两个孩子，一个是女孩，另一个也是女孩的概率是多少？“三个囚犯”问题又是怎么回事？李永乐老师讲条件概率

[@TheGuyegood]

其实和三门问题是一模一样的。看守说出b被杀死的时候并不是随机的，而是因为A去问了，导致看守说出这么一个答案，而这个答案本身就透露出额外的信息，那就是a的生还几率没有c的高。 假设有100个囚犯，第一个囚犯问了看守谁会被杀死，看守说第2到第99个会被杀死，问第一个囚犯和第100个囚犯的生存几率是多少？你可以这么理解，如果第100个囚犯是要被杀死的，明明看守在说第2个会被杀死的时候可以说第100个，为什么没有说？明明看守在说第三个会被杀死的时候可以说第100个，为什么没有说？明明看守有98次的机会都可以说第100会被杀死，为什么没有说？那么大概率肯定，第100会被杀死这句话在看守来说是句不能说的话，即假话。概率有多大？99/100. 即第100的囚犯有99/100不会被杀死。

[@arsenalw2326]

Ye Gu 正解！个人觉得老师如果用树状图的方式列出各种可能以及概率更加直观易懂，也不会有这么多争论。毕竟不是所有人都有概率的基础。

[@风清扬-o8h]

不对，三门问题是可以改变选项的，不改抽到车的概率还是三分之一，囚犯死刑是不能改的。六分之一其实是a赦免并且看守一定回答b的概率

[@yenhsiang7297]

道理是一樣的，主要在於一開始就選到車子或是被赦免的機率就是1/3，主持人或守衛說出來B或C的結果時其實就是把另一個B或C的機率加注到另一個上，一個變為0，一個變為2/3。所以對於羊跟車子的題目來說一定要換，換了機率變為2/3，對於囚犯來說，也就是C的2/3。

[@TchLiyongle]

对的，你的理解力很高

[@adammk2]

这其实还是对“前提条件”描述差异造成的混乱。“看守说C会被杀”的情况下A被赦免的概率也是六分之一，即初始情况下A的存活概率就是俩六分之一加一起，等于三分之一。而当“B会被杀”成为既定事实，即不需要考虑看守怎么回答的情况下，A的存活概率就是二分之一。

[@TchLiyongle]

视频禁止搬运

[@张二2三地]

支持李永乐老师 ，其实你可以加广告的

[@稻草人-o4p]

李永乐老师 你好！能多說點經濟學及博弈论的方面嗎？這些比較有趣而且實用。

[@TheGuyegood]

李老师，您看看我回答Michael Fu的答案对吗？我觉得应该没错，但是需要权威认证一下。：）

[@kwongfuchan8897]

我想問如果c之後去問看守.看守說b被殺死. a和c生存概率會變成多少?

[@kwongfuchan8897]

剛才算了算...發現會變a1/2 b1/2.....

[@user-eo3gi9tv9k]

“其中一个是女孩”这个话要看语境的，放在逻辑考试里是没错，但日常生活里两个人对话，一个人如果说：“我家俩孩子，一个是女的。” 那言下之意就是另一个是男的。假如他再说：“另一个也是女的。” 恐怕另一个人会忍不住呛他道：“好好说话！你以为你是鲁迅吗？”

[@bakugo0101]

就服你

[@傳票拿來ww]

「我家倆孩子， 一個是女的，另一個也是女的。 還一個，也是女的，都是女的」

[@enochwuang1710]

閱讀理解題，請魯迅為什麽這麽說。有何深意？

[@calvinjiang9619]

你这类比日常对话的例子完全是偷换关键词来混淆问题的原意。。如果把这个问题类比到日常对话中，那应该是：”我家俩孩子，其中一个是女的，你猜另一一个是不是男孩呢？“，这就完全没有你的言下之意了，你是直接把问题偷换成陈述了，这不是换语境而是直接改变语意了啊。

[@jackwong1640]

其中一个是女孩，另一个是变性人

[@YanagiHirofumi]

感覺比較好的理解法是，對A而言，在得知了B將被殺死的事實之後，C被赦免的機率相對自己提高了。這件事只有對A而言，如果單純地理解為守衛說了B死，結果AC的生還機率卻不同，當然會覺得奇怪，畢竟大家生還的機率在一開始就定了，就是三分之一。簡單來說就是像第一個問題一樣，對題目理解錯誤的問題而已。

[@justinzhang2707]

非常清晰的解释：1：A问或者不问的生存概率都是=1/3. 2：B+C的生存概率=2/3。那么现在知道B死定，则C=2/3.

[@waynehu9547]

您的解释是我见过最简单易懂的

[@yiminxu2494]

把A替换成你。当你去问的时候你的生存概率不会因此改变，仍然是1/3。对你来说B+C的生存概率是2/3。然后已知B死，那么C的概率就是2/3。这样想会明白一些。

[@beiweik6450]

Ym Xu 不错的思维转换方法，但是B的生存概率能转给C吗

[@黃耕鴻]

beiwei k 意思是，B C至少有一個能活的機率是三分之二，現在B死就一定是C活了，只是看起來像是把機率轉給C，其實只是先把他們兩個當作一個整體

[@matthewxue3608]

beiwei k 可以这么理解，每个人都是1/3，但a提问以后，必死人只能在bc中选，所以b必死以后他的那1/3就转移给了c，a还是保持原来的1/3

[@MuYouName]

如果信息对称，那概率就一致。但题目前提是信息不对称，每个人根据自己掌握的信息去判断。假如C也去问了，看守说B死了。在C看来，A存活的概率2/3，但在我们上帝视角看来，他们的概率都是1/2

[@六桥烟雨]

B的生存概率也有可能转给A。当知道B死之后，A和c的生的概略应该都从原来的1/3变成了1.5 /3。

[@鑫杰]

从知乎上看来的: 做过最气的题是什么题？ 大概是从小到大的各种阅读理解 以下说法正确的是： A鲁迅姓周。 B人有两只手。 C中国有五十六个民族。 D以上说法都不正确 答案解析： 正确答案是A，文中说，鲁迅，浙江绍兴人，原名周树人，故A是正确的。B选项错在，有一些残障人士，他们只有一只手。文中说的是“一般来说，人都有两只手”，以偏概全。C选项错在，原文说，“现在，中国有五十六个民族”，唐朝时期，中国就不是56个民族。用中国来代替“现在的中国”，偷换概念。 正确答案是B,A项错在原文是这样写的“有一个我们大家都熟悉的鲁迅，浙江绍兴人，原名周树人”，但这只说明“我们大家都熟悉的鲁迅”是姓周，不能说明所有鲁迅姓周（意思是有一些人姓鲁名迅），扩大范围。C选项错在没有说明是现在的中国，唐朝时期，中国就不是56个民族。以偏概全。有的同学认为，有一些残障人士，他们只有一只手。注意文中可没提到过残障人士，这是过度推断，同学你想多了。 正确答案是C，A项错在原文是这样写的“有一个我们大家都熟悉的鲁迅，浙江绍兴人，原名周树人”，但这只说明“我们大家都熟悉的鲁迅”是姓周，不能说明所有鲁迅姓周（意思是有一些人姓鲁名迅），扩大范围。。B选项错在，有一些残障人士，他们只有一只手。文中说的是“一般来说，人都有两只手”，以偏概全。C是常识，且与原文一致，不解释。 正确答案是D,A,B,C都有不准确的地方，同学们一定要体会出题人的思路啊。 。。。 结论是出题人的常识是常识，我们的常识是狗屎。 出题人的的推断是推断，我们的推断就是过度推断。 一定要揣摩出题人的想法！ 。。。。。。 。。。。。。 。。。。。。 他想我死。。。。

[@麻吉-w7b]

他想我死XDD

[@1lkira418]

哈哈哈，太形象了！这样的阅读理解能气死很多理科生

[@Iced-Fish]

c選項 唐代又不是中國

[@温凉-w6c]

鑫杰 这种题太多了 淦

[@liqxs1215]

早在春秋时期中原的国家就已经叫做中国了，这一点《礼记》《诗经》《晋书》等等都有对这个名称的描述。后世中国这个称呼一直被沿用，所以唐朝肯定是叫做中国，这点并没有错。

[@martinding3017]

“当A去问时，A和另一人的地位就不同了”这句话一针见血！ 因为回复是针对他定制的，所以概率一定是不一样的！！！

[@peterxiong5121]

“三个囚犯”和“三门问题”本质上很相似，扩展一下就是：n个囚犯，一人幸存。A去问看守，得到结论是除了B都死。其实是把所有其他人幸存的概率都给了B，A本身还是1/n，B则变成了(n-1)/n。

[@zitaoqiu]

感觉很多人对概率有很大误解，首先概率不是宇宙定律，概率只是人用来判断未知事物的工具，所以每个人掌握的信息不同，概率会不一样，这跟已经发生还是未来发生没有关系，只要你不知道结果就能算概率。 对看守而言，每个囚犯被赦免的概率不是100%就是0%，因为他知道结果 对囚犯而言，根据他们掌握的信息不同，概率会发生变化，这点自己看李老师视频我就不重复了 虽然他们的命运不会改变，始终是100%或0%，但是他们或者我们对未知结果的预测(概率)是可以发生改变的

[@worrycraft]

我感覺你這個才是誤解，概率分明是在可能的結果中，發生特定條件的機率

[@worrycraft]

如果真的是你說的這樣，那A跟守衛都是錯的，因為以A的角度，守衛講的是對的，A錯，而因為守衛知道誰會死，所有守衛說是2/3也是錯的

[@ginvt]

本身这些随机事件也只能在逻辑上走一走…怎么理解也只是概率问题的入门……最后还是在统计学上发扬光大…毕竟现实的问题大多依靠统计数字～…

[@how_do_you_turn_this_on]

​@@worrycraft 你真的懂機率嗎

[@how_do_you_turn_this_on]

​@@worrycraft 守衛說的是以A的角度思考的機率啊 守衛自己都知道結果了，他還需要算機率嗎

[@seanming75]

1. 其中一個是女孩 求另一個 - 1/3 2. 第一胎是女孩 求第二胎 - 1/2

[@臭猪-w6n]

第一胎是男孩，这种情况下第二胎就一定是女孩了

[@jni777]

@@臭猪-w6n 為甚麼?

