Rémi. Et puis ta vidéo est arrivée, avec plus de rigueur que ce dont j'étais capable (la prepa, ça remonte à trop loin...), mais il manquait encore quelque chose. À première vue, ton raisonnement a l'air valable pour H = C + (n) , et je n'arrivais pas à mettre le doigt sur pourquoi le même raisonnement n'es pas valable (il m'a fallu une bonne demie heure pour comprendre mon erreur). Si je prends u la suite des entiers, cad un=n, puis-je construire H et T comme tu l'as fait? À priori non (à cause de l'argument de Rémi). J'ai dû prendre mon crayon pour comprendre pourquoi: Dans ta démo, il y a un tout petit passage sur lequel tu n'insistes pas beaucoup (en tout ça pas assez à mon sens). Tu dis que H doit vérifier e(H) est inclus dans H. Ce qui n'est a priori pas vrai dans ce cas. Je ne trouve pas d'argument élégant, mais intuitivement ça m'a l'air faux. Ce n'est qu'en résonnant par l'absurde que je peux conclure ici: si j'admets que e(u) € vect (C,u), alors je peux appliquer l'argument de Rémi et conclure 1=0, absurde => e(u) € vect (C,u) est faux. En fait, ce e, c'est le point le plus sensible de ta démo, et c'est ce point que je n'arrivais pas à formaliser je crois. Pour que ta construction sur les EV tienne la route, il faut cette stabilité par e. Merci infiniment Lê, car j'ai des étoiles dans les yeux depuis une petite heure que je retourne tous ces problèmes dans ma tête.

[@manun7105]

Ce n'est pas la simple appartenance de e(u) à H qui provoque l'incohérence, mais bien e(u) ds H *et* T(e(u))=T(u). Ou dit autrement, l'assertion: il existe un opérateur T sur H LSR avec e(H) dans H tel que T(e(u))=T(u). On peut facilement fabriquer un espace H contenant u et stable par e.

[@yawogolu5597]

"On n'a pas le droit de faire la supersommation" une phrase succidaire en mathématiques. Le nombre imaginaire pur i ne serait pas découvert.

[@78Likeaboss]

Le lien vers la solution en fin de vidéo est mort... Une solution ? Bonne vidéo sinon :)

[@dokky]

Simple question, je sais pas si tu as fait de faq, mais t'as fait quoi comme études ?

[@TheTruth181818]

Devine ^^

[@dokky]

Yoann Nicod Je veux savoir s'il a fait une prépa, une école d'ingénieur, une école d'enseignant, de chercheur, de finance ou autre, comment veux tu deviner ça ? Et puis je fais des maths, beaucoup de maths, mais je fais pas une d'études en math...

[@TheTruth181818]

D'accord autant pour moi. Il a fait prépa puis polytechnique plus thèse puis post doc

[@thenotorious7692]

Tu es le meilleur

[@EniXdu37]

Juste : Merci ! :D

[@matrefeytontias]

Autant je comprend très bien l'idée de l'opérateur T, autant écrire que "du coup la somme des puissances de 2 vaut -1" me semble faux. Tout ce qu'on a fait, c'est définir une forme linéaire qui coincide avec la somme infinie "classique" sur l'espace vectoriel des suites convergentes. À aucun moment on ne somme les puissances de 2, puisqu'elles sont évidemment divergentes. C'est le même problème avec la somme des entiers et la fonction zêta de Riemann ; ce n'est pas parce que ζ(-1) existe et vaut -1/12 que la somme des entiers vaut -1/12. En effet, la fonction qui à x associe la somme des n puissance -x est définie sur ]1, +∞[ et coincide avec zêta sur cet ensemble UNIQUEMENT, et donc l'évaluer en -1 n'a en premier lieu aucun sens, puisque -1 est hors de son ensemble de définition, mais surtout ne la rend pas égale à ζ(-1) qui lui est bien défini et vaut -1/12. De la même manière, dire que T((2^n)) = -1 = S((2^n)) est faux, puisque S est défini sur un ensemble qui n'inclut pas (2^n). En résumé, la somme des (2^n) n'est pas finie, par contre il existe T une forme linéaire (continue ? à vérifier) définie sur un sur-espace vectoriel des suites de somme finie qui comprend (2^n) tel que T coincide avec S sur l'ev des suites de somme finie et T((2^n)) = -1. L'écrire sous forme d'une somme infinie est au mieux un abus de notation affreux (on utilise la même notation pour T(u) avec u dans et en dehors de l'ev des suites de somme finie, en posant l'égalité par définition en dehors dudit ensemble), au pire complètement faux. Mais dans tous les cas, vendre ça comme "la somme des puissances de 2 vaut -1" (ou puisqu'on en parle, la somme des entiers vaut -1/12) à une personne lambda pas à l'aise avec les maths me semble moyennement honnête. Qu'en penses-tu, ô toi lecteur assidu de commentaire KZbin ?

