充满争议的概率论问题星期二男孩悖论，你能算对吗？

[@howone9698]

难得抓到妈咪叔的错误了，大家顶我上去。 “邻居家有两个小孩，看到一个男孩”，这和“知道两个孩子中至少一个是男孩”是不一样的。 孩子有四种情况： 1,大孩男，二孩男 2,大孩男，二孩女 3,大孩女，二孩男 4,大孩女，二孩女 看到一个孩子，有8种情况。 分别是第一种情况的大孩，第一种情况的小孩 第二种情况的大孩，第二种情况的小孩 第三种情况的大孩，第三种情况的小孩 第四种情况的大孩，第四种情况的小孩 当你看到是男孩或者女孩的时候，排除四种情况，剩下四种情况，男女各一半。 所以，无论你看到对方的几个孩子，孩子男女单双眼皮星期几通通不重要，剩下的孩子永远是50%的概率男女，和直觉相同。

[@螢幕輕鬆點亮]

你是對的啊，「至少有一個」和「已知其中一個」是兩回事，完全兩種不同問題。在這個例子中，「男男」的樣本在「至少有一個」問題中被取樣一次，在「已知其中一個」問題中被取樣兩次。樣本空間是不一樣的，媽咪叔的公式裡有沒有減一就差在這裡。

[@Sci1729]

哎呀 是我的错误，以此勘误。（我去修改视频）

[@fentoyal]

那真正的悖论就变成了 为啥看到一个男孩子 和 知道至少有一个男孩 效果不一样

[@jackjack8135]

性質上變得與上集相同了

[@yuanwu7368]

确实是1/2。妈咪叔应该是看着前面3:45秒那个4*4的图选取的，选了前两列，结果不小心多选了”单双“那个格子。错误仅在6:47秒那里，3/5应该是1/2。

[@黃晨輔-s1p]

媽咪說終於開始談論孩子的問題了 :JOY:

[@cdewqazxs]

其實把無限多的特性都羅列出來的過程 就相當於是直接指定哪個孩子是哪一個孩子 例如是大的還是小的 所以概率自然就從1/3變1/2

[@yulu1184]

相当于编了个号。换个问题思路更简单。说箱子里有俩球不是白就是红，说至少有一个是白，问俩都是白的概率。说箱子里有俩球一号和二号，不是白就是红，其中一号是白的，问俩都是白的概率。

[@yulu1184]

像不像量子态因为观察而坍缩了

[@Hh-nf8nk]

@@yulu1184 像, 因為量子態本身就是概率

[@子木圭土]

就是高中学的排列组合

[@Mike-so4fg]

非常聰明的解釋，這已不是什麼悖论和反自然了。

[@yourxianda]

这题的关键是取样过程，对孩子的描述可以任意精细化，但它们和取样过程没关系就不需要考虑。假设你已知邻居有两个孩子。如果邻居随机挑选一个孩子带在身边那么当你看见这孩子是男孩时俩孩子都是男孩的概率就是1/2。如果邻居故意挑选男孩出门那么你看到时概率就是1/3。如果邻居故意挑选双眼皮的男孩出门给你认识，那么概率才是3/7。这孩子生日是哪天，喜欢什么颜色数字，只要它们没影响取样过程就不影响概率。

[@螢幕輕鬆點亮]

我要哭了，內容終於又有點硬核了，媽咪叔終於又硬起來啦！！

[@memomariya2101]

是拳头啦

[@可愛的-i7k]

8:49 不可測跟無窮應該不是一回事吧... 例如　隨機取2個整數，其互質概率為6/pi^2...

[@百合仙子]

7:04 邻居有两个孩子 其中有一个小男孩--另一个也是男孩就有点巧了 另一个孩子更小--某个孩子的性别是独立事件，所以是男孩的概率为二分之一 大些的孩子是双眼皮--另一个孩子是男孩的概率依旧是二分之一呀 8:25 有一个双眼皮的男孩--有点具体了，另一个刚好也如此的概率变小了，从而自由度上升 知道这个未指定的男孩的信息越多，另一个孩子相同（从而无法区分）的概率越小，其自由度也就越大，直到其完全独立（概率变为二分之一） 喜欢某种颜色--这里的颜色并不是无数种。依不同的语言和认知而有差别。反正一般就是红黄蓝绿紫黑白啥的，越是不容易区分的颜色越不容易被喜欢上 喜欢某个自然数--越大、越不著名的数越难以被喜欢上，你看喜欢8的人那么那么多，喜欢那个怪兽数的好不容易就碰到 3blue1brown 一位呢，还是因为这个数够独特 --所以喜欢1是个挺有效的区分手段。 --啊对了，前边的「六七岁」也是个有点有效的区分手段，所以概率并不严格地是三分之一，而是略大。

[@United_States_of_Japan]

再问“两个孩子至少有一个是亲生的概率是多少”

[@user-Yangzijianan]

两个都不是亲生的

[@kimyostory]

@@user-Yangzijianan 概率空间为亲非、亲亲、非亲、非非，至少有一个亲生的概率为2/3

[@羅小紅-r5v]

樣本太大 不是 親非 非親 親親 非非 ... 就可以歸納完的 親生只有一種 非親生有數十億種 ... 只要有心 人人都可以是老王

[@yuanwu7368]

你首先要给出一个孩子亲生的概率，如果它是1/2，那么结果和至少一个男孩的概率一样。

[@螢幕輕鬆點亮]

根據無差別原則，同等無知的情況下，那親生和非親生的概率就是相等的。

[@alexma178]

实际上应该是条件概率问题 给定的条件越多 限定的条件越苛刻 在这个子空间下 符合条件的概率自然就高了

[@1c72]