[@吳秉憲]

@@臭猪-w6n 沒錯，所以如果一家人有倆小孩，沒可能是兄弟

[@iambics]

看完这个总结差点笑了，根本就是两个题目。现实当中的是2，数学考试的是1

[@藍暗黑]

@@吳秉憲 搞不好是領養嘛 不要是親生的就好

[@90862]

感谢李老师的科普视频，既然是科普，我想纠正一点小瑕疵。 1、题目第二点既然表明“至少有一个是女孩”，那么就不存在说“谁是女孩？a是女孩？”的问题。这是基础语言表达理解常识。 2、出题方式的改进。 既然概率是相对的，取决于用多大范围的总体样本来计算和考量。 是“有关部门以全国家庭为范围来考量”？还是“先抽取符合条件一二的家庭，在这个范围内来考量”？ 在基础教育中，这类题目出题水平有待提高，没有明确注明条件，然而考试的标准答案通常只有一个，常常误导中小学生和网民的思维方式。这是我们的基础教育长期存在的一个问题。

[@ralshur]

换个角度：最初A生存概率为1/3，当揭露B会被杀死时，就如同揭露B和C两人至少有一人会被杀死（也就是不用揭露也都知道的信息），并没有改变最初1/3的生存概率 这是我对这个问题的理解，希望对还存在疑惑的朋友门有帮助

[@王鸿鑫-s8i]

角度不同概率不同，上帝视角是1/3，但是第一人称视角就是不一样的。因为事实已经定下来了，所以这个概率只能安慰一下自己。

[@xliu5843]

如 A，C都问看守，看守回答B将死，这时，A，C的概率持平。3=>2/1; 如单A去问，看守从两个选择中排除了C，C的概率提高，因为看守无法选A，所以A的概率不变；继续保持3/1，B,C中排除了C，C占掉了B原有的概率

[@andy19891025]

如果把三囚問題改成~ 看守問A 你想不想和C交換 就變成三門問題了

[@hynkingl8091]

结果一开始就决定好了的。 A问前: A的存活率为1/3, A 的死亡率2/3, 那么BC 两人的存活率的和为2/3(BC只要一人活那么A必死). A问后: B的死不影响A的存活率, 依旧1/3，A的死亡率依旧是2/3, 那么 BC 两人的存活率的和还是2/3, 但是B死了,所以2/3活下来的人会是C, 所以C的存活率是2/3. 如果A不问的情况下, B直接死了, 那么A的存活率应该就是1/2.区别是守卫被A问的时候有规则限制而透露隐藏信息。不能说A的结果，在BC间偏偏只说B的结果。 另外上中学的时候中学老师一直坚持说女孩问题1/3是答案，但大部分同学包括我都认为是1/2, 争论最后不了了之，高考也没考，到现在才发现题目的中文表述有歧义！可惜给那时候的我造成了学概率的阴影。

[@how_do_you_turn_this_on]

生男生女的問題，是因為只說"其中一個"是女的，你不知道是老大還是老二 如果已知第一個是生女，那下一個是男或女只是獨立事件

[@HongXuFelix]

最后一段可以板书直接列出贝叶斯公式展开去算B死情况下A活的条件概率的计算过程，P(A活|B死)=P(B死|A活)*P(A活)/(P(B死|A活)*P(A活)+P(B死|C活)*P(C活))=1/2*1/3/(1/2*1/3+1*1/3)=1/3，详细写出推导过程可能会避免不必要的误解

[@沈明德-f5i]

跟命運一樣1/3機率早就定在那了。揭露資訊能增加你猜對答案的機率，但不會影響它自己本身的機率

[@zitaoqiu]

沈明德 不对，这里只是因为没揭露到重要的资讯，如果改一改规则，守卫允许告诉当事人会被杀死，这时候几率就不一样了。而且命运是没有概率的，概率是人用来判断未来的工具，信息不同概率就不同，对于犯人来说，概率是1/3，但是对于看守来说，概率就是百分百或者零，因为他是知情人所以没有概率可言

[@vincenttheo8841]

你的视频算是白看了。。。按你的说法，C被赦免的概率也是1/3，但其实答案是2/3

[@zitaoqiu]

Vincent Theo 是的，居然还有一堆人点赞，感觉全是没经过思考觉得句子写得好就赞的文科生

[@okldr]

已经发生的事情，对当事者是0或者1. 不是概率。 A只是在不断收集信息中获取必要条件逐步达到完全知道。多轮 最终A知道的结果是0或者1，即生或者死。 A的信息并不能决定 A B C 生死的概率。 A得到的信息只是决定了，他知道的 A B C 生死消息的完整性。 比如 最初始，A 只知道 三个人死两个。 那么A知道自己生的信息是 1/3. 1轮 看守说 B死。 那么 A 依然只知道自己1/3的生的信息。 但是知道 B 的全死。 以及 C的2/3生。 如果2轮 看守说 C死。 那么 A就知道了自己的全生，以及B C 的全死。 A只是逐步知道，并不决定A B C 的命运。 总之这个题讨论的不是A B C 生死的概率，而是A知道信息的完整性。 或者说在A的某个时间点的视角，他根据他已知的信息猜测A B C生死结果的正确性。

[@leoliu7492]

看守的话包含了隐含信息，所以改变了概率。

[@tongtibai2098]

其实就是一开始B和C共享一个三分之二的概率被赦免，然后看守把B排除，这一概率就由C专享了。

[@wfraffle]

tongti bai C为什么独享了，为什么不是A跟C平分了。然后各自二分之一

[@shuguan3013]

你这个解释好清晰啊！

[@drq3993]

Lytlo Charlotte 因为条件2的存在，狱卒不能告诉A是否被赦免，等于说狱卒不能告诉A你的赦免概率从1/3变到100%，自然也不能告诉他你赦免的概率从1/3到1/2。反正和你无关。

[@drq3993]

Lytlo Charlotte 这题就是严格禁止你靠问话提升你存活的概率。你和”其他人”是定死了。比如有100人，你怎么操作多少次，你都是1/100活，“其他人”都是99/100。“其他人”被你操作得只剩一个人，他一个人准确来说是被你操作过的”一个人”也是99/100。

[@drq3993]

Lytlo Charlotte 同样，假如是100人，如果没有条件2，狱卒可以放开答。那个你本来有1/100的概率活。在你的操作下，有99/100的可能，你问着问着你就知道你死定了：P。当然，也有1/100的概率你知道你被赦免的概率是100%

[@xiatechen7718]

求b此时心理阴影面积

[@leoko2649]

...

[@ninjawarriors6798]

其实并不是因为A问了而导致几率改变，而是因为看守公布了一部分结果，导致原本B和C加起来的几率跑到了一个人身上，而这个几率和从始至终都是A的二倍。

[@六桥烟雨]

问题是谁能确定一定是跑到C这一边？不可以有跑到A这一边的可能吗？

[@justinzhang2707]

非常清晰的解释：1：A问或者不问的生存概率都是=1/3. 2：B+C的生存概率=2/3。那么现在知道B死定，则C=2/3.

[@CrouchinCorner]

@@六桥烟雨 A活的幾率是1/3 A死的幾率是2/3 無論A問不問幾率都不變 B還是C死 對方都會繼承概率

[@christophershen6692]

@@CrouchinCorner 我的理解是 守衛不能跟A說他死了 也不能說謊 所以他只能說B死了 他如果說C死了他就是說謊 這樣看來就是A活下來的機率比C小 (應該是這樣吧?

