落とし穴あり！2次方程式の解の公式の証明［今週の定理・公式No.1］

今週の定理公式シリーズは，毎週金曜日夜18:30投稿．
ヨビノリたくみさんの今週の積分，毎週月曜朝6:30の真逆です．
公式や定理の証明をおさらいしよう，証明を理解すればさらに広がった視野が持てるようになります．そのことをコンセプトにお届けしていきます！
参考：プレックス数学重要公式・定理集 理系版数学1・A・2・B・3 (河合塾シリーズ) （文系版もあります）amazonリンク
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数学の解説動画を公開している，古賀真輝と申します．プロフィールなどは，Twitterやホームページをご覧ください！チャンネル登録よろしくお願いします！
解説：古賀真輝
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[@tamashii_olympic]

最後草

[@bentondarren9521]

you all probably dont give a damn but does anyone know of a method to get back into an instagram account?? I somehow forgot the password. I appreciate any assistance you can offer me

[@瀬戸口雛-j9l]

個人的にすごく良いシリーズだと思う！ 高校数学に出てくる公式や定理の証明を理解できれば，高校数学の問題を解くのに必要な数学的考え方はほぼ身につくと思いますので！

[@user-wn4tg5bj2s]

数学好きの社会人です。教科書では省略されていた角度から説明されていて、本質的によくわかりました。

[@kantaro1966]

新シリーズ。 ヘロンの公式、53年間で一度も使ったことない。

[@johnsmith_yuki]

@@セイジ-e8q 赤チャに証明が省かれてて仕方なく倍角で証明しましたけど使いどころなさそう...(現高1)

[@森石-q2v]

証明中にa^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)が自然に現れるのが驚きですね。この因数分解の公式は、オイラーの４次方程式の解法とも関連してますね。

[@森石-q2v]

a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2ですね。打ち間違いしています。

[@johnsmith_yuki]

@入りたい人数学科に そうです！すいません言葉が少し足らなかったみたいです (;´･ω･) いちおうセイジさんへの返信なので...付け加えなきゃ誤解がですね...汗

[@peterparker2210]

ねこねこちゅーぶ。 1年で赤チャ使ってる自慢かな

[@川上幸治-k9g]

今回はとても勉強になりました。いつもの古賀さんの講義レベルは高すぎて、今の自分のレベルではついていけなかったのですが、毎週金曜日が楽しみなりました。

[@user-sn2oi2wo4d]

この企画めちゃくちゃ良いですね！こんなのを探してました！！ 世の中の大半が式の使い方・解法にばかり注目していますが，やはり基礎が1番大事だと思います！ 毎週金曜日，楽しみに待ってます！😊

[@aiueo7780]

毎週金曜日が楽しみになりそう

[@NI-us1gx]

それな！

[@guratan1439]

なんか古賀さんぽい企画で好きです

[@ためちゃん寝る]

古賀さんもアンパンマンもいつも楽しみに見ています。 公式の証明してるときの数学楽しくて好き。

[@quartersblue557]

今なら違和感感じるけど習った当時は違和感ゼロだったなぁ。

[@saeye2073]

こんなクイズを見たことがありますが、これと同じ仕掛けですね。 Q: 次は、1 = -1 の証明です。どこが間違っているでしょう？ 1: (-1)/1 = 1/(-1) 2: 両辺の平方根を取って　sqrt((-1)/1) = sqrt(1/(-1)) 3: 従って sqrt(-1)/sqrt(1) = sqrt(1)/sqrt(-1) 4: 即ち i/1 = 1/i 5: 両辺に i を掛けて i^2/1 = i/i 6: i^2 = -1, i/i = 1 より、-1 = 1

[@odashideodashi]

おもむろにとは徐ろと書きますので意味としては突然に、不意にといった意味を含んではいません おもむろにとは徐々になどゆっくりとした様を表す言葉です。 言葉の意味は時代によって移り変わるものでありニュアンスが伝わればよいので、野暮なコメントだと自覚していますが古賀さんは厳密さを意識されているようなので言及させていただきました。 今週の公式コーナー素晴らしいですね。 毎週楽しみに拝聴したいと思います。

[@hannan9209]

もう学生ではありませんが最近数学を学び直してます　こういう動画は大変助かります　素晴らしい！！

[@swordone]

9:54 割り算の場合、√内の分母に負の数があってもまずいのでは？ √{8 / (-2)} = √(-4) = 2i √8 / √(-2) = 2√2 / √2 i = 2 / i = -2i よって√{8 / (-2)} ≠ √8 / √(-2) 二次方程式の解の公式の証明には支障はありませんが…