视频末尾的那部分内容，"已知有个哥哥"则双男概率为50%，但已知"其中一个是男孩"则双男概率为1/3，但若再附加条件(如星期二)就会使概率从1/3逐渐增加到1/2，这部分内容我觉得并不违反常识。简单的说，当"不确定你说的那一个男孩是在指谁"时，概率就是1/3，但随着信息增加，指向越来越明确，比如双眼皮，比如星期二出生，比如27号出生，就会越来越具体(你不如直接念他的身份证号得了)。一旦已知的男孩是具体的某个孩子，而不是两个孩子中的任意一个时，剩下的那个也就是50%啦。所以按照我的理解，我认为这个曲线是从1/3到1/2的过渡，并会最终停留在1/2，不存在视频结尾说的"突然掉下来"的悖论。

[@brianwang3552]

真喜歡最近媽咪說關於機率的影片

[@小白-k7n]

I=-logPi 信息量变大 概率变小 即Pb变小, Pab始终不变（2个都是男孩）, Pa|b=Pab/Pb 所以答案一定是比1/3大的数，这样看就没那么反直觉了

[@williamleo8535]

6:40 大為男且雙眼皮時 小為男不是3/5 而是1/2 如前面3:40表格 只有左下角四格符合大為男且雙眼皮 不知大小僅知一男有雙眼皮時才是3/5 周叔確認一下

[@waynechang7094]

太強了 跟李永樂老師是一樣是知識全才

[@蔡長紘-e6k]

0:55的表格一開始就有問題4個表格並不是等可能事件 不考虑出生先后，男女和女男是就只是一种情况 都指的是一男一女的情況 及 (男男，女男，女女) 才是等可能事件 表格中的(男男，男女，女男，女女 ) 中的一男一女的情況被從重複計算了兩次 只有在考慮了出生先後這個表格才是正確的 而顯然的 「至少有一個」和「已知其中一個」 的兩價條件中都沒有限定出生先后

[@yiwei-cheng]

你說的沒錯，這影片講的是錯的

[@CK2273-CN]

这集妈咪说其实就是探讨了概率空间的数学定义，严格地说，“样本数量无穷多就构不成概率空间”这个说法不准确，确切的说法应该是定义在概率空间上的所有事件是可测的并构成一个sigma域。

[@HanLi1984]

单眼皮双眼皮最反直觉了 知道男孩是双眼皮，另一个娃概率变3/5 而知道男孩是单眼皮，应该也变3/5吧！结果就是 那个男孩一定是单双之一，但知道和不知道却决定了另外一个娃的概率 （这个貌似在其他期也讲过了 相关和不相关实验）

[@alicewuclerk]

老大是男孩 且老大的是雙眼皮 求兩個孩子都是男孩的機率？ 應該是1/2 . 老大是男孩 且有一個男孩是雙眼皮 求兩個孩子都是男孩的機率？ 這樣才是3/5

[@tankokping1867]

大一点的男孩是双眼皮，那两个都是男孩的概率应该是 2/4=1/2 （男男-双单，男男-双双，男女-双单，男女-双双）。3/5是大一点的是男孩，且至少一个男孩是双眼皮，两个都是男孩的概率 （包括男男-单双）。

[@dingsf6luddite388]

确实。实际上关键在于附加信息对“男女”“女男”的限制比对“男男”的限制更大，因为对前者，要求了唯一的那个男孩得双眼皮/生在星期二；而对后者，因为有两个男孩，一个不满足条件，另一个也有一定的概率可以满足条件。

[@jj6741]

有些不严谨的地方，两个孩子单/双眼皮是独立事件吗？另外，那个孩子喜欢数字1，从而概率升高，感觉可以从information gain / entropy reduction 借鉴些理解。数字无限，但你确定了孩子喜欢1，这个过程就有info gain。

[@What_Other_Hobbies]

是故意把视频减成11:11长吗？

[@yuxunguo9519]

最后举的例子不太恰当，已知邻居家有两个孩子，当我看到邻居家有一个男孩时，另一个也是男孩的概率就是1/2。当然这里假设我们看到一个人的时候总是能对一个人做出全面的观察以跟其他人区分。只有当你假设邻居家的两个孩子无论男女都不能从外表上区分时，答案才是1/3，但这个假设很反直觉，因为外貌其实包含了足够多的信息。 一个更恰当的例子是，我跟我的室友都知道邻居家有两个孩子，他看到了邻居家有一个男孩，并告诉了我，但没有告诉我其他任何关于这个男孩的信息，这个时候对我，邻居家的两个孩子都是男孩的概率是1/3，而对他是1/2。 这个现象用物理的语言来说，是经典测量总是会将全同的粒子区分。我看到一个男孩其实是对这个“双孩”系统的一次经典测量--它不仅告诉我有一个男孩，还区分了两者；而我听说有一个男孩可以看作一种“量子测量”--它告诉我有一个男孩，但两个孩子仍然是不可区分的。 最后解释这个不是悖论的悖论，为什么当我看到这个男孩是双眼皮的时候，另一个孩子也是男孩的概率会提高？首先，如果我真的看到了这个男孩，那么这个结论是错的--如果我看到了这个男孩，那就默认我能区分两人，那么另一个孩子也是男孩的概率是1/2，无论这个男孩是不是双眼皮，因为一次经典测量已经提供了足够多的信息来区分这两者。只有当我不能区分两个人的时候，这个时候如果有人说，那个男孩还是双眼皮，那么这个双眼皮就可以帮助我区分两人，所以概率就从1/3变成了3/7。因为双眼皮不总能帮助区分两人（毕竟两个人可能都是双眼皮），所以答案3/7仍然小于1/2。这个信息越有用，答案就越接近1/2，越没用，答案就越接近1/3。这也是为什么如果这个男孩喜欢数字1，他概率就会变成1/2，因为喜欢数字1这个特点具有太多信息了--如果喜好是随机的话，另一个男孩也碰巧喜欢数字1的概率为0。 与上面的例子相对应的，如果我知道邻居家有两个孩子，其中至少一个男孩，且至少一个孩子是双眼皮，这时，两个孩子都是男孩的概率还是1/3，因为至少一个孩子是双眼皮这个条件虽然提供了额外的信息，但这个信息不能用来区分两个孩子，所以我们仍然处在最大的未知中（对应概率答案还是1/3，可以用枚举法验证）。

