★ Le Plan Projectif : apprivoiser l'Infini - La Saga des Espaces #2

[@marcrenard515]

Quelle découverte, superbe chaîne, merci à vous !!

[@QuadriviuumTremens]

Merci beaucoup et bienvenue ici !

[@marcrenard515]

@@QuadriviuumTremens si ce n'est pas trop indiscret, de quel cursus venez vous ?

[@QuadriviuumTremens]

Ah désolé, je n'avais pas vu la réponse car youtube ne notifie pas toujours des réponses aux réponses. Du coup, pour le cursus. Je suis passé par une prépa MPSI, une école d'ingénieurs (Centrale Marseille), un master de mathématiques fondamentales et l'agregation.

[@marcrenard515]

@@QuadriviuumTremens super parcours 👍 merci pour le retour. Je suis pour ma part en Master de cryptologie et j'aime profondément les mathématiques, c'est donc un plaisir de regarder vos vidéo très bien construites 👍

[@QuadriviuumTremens]

Super ! J'adore les courbes elliptiques, et on ne manquera pas d'en parler un jour sur la chaine !

[@bigbangsciences246]

Que de résultats sur un sujet en apparence simple. Bravo pour cette vidéo !

[@QuadriviuumTremens]

Merci ! Cette géométrie fait partie des formalisme qui simplifie les raisonnements pour aller voir plus loin et découvrir plus de résultats intéressants.

[@Ny0s]

Très bel épisode, merci à vous !

[@AitJoseph]

Merci , je suis entrain de découvrir la GP pour aller vers la G algébrique!

[@orrionn.]

Je m'abonne, c'est super intéressant et captivant

[@QuadriviuumTremens]

Merci et bienvenue ici !

[@christophem6373]

super idée la bibliographie à la fin, merci

[@QuadriviuumTremens]

Merci ! On la met depuis le début, même si certains ouvrages reviennent régulièrement.

[@lemaxdeculture-chainesecon6415]

Super! Bravo à vous!

[@QuadriviuumTremens]

Merci !

[@camillel2284]

Ouhaaaaa sérieux vous êtes géniaux !!! Super vidéo qui m’aide bcp a comprendre mon cours de géométrie projective !! Je m’abonne direct !!!!! Merciiiiii

[@QuadriviuumTremens]

Merci ! C'est le but de cette vidéo : accompagner un cours en proposant une approche plus animée et une prise de recul pour aider à comprendre. Merci pour l'abonnement !

[@darkpatric8932]

encore une fois c'est un super résultat merci beaucoup

[@QuadriviuumTremens]

Merci !

[@eldouwen7839]

merci beaucoup !

[@edrdchppn5434]

Propre!

[@arthurhabsbourg8212]

Superbe vidéo! Merci!

[@QuadriviuumTremens]

Merci à toi !

[@tuco_tuco]

Épisode très intéressant !

[@QuadriviuumTremens]

Merci !

[@antoinebrgt]

C'est votre meilleur épisode jusqu'à présent !

[@QuadriviuumTremens]

Merci ! On essaye d'être de plus en plus clairs et didactiques.

[@apeiron-logos]

Chouette vidéo, comme toujours ! Pour illustrer le plan projectif, j'aime bien l'image des rails qui se croisent à l'horizon... PS : J'aime bien votre tour de cubes de Rubik dans le fond ^^

[@QuadriviuumTremens]

Merci ! On a utilisé l'exemple de la route dans l'épisode suivant !

[@FelkniaMusic]

Quelle belle sculpture de rubik's cubes !

[@QuadriviuumTremens]

Et encore, y'en a qui font du pixel-art avec !

[@Legion22Cl217]

Merci beaucoup, cela me permet de mieux comprendre mes cours tout en étant extrêmement prenant. Petit bémol, dans le cadre du théorème de bezout, vous ne précisez pas que le point de rencontre peut être complexe et donc non présent sur la figure (cas de l'intersection d'un cercle et d'une droite passant à côté mais sans intersection par exemple)

[@Legion22Cl217]

Mais je n'insisterai pas assez sur les remerciements que je vous doit. C'est passionnant, intriguant et surtout clair comme de l'eau de roche. Un grand merci ♥️

[@QuadriviuumTremens]