[@matrefeytontias]

En relisant ça, je me rend compte que c'est un peu faire du zèle en termes de rigueur, mais ça reste très important. L'opérateur T qu'on définit dans cette vidéo est effectivement appelé une sommation, mais ATTENTION ce n'est pas la sommation définie par la somme des termes de la suite ; c'est la sommation définie par d'un côté, la somme des termes de la suite si la suite est de somme finie (coïncidence avec S sur l'ensemble des suites sommables), et -1 si la suite en question est la suite (2^n). En effet, tout autre cas de figure se réduit à ces deux-ci puisque l'ensemble H considéré pour la définition de T est la somme directe des espaces vectoriels engendrés par les deux ensembles sus-mentionnés, et que T est une forme linéaire (par là je veux dire qu'il est linéaire). Je ne le répèterai donc jamais assez : 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ..., quoi que veuillent dire ces points de suspension, vaut +∞. Par contre, et on l'a montré avec succès dans cette vidéo, il existe T une super-sommation linéaire, stable et régulière telle que T((2^n)) = -1. C'est sûr, ça impressionne moins le spectateur moyen, mais ça a le mérite d'être vrai.

[@neloka4313]

Oui comme les sommations de séries convergentes ne sont pas des sommes au sens fini du terme. :) Pourquoi la somme des 1/k² serait égale à pi²/6 ? Ça n'a pas de sens puisque à chaque terme que tu rajoutes la valeur change. Eh pourtant on garde le nom de "somme" car cette application conserve des propriétés de la sommation finie, tout comme notre supersommation conserve des propriétés algébriques et surtout étend la sommation classique. Après évidemment c'est une question de définition, personnellement ça me dérange aussi qu'on dise que la somme des 2^k = -1, néanmoins si tu définis clairement ce que tu entends par somme avant, ou mieux que tu dises "super sommation linéaire régulière et stable" au lieu de "somme" je pense que le problème disparaît. :)

[@manun7105]

Amen!

[@letmeoffendyou]

On étend un l'opérateur de sommation classique S à un opérateur plus général T. Ce dernier T hérite donc du nom "sommation" qui est contre-intuitif, mais cohérent selon moi. C'est comme quand on passe de l'intégrale de Riemann à celui de Lebesgue, on garde le symbole (et le nom) somme, alors qu'on intègre des fonctions plus générales et donc l'aire nous semble moins intuitive à calculer.

[@dreamstorm194]

10:05, le "ça impose que machin = bidule" c'est assez douteux : tu fais un petit calcul et puis basta ; parce que si moi j'avais commencé à construire mon ensemble H en parallèle mais avec les suites sommables union la suite des entiers, je pouvais dire au choix qu'on nous "imposait" alors T(n) = -1/12 ou au choix 0 = 1... Non ? En l’occurrence si on essaye de triturer notre somme des 2^n avec les règles précédentes on retombe toujours sur notre -1, mais j'aimerais bien voir une preuve générale qui le prouve. À part cet inadmissible faute de rigueur qui m'a contraint à sortir un crayon et du papier, excellente vidéo. :)