[@AcrossThePacific.]

大神级解释！多谢🙏

[@davidhe2426]

简单清楚，容易理解，有意思

[@dhys3904]

其中一个孩子是男孩，两个孩子都是男孩的概率是三分之一，隐含了一个前提条件，这个前提条件是这两个孩子是不可分辨的。如果这两个孩子是完全可区分的，说其中一个是男孩，跟另一个孩子自然没有关系，另一个孩子也是男孩的概率就是二分之一。之所以出现概率介于三分之一和二分之一之间这种情况，是因在有限条件下，已知条件的这个孩子与另一个孩子之间的对称性被部分打破了，已知孩子的条件给出的越多这种对称性打破的就越多，两个孩子就愈加可区分，所以条件趋向于二分之一。我本科是学物理的，我是借鉴了量子力学里对称性问题的思路，跟大家讨论下

[@yintama99]

邻家赌场开张啦！妈咪说去试手气。 邻居抛了两枚硬币，向你展示其中一枚是正面朝上。赌另一枚也是正面的请下注！（妈咪说：1/3. 不合适...） 邻居又抛了两枚大小不同的硬币，向你展示其中一枚大的是正面朝上。赌另一枚也是正面的请下注！（妈咪说：1/2. 再等等...） 邻居又抛了两枚大小不同且材质可为铜或银的硬币，向你展示其中一枚大的铜币是正面朝上。赌另一枚是正面的请下注！(妈咪说：3/5！就他了！）

[@xyaries]

我的理解，这个悖论源自于题干的问题，up主说的那些概率结果，是在出题者对2个孩子已知而做题者对2个孩子未知的情况下的正确结果。这种答题形式是不可能出现的，所以才会让人感受到悖论。当你说出2个孩子，至少一个是男孩的时候，“两个孩子都是男孩的概率”此问题已经失去意义，他已经退化成“第二个孩子是男孩的概率“。总结一下，这个悖论的原因就是，忽略了已知条件对结果的影响，明明已经知道了有一个男孩，却假装自己不知道，还在用4种情况的表格当样本，自然会产生悖论，已知的事情不能视而不见。

[@蔡秉諺-f5g]

關於有一個喜歡藍色的男孩，另一個孩子也是男孩的機率趨近1/2這件事， 我有一個說法可以讓媽咪叔信服。 假設喜歡藍色是一個基於接近無限樣本空間的概率事件， 那麼就表示喜歡藍色是一個極小概率事件， 差不多就像那個男孩有六根手指那樣稀有，當然前提不是家族基因變異，這叫多指症。 那麼，假如你確定有個孩子是六根手指，而這個特徵可以說幾乎不可能也出現在另一個孩子上， 也就是說，這個特徵變成有強烈的指標性，就像大的孩子的敘述， 則這個敘述就把兩個孩子分開了，另一個孩子的性別自然就是獨立機率，也就是1/2是男孩子。 顯然，假設喜歡藍色與六根手指一樣稀有，那麼這套想法自然也就可以套用在有喜還藍色的男孩子的狀況， 就像發現粉紅色的大象，可以增加亨佩爾確定烏鴉是黑色的機率一樣。 話說提到機率悖論，最著名的應該是生日悖論了，媽咪叔要不要講一下。

[@GuWenjin]

至少有一个男孩的概率是3/4，相当于邻居只想让你看到男孩， 不同于你碰巧看到邻居有一个男孩（概率是1/2）。邻居告诉你是星期二（100%，总有个生日 ），不同于碰巧是星期二（1/7）。1）邻居只想让你看到男孩，两个男孩概率是1/3，邻居告诉你是星期二, 两个男孩概率还是1/3。 2）你碰巧看到邻居有一个男孩，两个男孩概率是1/2，男孩碰巧是星期二，两个男孩概率还是1/2。

[@ken123-k3y]

我觉得是7:05开始的那个场景的概率应该1/2。因为“看到领着一个男孩”不等同于“至少一个男孩”的表述。 可以这样理解：AB两个孩子的性别分别有①男男，②女女，③男女，④女男4种可能性，而你看到一个孩子则有8种情况，分别为看到①A，①B，②A，②B，③A，...等等 而看到一个男孩，则意味着你看到的或者是①A，或是①B，或是③A，或是④B，而所有的情况都是概率相等的，算下来另一个孩子是女孩的概率是1/2

[@李玉亮-n9j]

晕了，顶上去。咋个就不等价了？？

[@kenansi1624]

感觉无限样本空间的情况下概率是1/2其实也挺合理的。比如在无穷多的自然数中喜欢某一个具体的数这一特点almost surely确定了其中一个男孩，就好像说年龄大一点的那个也确定了一个男孩一样。

[@twang5446]

