LE PROBLÈME DE BÂLE

[@MathOSX]

Je viens de détecter une coquille à 3:00. Il faut bien entendu lire : a_{1} + la somme des (a_{k+1} - a_{k}) pour k = 1 à n

[@marcolanucara4551]

Video magnifico!

[@VanRijn4K]

Excellente vidéo.

[@vendeurdesarcasme1444]

Excellente vidéo, c'est toujours un plaisir de vous écouter parler ! Ne sait-on toujours pas prouver la transcendance de la valeur de la fonction zeta en 3 ? A-t-on quand même quelques pistes ?

[@MathOSX]

Merci Tobie 🙏 Euler a pu établir une formule explicite pour ζ(n) lorsque n est un entier naturel pair (non nul), au moyen des nombres de Bernoulli (qu'on voit apparaître à 07:25 dans la formule d'Euler-MacLaurin) et du nombre π, mais on ne dispose de rien d'analogue pour ζ(n) lorsque n est impair (n >= 3). Tu peux lire cette formule sur la page Wikipedia de la fonction zeta de Riemann. L'irrationalité de ζ(3) a été démontrée en 1978 par Roger Apéry, mais la question de sa transcendance reste un problème largement ouvert aujourd'hui. Pour dire s'il existe des pistes de recherches privilégiées, il faudrait être un spécialiste de ces questions et ce n'est pas mon cas.

[@vendeurdesarcasme1444]

@@MathOSX Oh ok, je vois ! Effectivement, j'avais vu passer l'appellation de constante d'Apéry pour désigner sa valeur en 3. Je vais regarder sur wikipédia 😅, merci pour vos explications !

[@shreklebg1817]

Ton passage à la limite à 2m’ rend l’inégalité large exemple 1/n>0 mais par passage à la limite 0>0 absurde 😂

[@MathOSX]

Il ne s'agit pas d'un passage à la limite mais d'une simple majoration : 1/n > 0 donc 2 - 1/n < 2.

[@shreklebg1817]

@@MathOSX eh oui je suis bête désolé

[@marcpremium7442]

J’aurais bien aimé comprendre l’approximation de Sterling…

[@MathOSX]

Ce calcul est détaillé à la section 5 de cet article : math-os.com/coefficient-binomial-central/

[@marcpremium7442]

@@MathOSX merci! Cela dit, si j’ai bien compris, il n’est pas parti du DL d’arcsin puisqu’il n’avait pas vu la présence de pi dans sa formule… non?

[@MathOSX]

@@marcpremium7442 Absolument, les calculs que j'ai détaillés dans l'article en question correspondent à une présentation "moderne" de cette histoire. Stirling a dû se débrouiller autrement pour faire le lien entre les deux séries. Je n'ai pas les ressources documentaires sous la main, mais je tâcherai de retrouver le cheminement qu'il a suivi. Il est d'ailleurs probable que la démonstration de Stirling ne respecte pas les normes actuelles en termes de rigueur mathématique : il ne faut pas oublier qu'il a vécu au XVIIIème siècle, soit un siècle avant Cauchy.