[@le_science4all]

Cette vidéo laisse entendre des façons de formaliser et prouver rigoureusement ces deux idées (mais ne les formalise pas rigoureusement pour des raisons pédagogiques). Pour ce faire, 'il faut commencer par énoncer les théorèmes formels qui correspondent à ces deux idées intuitives. Théorème 1 : Si T est linéaire, stable et régulière sur C + Vect(suite des entiers), alors 0 = 1. (Ou autrement dit, il est absurde de supposer l'existence de T linéaire, stable et régulière sur cet ensemble, ce qui revient à dire qu'il n'existe pas de T linéaire, stable et régulière). Théorème 2 : Il existe une unique T linéaire, stable et régulière sur C + Vect(2^n). (L'existence se montre en posant T(2^n) = -1, et l'unicité en montrant que linéarité + stabilité + régularité implique T(2^n) = -1). S'il t'a fallu sortir crayon et papier, c'est que j'ai réussi ce que je voulais faire =D

[@dreamstorm194]

Ok, je comprends que ça alourdisse un peu l'explication. Je vais pas tout de suite essayer de rédiger une démonstration (j'ai du beaucoup d'exos à faire... sur des séries (sommables, elles :p) ) mais c'est intéressant d'avoir un truc propre a prouver (pareil pour la conjecture à la fin). Merci d'avoir répondu ! (Et en fait j'avais déjà des brouillons de math à côté =) )

[@hchamssi]

Je trouve que la definition de C est un peu ambigüe: est ce le sous-espace des suites convergentes ou celui des suites dont la somme converge ? Dans les deux si on considère le scalaire (-1)^n, on peut trouver un contre exemple de combinaison linéaire qui ne converge pas et donc C n'est pas un sous espace.

[@DanielBWilliams]

C'est le sous-espace vectoriel des suites qui donnent lieu à une série convergente. C'est bien un espace vectoriel. (-1)^n n'en fait pas partie.

[@hchamssi]

@@DanielBWilliamsmerci pour ta réponse. J'imaginais (-1)^n plus comme scalaire et non une suite pour démontrer qu'on peut trouver une combinaison linéaire qui divergente. Un autre point que je ne trouve pas si trivial que ça, si on admet que C et donc H sont des sous espaces, qu'est ce qui prouve dans que la supersomation T est linéaire. Dans la video, Lê le prend pour acquis sans le démontrer mais en analysant sa définition de l'application T (que je ne trouve pas très claire) rien ne permet de dire qu'elle est linéaire.

[@DanielBWilliams]

@@hchamssi Quand il dit T est dans H* (le premier axiome), cela veut dire qu'il demande à T d'être une application linéaire de H dans R. C'est une définition de T : on part du principe qu'on a une application linéaire T telle que blablabla, on en déduit que si c'est le cas, alors T((2)^n) = -1.

[@phixi7417]

C'est évident pourtant...

[@kalloud11]

Salut! Dans 2:14 (je ne sais pas comment le rendre un lien) je crois qu'il y a une erreur: au début S-2S+S puis c'est représenté s-2s-s. J'espère que tu m'as compris.

[@amiralx88]

Je confirme il a bien mit des - au lieu des + après le 0

[@le_science4all]

Merci d'avoir souligné l'erreur ! J'ai rajouté une annotation.

[@florianpigot8424]

Bonjour ! Je suis étudiant en 2eme année de licence de maths, et j'ai trouvé cette vidéo quand même très intéressante même si j'ai eu quand même du mal à suivre Cette vidéo serait équivalent à quel niveau d'étude ?

[@numv2]

Un petit math sup. J'ai fait sup mais j'avoue je cale pour la preuve finale.. ;)

[@flutterwondershyyay8255]

Un petit 5/2 qui a DS de maths demain, je dois dire que cet épisode hardcore reste plus clair à mes yeux que les précédents: c'est difficile mais on comprend des trucs ^^ Certainement parce-que je préfère les maths à la physique...