我觉得最悖论的一点是孩子要么单眼皮要么双眼皮，这二者的概率假设是相同的话，那么告诉你孩子是单眼皮还是双眼皮对概率造成的影响应该是一样的。 那么回到看见邻居带个男孩出门的情况，听见一声婴儿哭，那么两个男孩的概率就是1/2。 这时候仔细观察眼前的小孩，发现是双眼皮，那么概率变成3/5，相反的如果是单眼皮，概率也会变成3/5。 那么如果我不看，而是在脑中想象以上情景，无论小孩是单还是双眼皮，概率都是3/5。 于是乎我一个念头就把概率从1/2变成了3/5？同理我还可以想象其他有3种、4种情况的其他特征，那么得出的概率都不一样，所以概率就变成了我的思维可以随意改变的东西？ 请教一下这个怎么解释。。。

[@user-usefuless]

4:16 我是这么理解，因为被取样的是双眼皮男孩，而不是单眼皮男孩才会是3/7，然后反过来一样。 但是在置顶评论里看到概率是二分之一。后来我就想到了，首先为什么上面的概率会算到3/7，因为题目中说他是双眼皮男孩，所以排除了他是单眼皮的可能，但其实从0开始，生出第一个双眼皮男孩也只是50%，第二个也当然是50%。

[@ke3470eli]

至少有一个男孩出生在2021年5月4日21点06分37秒，有两个男孩的概率是？

[@farishtan9889]

突然觉得这个问题可解了，问一条船上有70头牛，35只羊，请问船长几岁？

[@王凱玄-w5x]

若大一點的是雙眼皮的男孩，則兩個孩子都是男孩概率為1/2。 若大一點的是男孩，且兩個孩子中有一個雙眼皮的男孩，則兩個孩子都是男孩的概率為3/5 (以我對影片中論述的理解，答案應是1/2)

[@AstroCtrl]

大一點的是男孩，且這個男孩是雙眼皮，1/2；大一點的是男孩，且兩個孩子中至少有一個雙眼皮的男孩，3/5。

[@yangerlang9040]

我的理解，不知道是否合理：增加附加条件实际上是在精确一个描述，如我们班级的胖子，那可能有10人，但如果说我们班的坐在第一排的姓张的胖子，那可能就只有1人。不知道这么解释时候会让概率问题更清楚？

[@韩成林-z4c]

我觉得这个问题和三门问题可以用同样的方式理解。关于三门问题的理解我在上一个视频的评论里已经解释过了。现在看这个男孩问题。为了方便和三门问题进行类比，我把男孩问题先转换成硬币问题。已知主持人连续抛了两枚硬币在左右手，主持人看了以后说至少有一枚是正面。到这里由于主持人没有说硬币和左右手是什么关系，所以等价于第一个男孩问题。主持人接着说，如果两枚硬币都是正面，就奖励你一辆车，如果一正一反就奖励你一只羊。此时，样本空间为三个情况，左手正右手反，左手反右手正，左右手都为正。这就相当于三门问题的样本空间，也就是三分之一的概率得到车，三分之二的概率得到羊。你得到车的概率此时就是三分之一。相当于在三门问题里你做了第一次选择，而主持人没有帮助你提高基础的三分之一的概率。接下来，主持人展示一枚正面硬币（哪只手不重要，这里假设展示了左手的硬币），此时相当于在三门问题中主持人打开了一扇有羊的门。如同三门问题，主持人展示一个结果有两种情况。一种是主持人在两个相同的结果中随机展示一个，另一种是主持人在两个不同的结果中有选择的展示那个可以使游戏继续的结果。主持人在两个相同结果中随机展示的概率是三分之一，而主持人有选择的展示的概率是三分之二。当主持人展示了左手正面硬币后，此时问题等价于第二个男孩问题，也就是你知道了至少一个是男孩且那个男孩是较大的一个。那么，为什么当主持人展示左手为正面硬币后，右手为正的概率为二分之一呢？下面是关键，用三门问题同样的方式去理解。我在上一个三门问题中的评论指出，可以用主持人贡献的概率值乘以主持人贡献此概率值的概率得到主持人实际贡献的概率（这句话有点绕，请仔细体会），得到主持人贡献的实际概率就可以用简单的概率相加得到我们自己的概率。这是让问题符合直觉的关键所在。下面我们用这种方式来计算概率。第一种情况，左右手都为正面。此时主持人的展示动作是随机的，也就是说主持人没有帮助我们提高概率，主持人贡献概率值为0。第二种情况，左手为正，右手为反。此时主持人只能展示左手以使游戏继续。此时主持人帮助我们排除了左手为反的情况。将三个样本空间减少至两个，主持人的贡献概率值为二分之一减三分之一，也就是主持人贡献了六分之一的得到车的概率。第一种情况主持人贡献概率值为0，第二种情况主持人贡献概率值为六分之一，所以主持人总体贡献的概率值为六分之一。在主持人没有任何展示的情况下我们获得车的基础概率使三分之一，加上主持人展示一枚正面硬币后提升的概率六分之一，我们获得车的概率就变为三分之一加六分之一，也就使二分之一。

[@akaiwon6594]

這個東西可以用來操作民調之類的調查結果吧，只要改動一些看似無關緊要的參數，母體的分佈變了，機率也就變了，從中找出自己想要的那個機率，就可以配合參數來捏造數據了，一般人頂多去查數據能不能對得上，根本不會察覺到是過程中有問題

[@clementteo4st112]

"大一点的是男孩，另一个也是男孩的机率是二分之一“ 和 "大一点的是男孩且这个男孩是双眼皮(单眼皮)，另一个也是男孩的机率是五分之三" 这两句话不是矛盾的吗？因为大一点的男孩不是单眼皮就是双眼皮，难道另一个也是男孩的机率同时是二分之一和五分之三？