[@cambitx]

自分もずっと同じこと思ってた！

[@か蚊]

今週の積分が理解できない文系の俺歓喜

[@pa-sg8el]

文系って複素数やるの？

[@か蚊]

やりません

[@jalmar40298]

@@か蚊 数２でやるんですがそれは…

[@ゆう-b4s8o]

肉体覇王Jalmar ゆうてかじった程度じゃん

[@nu7185]

@@jalmar40298 あれやるって言わないやろ 最初の人は平面のことを言いたかったんでしょ

[@Difmor18723hji]

絶対に直線と点の距離公式が出てくる

[@Difmor18723hji]

@@한국어의이름이라면강 ベクトルの方が好き。

[@mr.ironics9402]

原点で考えてずらす奴が図形的な方ですか？

[@mr.ironics9402]

スダマカン? その解法初めて知りました。参考になります

[@michelgame9921]

ベクトルの方が楽。 何年か前の阪大文系入試に出ましたね。

[@おぽちゅ-m3u]

宮大でもベクトルの正射影使った証明があったよ

[@dahlia_osaka_japan1128]

学校卒業して何十年も経過して、家庭教師も塾講師も経験してきたが、 教え子の中学生にこんなツッコミ入れられたら、裸足で逃げるレベルや

[@葵東堂-c2d]

これ普通にやってたら疑問になりません？

[@jalmar40298]

割り算のルートは分母分子どっちかが0以上なら分けられるって本当か？ a/b0でないといかんでしょ

[@MasakiKoga]

割り算の場合は，分母が０でないというのは前提として必要ですね． 言及はしましたが，そのように多少主張を書き直した方が親切であったと思います．

[@jalmar40298]

@@MasakiKoga 分母は正としておかないといけないのでは そうじゃないと√(-1)=√(1/(-1))=1/√(-1) よって-1=1 みたいなことになりますよ 分母分子が同符号 or 分母が正かつ分子は負　といったほうが適切か

[@MasakiKoga]

ほんとですね… 情けない。

[@jalmar40298]

@@MasakiKoga まぁ些細なことなので気にせず( ´・ω・)ﾉ というか若干しゃべってることが怪しかっただけで動画内の議論は何も間違ってないし

[@xy8066]

絶対値の方はわかったけどルートの性質の方はド忘れしてた。有り難し

[@67696E]

絶対値の下り。 どこにも書いていなかったので、助かりました。 ありがとうございます。

[@sasoribi1341]

今週の積分のリスペクトだ！

[@_081yuki8]

公式の証明を知っとくって大事

[@hidenz]

ABでは共に負は駄目ですがこの場合のようにA/Bでは大丈夫ですかね。1/i=-iなので。 また自乗のルートを外すとき一度絶対値とる流れにしないと結果は同じでも入試辺りでは減点されるのでこの考慮は必要ですね。

[@もり-e5r]

本当にすごい、こういうのを待ってました。ありがとうございます。

[@sunrisebluesky47]

残念ながら、私はこういうところで引っ掛かりまくりました。 力不足と粘りのなさで、解ったような解らないような状況でした。 高校生になり、数学の授業が逐一このような説明をして頂ける先生になり俄然面白くなった思い出があります。 そういうことだったんですね。 Masaki Koga 様 ご説明ありがとうございます。 今後ともこのようなツボの解説が、楽しみです。 良い先生に出会ったのは恵まれていました。 感謝申し上げます。

[@YUKI0722]

教科書の解の公式の証明はほんと不親切。

[@OkitaJuuzou]

高校時代にこういう人に数学を習いたかった

[@user-kamiyanf]

自分は最初にaで両辺割る派です。絶対値のところは理解していましたが、ルートの分母と分子に分けるところは厳密に理解していませんでした。

[@ナオ-c8x]

絶対値の方は知ってたけど、ルートの積は知らんかった、、！

[@岡山修-y7n]

ルートの積の落とし穴、見落してました。 Aが0以上の実数の時、「x^2=Aとなるxのうち0以上の方」が√Aの定義。 Aが複素数の時は、√A を、「絶対値が√|A| で、偏角がAの偏角の半分となる数」と解釈すれば、少しだけですが、しっくりします。 A及びBが、ともに負の実数の時は、ABの偏角は、0ではなく2πなのです。

[@jif7707]

円の接線の公式 点と直線の距離 加法定理 ヘロンの公式 プラーマグプタの公式 などたくさんの証明待ってます

[@ワッシュー]