[@florianpigot8424]

ça explique pourquoi j'ai compris pas mal de choses mais pas tout d'une traite Merci beaucoup :D

[@Legion22Cl217]

Ah la 5/2... Les vrais savent ;)

[@LaurentBonnaud]

Bravo pour cette vidéo ! Le livre de Hardy dit-il qqch à propos de ce sujet ?

[@manun7105]

Oui :). Voir p.1,2,19.

[@julien31415]

Manu N Quel est ce livre ?

[@manun7105]

@@julien31415 " _Divergent series_ " de Hardy. Une des références sur les séries divergentes. Ici: archive.org/details/divergentseries033523mbp/page/n8/mode/2up 😉

[@julien31415]

Manu N Merci pour cette réponse rapide !

[@manun7105]

@@julien31415 Pas de quoi! 😉 Si tu veux approfondir voici un document que je trouve perso bien meilleur que Hardy: arxiv.org/pdf/0705.1578v2.pdf

[@chainonsmanquants1630]

Géniale cette vidéo !

[@badvlad8421]

Ok je dois l'admettre, je dois retourner aux vidéos de base!

[@sophievidal3154]

Que représente l'ensemble C ?

[@paullebreton5988]

C correspond ici à l'ensemble des suites dont la série converge, mais à ma connaissance il n'y a pas de façon "simple" de les caractériser autrement si c'était ta question (il y a par contre des conditions suffisantes, par exemple elles tendent toutes vers 0). Rien à voir avec les complexes, on se limite d'ailleurs ici aux suites réelles!

[@manun7105]

@@paullebreton5988 Oui en effet, pardon pour cette erreur. Je n'avais pas regardé à nouveau la vidéo...😊 errata: j'imagine que tu voulais dire "conditions nécessaires" pour "elles tendent toutes vers 0.

[@paullebreton5988]

@@manun7105 pas de soucis! Et oui c'était nécessaire pas suffisante, merci!

[@tawfikdhaoui3587]

DHAOUI TAWFIK : professeur de mathématiques tunisien je vous propose une autre preuve qui contre dit que la supersommastion linéaire régulière des entiers naturels non nuls est stable (n-1) S=(n-1) [ 1+2+3+…+n-2+n-1+n+n+1+n+2+n+3+..] -ns= -n [0+1+2+…+n-3+n-2+n-1+n+n+1+n+2+.] +s= [ 0+0+0+…+ 0 + 0 + 0 + 1 + 2 + 3+……] 0 = [ (n-1)+(n-2)+(n-3)+..+2 +1 + 0 +0 + 0 + 0 +….] ce qui conduit a n(n-1)2 =0 pour n=2 on obtient 1=0 et pour n=3 on obtient 3=0

[@anonyme8945]

Étrange de devoir utiliser un outil aussi puissant que les espaces vectoriels juste pour ça. J'ai l'impression qu'on utilise un tractopelle juste pour planter une graine ^^. Sinon la vidéo est intéressante, j'ai juste oublié ce qu'est une somme direct mais on saisit très bien, de manière intuitive, le raisonnement.

[@MrChewbee]

Passionnant.

[@francoiso]

La série 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = -1/12 moins 2 fois la série 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = +5/12 plus la série 0 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + ... = +23/12 est égale à la série 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ... = -1/12 - 5/6 + 23/12 = 12/12 = 1 Ça marche parfaitement bien.

[@manun7105]

petite erreur, vous avez transformé un 5/12 en 5/6 😉

[@francoiso]

@@manun7105 Corrigé à "moins 2 fois la série". Merci Manu.

[@divergentmaths]

@@manun7105 If you are interested to learn more about divergent series and want to understand why and how 1+2+3+4+5+6+... = -1/12, I recommend the online course “Introduction to Divergent Series of Integers” on the Thinkific online learning platform.

