Le cercle d'incertitude (d'une série entière)

[@totototo8119]

Bonsoir, Il y a un théorème référence chez Zygmund -trigonometric series (je ne connais pas le nom du théorème, faut voir le livre) qui dit il me semble pour tout fermé du cercle, il existe une série entière qui converge exatement en tout point de ce fermé et diverge ailleurs. Ça ne répond pas que partiellement à la question poseé à la fin de la vidéo. Concernant la série sum exp(in theta)/n , effectivement c'est traité comme ça dans tous les livres, j'imagine pour des besoins d'illustration de la transformation d'Abel. Mais y'a plus simple et surtout avec régularité de cette somme. On calcule juste (1-exp(i theta)) fois la somme partielle et on passe à la limite et on obtient que si exp(i théta) différent de 1, alors la série converge de somme égale à une certaine fonction continue divise par (1- exp ( I yhéta)) ce qui donne la continuité sur le cercle privé de 1. D'ailleurs en recommençant on obtient son caractère de classe C infini en tout point du cercle privé de 1. Une fois qu'on sait qu'elle converge on peut obtenir cette régularité avec le log complexe, donc on n'est pas étonné et on pourrait calculer cette somme. Autre commentaire issu des séries de Fourier. si sum Module carré a_n converge, le théorème de carleson relatif a la convergence presque partout des sommes partielles de Fourier de fonction de carré integrable assure que la série entière sum a_nz^n converge presque partout (mesure de Lebesgue) sur le cercle.

[@philcaldero8964]

@@totototo8119 merci pour toutes ces belles connaissances partagées !

[@totototo8119]

Réf Zygmund sur edition trouvée sur Internet chap XI Riemann's theory of trigonometrical séries, th. numéro XI-44

[@herveclavier5857]

Jamais vu employer cette terminologie non plus, mais pourquoi pas ? C'est assez parlant.

[@philcaldero8964]

@@herveclavier5857 ça donne du rêve

[@herveclavier5857]

@@philcaldero8964 Et au passage, bravo pour votre rythme très soutenu, c'est impressionnant ! Au début, je pensais que vous étiez à la retraite pour trouver le temps de poster autant de vidéos, mais en vous écoutant, j'ai compris que ce n'est pas le cas.

[@sardanapale2302]

Si on prend pour les F_n,N la condition ouverte alors on a un G-delta (c'est plus simple à énoncer ;P)

[@philcaldero8964]

@@sardanapale2302 Haha oui

[@mpcformation9646]

Bien sûr que la question de convergence d’une série est intéressante. Mais son succès est aussi sa faiblesse. Car il porte à croire, faussement, que seules les séries convergentes sont intéressantes, pire « licites ». Or elles sont au contraire souvent « pauvres », « peu riches » en information cachée, en comparaison de séries « divergentes ». Car c’est en fait toute la question et définition de la « liciticité » qui est ici en jeu. Le problème de l’approche « classique » de la « convergence » est par des « cercles », beaucoup trop rigides. Ce qui ne fourni qu’une convergence « grossière ». Et une des voies de sortie de cette arène étriquée est de laisser du mou à l’exigence d’égalité elle-même entre deux fonctions, en l’assouplissant par la relation d’équivalence de Landau. On découvre ainsi tout un univers de séries classiquement divergentes, qui deviennent « convergentes », non au sens de l’égalité mais de l’équivalence. Ce qui revient à s’autoriser, enfin, à contourner les pôles de façon infiniment plus souple et optimale que avec des cercles maladroitement rigides. Cela ouvre des portes extraordinaires sur les prolongements par continuité. C’est pour le mathématicien une « nouvelle mathématique » plus souples qui s’ouvre, par delà les mathématiques « rigides » du signe égal. Et c’est pour le physicien théoricien le bon terrain d’étude, étant donné qu’en Physique, on ne connaît de toute façon pas la « fonction » que l’on essaie de représenter par une série entière, trigonométrique, de Fourier, etc. Travailler avec le signe égal est donc un zèle souvent inutile, contre productif et nuisible. Et si l’on est très honnête, on pourrait en dire de même aussi pour les Mathématiques. Car est-il « licite » par exemple de travailler avec des cercles (de convergence) sans épaisseur. La question choquera à première vue. Mais elle embarrassait néanmoins déjà Euclide qui ne se sortait de la définition d’un « point » que comme une « surface sans étendue ». Ce qui par delà la poésie de l’oxymore, fait une belle jambe à la rigueur et une attaque de cœur au constructiviste. Autrement dit, ce « cercle d’incertitude » est peut-être mal nommé au sens où tel qu’il est présenté ici serait peut-être mieux nommé « cercle d’indétermination », mais en fait bien nommé au sens où ce qui est peut-être en jeu ici, est une bien plus profonde Incertitude épistémologique, qui replace toute la quête de l’infini, du continu, de l’unité et du zéro, sur le bord de falaise d’une révolution qui couve depuis très longtemps, malgré les promontoires innombrables construits au dessus du vide pour la nier, la conjurer, la retarder. Car il est à priori douteux que les Mathématiques puissent très longtemps encore, ne pas être concernées par le fameux « principe d’incertitude (ou d’indétermination simultanée) » que Heisenberg a découvert régire la « Physique » qu’Aristote appelait joliment « Philosophie Naturelle ». Ce dont il s’agit est donc un carrefour fondamental auquel on pourrait arriver tôt ou tard, entre la Philosophie, la Physique et les Mathématiques. Car d’où tient on pour « vrai » que cette dernière soit si imperméable que cela aux lois découvertes régissant la seconde? Cela ne pourrait être rigoureusement exact que si la dernière n’était que pure création de l’esprit humain, encore que cet esprit est Physique par excellence! Mais elle ne l’est pas. Des structures « archetypes » sont là, résistantes, des invariants se manifestent, quels que soit le langage et les symboles arbitraires avec lesquelles on les décrit. « Récoltes et semailles » par exemple d’Alexandre Grothendieck est pétrie de telles « correspondances », de tels « ponts de Hokusaï ». Et toute l’œuvre d’Alain Connes sur l’univers à peine défriché de la Géométrie non commutative est précisément centré sur ces passerelles entre ces trois domaines fondamentaux. Le « temps intrinsèque (purement mathématique » qu’il a découvert dans les Algèbres de Von Neumann est un « red flag » colossal à lui seul. Un grand bourdon qui sonne le glas d’une ère en ouvrant vers un océanique nouveau vers lequel nous commençons à peine à appareiller. Et pour cause, puisque « non commutatif » veut dire précisément qu’il y a soudain à prendre en compte une structure qui fait écran à la détermination simultanée d’êtres mathématiques, en introduisant donc un souffle « d’incertitude », plus délicat à gérer, mais aussi beaucoup plus riche.

[@philcaldero8964]

@@mpcformation9646 Ah ouais ! Ça envoie du lourd !

[@lecodeurfute4287]

​@@philcaldero8964 ptdr il a couché tout le monde, perso j'ai mis un marque page je repasserai plus tard

[@philcaldero8964]

@@lecodeurfute4287 C'est le cercle d'incertitude des poètes disparus :-)