[@CrouchinCorner]

@@christophershen6692 当A不问守卫的时候他活的几率是1/3 然而B和C的几率也是1/3 当A去问守卫的时候守卫不能告诉A自己的情况 只能说B和C之间谁死 然而当A知道了这个信息 剩下那个没有被透露信息的人就继承了剩下的1/3 A的1/3存活率和2/3死亡率是恒定的 因为是用A来和BC对比 对方的的2/3存活率也能碰到1/3的死亡率 以此类推

[@zen36158]

纯属个人理解： A的存活率在提问之前是1/3，但在问了之后看守回答了B会被杀死，导致他的存活率还是1/3，因为看守在回答他的时候选择了两种可能性的其中一种来回答，那如果是C先提问： A B C / X X （看守没得选择告诉CB会被杀死，A也是会有1/3 X 1= 1/3的概率存活） X X / （看守告诉CB会被杀，但由于看守还有1/2的概率可以告诉CA被杀但看守选择了说B被杀，所以C有1/3 X 1/2 = 1/6的存活概率） **那总结来说，只要看守向A或者C说B会被杀死，那先提问的人被赦免的概率就会比较低，最简单的讲法就是直接把A和C调换立场（撇除B），先问的人的死亡概率都会比较高

[@neoguo590]

我來講個故事換個角度想可能簡單些。對於看守 -> 有三種情況：１．Ａ死Ｂ死 ２．Ａ死Ｃ死 ３．Ｂ死Ｃ死 。 假設有一個平民來問看守，他會回答Ａ死或Ｂ死或是Ｃ死這三者都有可能，因為平民跟Ａ，Ｂ，Ｃ不認識死誰都無關，看守講出的話非常公平不隱瞞的！但今天是Ａ去問，當場得知自己要死很痛苦的。因此看守的回答對Ａ就是不公平，在第一次提問看守過濾掉１／３回答Ａ死的機率。所以如果Ａ每問一次，看守就又過濾一次（當然這邊只問一次，所以看起來沒什麼感覺）如果A問第二次的時候，看守只能說Ｃ死了。。。或者沈默。。。當看守沈默Ａ就知道自己死了，這時候後Ａ恍然大悟！！！原來每一次的提問，看守對Ａ的訊息的沈默其實也是個訊息，但紙是包不住火的。。起初每一次的沈默為了不讓Ａ難過，這些害怕問到最後一個問題還是沈默的Ａ最後就是Ａ得知自己的死期。。增加犯人數量會有明顯差別感覺。把過程畫成流程假設有五位犯人ＡＢＣＤＥ只有Ｅ能活。 提問者死有四種情況Ａ,B,C,D去問：（把Ａ換成Ｂ,C,D即可） Ａ第一次提問--> 看守： 看守回答Ｂ死 對Ａ選擇沈默 A.沈默 Ｂ死 Ｃ死 D死 Ｅ活 （負面Ａ：看守沈默難怎麼可能等於死 vs 正面A:也可能是活只是看守不能說出誰是活的 1/5） Ａ第二次提問--> 看守： 看守回答Ｃ死 對Ａ選擇沈默 A.沈默 Ｃ死 Ｄ死 E活 （負面Ａ：看守沈默不代表是死 vs 正面Ａ：至少死了Ｂ 現在我活的機率更大了1/4） Ａ第三次提問--> 看守： 看守回答 D死 對Ａ選擇沈默 A.沈默 Ｄ死 Ｅ活 （負面Ａ：看守沈默沒這麼衰等於死吧 vs 正面Ａ：只剩下三個人活的機率更大了 1/3） Ａ第四次提問--> 看守： 看守對A沈默..... A.沈默 Ｅ活（負面Ａ：看守沈默真的等於死了...原來不忍心告知 vs 正面A: 哇操算錯了， 原來問看守三次都沒說Ｅ死 其實是因為Ｅ是活的，下輩子好好學數學 ） 提問者活只有E去問才可能： E第一次提問--> 看守： 看守回答Ｂ死 對E選擇沈默 A.死 Ｂ死 Ｃ死 D死 Ｅ活 （負面E：看守沈默怎麼可能等於死 vs 正面E:也可能是活只是看守不能說出誰是活的 1/5） E第二次提問--> 看守： 看守回答Ｃ死 對E選擇沈默 A.死 Ｃ死 Ｄ死 E活 （負面E：看守沈默不代表是死 vs 正面E：至少死了Ｂ 現在我活的機率更大了1/4） E第三次提問--> 看守： 看守回答 D死 對E選擇沈默 A.死 Ｄ死 Ｅ活 （負面E：看守沈默沒這麼衰等於死吧 vs 正面E：只剩下三個人活的機率更大了 1/3） E第四次提問--> 看守： 看守回答Ａ死..... A.死 Ｅ活（負面E：問到最後才知道我是活的，還是死一死算了下輩子好好學數學 vs 正面E: 就說吧愈到後面愈贏的機率愈大！一定是我） 所以無論犯人怎麼問都會經歷同樣情況，而且問到最後.....看守無論如何都會綁定Ａ（死）跟Ｅ（活）到最後公布。 問到最後沈默回答的有四種，回答對方死只有一種，所以 活的機率１／５。死的機率４／５。 用組合來看 因為看守會把活的與提問者最後公布， 假設Ａ是提問者，Ａ勢必留到最後， Ａ Ａ 活 死死死死 --> 死死死 死活 Ａ Ｂ ＢＡ 死 活 死死死 --> 死死死 活死 Ａ Ｃ ＣＡ 死死 活 死死 --> 死死死 活死 Ａ Ｄ ＤＡ 死死死 活 死 --> 死死死 活死 Ａ Ｅ ＥＡ 死死死死 活 --> 死死死 活死 所以提問者問到最後答案公布，同時也是生存者的機率只有１／５ 這個提問者可以是Ａ～Ｅ任何一位，但問了第一次就要問到最後。 提問者不會因為知道訊息改變自己的機率，一開始是１／５最後也是１／５。但可以知道最後剩下的另一位是４／５。 從一開始就對你沈默１０次，也不差最後１次．．．

[@tiewei1614]

若是A活，看守选B可能是1/2；若A死，看守只能选B。因A活概率1/3，所以A活而看守又选B是1/6；A死概率2/3，A死而看守又选B的概率是2/3。A死看守选B概率=C活的概率。很佩服李老师的讲座，但这次不太清楚。

[@tiewei1614]

A活而看守又选C的概率也是1/6，所以总体是1/6+1/6+2/3=1

[@zitinghuang6493]

我是数学系的，P(A|B)=P(AUB)/P(B) AUB的概率是女女所以是1/4，B的概率是女是1/2，所以已知一女求另一个是否是女是1/2。至于老师说的男男情况属于不符合题目要求因为已经知道一个是女了。

[@neilng650]

正解

[@neilng650]

A已經確定是女生，B是女生的概率是1/2。不考慮男女同性體

[@陳柏儒-h9u]

當a去問時，a赦免機率為1/3，c則是2/3；當c去問時，a赦免機率為2/3，c則為1/3。所以以旁觀者角度，a赦免機率為(1/3+2/3)除以2是1/2；c赦免機率為(2/3+1/3)除以2是1/2。那個一半一半的想法是這樣來的

[@SChi999]

發現之前的說法不太對，我更正一下 一、知道有一人被赦免，這時候的狀況是 1. A被赦免，機率1/3 2. B被赦免，機率1/3 3. C被赦免，機率1/3 二、A去問看守，這時候的機率變成 1-1. A被赦免，看守說B死，機率1/3*1/2=1/6 1-2. A被赦免，看守說C死，機率1/3*1/2=1/6 2-1. B被赦免，看守說C死，機率1/3*1=1/3(因為看守不能說B活，所以只能100%說C死) 3-1. C被赦免，看守說B死，機率1/3*1=1/3(因為看守不能說C活，所以只能100%說B死) 三、看守說了B死，這時候的選項就只剩下1-1和3-1，所以是1/6:1/3=1:2

[@christophershen6692]

5也不成立吧? 守衛不能告訴A他有沒有死啊 所以3也本來就不成立，所以可能性應該是: 1. A生B死C死，然後守衛說B死 -2. A生B死C死，然後守衛說C死- -4. A死B生C死，然後守衛說C死- 6. A死B死C生，然後守衛說B死 守衛說B 就剔除掉2跟4 這樣兩人生存率又回到 1/2... 怎麼好像哪裡怪怪的 幫我解惑一下XD

[@SChi999]

@@christophershen6692 你講得沒錯，單就題目的題意來看，5號狀況應該是不存在的，或許是我跳太快了，應該一步一步的拆解這個問題才會比較清楚 一. 當確定有一個犯人被赦免，但還沒有人問看守者之前，這6種狀況就都成立，機率都是1/6 因為題目說了，三人被赦免機率一樣，1,2號狀況代表A被赦免，3,4號狀況代表B被赦免，5,6號狀況代表C被赦免 二. 當A問了看守之後，但看守還沒回答之前呢? 這6種狀況就變成以下這樣 1. A生B死C死，然後看守說B死，1/6 2. A生B死C死，然後看守說C死，1/6 3. A死B生C死，然後看守說A死，0 4. A死B生C死，然後看守說C死，1/3 5. A死B死C生，然後看守說A死，0 6. A死B死C生，然後看守說B死，1/3 3和5機率變為0很容易理解，因為看守不能透漏A的資訊，那麼為何4和6的機率會變為1/3？因為看守還未做出任何回答之前，三人生存的機率應該都還是1/3 1+2代表A存活 1/6 + 1/6 = 1/3，4代表B存活 1/3，6代表C存活 1/3 三. 看守說出B死，於是2和4的機率也變為0，最終就是剩兩個狀況1和6，1/6 : 1/3 這個題目的重點就像是李老師說的，因為A去問了，所以造成了原本平均分配的機率產生了改變

[@曾灰-j7l]

第二項因為守衛不能告訴a被殺死也不能說c被赦免所以只能說b被殺死，由此觀之c被赦免的概率就比a高

[@lemonforever]

@@christophershen6692 守卫还说了，A生几率还是1/3，就是判死刑了

[@RZ-rw6gy]

一开始选择要赦免的囚犯时是采用随机抽取，所以A的生存机率从头到尾都注定了是三分一。看守的回答是随机抽取和事实认定的混合，这是不同于最开始随机抽取赦免囚犯这一事件的另一事件，因为用了同一个名词（生存机率）去描述结果，所以才导致混淆。所以看守并没有改变任何一个人的生存机率，他只是对已知事实做了主观筛选。

[@andy19891025]

如果C問看守得到的答案也是 B會死 這時 A C 被赦免的機率會改變嗎 ?