[@acx01bc]

A=1+1+1+1+1+.. est encore plus simple à comprendre qu'elle ne peut pas être linéaire et invariante par translation puisque sinon A+1 = 1+1+1+1+1+.. = A

[@mathieuaurousseau100]

Donc 1=0, ce qui est impossible, exactement.

[@MrKeadriel]

Je me demande si des papiers ont déjà étés publiés à ce sujet... Si ce n'est pas le cas, je crois bien qu'on est face à un exemple où Internet et son intelligence collective ont fait progresser les mathématiques, ce qui est plutôt stylé.

[@MrKeadriel]

C'est vrai. Cependant, si l'égalité "1+2+...=-1/12" n'était pas si polémique sur Internet, sans doute que David Landon n'aurait pas posté son billet, qu'en retour Rémi Peyre n'aurait pas répondu, et qu'enfin on aurait pas eu cette vidéo (y compris la contribution de Thibault Benjamin). Pour donner un autre point de vue sur l'inconsistance de cette supersommation, un article de Terence Tao : terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/ Il utilise ici le prolongement analytique de la fonction zeta, et une technique de "lissage" de somme. (attention, le niveau de maths est raide)

[@le_science4all]

La quasi-totalité de ce que j'ai présenté ici, ce sont des maths que j'ai en gros développées moi-même. Je ne sais pas si des papiers ont été publiés à ce sujet...

[@manun7105]

A vrai dire, oui des papiers ont déjà été publiés à ce sujet. Et le résultat de Lê était déjà connu depuis un moment (pour les suites géométriques différentes de 1). Même si sa manière de le démontrer pour 2^n semble être nouvelle oui. Il n'en demeure pas moins que c'est extrêmement intéressant! ;)

[@letmeoffendyou]

Tout ça c'est connu depuis très longtemps sous le nom des "Divergent series", voir papiers de Ramis ou bouquin de Hardy.

[@apolix13]

Super PS: ton micro sature ;)

[@MrXaabza]

Faut que je revois cette vidéo plus tard, je débute ma L1 là :(

[@Edward23409]

Même après deux ans de prépa MP, en regardant directe sans mettre pause c'est pas toujours simple de suivre t'en fait pas x)

[@MrXaabza]

Ah bah pas de soucis dans ce cas x)

[@J0623-f5r]

Je vais regarder tout les ans jusqu'à la comprendre... il me manque la notion d'espace vectoriel et c'est bon...

[@dappermink]

Arthur Fais le ! J'ai fait de même et ça a marché pour moi :')

[@badvlad8421]

Oui mais après un certain nombre d'année, le nombre de neurones commence à régresser!

[@thenotorious7692]

Merci !!!

[@bastienaq1805]

HAHA JE LE SAVAIS merci

[@theguyshetellsunottoworryabout]

Épicé ouiii

[@thibautbenjamin5686]

Bonjour, très bonne vidéo, j'ai découvert cette chaine récemment et je suis vraiment fan. Concernant la petite question laissée à la fin, j'ai rédigé un pdf dispo a cette adresse github.com/ThiBen/S4A. Encore merci pour cette super vidéo

[@le_science4all]

Excellent ! =D Pour ceux qui ne l'ont pas lu, il s'agit d'un document plus complet que ma vidéo, mais encore un peu incomplet ! Il reste donc du boulot :P

[@echologie8028]