[@smartfish2025]

勘误： 1、已知一个是男孩，另一个是男孩的概率，就是简单的"条件概率"。1/4除以1/2=1/2 2、"空间叠加"这个说法也是有问题的，在概率学中正确的理解是：多维随机分布。 3、"概率空间不可能无限"也是错误的，你说举例的只是离散型随机变量的概率，样本空间的正确定义是：所有可能结果的集合。而连续型随机变量的所有结果是无穷的，比如 x>1。

[@sugoplay]

理解这个问题比较好的方式是从2n-1/4n-1的代数意义上去思考，和我女儿想了一下午搞明白了。 样本空间需要可测，同意。不过为了解决极值问题也许可以把这句话改为样本空间可描述或者说可理解，这样的话“1”的结果依然是极限1/2。

[@Lyieric]

其實這很像是量子力學的幾個希爾伯特空間互相張量積的形式，每給一個條件就是完成一次測量，狀態就塌縮到其中一個特徵態。無限種可能的空間也可以張量積，就像位置和動量一樣是連續變數，但我們要有方法可以歸一化，也就是找出機率密度函數，就像是做一個調查找出全世界人們最喜歡哪個數字的分布圖。但是這沒辦法解決喜歡1的機率是0的問題，量子力學給出的解套是不能讓位置無限精確，也許把調查限定在整數讓他不是連續變數是一個方法。

[@neilchen6503]

样本空间必须可测这个说法我觉得有待探讨，不知道妈咪叔说的是实分析中可测集的意思还是说必须是有限集合（我认为这两点都不必要） 附加信息对于概率的影响，本质上其实是取决于另一个孩子恰好也满足这个附加信息的概率。 当这个概率为0时，另一个孩子是男孩的概率就是1/2（就像附加条件【大一点的孩子】，另一个孩子恰好也满足是【大一点的孩子】这个概率为零。为零的原因貌似不言自明，其实是因为时间是连续的，类似于在0到1的实轴上随机选取两个实数他们相等的概率是0一样） 当这个概率为1时，另一个孩子是男孩的概率就是1/3（譬如什么附加条件都不给，自然就肯定满足） 附加条件给的越精确，描述对象特指其中某个男孩的可能性就越大，泛指其中任一男孩的可能性就越小，想通这一点的话就不会觉得这是悖论了

[@accumall3027]

为啥B站停更了啊？

[@bankaa9293]

6:57 雖然我明白你要說什麼，但是你給的概率全錯了。 當你看見鄰居領一個男孩出門，你就確認眼前的是男孩，屋裏的孩子1/2是男、1/2是女。這情況有別於「至少一個是男孩」。 同樣道理，眼前的是雙眼皮男孩，屋裏的孩子還是1/2是男、1/2是女。這情況有別於「至少一個是雙眼皮男孩」。

[@liyisu]

对，说白了就是你加入一个无限样本的条件，就相当于什么都没加。每一个条件等于增加一部分选择（反直觉的地方就这吧，应该）。增加的条件不是限制上一个条件的，而是拓宽上一个条件的，所以才会从1/3向1/2靠拢。如果增加一个无限样本条件，等于把这一条件的选择无限拓宽，所以就等于啥都没增加。

[@junruan5447]

就是区分排列和组合的问题：排列的话先a后b和先b后a是两种情况；组合的话ab和ba属于一种情况。首先确定这个问题的概率空间的“情况池”该用排列的方式还是组合的方式。

[@weijiashi8534]

可测空间并不要求样本数量是有限多个 en.wikipedia.org/wiki/Measure_(mathematics)

[@mileszhou]

但可数无限样本空间上的均匀测度是不能成为概率的（不可归一化）。

[@albertabrahamclark1901]

星期二出生這個有疑問，因爲加入了時間因素。時間上有排斥問題，是否雙胞胎，如果不是，中間至少十個月要減去，一年是52週多幾天，概率是否有影響？

[@紫衣-j3b]

这次你的解释不对。已知和未知就不是等价的，已知有“双男”的情况下，你3:55的表格就不是平权的。所以不管是1/3，还是3/7都是不正确的。

[@ericdu9550]

叠加的概率空间 并没有对原本的概率空间构成完全约束，逻辑顺序对调不影响逻辑但改变了结果。这样算得的概率没有通常逻辑下的叠加关系。

[@zhangmike4852]

这个相当精彩； 最后出现奇点不算太奇怪。 n越大， 表示信息越宽松，越容易出现，这样大致跟直觉有所对应吧。

[@huixingliu2090]

信息越多事情就越确定===概率增大？关于喜欢数字1第一是喜欢的数字不一定等概率分布而且也需要约定样本空间？

[@wangzhe1841]

我试一下回答。他的信息越多是相对的情况下，类似题目的比较。视频中是指看到一个男孩是比至少一个男孩的信息大。所以越确定，概率增大。

[@chemymail620]

可以說一下中國用算盤算原子彈的分配方法嗎

[@user-user-user-user-user-888]

我覺得關鍵在於很多人習慣把機率平分到各種事件中 但說穿了 這些事件看似能因等價變因而當成相同機率 卻因為有未知或未解釋條件而無法當成相同機率 例如 喜歡數字1的人數與喜歡數字2的人數 看似只變了同為數字的變因 但你根本不能說 喜歡數字1的人一定和喜歡數字2的人一樣多 更何況實際情況甚至非常可能不一樣多 所以這些問題歸根究柢就是"機率根本就是一項毫無意義的科學" 研究半天兩個都是男孩的機率 不如直接看一眼 就算兩個都是男孩的機率是99.99% 你看一眼後發現不是 你也只能說 "喔 這個情況就是那個0.01%" 這一句毫無卵用的馬後炮而已

[@leizhang203]

请问：如果有个人姓别是女性，那她妈妈就肯定也是女性，那再往回推一万代... ，她们所有的女性就没生过男孩，这个概率是怎么来的？

[@xiaochuansun7691]

文盲吗

[@charles88]

男孩悖論真複雜

[@loloool]

性別的問題如果要政治正確的話應該要加上"是男也是女"和"非男也非女"，如果性別有四種情況的話，那結果是否相同?