[@jasons7251]

是的，如果是这样，他们俩的概率就变成一样的了。因为C问看守，看守回答B会死，这本身就是一个概率事件，所以他会降低C被赦免的概率。

[@how_do_you_turn_this_on]

如果你已經看了A問過，那反而A存活率又提高了

[@陳韋華-p3u]

李老師，A男B女及A女B男對於這個問題來說是一樣的，把它看成不同解答是否不太合理？因為問題本身已經把其中的1/3給去掉了

[@XD-sn9ne]

起初A有1/3 的希望， B+C带着2/3的希望，从B+C中剔除B，这2/3的希望就浓缩到C身上了。

[@gmqrolan7513]

然后C也去问了看守，看守也说B死了，结果2/3的希望到了A身上，请问怎么A,C都是2/3的希望

[@surewinfuly]

@@gmqrolan7513 因為2/3 是對於問問題的人掌握的信息和地位而給出的概率 所以並不能粗暴將兩個人的概率都加在一起 換句話說 A的希望＋C的希望是大過1

[@XD-sn9ne]

@@gmqrolan7513 条件增加结果会改变。如果C也去问得到相同答案，A赦免的概率就变了。A和C应该都是1/2，这是信息公开情况下的结果。如果信息不公开，那么条件概率是从掌握条件的主体的角度出发，如楼上所说你是把两个无关概率加起来，大于1说明不了什么。

[@wade2046]

但如果c去问的话，a生存的概率就变成2/3了。所以可以这么理解，假设a和c都不去问，看守主动告诉他们b要死了，那他们被赦免的概率就是一半一半

[@-_-7709]

“当A去问时，A和另一人的地位就不同了”这句话一针见血，当初我给同学解释时就差这一句，结果讲了半个多小时orz

[@ghlhchen]

数学还有人性的诠释

[@hsiangwang857]

如果不去问，活下来的概率就大一些吧

[@ExSnY]

角度不同的原因

[@teluo301]

不问活下去的概率还是1/3，只是A去问就使得A知道了C活下去的概率是2/3

[@robinzzs]

这道题怎么还有量子物理的事？

[@frankxu6564]

A去问看守，看守必然告诉他B,C中一人没有被赦免，因此A不能得到任何关于自己是否被赦免的任何信息，概率不变。 C没有去问看守，在A问的时候，C有1/2概率被看守说没被赦免，1/2概率什么都没说。 1/2*0 + 1/2*P(C被赦免）= 1/3 => P（C被赦免）=2/3

[@CatScissor]

我觉得只有3种情况 男男 男女 女女；男女 女男不分先后，如果要分先后，那就是男1 男2 ；男2 男1；女1 女2；女2 女1；男1 女2；女2 男1，概率依然是1/2

[@joywang1583]

这个问题用抛硬币的方法就能解决：准备两枚硬币，一起抛，正面朝上＝男孩，反面朝上＝女孩，这样抛一千次甚至一万次，记录每一次的结果，然后统计其中有一个是反面的次数，然后在这些次数里再统计另一个也是反面的次数，我有一次无聊时试过，抛了一千次，结果就差不多是1/3，你可以自己试试。

[@CatScissor]

​@@joywang1583 用思维试验也可以证明，假设现在是中世纪，没有B超技术。有一家人，他们有两个孩子，有一个是女孩，还有一个在妈妈肚子里（甚至可以设为卵子受精前）。很显然，妈妈肚子里的是女孩的概率是0.5。换个视角，上帝把目光投向妈妈肚子里怀了女孩的家庭，这家人另一个孩子（先出生的）不受妈妈肚子里女孩的影响，所以另一个孩子是女孩的概率还是0.5。

[@CatScissor]

​@@joywang1583 两个孩子有4种情况，1 哥哥 妹妹，2 哥哥 弟弟 ，3 姐姐 妹妹 4 姐姐 弟弟。有个人看到这家人的一个女孩，则排除 2 剩下1 哥哥 妹妹，，3 姐姐 妹妹， 4 姐姐 弟弟。这个人看到的是大孩子和小孩子的概率相同，先看看到大孩子的情况，他看到了姐姐 ，即3和4，都是女孩即为 3，概率为0.5. 如果这个人看到的是小孩子，即看到了妹妹，则为1和3两种情况，都为女孩是3，概率为0.5。算法为0.5（看到姐姐）*0.5（都为女孩概率）+0.5（看到妹妹）*0.5（都为女孩概率）=0.5。

[@sy5763]

kratos kratos 这是因为你假设先后看到，把先看到的特指为题中的“其中一个”，后看到的为另一个。但你也可以把后看到的作为其中一种，先看到的作为另一个。你有这种先后的想法是因为我们在生活中常常有类似的情景，你套入了这些情景。你可以把男孩女孩换成一种东西，比较抽象一点平时不太会讨论的，比如黑白棋子，你就能明白李老师的解答了

[@CatScissor]

@@sy5763 所有情况我都考虑过，概率永远是0.5，不论是思想试验还是理论求证。李老师很牛逼，但不一定全是对的。

[@黎銘-s9n]

正式聲明不接受李老師的三囚計算。 因為獄卒的指認是第二個階段的事件，它不會改變第一個階段刑部公佈三個囚犯中一人免死的理論絕對隨機性。 老師計算了兩個p 值，然後就把它們拿來取比值，又以這兩個這兩個數的比值定為調整後的A的免死機率，⋯⋯不靠譜。 Yeah Good說這是三門問題，其實這兩個問題是天壤之別，只是外觀相似，就像是AE86和AE85之間的區別。 去年看老師講解生日碰撞和數字鑒名問題，超經典，今天又翻出來看。

[@yezz4789]

李老師，第一個問題的答案是1/2。雖然題目說其中之一是女孩，但是沒跟你說是哪一個，所以樣本空間會有四種。 1.A是女孩 B是女孩(其中之一是女孩指的是A) 2.A是女孩 B是女孩(其中之一是女孩指的是B) 3. A女是女孩 B是男孩(其中之一是女孩指的只能是A) 4. A是男孩 B是女孩(其中之一是女孩指的只能是B) 。 所以最後兩個都是女孩的機率是2/4=1/2。 這題很容易騙到人，簡單一點想，其中之一是女孩，那麼另一個是男是女因為是獨立事件機率為1/2，所以兩個都是女孩的機率就是1/2。

[@teranzhang0806]

还有a是男b是男呢？其中一女的概率是3/4，另一个也是女孩的概率也就是两个女孩的概率是1/4，条件概率公式1/3

[@jianguoyuan3348]

其实很简单。 看守提供信息， 并不会改变A 的概率。 A的概率一直都是三分之一， 看守说B 会死，就意味着P（A）＋P（C）＝1了，所以P（C）＝2／3

[@金克劳斯]

Jianguo Yuan b死了，a生存几率不也变成1/2了？

[@簡小峯]

以我個人邏輯上來看男孩女孩的問題，感覺是2分之1比較符合現實，3分之1只是概率計算的"假象" 因為可以這麼理解，第二個是男是女的概率與第一個的性別在現實上毫無關係吧，那就只有回到第二個是生男孩是生女孩問題上了，管他第一個是什麼性別。

[@how_do_you_turn_this_on]

你有沒有學過條件機率???

[@firzenlhk729]

你的理解方式，問題就會變成「我第一胎是女的，準備生第二胎，第二胎是女的機率是多少﹖」 是不一樣的問題啊

[@selfmadegod8341]

请老师分析一下我以下的想法是不是对的：我本身认为数学定理只能用来分析，预测和揭秘物理上已存在而有固定范围频率运动的的现象，而不能用来分析人为的选择。因为人为的选择是会被当时情绪的波动，环境和以往的经验所影响的。做数学分析前要先有稳定的条件，而人的选择如上所说，是属于极度不稳定的条件，尤其是盲选更加不能用数学来分析，因为多数时候人类连自己决定选择前一秒都可能是犹豫不决的，不知道自己下一秒会选哪一个。。。那又怎么可以用数学来分析呢 ？ 所以我认为：1）赌博开大或小的机率是50vs50是不对的，因为赌博是为了人（赌客）的“情绪“来决定下注而设的，牌也用洗牌机来洗牌，牌也需要用人手来开牌，这一切已经不是稳定的条件。除非那赌客投注的条件频率是不变的，比如，不停的开大后就买小，开小后就买大，不停的这样重复，可是这种赌客是不存在的，就是因为人的选择是会受到很多客观因素所影响，不稳定性太高，不符合数学需要的稳定条件。2）三道门，如果剩下2道门，几率就变成50%，换和不换并不会影响参赛者的胜算，因为人在对“盲选“时也根本不存在稳定的条件。3）不管当时守卫告诉A。。。，B或C谁需要死时，无论他选B或C只是当时守卫“想隐瞒A的一种情绪表现“，他选谁都好都不具备数学上的稳定条件，所以A和C的死亡机率还是一样的。所以我认为，凡是有涉及人类情绪条件的事物就不能用数学来解读，因为“人类情绪条件“会直接破坏极需要稳定性的数学定律。