Avant tout, je tiens à dire que je trouve ce boulot génial (et ça vaut pour mes deux interlocuteurs :). Il y a cependant deux erreurs dans le pdf qui méritent qu'on s'y attarde. D'abord, ce n'est pas parce-qu'une suite vérifie une relation de récurrence "barycentrique" qu'elle ne vérifie pas aussi une relation qui ne l'est pas. Par exemple, la suite des puissances de 2 : 1 2 4 8 16 32 64 ... dont on parle tout le temps, vérifie la relation linéaire d'ordre 2 : u_n+2 = 3u_n+1 - 2u_n dont la somme des coefficients vaut 1. Le problème ne tient d'ailleurs pas à une histoire de polynôme minimal, il a vraiment à voir avec le fait qu'on ne peut pas supersommer la suite constante égale à 1 : 1 1 1 1 1 1 1 1 ... Ensuite, il est vrai qu'il faut à priori rajouter les nouvelles suites supersommables au fur et à mesure dans l'espace des suites qu'on sait sommer, pour pouvoir atteindre toujours plus de suites supersommables. Sauf que... Je vais donner un exemple, pour que ce soit clair. Considérons la suite : 0 2 8 24 64 160 ... définie par la formule suivante : u_0 = 0 u_n+1 = 2u_n + 2^(n+1) Vu qu'on sait déjà supersommer la suite des 2^(n+1) (elle vaut -2), on peut en déduire que la supersomme de cette suite vérifie S - 2S = -2 : 0 + 2 + 8 + 24 + 64 + 160 (S) - 0 + 4 + 16 + 48 + 128 (2S) ----------------- = 0 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32... = -2 D'où S = 2. Ce calcul donne bien l'impression que le fait de rajouter nos supersommes dans notre escarcelle nous permet de supersommer des suites qu'on aurait pas pu sommer sans. Sauf que... La suite en question n'est autre que la suite de terme général n*2^n, qu'on aurait tout aussi bien pu définir par la formule de récurrence linéaire d'ordre 2 suivante : u_0 = 0 u_1 = 2 u_n+2 = 4u_n+1 - 4u_n Laquelle formule de récurrence nous permet d'affirmer que S - 2 = 4S - 4S, ce qui nous donne tout aussi bien S = 2. En fait, si une suite s'écrie comme la somme d'une suite récurrente d'ordre n et d'une suite récurrente d'ordre m, alors elle vérifie aussi une formule de récurrence (d'ordre au plus n+m), ce qui rend inutile le fait d'ajouter les supersommes au fur et à mesure, on a déjà tout au départ. Bien sûr, pour inutile que ce soit en théorie, c'est très pratique... En pratique !

[@le_science4all]

Très intéressant tout ça ! Si j'ai bien compris, t'as montré que : (i) il existe des suites définissables par récurrence linéaire barycentrique qui peuvent être sommées. (ii) toute suite définissable par récurrence linéaire à (une suite définissable par récurrence linéaire à une suite convergente-près)-près est définissable par récurrence linéaire à une suite convergente près. C'est bien ça ? Et du coup, la conjecture de la vidéo reste donc ouverte, non ?

[@thibautbenjamin5686]

Bonjour, Bien vu, c'est vrai que j'ai rédigé ca surtout pour apporter quelques éléments que pour clore le débat, et je pensais effectivement qu'il fallait considérer les relations linéaires définies par un polynôme minimal, d'où l'importance des extensions successives, qui deviennent inutiles si on se permet n'importe quelle relation linéaire. Du coup pour pallier à ca, il faudrait considérer les suites qui ont une relations linéaire à un terme convergent près parmi toutes les relations de récurrences qu'elles vérifient, et celles qui ne vérifient aucune relation de récurrence linéaire satisfaisant ces bonnes propriétés? Ca semble être un peu compliqué pour en sortir un critère pratique, parce que si on doit essayer toutes les relations de récurrence possibles, ca m'a inutilisable...

[@echologie8028]

La morale de l'histoire, c'est que la conjecture est juste, mais que la démonstration complète n'est pas dans mon commentaire, j'y ai juste fait allusion avec l'impossibilité de supersommer les suites constantes. Pour la multiplicité des relations de récurrences linéaires, il n'y a pas vraiment de problèmes. Si deux relations de récurrences aboutissent à un résultat, elles aboutissent au même, à savoir celui qu'on aurait en prenant le polynôme minimal. PS1 : J'ai fait mes démonstrations en prenant un point de vue un peu différend, et j'ai tout retraduit pour fournir les contre-exemples. Je n'aurais jamais le temps de développer ça proprement par écrit dans un commentaire (j'ai 11 pages de démonstrations manuscrites devant les yeux...), mais si ça vous intéresse, on peut quand même aborder ça. PS2 : J'ai également réfléchi à la possibilité d'ouvrir le raisonnement à des relations de récurrence non linéaire, et curieusement, on trouve des restrictions très fortes qui enlèvent pas mal d'intérêt au sujet, mais on peut en parler aussi.