[@poweryinghe6302]

7：07这个例子很有意思。我已经看到了这个男孩了，另一个没看到，这不就是对孩子做出了区分？相当于之前所说的“大一点的孩子是男孩”所做的区分是一样的。 所以当我看到一个孩子是男孩，另一个也是男孩的概率就是1/2。这突然又符合直觉了，看见孩子这一信息，直接将概率从1/3上升到1/2。好有趣😃。 “看见”这一信息只是一个信息吗？我觉得是趋于无穷，比如你看到这个孩子是双眼皮、黑头发、......n→∞代入式子（2n-1）/（4n-1）=1/2😂😂😂

[@mileszhou]

有一个孩子喜欢数字1，需要对被喜欢的数字构成一个先念的概率分布，例如p(like i, i natural number)=2^-i，就可以合理解释了，其实，也就是对一个空间赋予了测度（当然就可测了）。其实是个先念概率和后念概率问题。套用那个公式p可能=(2*(2^1)-1)/(4*(2^1)-1)。

[@mileszhou]

视频中试图对所有整数赋予相同的数作为概率，所以不可测了。（其实不是不可测，而是无限测度，于是不是概率，也不可诡异化）

[@mileszhou]

当然，孩子如果喜欢一个非常大的数字，那么在所论先念概率分布下，那个概率就很接近1/2了。

[@user-xs4ky7rw5f]

古典概型对样本空间的唯一的数量规定是可列集。

[@ivanho5371]

當你聽到隔壁有男孩聲，兩個孩子都是男的概率為1/3。當你看到一個是男孩，另外一個孩子都是男的概率為1/2。

[@ken123-k3y]

我也觉得是7:05开始的那个场景的概率应该1/2。因为“看到领着一个男孩”不等同于“至少一个男孩”的表述。 可以这样理解：AB两个孩子的性别分别有①男男，②女女，③男女，④女男4种可能性，而你看到一个孩子的情况则有8种情况，分别为看到①A，①B，②A，②B，③A，...等等 而看到一个男孩，则意味着你看到的或者是①A，或是①B，或是③A，或是④B，而所有的情况都是概率相等的，算下来另一个孩子是女孩的概率是1/2

[@ivanho5371]

@@ken123-k3y 贊成。另外，之後補充的資料，例如出生日期等，都是已知一方的資料，不是「其中」一方的資料。

[@百合仙子]

@@ken123-k3y 不，看到一个男孩，并不意味着你能将其区分于另一个男孩（你得看得足够仔细并记住足够多的特征）。你记得的特征越多，也就意味着你对这个男孩越确定，所以其独立性也就越高。

[@ZHC1429]

概率的樣本空間要可測這句話是對的，但我們只要不要求各個可能性的概率一樣，就不會出現因為不可測所以爛掉的問題 而喜歡數字??的概率應該是可以進行一個機率函數的approximation，得出一個好的機率空間 應該不會出現媽咪說所提的那種奇怪的現象

[@董修華]

6:30 3/5是怎麼算的?

[@李玉亮-n9j]

顶上去，我也没算着

[@yuanwu7368]

@@李玉亮-n9j 1/2

[@bindong6179]

这集主要说的是概率的频率解释和主管置信度解释的区别吧。这种悖论的感觉可能主要来源于大家对概率的频率解释有一种直观的（或经过教育）感受，而对贝叶斯概率的置信度解释缺少主观体验。

[@lilalilameme9211]

这个悖论在于问题的描述是否一致

[@spacefreedom]

想了半天，终于理解了不反直觉。 “两个孩子至少一个男” 全是男孩概率 1/3 “两个孩子至少一个男，且是大孩” 全男概率 1/2 “两个孩子至少一个男，且是星期二出生” ，当给出的信息越多越具体，也就越接近互斥事件，相当于越接近“且是大孩”，概率也就越接近1/2。 给的信息足够多和具体，也就相当于问，两娃至少一男且此男是妈咪书，求两娃全是男孩概率，答案 1/2

[@youxingz]

我们接收到的信息改变的是我们主观的概率分布。比如等公交车这个事件服从正态分布，但我们如果用了有公交车GPS信息的APP，就会发现分布变成了01分布。这个和视频的内容本质是一个意思。

[@aliceqiu4966]

视频7分钟处举的例子：已知邻居有两个小孩，且遇到第一个孩子为男孩，推断另一个小孩为男孩的概率为1/3。 这里的推论的错误的，另一个小孩为男孩的概率应该为1/2。这例子中的模型，和前面的例子（已知两个小孩，其中至少一个为男孩）是不一样的。 “遇到第一个孩子为男孩”不等于“其中至少一个为男孩”。“其中至少一个为男孩”包括“遇到第一个孩子为女孩，第二个孩子为男孩”的情况。 在概率学中“遇到第一个孩子为男孩”和“哥哥是男孩”模型是相同的。

[@韩成林-z4c]