すみません。どうしても次の部分がわからないので教えてください。 √（ＡＢ）＝√Ａ√Ｂについて、Ａ＝－１、Ｂ＝－１の時、 左辺＝√（（－１）×（－１））＝√１＝１ 右辺＝√－１×√－１＝ｉ×ｉ＝－１ 左辺≠右辺 確かにＡ＜０かつＢ＜０の時、掛け算は等号不成立となります。 √（Ａ／Ｂ）＝√Ａ／√Ｂについて、Ａ＝－１、Ｂ＝－１の時、 左辺＝√（（－１）／（－１））＝√（１／１）＝√１＝１ 右辺＝（√－１）／（√－１）＝ｉ／ｉ＝１ 左辺＝右辺＝１ このように、Ａ＜０かつＢ＜０であっても、割り算は等号が成立します。 今回、問題にしているのは割り算のケースです。 割り算が成り立つ以上、√（（ｂ＾２－４ａｃ）／（４a＾２））＝（√（ｂ＾２－４ａｃ））／（√（４a＾２））は、 そのまま、成立するんじゃないんですか？ それなのに、何故、掛け算のケースを用いたんですか？ 掛け算と割り算のケースは同じと言われてますが、上記のように結果が異なると思いますが。

[@saundersN]

よく気づかれましたね．肉体覇王Jalmarさんのコメントを探してみましょう．

[@babuokamorio]

勉強になります ありがとうございます！

[@yukiha9850]

中学の授業で証明する場合は最初に4a倍してからじゃないと厳密に示せないのか…

[@LP-po8mv]

面白かったです！

[@村井円香-k6d]

同値ってまじ大事

[@あああああ-q5b]

理系が擬人化したような人相が好き過ぎる。

[@ハイライト-v5d]

the理系男子って感じですよね。

[@professor_t]

これは最高

[@納豆-b9m]

斬新な企画

[@jif7707]

係数に虚数が含まれる場合、判別式で解の状態を判別することはできませんが、解の公式自体は成り立ちますよね？ 虚数係数で成り立たない理由が見つからない

[@とこうチャンネル]

lim(x→0)sinx/x も近いうちに来そう

[@ぽきぃーー]

ヘロンの公式の証明ってどこかの大学出してましたよね

[@あき-s1u1q]

ルートの積をn個に拡張したら負が奇数個の時は条件満たしますか？

[@MasakiKoga]

要望の定理があればぜひコメントを！！

[@atp7675]

加法定理とトレミーの定理お願いします

[@jalmar40298]

ロピタルの定理とかどうでしょうか

[@cpachannel8703]

20年前に東大で出題された加法定理の証明をお願いします🙇‍♂️

[@神田-m3l]

部分積分欲しいです！

[@ナイルの賜]

フ　ェ　ル　マ　ー　の 小定理

[@たま-z6n9k]

使い慣れたつもりでいる√の演算規則を本当に理解しているかどうかを再確認させる意味では、よい題材かと思います。しかし、複素数の範囲で考えたとしても、ある数の平方根は高々２つしかない（0の平方根は１つのみ／それ以外の場合はちょうど２つ）ことに注意すれば、 　(b^2-4ac)/(4a^2)…① の 平方根が 　±{√(b^2-4ac)}/(2a)…② であることを確かめるためには、②を２乗すれば①になることを見るだけで事足ります。その上で演算規則が問題になることは全くありません。 　「それでは、②はどうやって見つけたのか？」 と問われれば、例えば 　「a>0, D>0を仮定して既知の演算規則により②を導いておき、それが一般の場合にも当てはまることを（上記のように）確かめた」 といえば、論理的に何ら問題は生じないと思われます。■

[@MK-ty6kk]

トレミーの定理 チェバ、メネラウスの定理 円に内接する四角形の性質

[@クソ三十路ジイの筋肉記録]

おもしろい！

[@egg_tuna_egg]

面白かったぞ

[@Mれいこ-z1o]

感動するよ。良いね👍

[@uncle6942]

50年もの間に、いつの間にか忘れてた

[@oratmok4903]

キモチイーーー！！！ 一個目の落とし穴には気が付かなかった。

[@森石-q2v]

いやいや、本当は一意分解整域であることを使用してますね。たとえば、Z/12Zとか行列環での２次方程式や四元数体での２次方程式を考えてみれば分かります。解が２個より多く出てきます。無限個出たりもしますね。

[@oratmok4903]

@@森石-q2v う～ん。。不勉強なことが多いです。 どういったジャンルをどの程度学べば、森石さんの言っていることが理解できるようになりますか？？

[@森石-q2v]

@@oratmok4903 代数概論でも読んでください。

[@ミキミキ-m6d]

最後すご

[@春巻-i7g]

隅々まで理解できたかは怪しいですが、最後の導出はうわー！！ってなりました。(語彙力)

[@NI-us1gx]

ヘロンの公式の証明…… 式変形の過程が鬼👹 だったのだけ覚えてるww

[@AllgusChannel]

加法定理をお願いします！教科書にも載っていますが...