[@enbam117]

本人对小部分有不同看法，这就是: 在守卫讲出"B被杀"之前和之后，他们的概率事件是不同的… 在守卫讲出"B被杀"之前，概率事件分别是: 第一种-a生b死c死 第二种-a死b生c死 第三种-a死b死c生 故此刻A生存的概率=第一种/( 第一种+ 第二种+ 第三种)=1/(1+1+1)=1/3 在守卫讲出"B被杀"之后，由于B死已经变为已知事实，故第二种的B生存的情况不可再计入概率事件中，… 故剩余的概率事件分别是: 第一种-a生b死c死 第三种-a死b死c生 故此刻A生存的概率=第一种/( 第一种+ 第三种)=1/(1+1)=1/2 因此，A说他生存的概率，是说 在守卫讲出"B被杀"之后的情况的概率事件=1/2，这是有根据的… 而守卫说 A生存的概率，是说 在守卫讲出"B被杀"之前的情况的概率事件=1/3，这也是有根据的… 但是守卫说 C生存的概率=2/3，这显然就是错误… 否则，依据守卫的计算逻辑: 当A提问时，守卫说A生存概率=1/3、C生存概率=2/3； 但假设换C提问时，依据计算逻辑不变的原则，守卫就会改口成A生存概率=2/3、C生存概率=1/3； 在相同的客观事实下，不同人提问概率居然会不同，这显然是不符合逻辑的… 因此守卫说C生存的概率是2/3，这是不正确的… 守卫不可说a死，同样不可说a生… 假设A是生存的，虽然守卫今次对A说"B会死"，但守卫今次也可能会对A说"C会死"… 守卫只计算了自己说过的"B会死"的概率， 但守卫显然并没有计算了自己没说的"C会死"的概率… 这就等于猪大哥数数的故事，数来数去，却漏数了自己的原理类似，是守卫在计算上存在逻辑漏洞的地方(即少算了的地方)… 假设守卫以知道A也必然会死为前提依据… 那么a死就是已知事实，而不是概率事件了… 那么a死也不可以计入概率事件了… 由于b死早就不可以计入概率事件… 那么C生存概率就=100%… 那么这就与题目的大前提"不可告诉谁生存"有矛盾… 因此，守卫的计算逻辑是完全不客观的…

[@enbam117]

当然啦，还有种情况… 那就是，当A提问时，ABC三人都同时在场的话… 那么答案的确可能就是Pa=1/3、Pc=2/3了…

[@CrouchinCorner]

因為本來就是不客觀的 是按照提問者的角度... 如果C去問 了解B死 那麼他的幾率就是1/3 而A的幾率就是2/3 從始至終這都是提問者在問他自己 活或死的幾率(活1/3 死2/3) 好好看視頻吧 老師也說了 當提問者去問的時候他立場就和別人不一樣了

[@markmark7052]

機率應該是相對的, 對知道結果的人, 樣本空間突然縮小到一個可能而已, 機率變成100%或0%, 所以題目如果說是: 對A來說, 經過問過看守員之後, 知道B被殺的已知, 那從A看, "生還機率"應該是50%; 題目如果說是要算"A去問+答案是B"的機率", 從看守員看, 那旁人應該沒辦法算, 因為對看守員來說事情是已知的, 樣本空間很少; 題目如果說是要算"A去問+答案是B"的機率", 從旁人來看, 如果不知道看守員的回答這件事, 那末"A去問+答案是B"的機率", 應該是要等於"A去問+答案是C"的機率, 以及等於"C去問+答案是B"的機率, 三個機率應該是要一樣的; 如果計入看守員的回答(多了已知 "A去問的時候答案是B"的事實 ), 這樣多了已知, 減少了一些可能, 因此讓樣本空間產生變化, 所以"A去問+答案是B"的機率", 當然跟"A去問+答案是C"的機率", 以及與"C去問+答案是B"的機率", 變成不同 不過題目的本意應該是要算出, 從A看, "A的生還機率", 這跟從A或旁人看, "A去問+答案是B"的機率", 根本是兩回事

[@FangHauFoo]

李老师解说的真的是简单易懂！多希望以前的数学老师可以这么教我们...

[@edyang100]

很喜欢李老师的讲课，也经常收看，不过生男生女上李老师有一点点科学上不准确。那不是完全随机的概率，生男概率略大。对于同一对备孕者来说，双方生理条件可影响概率。

[@nanuleo9632]

下午刷了一遍《彗星来的那一夜》。不会量子力学的编剧不是好导演！棒~！XD

[@MIMI-ko8wf]

我认为，第二个“三个囚犯“的问题和“三门问题“”不一样。“三个囚犯”的处死结果已经是先决了，不会随着问“其他人是否被处死”而改变，恒等于三分之一。换句话说“不管看守告不告诉信息，已经做出的处死A，B，C三个人中的一个的决定，并不会发生改变”。“三门问题”里面，作出新的决定之后，是可以改变“中奖概率”的。这两个不一样，不能类比。

[@c0t556]

如果2说的是至少有一个女孩，那3中何谈“另一个也”？既然3中说到“另一个”，那么就证明2中的“其中之一”是一种特指。

[@yedemon]

终于明白了，之所以A会那样想，是因为A不知道“守卫不能透露真相”这个条件，他期待的答案还包括“你已经死了”等一系列的其它回答，也就是他的分析的立场和我们分析的立场不一样。因此1/2和1/3 都是对的。

[@jyfuxc]

假设在A问看守的同一时间，C在另一间房问另一个看守同样的问题，那个看守告诉C：B将被杀死。通过同样计算可知A免概率是2/3，C免概率是1/3。那么问题来了，到底是A免概率大，还是C免概率大呢？

[@paolofi5465]

Michael Fu 我们在一个10个人的团体里面，我去问哪8个人要死。结果确定下来除了你我 其他人都要死，对于我来说，你活的概率比我大，因为你活着的概率已经干翻8个人。而我是没有任何意义的，因为不可能告诉我 我死。明白了吗

[@jyfuxc]

胡 Paolo FI 你说的没错。然后你在问看守的时候，我也在问另一个看守。然后我俩得到的结果是一样的。

[@clscar]

A问C再问时，看守有可能会说A死，所以概率还是先问的1/3,另一个2/3

[@paolofi5465]

Michael Fu 也许这就是宏观世界的“叠加态”吧。“观测者”的角度介入的话，看起来似乎谁死已经注定了的，但是我没问的话，对每个人的概率都是一样的

[@TheGuyegood]

在a的空间中c大，在c的空间中a大。 这是一个空间视角问题。但你不能把两个空间合并，说他们之间是50/50。 想想看，如果你在看守的角度来说，其中一个是0%，另一个是100%，不是么？ 因为a的收到的信息并没有共享给c，c收到的信息也没有共享给a，所以这两个空间无法合并。如果a不仅知道b被杀死，而且也知道c也知道b要被杀死，那么在a的空间中，a和c的生存概率为50/50。但是如果c不知道a知道b要被杀死，那么在c的空间中，a的生存概率为2/3，c为1/3. 如果他们都知道b被杀死，且也知道对方也知道这个消息，那么在他们各自的空间中，他们的生存概率都为1/2.

[@beerwang2189]

这个问题我换个方式来问： 已知围棋棋子有黑白两色，这儿有两颗棋子，其中之一为白色。 问另一颗棋子为白色的概率。 还能得出1/3的答案吗？

[@yanlieu9727]

所以佛说别问，问了死得更快

[@lemonforever]

好像有点道理，如果是你的，不问也是你的，问了人家又不好意思打击你，基本就输定了

[@andrewfan2671]

其實應該說問不問都沒差，機率都還是一樣的

[@oscarckpang]

不要糾纏在C的初始概率上！ 既然A在初始就被赦免只有1/3的概率，那麼，最後剩下的一個和A來PK 的，機會都是1 - （1/3），也就是2/3⋯⋯ 用了老師置頂的留言，我就明白了。就是說，如果有100人，最後能和1 號直接PK的人，輸的機會就是除非1號在一開始就是被赦免的，1/100，否則最後挑戰的人都帶著有99/100贏的機會來的。

[@hongyangsun6170]

我想大家看了这个可能会有一个误会，就是不要去做那个问的人，去做那个c比较好。但实际上让我们想一想，不管问还是不问，被处死的概率都是2/3。因为c还有1/2的概率会被看守直接说被处死，还有1/2几率没被说，而这时候他被处死的概率是1/3，1/3乘1/2得1/6，加上前面的1/2，还是得2/3，所以谁先去问其实是无所谓的，而且先去问的还会晚点得知消息，还会心存一些希望，哈哈。

[@okadashinsei]

被杀的概率是1/3好吧

[@吳秉憲]

@@okadashinsei 是2/3沒錯的，三人中只有一人會被赦免，得兩位木得赦免

[@gal-game]

这其实是因为这个问题隐含了一个条件，就是「看守不能说出A的情况」。 如果换成一个不相关的旁人去问看守，看守说B没被赦免，那么A被赦免的概率确实变成1/2了。

[@trevorsong4345]

三个囚犯太有意思了！

[@TChang-yq9rq]