Merci pour le commentaire encourageant qui fait plaisir ! Le fait de ne pas préciser que les points d'intersections peuvent être complexes est intentionnel. En parlant du corps de nombres de références, on est restés très vagues en disant "les nombres", sans dire si il s'agit des nombres rationnels, des nombres algébriques (qui n'ont pas encore été mentionnés dans l'émission mais ça va arriver) ou les nombres réels (déjà mentionnés rapidement sans les définir). C'est parce que, parallèlement à ces vidéos de géométrie, il y a des vidéos sur les ensembles de nombres (et la neuvième présentera les nombres complexes), et les théorèmes qui ont été présentés dans les premières parties de cette vidéo-ci sont valables dans tous corps de nombres. Sauf la partie sur Bezout, qui doit ajouter trois hypothèses sur les courbes pour être valables (1 : compter les points à l'infini, mais c'est bon dans cette vidéo-ci ; 2 : considérer les points d'intersection non réels ; et 3 : compter les multiplicités des points d'intersections). Si il y a des conditions laissées en plan pour l'instant, c'est pour que l'introduction des nombres complexes dans le futur ait plus de sens. Il y aura une vidéo consacrée exclusivement au théorème de Bézout, dans laquelle tous ces aspects seront mentionnés, avec des exemples de points à coordonnées non réelles, on y présentera les techniques de calcul de multiplicité des intersections. Les illustrations et les animations évoquent les nombres réels (un plan en 2D) parce que c'est la façon la plus intuitive de les représenter, et un jour, on présentera des méthodes graphiques pour les fonctions à valeurs complexes.

[@irenemeunier664]

Bonjour, Formidable épisode, ainsi que le précédent ; je vais suivre avc passion votre saga des espaces. Je n'avais pas connaissance du programme d'Erlangen, mais n'y a-t-il pas une géométrie encore plus générale que la géométrie projective ? Et la géométrie birationnelle là dedans, qui ne considère plus seulement les homographies de P2, mais tous le 'groupe de Cremona', des applications birationnelles (l'inconvénient, c'est qu'elles ne sont plus définies partout, il y a des points d'indétermination)

[@QuadriviuumTremens]

Je ne connais pas le groupe de Cremona, mais j'ai l'impression (avec les quelques notes que je viens de voir dessus) que comme les cartes birationnelles ne sont plus exactement des bijections, alors l'appélation "géométrie" n'a plus le même sens que dans les géométries euclidienne, affine et projective. Après, s'il y a une géométrie encore plus générale que la géométrie projective, avec ses invariants et ses cartes, on pourrait penser que la topologie conviendrait, même s'il n'y a pas d'espace attribué à la topologie (on peut faire de la topologie avec beaucoup d'espaces). Les transformations associées pourraient être les les homéomorphismes continus, et les propriétés invariantes le fait d'être un ouvert, un fermé où même la dimension si on fournit un peu d'algèbre. En tout cas, merci pour les retours qui font plaisir ! D'ailleurs, en ce moment, on est en train de finaliser un épisode de géométrie projective, sur les coordonnées homogènes.

[@chainonsmanquants1630]

Je ne comprend pas pkoi les points d'intersection de deux cercles sont au nombre de 2x2=4 d'après le thm de bezout. Je n'en vois que 2. J'imagine que la réponse sera dans la suite

[@QuadriviuumTremens]

Oui, la réponse sera dans la suite, mais je vais quand même spoiler un peu et la donner. En fait, si les deux cercles sont secants, il y a deux points d'intersections réels. Les deux autres sont à l'infini, mais si on ne les voit pas dans le plan projectif réels, c'est parce que ce sont des points à l'infini avec des coordonnées complexes ! Si les cercles sont tangents, les deux points complexes à l'infini sont toujours présents, et le point de contact compte pour double. Si les deux cercles ne se croisent pas, alors leurs deux points d'intersections finis ont migré dans le plan complexe !

[@chainonsmanquants1630]

@@QuadriviuumTremens mais si je prend un cercle centré en O de rayon 4 et un autre centre en O de rayon 5. J'ai l'équation du premier x²+y²=4 l'équation du second x²+y²=5 donc complexe ou réels je ne peux pas avoir de points d'intersection de mes deux cercles car si (a,b) appartient a l'intersection on a²+b²=4=5. Qu'est ce que je rate ?

[@QuadriviuumTremens]

Dans ce cas là, les deux cercles sont tangents au niveau de leurs deux points à l'infini complexes. Et comme un point d'intersection avec tangence compte pour double, cela fait un total de 4 points d'intersection.