不是吧。你不遇到第一个小孩，难道还能遇到第二个小孩？遇到的小孩只能是第一个，所以不构成样本空间。

[@ZHC1429]

@Alice Qiu 應該是對的 假設先被看到的可能性也是1/2 且獨立於男女 那我們就可以把樣本空間寫出來了

[@南結弦]

条件不排序是1/3但是条件排序了的话就是1/2了

[@psthxsn]

N无穷大时，无限接近1/2，再叠加，又会返回1/3,那是不是说明这个公式是条件公式。

[@黑夜里的网子]

这个如果从实证的角度算一下不知道是怎么样的，比如说随机生成若干样本，每个样本赋予一些莫名其妙的属性，然后随机配组，设定一个属性的条件，抓出一组来猜，看看最后的概率是多少。

[@黑夜里的网子]

无限大肯定太大了，就让这些样本附加一个1-1M的随机数，这个数是取样空间是可数的，也挺大的，我就不信这种实证出来的数会从1/2差到1/3。

[@程可夫-b4g]

这个问题的关键，是这个额外信息的来源是什么。 如果这个信息的来源的过程是，你先获得一对子女中其中一人为男，然后再在这个男孩身上找特征，比如双眼皮。 那这个信息就无任何价值，不会改变是否为两个男孩的比例。 那我们怎么看待这个会影响概率的信息？ 那就是设定条件。 现在我设定条件，找到所有双孩家庭中，至少有一个是双眼皮男孩，（假设双眼皮概率为0.5）求这些家庭中，孩子都是男孩的比例。 那两个男孩符合此条件的概率为0.75，而一个男孩家庭符合概率为0.5，再加上一个男孩的家庭数量比双男孩的家庭数量要乘以2。 所以最终，符合设定条件的双男孩家庭比例就为0.75/（0.75+0.5×2）。刚好微为3/7。 我们可以这样理解，有两个男孩的家庭，男孩至少符合一个要求的概率，比只有一个男孩去符合要求的概率提升了。 如果我们把条件设置苛刻，只有0.1的概率，那双男孩家庭的比例可以算出为0.19/（0.19+0.1×2）约等于0.487，概率上升了。 至于你设置非常小的概率条件，可以让双男孩家庭的概率无限接近0.5。 这里我们可以看出，这个非常小概率的条件，并不是无意义的，而是我们人为设定的一个非常严谨的条件。不要想当然就把它瘫缩掉。

[@ryanzhao666]

老大是男且老大上半年生（对应你的双眼皮），这个双男的概率还是1/2吧？你说的3/5，我感觉是老大是男，且至少有一男是上半年生，才是3/5。欢迎纠正。

[@东躲西藏]

个人认为，这是个组合问题，不是排列问题，女男跟男女，都是一男一女，是一个选项。把男孩女孩换成白球黑球，是一回事。具体到这个问题，是问题界定不清，可以有不同的理解。

[@yi-chaingordonzhan9875]

當你的小孩處於薛丁格貓態的時候 量子小孩就出來了

[@zmxxx6550]

第二个条件是为了区分两者吧 举个例子，假如说，至少有一个是男孩，且他是美国总统，那么两个都是男孩的概率 就可以看作，先生了一个美国总统，另一个也是男孩的概率

[@wuhaochina]

3/5 那个概率应该不对吧

[@yixinzhou-st3uq]

感觉这个悖论也是滥用了无差别原则导致的。多个前提都用无差别原则，那么前提和前提之间就特别容易隐含着矛盾。

[@scienceresearch1923]

這讓我想到生物學的遺傳裡面的公式，碗豆的遺傳有大種子和小種子，粗皮和光滑皮，遺傳到雄株豆子粗糙大種子的概率問題，多種情況的生物變數是複雜的遺傳學問題

[@tongsengtan5652]

😔我有五个孩子，四个是男孩，剩下一个是男孩的机录是多少？

[@Midimist]

不太明白为什么要把同时符合两种条件的两个选项算成一个（就是公式为什么要上下都减一） 因为出现每个选项的概率应该跟其他任何选项都一样啊 尽管这两个选项是一样的 也不能相互抵消吧

[@田中-p6n]

其实不反直觉啊。条件越多，从总空间中分割出去的样本空间就越小，而符合条件的样本个数不变，所以概率就变大了。 至少我直觉上是这样的。

[@atussentinel]

视频中提到的“{1} 这个集合不可测”是因为不满足可数可加性。不知非标准测度论是否可以严格处理这个问题。 无穷大时情况也算作是一种广义的不连续性，这种不连续性是由公理的适用范围导致的。这类例子在数学中到处都是。

[@bankaa9293]

第一題我就覺得有問題了： 第一個是男的機會是1/2；第二個是男的機會是1/2；所以男男的機會是1/4 第一個是男的機會是1/2；第二個是女的機會是1/2；所以男女的機會是1/4 第一個是女的機會是1/2；第二個必定是男；所以女男的機會是1/2

[@bankaa9293]

雖然同是三個可能組合，但組合的概率不同。不用這個方法計算，解釋不了為什麼「直覺的½機會」算錯

[@ZHC1429]

第一個是男的機會是1/2 和 已知有人是男的情況下第一個是男的機會是1/2 是兩件事情

[@kinana4288]

我觉的二男孩悖论其实是一个陷阱，如果两个银币，其中一个正面，问另外一个正面概率多少？当然是1/2,但是二男孩却是1/3，仔细一看，男孩分为哥弟，二者不同，仅有的一个女孩还能同时以姐妹的身份出现，陷入了混乱的排列组合计算，竟然得出是1/3

[@yiwei-cheng]