A去問的時候，看守說出「B將被殺」或「C將被殺」的概率各自是1/2，如下： 　　　　　　　　Ａ　　　　Ｂ　　　　Ｃ 若赦免Ａ：　　　赦　　　【殺】　　　殺 　　　　　　　　　　　　１／２　　１／２ 若赦免Ｂ：　　　殺　　　　赦　　　　殺 　　　　　　　　　　　　　０　　　　１ 若赦免Ｃ：　　　殺　　　【殺】　　　赦 　　　　　　　　　　　　　１　　　　０ 各自乘上1/3的概率之後，就分別得到李老師所說的「1/6」跟「1/3」，兩者相加，就是「1/2」。而在看守說出「B將被殺」的這「1/2」之中，符合「赦免A」的可能性只佔到「1/6」，(1/6)/(1/2)=1/3；相應地，在這種情況下計算「赦免C」的可能性則是2/3。

[@TChang-yq9rq]

換個角度想，只要A去問了，因為看守必須誠實且不透露，他只能回答B或C其中一個人被殺死。所以對於問的人來說，看守的回答，無論B或C，是沒有意義的，問者A仍然維持1/3。 但對於另外B和C是有意義的，因為看守選擇B或C很有可能是經過選擇的（若其中一人被赦免，則必須說出另一個）。所以當B確認會被殺死後，事實上也在宣告C的存活機率更大，減一減就是2/3。

[@caoglish]

我觉得应该这样解释：当C被赦免的时候，狱警不能告诉A他会被杀，也不能说C被赦免，狱警唯一能说B会被杀。狱警选择说B而不说C本身就包含了大量的信息。所以C的存活率大大提高了。 李老师图中的第一个情况，狱警有两个选择，就是说B死亡或说C死亡，而第二种情况，只能说B死亡，所以赦免概率至少从原来的1/3降到了1/2。所以说，狱警对死亡人员的选择这个信息本身，就给了C生存概率的提高。而A并没有被选择，所以他的信息没有变动，也就无法分析，所以导致概率结果保持了不变，甚至有可能相对降低了。

[@avalonrin2318]

三个囚犯问题还和事件的发展阶段有关系…整个事件其实可以理解为以下阶段， 1，监狱大赦，指明三个人中哪个能活，这个时候a客观上的生存率是0或者1，守卫知道结果，三个人都不知道。 2，在a的认知中（重点），他的生存概率是1/3。 3，他去问守卫，守卫告诉他b会死。这个时候a以为他可以把他认知中的生存概率调整为1/2了，守卫告诉他不对，他应该还把他的生存概率认知为1/3，而把c的生存概率理解为2/3。 我是这样来理解的…这个问题和蒙提霍尔问题一样，都存在一个既定事实，有一个知情人知道这个事实而另一人不知道，此时知情者就可以改变不知情者对事实的把握。因此，知情者透露的信息是应该被充分考虑的。 也并不存在A去问了，世界线的发展就改变了这样的事，因为自始至终调整的都是A对既定事实的把握。

[@afan0811]

人說算命越算越薄 好像也是這道理?

[@TheZZVincentZZ]

假的、如果我討厭一個人我每天給他算命 他會早死嗎？

[@ririkaka1074]

典型的联合概率问题，A与看守说话是两个事件。如果非要搞在一起算: A存活的概率是=1/3×（看守说B被杀死的概率+看守说C被杀死的概率） = 1/3×(1/2+1/2) =1/3 ! 要说为何是两个事件，显而易见的一点是:看守两种选择概率加起来就是1了。 另外可以这样考虑:如果A，C同时去问看守，我就问你，此时概率怎样？这个悖论你如何解? 所以说不要被一些语言上的说辞欺骗了。

[@NobodySeller]

着急个啥呢，不久等一天吗😂这样还多焦虑，时机到了自然就知道了

[@banjiu10]

三囚和三门是一样的。如果A问完看守以后，C在不知“A问了看守”这件事的情况下又去问看守，看守还是回答B被杀死了，那么A和C被赦免的概率又变成各自1/2了。但A和C在不串通的情况下，自己都以为是1/3。

[@何振瑄]

我覺得前面那個是條件機率 P(另一個也是女孩∣其中之一是女孩) =P(另一個是女孩∩其中之一是女孩)/P(其中之一是女孩) =(1/4)/(3/4) =1/3

[@何振瑄]

這是我們學的😂

[@wxz_05]

我不是很想留 因為看不懂得要理解很難 老師提到的1/2的看法是"個別機率" 但是1/3是"條件機率" 如同老師說的 你怎麼去解讀文字 並不能說只有1/2才是對的 整體有可能所發生的事情 直觀上當然不一樣 機率中"AB順序必須分開" 不然機率不對等 如擲一枚硬幣兩次 結果三種 兩正/正反各一/反反(是不是很像 男男/男女各一/女女) 但是你把兩次為一組 擴張到100組的時候會發現 正反各一機率=正正與反反相加 因為正反各一包含了先正後反 先反後正 分開來後 機率才會相等 正正=正反=反正=反反 如同題目 請把AB男女帶入兄弟姊妹/先後順序替換成 换 出生先後 可以幫你妳好理解什麼是"條件機率" 兩個孩子 必定只有四種可能組成 1.姊/妹 2.姊/弟 3.兄/妹 4.兄/弟 已確定一名為女性 另一也為女性為? 4.兄/弟必須去除 不符合已確定一名為女性 這種條件下只剩三種選項去分機率 1.符合 所以為1/3

[@wxz_05]

這是條件機率下的算法 第一胎+第二胎有四種情況 姊姊/妹妹 姊姊/弟弟 哥哥/妹妹 哥哥/弟弟 題目要求"第一胎為女" 第一胎為男必須去除 只剩 姊姊/妹妹 姊姊/弟弟 下去分機率 答案為1/2 這題跟老師的題目相似 但有差 老師的題目為 "其中一個為女""可以是第一胎 也能是第二胎" 你的問題又多了一個條件 """第一胎必須為女""" 條件機率中自然不一樣 因為條件不一樣 然後你問的兩個問題題目是一樣的 但是你這種"問法"跟"問題"本身無關 只是"兄弟"與"弟兄"的差異 不是關於機率裡面的先後順序 所以我建議你""條件機率""跟""個別機率""搞清楚

[@wxz_05]

謝小杰怎麼刪除留言了???

[@何振瑄]

可是題目是其中之一是女孩的條件下，另一個也是女孩的機率.... 沒有說第一胎一定是女孩R.....??

[@thatchacre5763]

设每个囚犯获释的概率为P， Pa = Pb = Pc = 1/3. => Pb + Pc = 2/3, Pb = 0 => Pc = 2/3

[@zh7273]

本科上在交大上概率课的时候，为了这个女孩的问题，我和老师争了一节课。。。

[@ginvt]

现在知道不应该知道应该让老师高兴的道理了吧XD

[@Smoke-smoke-smoke]

我覺得還是二份之一欸，如果這是一道題目的話，那他們的對話就是所謂的條件，一開始a,b,c皆有可能是三分之一，但是在a開口問了之後條件就更新變成要把從一開始就不會發生的b被赦免去掉，所以應該是二分之一，而且把編號對換問的人變成c之後a不就成了有三分之二的機率被赦免，在相同的條件下推論產生不同結果不是很奇怪嗎？

[@Justhappymax]

三个囚犯问题和三门问题类似

[@甚谁-l9f]

永乐老师求解这两个问题的方法雷瑟，但两个问题的逻辑是完全不同的。

[@Iced-Fish]

就問你a願不願意跟c換 這兩題是相同的

[@twang5446]

逻辑完全相同，概率也是

[@ParadiseQ]

不是类似 就是一模一样的

[@chtli1427]

跟Monty Hall Problem一樣,三門問題裡的換不換就等於A去問看守,因為C還沒問就等於三門問題裡的被換,懂嗎

[@AthlonX3]

概率是1/2才對。對於一個囚犯來說要的是結果，而不是各種組合的可能性，如果是算所有組合的可能性概率，那麼1/6和後來的1/3是對的，但如果只是算結果的概率那只能是1/3和後來的1/2。

[@chemistryka]

看守說的對，因為看守不能說假話😂

[@vapery]

結論就是：條件機率。 車與羊的事件，獲勝率一開始是1/3，經過操作後升為2/3。但這是因為人們把第一次與第二次的條件加總思考了，才會導致只要做換選項動作勝率就提高的結果。換言之都是敘述的問題。 若把第一次與第二次都視為獨立事件，獲勝率第一次就是1/3，第二次就是1/2，因為你並不知道門後的獎項是什麼，所以每次的選擇都是一次獨立的事件，只是主持人會透過話語混肴。所有條件機率的推算都是建立在已知大獎位置的條件之上，但若把此條件拿掉，就只是單純的選擇題。就跟翻了十次硬幣，第十一次正or反機率依然是1/2；但若加個前十次都正的條件，那第十一次的正or反的機率就不再是1/2了。 一切都是人的套路....