[@aiueo7780]

色んな証明方法があって面白いよね

[@naoyukiono8625]

左からのライティングがあるとホワイトボードが見やすいと思う

[@user-hn4vm5uq1m]

金曜楽しみ

[@ぴーまん吾郎]

今週の極限たまきさんにリクエストしますか。みんなで

[@田中_田中]

ちなみにA＜０かつB＜０の時は√(A)√(B)＝－√（AB）が成立してますね。

[@swordone]

思ったんだけど、 「ルートを取る」から変になるのであって、 「平方根を取る」であればこんな面倒なことはいらないのでは？

[@user-zc1cu1zj9m]

サムネ撮影風景、毎回お願いしますw

[@土佐太郎-e4m]

落とし穴から、やっと抜けたわ。 有り難うございます。

[@1412th]

極限確率お願いしたいです

[@hinagiku8312]

今週の整数問題やってほしい

[@juniorandre379]

実はこれ、開成高校入試問題なんですよね… ハッ！

[@高橋裕太の勉強チャンネル]

リーマン面を用意してあげれば√(-1)(-1)＝√(-1)√(-1)は良いのではありませんか？

[@いまひろ09]

AまたはBがマイナスの場合はルートが定義出来ないので、AまたはBが負の場合を考えることがおかしい。この解説に何の意味があるのか理解出来ませんでした。

[@ジパング-u1d]

今コメントを書いても返信が来ないかもしれませんが この動画は平方完成で証明したら複合同順とは限らないってことですか また複合同順じゃないと生じる不都合とかってありますか？

[@とろろん-n6n]

9:40頃　なぜ√(-AC)=√(AC) ×√(-1)になるのですか？循環論法のように感じるのですが…

[@MasakiKoga]

ほりえ名 負の数の根号をそう定義したからです。教科書では√の中にマイナスがあったらそれをiで置き換えると習ったと思いますが、それです。

[@user-mjiq22]

加法定理の前に点と直線の距離公式お願いします😭😭

[@あいうえお-j3h8x]

正直解説見たあとでも違和感感じないんですけど、こういう違和感に気づく力はどうしたらつきますか？？

[@おーいのみかど]

a＞0　b＜0　この場合、√a/√b＝√a/b　は成り立たなくないですか。

[@_siivaa8624]

NICE

[@ittieh22]

10:51 古賀さんはステチルだった...?!

[@ichiro198101]

負数の根号の定義はどうされているのか、気になりました。

[@アップルティー-j8n]

lim(x→0)sinx/xの循環論法にならない証明ってありますか？

[@田中_田中]

ルートの掛け算の公式の成立条件忘れてた...

[@七庸-t1y]

二次方程式の係数が複素数だと結果オーライでも途中の変形に不安がいっぱいですね

[@髙橋-c3c]

教育大で公式の証明でるのでちょくちょく見ます！

[@azuu7326]

3:33ここのときって、分母の上のルートに入ってる b二乗はルートから出て普通のbにはならないのですか？ 分かりにくくてすみません！！😭

[@ちゃーひろ-s3y]

ルートのなかに多項式の形で存在しているとき、項１つを取り出すことはできません。 積の形のときに、因数をルートの外に出すことはできます。 注:僕はただの高校生ですので、これは完璧な回答ではないと思います。

[@cpachannel8703]

以前貫太郎さんがもっちゃんに解の公式の証明を教えていました笑😅

[@数学徒-k5p]

sqrt(―C)＝sqrt(C)sqrt(―1) は認めて証明していますね

[@つくば鹿島]

多価関数の主値の問題。そもそも Sqrt(-1)=i ってのもそういう主値をとっいるにすぎない。Sqrt(-1)=-i でもいい。Sqrt の前に± をつけてしまえば、結局何やってもいい。

[@小西郷こさいごう隆盛]

負のルートの処理について数学者は上手く考えたもんですね(驚)

[@saundersN]