你說的正確，這影片根本講錯了

[@edchang]

列舉到無限多的條件，就像上面某個網友說的一樣，並不會變回 1/3 而是真的趨近 1/2，因為就相當於指定了某個孩子是男孩（而非是任意孩子的其中一個），最後的結論不正確喔！ 我們可以這麼想： 已知有一個男孩喜歡 1 這個數字。 樣本空間有： 男 1 / 男 0 男 1 / 男 1 男 0 / 男 1 男 1 / 女 0 男 1 / 女 1 女 1 / 男 1 女 0 / 男 1 以單雙眼皮這種 50% 機率來看是 3/7 沒有錯， 但看一下喜歡數字的機率， 不特別喜歡 1 的人數非常多的情況下， （男 1 / 男 1）與（男 1 / 女 1）、（女 1 / 男 1）這兩組會趨近於 0 最後其實就是在比較 男 1 / 男 0 男 0 / 男 1 男 1 / 女 0 女 0 / 男 1 這兩組，因為喜歡 1 的人太特殊了，以致於他發生在兩男同時都喜歡，或者女孩也喜歡的情況降低到可忽略的程度， 那結論就是 1/2 了。

[@mickeyzhang1178]

这个问题的设定，以及计算概率的公式都没问题。问题在于，分母并不是所有情况的全部，只是筛选出符合条件的部分，分子也是其中的一部分。条件的数量无限大时，概率会趋近于1/2。我觉得不能算悖论。

[@albertex2634]

开篇第一个例子，人为加入了一个隐藏信息，就是所谓“第一个”和“第二个”，这个信息实际上是把这两个孩子区分开了，但实际上题面并没有这个信息，所以不存在四种情况 “一男一女”和“一女一男”是同一个情况，不能作为2个样本，所以第一个问题的答案是1/2，后面类推

[@YS-vq1tt]

能讲一讲六合彩特码的概率吗？

[@user-Yangzijianan]

那得问财神

[@nuobaba]

解释这类问题 不能只停留在一个邻居。如果想象有100个邻居，然后对他们的孩子进行统计，一切就合理了。 关于最后那一个问题，如果考虑身高取模（测量够精准），是不是就是可测且样本空间可以无限大，感觉不可测解释不了这个悖论。

[@zl3123]

P(A|B) = P(A∩B) /P(B) 两个都是男孩，且至少其中一个是星期二出生的概率 1/2 *1/2 * (1- 6/7 * 6/7) . 至少其中一个是男孩且出生在星期二的概率 1- (1-1/2 * 1/7) * (1-1/2 * 1/7) 。 相除就是 13/27

[@tobyccw]

第一條明白是三分一, 但 直覺的1/2哪裡出錯了?

[@bankaa9293]

你看看我另一個留言

[@amtoskway]

個人感覺最奇怪的點是，若將概率理解為一種對事件是否發生的預期數值，那信息量愈大，應該愈能對事件是否發生有更精確的預期(概率趨近0或1)，但從影片中樣本空間的疊加算式的推算，可知若n趨近無限，概率為1/2，想來是樣本空間其實跟已知信息還是有一定區別的，

[@kor-pl3by]

你是忘了，还有顺序问题吧。随着排序的增加，取样的空间就越大，而现实是人的取样空间不可能跟上的。也就是人的取样空间失真越大，最后就是，理论是理论，现实是现实。

[@黑人-b3c]

第一个问题没看明白，男女，和女男在这个问题上沒必要分为两种情况，还有女女那也没必要存在，因为提问时以经把这种情况否定了。

[@yiwei-cheng]

你說的是對的，第一題，這影片講的根本是錯的

[@jesdford]

這題不怎麼難理解阿..... 。 先回到 前面的一種狀況， 大一點的男孩 對應的機率是1/2，這個大一點本身具有指定性(獨特性)，也就是說 這個大一點的男孩只會有一個 不會有二個，這時候，第二個男孩是男是女，本身會變成獨立事件對應的機率也就是1/2。 那當我不只定男孩的特徵(獨特性) 問其中的至少一個男孩 會有疊加性，這個男孩可能是老大或者老二，造成養本空間改變，機率變成1/3。 回到 越多特徵這一 部分，當我指定越多特徵(信息變多)，這個男孩具有指定性(獨特性) ，就會把樣本空間限縮回去(等同於指定就是大一點男孩)，機率就會回到1/2，以上。 如有不清楚可以在留言提問，感謝你的閱讀！

[@byw8396]

Conditional probability公式：P（A∩B）/P（B），这里面B是给的条件，这不是统计学里最基础的一个公式吗？是都没有上过学么？感觉这期给我复习数学来了。

[@michaelli2646]

贝叶斯定律

[@erisiss0]

這不算問題。 無窮選項就等於指定，就像前面一個男孩年紀比較大一樣。 這說人話就是前面的男孩出生時間在OO日OO時XX秒之前，理論上有無限可能性 無限可能性裡面取其一特質＝指定了。 說起來這和無窮是一個樣的，最後我們就取了極限。這個極限值就是趨近1/2

[@TFRANKING]

把之前的勃兰特悖论实质化了🤣，听每个问题都问两个男孩都是男孩的概率。问题没问全，比如两个男孩都是星期二出生的概率，两个孩子都是双眼皮的概率。 若只问都是男孩的概率应当是50%，一个孩子确认的情况下，第二个孩子就男女之分。

[@chenchen1957]

我就纳闷了，明明就是2分之1，邻居怎么说会改变概率吗？

[@harrychang4110]

Very good.

[@thewolf4682]

因为样本空间是可测的本来就是一种样本空间a