[@sobrenji]

1+2+4+8+16+... = -1 peut s'écrire infini = fini Sans même faire le moindre calcul je vois que le postulat de départ est faux. En faisant des calculs sur un énoncé par nature erroné, on ne peut que arriver à des résultats grotesques. Je ne suis pas spécialement doué en mathématiques, pourtant j'apprécie regarder ce genre de vidéo, comme celles de MicMath également. Ceci dit, sans être mathématicien, je n'arrive pas à comprendre comment les mathématiciens arrivent à être satisfait du résultat de ces supersommations. Ça me parait pourtant évident que leurs résultats sont faux. Une sommation d'une suite infinie ne peut pas donner un nombre fini. En tout cas c'est quelque chose que je n'arrive pas à imaginer.

[@le_science4all]

"Ça me parait pourtant évident que leurs résultats sont faux." => L'objectif de ma série sur l'infini est précisément de montrer que rien n'est si "évident". On le verra lundi, mais ces résultats étranges et "clairement faux" sont très utilisés en physique... et font des prédictions justes !

[@Edward23409]

Je pense que tu peux un peu comparer ca avec les trous noires. L'infini, c'est un peu ce qui est inaccessible en dimension 1. Tu ne peux juste pas vraiment comprendre ce qu'il se passe, c'est un peu comme si c'était en dehors de R, ce qui se passe n'est pas dans le modèle du monde observable. Un peu comme les trous noires qui sont à "l'infinit" dans la 4eme dimension, du coup tout ce qui porte la dessus parait aberrant, incompréhensible, tout ca car ce n'est juste pas défini dans notre dimension. Je sais pas si l'analogie était bonne, mais moi ca m'a pas mal aidé à comprendre le truc. Ce n'est pas accessible, mais ca permet d'expliquer des choses sur notre monde. Il faut pas croire, mais les maths c'est encore plus irréaliste que le meilleur film de science fiction :D En tout cas, mon prof de math m'avais dit que ces suites infinis, notamment 1+2+3+4+... = -1/12 étaient à la base de la théorie des cordes et donnaient des models cohérents en physique.

[@sobrenji]

"et font des prédictions justes !" Oui je crois en avoir entendu parler dans une autre vidéo (de Science Étonnante si je ne me trompe pas, à moins que ce soit MicMath). Ça serait intéressant d'en savoir plus à ce sujet d'ailleurs. Ceci dit, la théorie de Newton sur la gravitation a également fait des prédictions justes. Pourtant on sait aujourd'hui que cette théorie n'est pas tout à fait correcte.

[@bibi050505]

Je ne suis pas convaincu par ton raisonnement. Tu as utilisé le fait que T EST linéaire, régulière et stable pour conclure que T((2^n))=-1. Mais le problème est de montrer que T EST BIEN linéaire, régulière et stable en "rajoutant" la suite (2^n) à C, et on est revenu au point de départ! Ton raisonnement ne tient pas debout je pense car tu affirmes vrai ce qu'il faudrait démontrer...

[@le_science4all]

Là où je n'ai pas été super clair c'est qu'il faut démontrer l'existence ET l'unicité de T. Pour le faire proprement, j'aurais dû mieux distinguer ces deux aspects. Unicité (9:43) : Si T est linéaire, régulière et stable, alors T(2^n) = -1. Existence (10:11) : Comme tout vecteur H = 2^n + C se décompose de manière unique en h = c+ \alpha 2^n, ça me permet de définir T sur H par T(h) = S(c)-\alpha. Alors T est linéaire, régulière et stable.

[@bibi050505]

:-) ça me fait un peu rire ! ça se mord un peu la queue...