書き込むかどうか迷ったけれど，一応． 「多価関数の主値の問題」というコメがありますが，それはこの議論とはズレています． この議論に少しだけ平方根関数の定義が絡んでくるのはその通りだけれど，平方根関数を複素数の定義域で定義して，主値を導入してその値が一意的になるようにしても，Sqrt(ｚ)は積を保存しない．これはこの動画で議論していることと同じ． つまり，一般にSqrt(x・y)≠Sqrt(x)・Sqrt(y). 例えば，-1=e^(iπ)，Sqrt(-1)=e^(iπ/2)として確かめれば簡単にわかること． 更に割り算は-i=1/iも絡んでくるので注意． 数学では，自然数から整数，整数から有理数，有理数から…と対象範囲を拡張してきましたが，拡張後も拡張前の対象の性質は維持されるように概念を一般化するのが普通です． 例えば，実数の理論の部分系として自然数という対象を考えたとしても，自然数の理論で成り立っていた自然数の性質は実数の理論の中の自然数でもそのまま成り立つようにしておかないと不便です． 当たり前のようですが，このような数学の一般化に備わっているべき原理を「形式不易（ケイシキフエキ）の原理」といいます． その原理から考えれば，実数の範囲で定義した平方根関数の性質が，複素数の範囲で定義した平方根関数において定義域を実数に制限したときに失われてしまうなどということはありません．

[@てち-k2y]

最後のサムネ撮影めっちゃ笑った

[@てち-k2y]

毎週の楽しみができました。

[@MasakiKoga]

もはやこれも毎週恒例にするべきか…

[@ねこやま-d9j]

いやぁ数学って面白いなぁ😂

[@kjn2142]

√(-C)=√C･iはいいんですかね、、

[@はまのです]

なんで4a2乗じゃなくて、4aなんですか？

[@noncha19]

クレヨンしんちゃんの代わりに見てます！！

[@johnsmith_yuki]

え...なにこの人おもろいww(初見)

[@johnsmith_yuki]

授業がねww

[@hiroya1192]

そういえば二次方程式の解をaを限りなく0に近づければ一次方程式の解になるのかな？

[@I_am_a_Vampire]

教科書に載ってた

[@ひよっこ-f2n]

√-C=√C×ｉってしてる時に今、証明すべきことを使ってませんか？

[@ishiprodiva4275]

負の実数の平方根はその絶対値倍のiに等しい はiの定義なんじゃないですか？

[@RYO-wd2cp]

それは虚数の定義

[@やきにく-q9g]

高校数学のごまかしポイントをつく鋭い疑問だと思いますよ 高校数学での虚数の定義はi=√-1とすることが多いと思いますが、そこから √-C=i√Cを証明しようとするとまさに循環論法になってしまいます。正の実数aに対しi=√(-a)/√aと定義することにすればとりあえず問題はないと思います。しかしそもそもこれがちゃんとした定義になっていないんですよね。まずaは任意の正の実数としているので、どの正の実数でも値が一致するのかというwell-definedかっていう問題がある上に、√っていう演算は今まで正の実数上で定義されていてそれを負の実数で勝手に使っていることに問題があります。負の実数での√を定義したかったら√を拡張して定義しないといけなく、そのためにiを定義したかったら負の実数上での√を定義しないといけない...っていう循環が起こってるんです。本来は複素数は実数のペアからなる集合(直積集合)とみなして、そのうえで+,-,×,÷を定義して複素数体を構成するんですね。そういって定義していくことで実はi×i=-1や√-C=i√Cは"定理"として証明できます。√の定義は多価関数がどうのこうのって問題があってちょっと面倒です。

[@jalmar40298]

@@やきにく-q9g C>0のとき√(-C)はi√Cを意味するという単なる記法の上での解釈というか略記だと思いますよ 個人的にルートの中に複素数は入れたくない、というか考えたくないですね

[@やきにく-q9g]

√の定義域はあくまで実数で中身が負の数の時はそういう略記だと定義すれば問題ないですね 定義域を複素数にすると偏角の主値とかで計算するときに面倒くさい場合わけが起こりますよね

[@anbam9630]

やべぇ、俺馬鹿すぎて最初何言ってるか分からんかった…

[@ff-3647]

5:00 [√a√b = √ab ]が必ずしも成り立たない証明

[@sjbskw]

かっこいい

[@Hal__]

最後のやつはサムネをどう撮っているかのコメントがあったからですか！w

[@MasakiKoga]

コメントいただいた時点ですでに投稿予約してたので、本当にたまたまです。

[@阿摩羅瞬息]

√(こわい)^2＝|(こわい)|ですね

[@ああ-c6j5e]

どうしてヘロンの公式以外？