[@mustafa52167]

李老师，我从初中起就没有想通一个道理。水的密度是不是上面小下面大？因为水深度不一样压强不一样。比如一个皮球，被压到水里，压的越深皮球就会越小，那么排开的水量就会越小，也就是浮力越小，这显然违背了阿基米德定律，唯一的解释就是深处水的密度也大了，刚好抵消了皮球变小而损失的浮力。如果说皮球容易被压缩，那么换成其他物体，只要深度够大，都是可以被压缩的，包括水分子自身。

[@tasingchak3916]

Asian Mohammed 理论上压强大，密度就大。可惜水很难被压缩。所以水密度被认为不变

[@johnkwok4040]

密度是在一個特定的條件如溫度壓力量出.深处水的密度也大是對的

[@ftxq41301]

这样就能解释地球的核心是铁核的问题。压强太大。熔点升高。所以还是固态。

[@chpq2000]

“这显然违背了阿基米德定律”？不违反啊。

[@mustafa52167]

Puqing Chen 我没说清楚。比如皮球下吊一个重物悬浮在水中，浮力和重力相等。如果这时候游来了一只鱼碰了一下，无论上浮还是下降一点点，皮球的体积都会随压力变化，也就是浮力变化，造成的结果要么加速下沉，要么加速上浮。那么这个平衡就太脆弱了，潜艇是怎么悬浮的。

[@cedazhou580]

其实是和 1 所处温度、酸碱环境下，携y和携x的精细胞活力以及 2 卵细胞本身对二者的接纳度有关，而体内外环境、提供细胞者的体质又各有不同，比较复杂，不是单纯的经典概率问题，确实可以用数学的概率模型去描述，但是要考虑更多的情况来修正。

[@5858248]

CEDA ZHOU 这是考数学不是考生物。你到底在认真什么？那是不是还要考虑 双胞胎概率 然后考虑男男 女女 异性双胞胎 的概率？是不是还要算无性畸形儿和双性畸形儿 ，和变性的人的几率？

[@陳正釗]

如果A C 兩人同時去問呢？

[@songasson2477]

(1/4)/(3/4)=1/3,造成不同答案的原因主要是因为理解歧义，一般建立在常人的认知里，要么男，要么女，“其中一个是女孩”，另一个则是男孩。

[@johnchan3321]

十分讨厌出题人考语文的方式考数学

[@RZ-rw6gy]

逻辑是数学的本质，数字只是工具。

[@yuujisakai6475]

语言逻辑，数学也要教？数学的本质不是工具么？

[@yuujisakai6475]

赞同，出题人语言有歧义，不能让学生背锅

[@RZ-rw6gy]

Yuuji Sakai 数学教的就是逻辑，or、and 、not、if、then也是数学的范畴，理解变量本来就是学习数学的一个过程。不这么教，你能理解这当中的区别。你以为数学就是一堆数字和公式么，数字只不过是变量值的代号罢了。

[@Myebates]

感觉题目没有什么歧义，第二种解释明显没理解题目的精髓

[@HWang-xw7fl]

不同在于囚犯不论问不问都不能改变谁被赦免。而三门问题中玩家有一次机会在获得信息后改变原有选择。

[@yifanwang2234]

不让换门的三门问题

[@5858248]

yifan wang 哈哈哈 笑了😂

[@kenlin4468]

三個囚徒問題可以轉成另一種問法: A 去找看守，但 C 在旁邊偷聽，問得 B 會死，那麼 A,C 存活機率會不同嗎? 也許有人會覺得這問法排除了看守說 C 會死的條件，可是題目的確就是把這條件刪除了. 機率問題要能做實驗驗證，那麼這問題要如何實驗?

[@kenlin4468]

@UCQt4VRkmVMA_F2yaUrpCSog ,我也認為 A,C 存活率相同，但答案卻不是. 所以，如果答案是對的，那麼李老師的題目就是錯的，因為我無法設計出一個實驗來檢驗這個結果. 我嚐試用下面實驗來操作: A,B,C 三人被關進牢房，然後判官隨機選一個人判生. 那麼問題是: 每次都由 A 去問看守，而看守都告訴 A 說 B 會死，那麼 A,C 存活率為何? 我的答案是，既然題目都設定 B 死定了(其實這跟隨機選一個人判生的條件衝突)，那麼 A,C 存活率就是一樣的，因為 B沒有機會活，可是李老師的作答過程卻不是根據這樣的假設條件. 所以我才說，這個題目要講清楚怎麼實驗. 無法設計出實驗方法就無法運算.

[@xj4bp6007]

重點在A找看守，所以C的生存率是2/3，A的生存率是1/3

[@kenlin4468]

@@xj4bp6007 ,恕我駑頓，可否給我一個如何實驗的步驟，實驗 99 次，得到 A:C 生存率是 1:2 的比值?

[@Felix-ll4yr]

所以其实女孩这道题是道语文题。。。。

[@SpiritMacao]

第三句是重點, "另一個" ! Another! 假設 第二點已對其中一個孩子驗明正身, 她是女孩, 名字叫A , 那麼, 另一個, 自然就是指 B. 根本沒有歧義, 只是你們沒好好看題目.

[@siau.]

理解上的不同一直就会照成概率问题不一样的答案，所以我经常跟老师吵架😁

[@wistonw]

Malcolm Jerry “另一個”為什麼就代表 其中一個指的是A? 在A男 B女的情況中 “其中一個”指的就是B “另一個”就是A 要理解很簡單 你把A男B女套回問題 是不是每個描述都符合 結論是當你脫口另一個必須指同一人其實就是你陷入其中一人必須指A了

[@史莱姆轩轩]

條件概率也要看它是否独立，第一次生女和第二次生男生女是無关，。囚犯的生死是因條件概率而定，但常人却不注意其存在！

[@xiaowhite1044]

这就是所谓的死于话多吗😂

[@fissionchips3260]

XiaoWhite 陈独秀你坐下

[@tsunghan_yu]

不是啊 只是新得到的資訊改變了你死的機率而已

[@黑人-b3c]

假如C也问了。

[@Mr.Isaac-L]

@@黑人-b3c C也问了的话，看守会说B被杀死，如果C得不到其它信息，那么对于C来说存活概率1/3，A存活概率2/3。如果C知道A也得到了相同的答案，那么A和C各自都有1/2的概率存活

[@星空-g1e]

我的理解方式为，不管A是女孩还是B是女孩，都是1/2，A女的情况会产生A女，B女和A女比男，而B女的情况下也会形成A女和B女，只是不同在于会产生A女，B男，A女和B女的几率为2/4（1/2）因为A女和B女是重复性的，不管女的是A或B，另一个男或女的几率都是1/2，不知道这样的说法是否有错

[@曹丞相-i1f]

一開口問問題死亡率就提高！！

[@ralshur]

并没有提高，而是保持了原来的1/3

[@阿暴-m7i]

不对呀，前一句与后一句在逻辑上是承接关系，所以如果按第一个情况来算概率，应该只有两个都是女孩的情况才符合题意，概率也应该是1/4才对。 也就是这个所求的条件概率是当其中一个已经是女孩的情况下，另一个也是女孩的概率。

[@許瑞軒-g9w]

A：請問你第一胎生出男生的機率有多少？ B：100% A：你根本不懂數學 B：你根本不懂中國

[@rickywong5370]

A：“我 計算出 自己生存的概率是1/3，c的概率是2/3。” C去問看守誰會死，看守答了a會死，這時c計算概率： ”我計算出自己生存概率是1/3，b的概率是2/3。” 他們只是在計算自己的概率，并不影響最後誰會生存。 最後b去問看守誰會死，看守答了a會死，這時b計算概率： ”我計算出自己生存概率是1/3，c的概率是2/3。”

[@xianya6472]

对啊这个问题就是问站在A的角度，你站在上帝视角，那Ａ和B生存概率就是０了，C概率是１。“并不影響最後誰會生存”是站在结果已定的上帝视角，在ABC的视角问前与问后是不一样的，因为提问的人会导致不在守卫答案的第三个人存活几率为自己两倍。

[@打鋼怕秋勤]

所謂反派死於話多XDDD

[@owenyang9543]

这道题其实也可以换个模型来理解 2个箱子 A B A箱子里红球多 B箱子里篮球多 （目的是选择红球多的箱子） 最开始随机选择的箱子的概率0.5 0.5 ,但是如果 从一个箱子拿出来一个球放回去 并且告诉你这个球 是红球 那么选这个箱子 概率就会大于0.5 然后也就是对应题目的死亡概率

[@chongluntang7455]

结论就是， 坐牢了千万别去问是不是我被放了！！！！！

[@擱淺透抽]

第一個問題很多留言都提到獨立機率，但是其實 「其中一個」跟「另一個」這兩個個體是有關連的，是有被選中跟沒被選中的關係，不能用獨立機率計算。 假設有兩個紅包，紅包內有50%機率裝100元，50%機率裝1000元，且兩個紅包是獨立機率。 然後其中一個人看了紅包內容後挑了一個走，並且裡面裝的是1000 元，請問剩下的紅包裝1000的機率還是50%嗎?