[@bibi050505]

Il y a un autre problème, pour conclure que T((2^n))=-1 tu es parti de T((2^n))=1/2*T((2^n))-1/2 puis tu as fait des manipulations qui ne sont permises que si T((2^n)) est une quantité finie! Dès lors que l'on sait que c'est infini, ce n'est plus vrai. Le problème c'est qu'on confond somme finie et somme en tant que limite, et là lorsque c'est l'infini, les opérations n'obéissent plus aux mêmes règles ...

[@bibi050505]

Je crois comprendre ce que tu veux dire. Existence et unicité de T! Oui! tout le problème est là ...

[@bibi050505]

Tu as juste montré que en imposant T((2^n)) = -1 on obtient que T est linéaire régulière et stable .... Mais tu n'as toujours pas démontré pourquoi T((2^n)) est bien égal à -1 ... Retour à la case départ ...

[@voyezvousca]

Un épisode haut perché.

[@julianfavennec2057]

C'est sympa, mais trop abstrait pour moi. Je vous rappelle que Ramanudjan était autodidacte et qu'il a très bien pu faire une erreur théorique sur ce qu'on avait droit de faire sur des ensembles infinis. C'est mon point de vue.

[@manun7105]

Sauf que la vidéo prouve que ce n'est pas le cas 🙃😝

[@julianfavennec2057]

@@manun7105 la mauvaise foi, ça commence à bien faire !!

[@julianfavennec2057]

Vous pouvez argumenter autant que vous voulez, vous ne changerez pas la réalité, qui est que premièrement en additionnant des objets positifs on obtient un objet positif, c'est du bon sens, et qu'en additionnant une suite croissante ça fait plus l'infini, Il va falloir vous y faire, je ne suis pas du genre à me laisser marcher sur les pieds.

[@manun7105]

@@julianfavennec2057 où voyez vous de la mauvaise foi? Je vous retourne votre conseil 😜. Et personne n'a affirmé le contraire de ce que vous venez de dire... Être du genre à ne pas se laisser marcher sur les pieds n'est pas toujours une qualité hein. Je ne vous demande pas d'accepter bêtement ce que je dis, mais de faire l'effort de comprendre ce qu'on vous dit.

[@julianfavennec2057]

@@manun7105 puisque vous insistez dans votre absurdité je vais être obligé de ne plus vous répondre.

[@loi-phile5052]

Si j'ai 12 ans et j'ai tout compris c'est bien?

[@pinepy6160]

Oui mais c'est pas normal.

[@piyou22]

c'est pas possible surtout

[@gaelyte2550]

Soit tu es un génie, soit tu as passé beacoup de ton temps libre pour comprendre les maths, soit tu crois avoir compris mais en fait non

[@maitrephenix5976]

Reviens sur la vidéo pour si si rien ne t'avais échappé

[@philkeyouz2157]

Il est évident qu'on ne peut sommer une serie dont l'ensemble est plus grand que la somme de ces parties, d'ailleurs écrire S=1+2+3+4+... C'est limiter l'infini , on doit plutot ecrire S>1+2+3+4+...

[@RealArdor]

La démonstration de Rémi Peyre ne tient pas. Si on fait le calcul sur une somme finie pour mieux comprendre, avec n quelconque, on voit bien que 0=0 et non pas 1=0. J'ai corrigé Wikipedia.

[@thedarkkitty9642]

Mais tu t'es trompé pour la preuve. Pourquoi le S qu'on rajoute à la fin et bah les signes sont en négatif ? On rajoute pourquoi +S qui, au début est composé de signes positifs. En plus à cause de la faute les S positifs se soustraient parfaitement et on a plus que -2S. A cause de cette faute le résultat est -2S. Voilà c'est juste une erreur quand tu nous a transmis son calcul mais je voulais prévenir, en cas au des gens voudraient recopier le calcul pour ne pas oublier et qu'il y avait une faute.

[@guilaumevialatoux1871]

first

[@thraximundar_2772]

Meilleur commentaire EVER !