[@chainonsmanquants1630]

@@QuadriviuumTremens Je comprends l'idée, quel que soit y complexe il existe x complexe tel que x²+ y² = 4 donc la courbe représentative part vers l'infini dans le plan complexe. Cependant est-ce encore un plan ? L'ensemble des couples x,y avec x et y complexe me semble former un espace de dimension 4.

[@QuadriviuumTremens]

C'est un espace de dimension 4 sur les réels, mais de dimension 2 sur les complexes. D'ailleurs, dans les complexes, les courbes sont des surfaces !

[@thom1897]

Dans votre définition on dirait que le plan projectif ainsi définie est la sphère de Riemann, alors que je croyais que P(R)_2 était différent. J'avais l'impression que la construction topologique par identification ne nous donne pas exactement la sphère de Riemann. En tout cas, je sais qu'on peut itérer le processus en dimension plus grande mais la représentation géométrique nous manque à ce moment là, dans mes souvenirs de cours de topologie générale en tout cas c'était mon souvenir ^^. Merci beaucoup pour votre vidéo qui est encore très intéressante et très bien construite tout en étant très agréable à suivre !!!!

[@QuadriviuumTremens]

Merci pour le commentaire ! Pour passer d'un plan à une sphère, il suffit d'ajouter un seul point a l'infini, accessible depuis tous les directions. Ici, pour faire un projectif, on a mis un point à l'infini pour chaque direction, ce qui n'en fait pas une sphère, mais une surface non orientée, que l'on peut voir comme une sphère auquelle on assimile ensemble les points diamétralement opposés.

[@thom1897]

@@QuadriviuumTremens Ca justement j'ai pas compris alors. Parce que justement à un moment Tristan explique que pour que toute les droites se coupent on doit demander à ce que les points à l'infini soient tous les mêmes ; ce qui parait d'ailleurs logique parce que je pensais qu'on parlait DU point à l'infini. Mais le début de la vidéo à 00:20 keshika annonce de nouveau ce résultat... Je vais me re-poser d'avantage sur cette vidéo alors ! Merci beaucoup pour vos précisions en tout cas :)

[@QuadriviuumTremens]

Toutes les droites se coupent. Si elles sont sécantes de base, elles ont déjà leur point d'intersection. Si elles sont parallèles, alors on doit leur ajouter un point d'intersection à l'infini. Et dans un plan projectif, il y a exactement un point à l'infini à ajouter pour chaque direction. Après, quand on parle du point à l'infini au singulier, on parle du point à l'infini d'une droite particulière. Parce que dans une droite projective, il y a un unique point à l'infini. La sphère de riemann dont tu parlais dans ton commentaire précédant est un cas de droite projective (car elle est de dimension 1 sur C), et en tant que droite projective, possède un point à l'infini unique (on en parlera de la sphère de riemann mais on doit d'abord introduire les nombres complexes). N'hésites pas à poser une autre question si besoin !

[@thom1897]

@@QuadriviuumTremens Ah ok ok, merci beaucoup pour cette précision je vais relire mes cours et revenir sur cette vidéo au bout de plusieurs visionnages ça me paraitra plus clair et naturel ^^. Merci pour ta réponse en tout cas très claire :)

[@QuadriviuumTremens]

De rien !

[@seehaahok]

Je resterai très circoncept avec une telle vision : soit on reste en géométrie euclidienne, soit on est en géométrie non- euclidienne. Tout l'important est d'exposer clairement ce que l'on fait. Dans le domaine de la géométrie euclidienne même s'il s'agit du domaine de la géométrie projective, soit les droites restent parallèles, soit elles ne le sont pas. La notion de l'infini est loin d'être la plus simple et les droites se couperont toujours en un point à l'infini et ce point existe aussi loin que l'on veut et nous resterons dans la notion de limite ; l'infini est insondable autant que le nombre zéro ne pourrait être diviseur de quelconque nombre qu'il soit, même pas lui-même et ceci tant qu'il n'existera pas au minimum un bipoint dont la norme tend vers une valeur limite zéro.