[@擱淺透抽]

補充前提: 拿紅包的人若看到1000元的紅包，則一定會拿1000元的

[@沈明德-f5i]

其中之一是女孩，這條件只能排除有兩個男孩，這種問題不該考慮順序問題，因為題目中給的條件不足判斷，題目解釋權如果在作題人手上，那答案就有很多種，不合一般有標準答案的慣例，所以別管那女孩是老大還是老二，所以連生兩女的機率才是實際答案。連生兩女是既成事實，透漏資訊給你不會改變它的機率

[@5858248]

我之前想的跟你一样，我想应该“双男 ” “男女不分顺序” “女女” 几率是一样的。 然后排除男男 还剩两个选项 猜利率。但实际上 不是这样，你可以这样算 100个家庭生孩子 第一胎 男女各50个。50个男孩家庭第二胎生男女各25个 女孩家庭也是一样 ，所以最后得出结果是 哥弟 哥妹 姐弟 姐妹 各25个。所以双女概率是25% 双男概率25% ，男女（不分顺序）概率是50% 已知条件去掉一个男男25% 所以女女的概率是25/75 =1/3。 透漏资讯不能改变连生两个女孩的概率是没错，但是人家问的不是一个家庭连生两个女孩的概率。所以已知条件只是帮你缩小了概率的范围。 举个极端例子 这个两孩家庭 已知其中一个是女孩了，请问他们家庭是两个男孩的概率是多少？所以你的答案不会是 一个家庭连生两个男孩的概率是多少就是多少吧？ 你不会完全无视已知条件吧？

[@沈明德-f5i]

5858248 題目裡，其中一個是女的（這是不確定是長女還是次女），你猜1/2機率是女生，那你要把這結果分配給長女還是次女？你如果分配給長女，然後你就還得再猜一次，次女的出生機率才夠（因為題目不確定那已知的女兒是次女，你也不能主觀認定就是她），所以正確答案還是1/4。因為他提供的條件不足以幫你省一次猜測，他要說長女是女或次女是女，你猜另一個是女兒的機率才是1/2。他題目改成：兩個小孩都是女的，那你認為這樣機率算是多少？是百分百或是1/4？會有兩個答案是因為這題目沒說清楚他要的機率，是你猜對的還是事件本身。（通常是問事件本身）

[@5858248]

沈明德 题目说“已知其中一个是女孩”就是说不确定是不是长女还是次女，所以我们这里不做长女推论。我们只做不分顺序的推论。我们来分解一下 假设每次分娩生男生女的几率各50% 假设不算双胞胎龙凤胎这种小概率事件。那么一个两孩家庭生出男男 男女 女男 女女的几率各是25% 这样的说法你认同吗？

[@5858248]

沈明德 另外回答你假的设题目： 已知一个两孩家庭 两个都是女孩，那么这个家庭是两个女孩的几率是多大。我的回答是100%啊 因为你已经告诉我她有两个女孩了，她们就不可能是其他组合了。但题目如果这样：一个两孩家庭她们生出两个女孩的几率是多大。这个时候才是25%。因为还有其他三种可能。 一个是已知的已成事实不存在变数所以是100% 。一个是未知的事件，只能通过1除变4种可能性，所以是1/4。

[@沈明德-f5i]

5858248 原題目如果是想問你能猜對的機率而不是想問連生兩個女兒的機率，答案還是1/4不是1/2。因為他給的其中之一是女兒這條件沒法確定是長女還是次女，這樣你只猜一次1/2機率到底是要給長女還是次女？有可能你猜的是已知的那一個，白猜了一次，另一個你還是要再猜一次。就好像有人跟你說，你要去的地方兩條路其中之一埋有地雷，說了跟沒說一樣，你聽了有1/2機會，都不知道也是1/2機會，你能說我就走他說的另一條路嗎？你猜生女兒也不能選另一個，因為不知是哪個

[@1537zeng]

恭喜李永乐老师订阅过百万了，刚订阅的时候李永乐老师订阅才60多万。加油。🤗

[@shuyangzhang7661]

3种解 其中之一 1 其中a是女孩 求b女孩概率 解法 不考虑a 只考虑b是男是女 2 ab都有可能是女孩 求两个女孩概率 考虑到ab 从整体上概率思考概率 3 只有一个女孩 概率是0 其中之一是女孩 另一个自然就是男孩 那么另一个是男孩概率就是100 女孩概率是0

[@5858248]

你这是文字游戏，这是考数学又不是考阅读理解

[@yuenanson7538]

把整段問題理解，答案就是1/3,只是很多網友斷章取義了

[@未命名-n3s]

我不认同，A和C的被赦免概率应该各占1/2。为什么这么说呢？ 在看守的推理中，每人被赦免的概率均为1/3，而在A发问时，C被赦免的概率却发生了改变。说明最终结果的决定权在于A是否会发问，真正的结果并未在最初时确立。 而问题是如此描述的：看守在最初就已经被告知了结果，显然他也是无权变动结果的。假设A会被赦免（或者称被赦免的人叫作A），那么无论A是否发问，其余的两人都是必死无疑的，不会仅凭A的一个疑问而有丝毫的改变。 在看守的推理中有一件很矛盾的事实，在最一开始确立了结果，后来却又在A发问时说明结果在最一开始尚未被明确。 这并不是三门问题，在中途可以更换自己的选择。在这个问题中，作为“主持人”的看守仅仅是告知了其中关有羊的门，却并没有允许囚犯拥有更改的权利。 正如爱因斯坦所说，上帝不玩骰子。 大家在现实中可以找同伴进行一次实验，在最一开始写上被赦免人的名字A，让A发问。再进行一轮，让C发问，会知道无论C是否发问，最终都是A被赦免，这是因为结果已经在最初时被确定了，不可能在之后被更改的。 所以说在知晓结果的看守看来，A100％会被赦免，而在A,B,C三人看来各占1/3。 而在询问了看守之后，选项从三人确定为了两人，因此A说自己被赦免的概率增加到了1/2 ，这是在A和C看来是如此的。 总结一下，无论在看守已知的A100％，还是A和C的1/2，都不可能得出C的2/3。 要知道三门问题中，之所以后来获得豪车的概率会提升到2/3，那是因为在被允许更换自己选择的前提下，而囚犯并没有这种权利。 更换自己的选择是客观事实，而提出疑问只能说是主观事实是不能够影响到客观世界的。

[@GEESE0522]

數學上的確是這樣...... 逆向思維: 如果A不去問, 反之生存率提高一倍, haha~~ （逃...）

[@和冲冲]

GEESE0522 我觉得A不去问的话，存活概率就是最初的三分之一，没变的。或者是C去问并且看守透漏B将被处死的情况下，相当于A和C对调，A存活概率才是三分之二。

[@RepubliC_XF]

和冲冲 A問不問都是三分之一 你說C去問A變三分之二是謬論 你把B去問的機率也算一起 A就會回到三分之一了

[@和冲冲]

李銘軒 都没毛病，我说的情况和老师讲的是独立的事件😊

[@ExSnY]

相对C来说而已，如果不去比较剩下的A和C存活概率比就行了，这样二者都是1/3

[@5858248]

他问不问和生存几率无关，是守卫回答流露出来谁死的几率更高。因为守卫这里才是一个关键变量的因素。谁要死谁不要死 完全取决问者和答案之间的关系。

[@coobilayo]

所有可能的樣本只有3種：A活或B活或是C活。各1/3機率 獄卒的話使得B活的可能性消失。剩下就是A活或是C活。各1/2 如果深入分析，關鍵在於： 在A活的條件下說B死或說C死的機率同為1/2 後來說出B會死這件事會讓A活條件下說C死的機率變成0，但別忘了說B死的機率上昇為1而不是原來的1/2 。 因為已發生的事機率就是1； 1/3X1 + 1/3x0 = 1/3 A活的機率並沒有變化。 以訊息理論來說，獄卒的話只影響了B的生存率，而沒有透露出任何A與C相對生存率相關的訊息。 所以也不會影響到AC相對的生存率。

[@liupig_yicyun]

女孩是偽娘所以100%男孩紙XD

[@elonganq8109]

我觉得三个囚犯的问题不对，当已知条件成立时，就已经由三个囚犯赦免一个变成了两个囚犯赦免一个了，所以不管看守是二选一还是一选一，只要选了，那么剩下的赦免机率就是二分之一。

[@jetz4085]

这逻辑根本完全不对啊，当提到“其中之一是女孩”的时候 A男B女 和A女B男就必须排除掉一个了，女孩不管在哪个位置，她都只能占一个位置，不然非要把位置计算进去的话 “A女B女” 也要出现2种可能 ；A女1B女2 A女2B女1：另外囚犯问题犯人的提问和看守的回答都是不会改变命运的，能决定命运的只有法官的判决，不管犯人A是被判决还是被赦免，看守始终都会给出2个被判决的犯人中的其中一个，所以机率是不会因为提问题而改变的

[@danielpang1323]

晴天小猪 這出現次序也是可能之一，為什麼要排除其中？又應該排除前者還是後者？ 而且是數學邏輯正確，但同你感覺主觀不一樣。

[@jetz4085]

排除其中的一个选项的原因是： 当条件中出现“其中之一是女孩”，那么这个时候女孩指的就是这个已知性别的孩子的而不是另外一个，不管女孩在哪一个位置，她只能是她自己，而不是说“我也可以是另外一个”

[@farmeryoung9377]

Daniel Pang 只给你提一个问题 如果看守继续同A说 你可以和C地位互换 也就是如果你死就变成C死 如果C死就变成你死 请问你换还是不换？

[@jetz4085]

如果判决是之前就下达的，那么换不换概率都是33%

[@8h_a_x8]

晴天小猪 建议你先看下老师上一个三道门的视频

[@李杰-y7k]

囚犯的问题可以当那三个门问题来理解，去掉一个死亡概率后，A选择变换身份C活下来的概率2/3，就是等同于三个门的问题，只是囚犯这里不给A变换身份的机会，所以是1/3