[@QuadriviuumTremens]

Avoir une certaine méfiance à l'égard de certains concepts est normal, et c'est même historiquement très courant. Le zéro et l'infini ont souvent été tabous dans l'histoire car ils étaient considérés comme inutiles pour l'arithmétique, et sources de contradictions (notamment par rapport aux formes indéterminées). Mais cela n'empêche que ces contradictions peuvent être évitées en imposant un cadre rigoureux dans les théories. Par exemple, le zéro a connu son heure de gloire grâce à l'algèbre et la théorie des équations (avec la règle du produit nul), et toutes sortes d'infinis actuels sont arrivés avec les théories de Cantor, qui se sont avérées bien utiles dans la logique mathématique. L'outil des limites reste donc un formidable outil pour étudier le comportement "au voisinage de l'infini" de fonctions et de courbes en évitant certaines contradictions, mais cela n'empêche pas de pouvoir étudier certains concepts infinis de façon explicite. La validité et l'existence de ces infinis actuels est aussi renforcée car dans bien des cas, leur comportement est compatible avec celui de l'approche par les limites (en géométrie projective par exemple), et ils permettent des applications efficaces (en analyse complexe ou dans les formes modulaires).

[@barrywhitefreredebarycentr5225]

Bonjour à vous. Super vidéo bien avec des explications très complémentaires de ce qu'on peut trouver dans des manuels classiques de maths. ça permet de prendre du recul. J'ai une question que je traine depuis des années: toutes ces géométries qui se différencient par les transformations de groupes ont de commun est qu'elles traitent des mêmes figures géométriques (segment, droite, polygones, coniques...). Se pose le problème de la définition de ces dernières. Or, je ne vois pas comment on peut définir ne serait-ce qu'un segment de droite sans métrique. Que l'on considère un point de coordonnées (a,b), le point de coordonnées (a+x, b+x') ne peut être représenté dans le plan que si on admet qu'on fait une translation donc une isométrie donc Euclide! En bref, je ne vois pas comment définir des points alignés en affine sans passer par une métrique ou sans éviter une définition circulaire. En attente de votre réponse.

[@QuadriviuumTremens]

Merci pour le commentaire ! Effectivement, on peu avoir l'impression qu'il y a des définitions redondantes dans la façon d'étudier les géométries, mais c'est tout simplement parce qu'il y a plusieurs façons d'étudier ces géométries, où certains axiomes dans l'une peuvent devenir des théorèmes à démontrer dans d'autres. Par exemple, pour la géométrie affine, on peut la définir le plan comme un ensemble de couples de nombres appartenant à un ensemble choisi, qui sont les points avec chacun leurs deux coordonnées. On peut associer un repère de coordonnées évident (avec (0, 0), (1, 0) et (0, 1)). Ensuite, on peut définir les droites comme les ensembles de points vérifiant une équation de degré 1, et enfin définir les transformations affines avec des fonctions sur les coordonnées. Tout cela suppose que l'on ait construit un ensemble de nombre avant, par d'autres méthodes. Sinon, on peut définir le plan affine de façon complètement différente, en supposant l'existence d'objets appelés points, et des droites qui sont des ensembles de points respectant des postulats donnés. Et, à partir de ça, en déduire la possibilité de faire un système de coordonnées, ect. Cet article wikipedia (fr.wikipedia.org/wiki/Plan_affine_argu%C3%A9sien) est un peu dans cette optique, et est très bien écrit. Pour répondre à ton interrogation plus précisément, concernant la transformations qui transforme (a, b) et (a+x, b+x'). Effectivement, c'est une isométrie, mais on peut l'appeler ainsi que si on dispose du concept de distance, et donc dans le formalisme de la géométrie euclidienne. Dans la géométrie affine, cette tranformation est une affinité, avec quelques propriétés particulières, mais le formalisme de la géométrie affine ne permet pas de définir que c'est une isométrie. Donc rien de redondant !

[@barrywhitefreredebarycentr5225]

@@QuadriviuumTremens Merci pour vos explications. Je ne veux pas vous ennuyer avec mes questions qui peuvent sembler triviales. J'ai peut être pas assez fait de géométrie dans ma vie. Cependant, je n'arrive toujours pas à me débarrasser de cette idée. Je vais présenter les choses un peu différemment. Comment reporte-t-on dans un espace affine le point de coordonnées (a,b) ? on se déplace selon l'un des axe de a, selon l'autre axe de de b, on mène les parallèles et on prend l'intersection. Dans cette construction on suppose implicitement connu ce qu'est un axe (c'est à dire la notion de droite) et le concept de déplacement selon un axe (sans compter le concept parallèle). Comment définir la droite et le déplacement sans métrique dans ce cas là ? Pour moi c'est implicite, à moins d'admettre que tous les espaces affines sont isomorphes au plan "intuitif" (donc euclidien) et qu'en dessinant des droites, parallèles etc... de cet espace affine on ne fait que REPRESENTER leur images dans le plan intuitif euclidien. D'où le tracé d'un segment affine comme le chemin le plus court entre les extrémités sans métrique. Bonne journée.

[@QuadriviuumTremens]

Toutes les questions que tu poses font sens dans la version axiomatique de la construction du plan affine. Dans cette construction, on préssuppose l'existance des points et des droites, et on pose les 5 axiomes (que l'on a décrit dans la vidéo). Ensuite, on définit les homotéthies-translations, qui sont des transformations qui transforment une droite en une droite parallèle, et qui esi bijective (c'est possible de les définir avec les droites, les 5 axiomes et le formalisme de la théorie des ensembles). Parmi ces homothéties-translations, on trouve celles qui fixent un point donné, et cela nous donne un sous groupe, auquel on peut lui donner une structure de corps : il s'agit tout simplement du corps des coordonnées. Enfin, en prenant deux droites distinctes passant par le point fixé, et un point de référence sur chacune de ces droites, on peut définir un système de coordonnées. Donc voilà comment repérer un point lorsqu'on a construit le plan affine avec des axiomes. Sinon, si on a défini le plan affine à l'aide des couples de nombres, alors fabriquer un système de coordonnées est trivial : l'abscisse et l'ordonnée sont les membres des couples.

[@AitJoseph]

Des années que je suis habitué à l'affine, pour le projectif comment faire pour être à l'aise ? Il me semble que le projectif est contraire à l'intuition, avez vous une indication de livre ? Merci Ami.

[@QuadriviuumTremens]

J'ai aussi mis pas mal de temps à comprendre les principes de la géométrie projective. Comme livre, que je n'ai pas eu encore l'occasion de lire, mais dont j'ai entendu du bien, il y a "qu'est ce que la mathématique" de Richard Courant et Herbert Robbins. Il y a quelques chapitres pour prendre en main la géométrie projective. Sinon, de plus académique, il y a "Géométrie Projective" de Pierre Samuel.

[@istacousa]

Retenez bien après huit mois vous aurez au moins 200k d'abonés

[@snyseb]

Ouais :/

[@kalgon57]

Il y a 2 trucs que je n'ai pas compris. 1) Comment démontrez-vous que tous les points à l'infini sont alignés entre eux ? 2) Dans le théorème de Bezout, où sont les 2 points d'intersection entre le cercle et la droite si elle passe à côté du cercle ?

[@QuadriviuumTremens]

1) À ce stade là, on ne peut pas démontrer que les points à l'infini forment une droite, mais on le formule tel un axiome. L'épisode suivant donne une nouvelle construction du plan projectiv (comme l'ensemble des droites de l'espace passant par l'origine), dans laquelle la définition des droites (comme les plans de l'espace passant par l'origine) intègre aussi l'ensemble des points à l'infini. 2) Le théorème de Bezout demande trois considération supplémentaires pour être vérifié. Premièrement, il faut considérer les points à l'infini et donc se placer dans le cadre de la géométrie projective (mais bon, c'est exactement ce qui est relaté dans cet épisode). Deuxièmement, il faut considérer que les points d'intersection peuvent avoir des coordonnées complexes. Il faut donc plonger nos équations dans les complexes. C'est là que se trouvent les deux points d'intersection entre un cercle et une droite, qui ne s'intersectent pas dans le plan réel. Troisièmement, certains points d'intersection doivent être comptés plusieurs fois, de façon analogue au concept de racine double pour le second degré. En tout cas, merci pour les commentaires et les questions intéressantes, et n'hésites pas à en poser plus si tu en as encore.

[@kalgon57]

@@QuadriviuumTremens Merci c'est sympa. Je continue de regarder vos vidéos dans l'ordre, j'aurai surement des questions. Si vous passez un jour par Sarrebourg vous êtes invités à prendre l'apéro ;)

[@Houarnev_Cadranier]

A environ 11:00, mon cerveau s'est mis à fumer. Est-ce normal ? 🤪

[@QuadriviuumTremens]

Oui, il ne faut pas hésiter à faire pause pour dessiner la configuration soi-même, pour comprendre ce qu'il se passe d'intéressant. Après, comprendre en détail ce théorème n'est pas indispensable pour comprendre l'esprit et l'intérêt de la géométrie projective. On y reviendra plus en détail quand ce sera le moment (dans une deuxième vidéo sur les coniques).

[@didierfortune972]

21 55

[@TheLouink]

J’en reviens pas que j’étais toujours pas abonné

[@QuadriviuumTremens]

Merci, c'est encourageant !

[@apeiron-logos]

Il n'est jamais trop tard pour bien faire :D