名古屋市立大 基本対称式

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[@kantaro1966]

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[@k君-f2i]

サムネ見て「ん？」ってなったからきた。 めっちゃわかりやすい講義でした。 ありがとうございました。

[@kantaro1966]

ありがとうございます

[@たのたの-u2j]

2乗と3乗の積の帳尻合わせるのは自分には無理だなぁ この問題は、漸化式立てて、4分でした。 もう一つの方法なら 元の方程式に解をぶち込んで、字数下げをして計算するかな？　 やってることは漸化式を解くのとそう変わらんのよね

[@yamachanhangyo]

これは『漸化式作れば行けるんじゃね？』と思えるかどうか…という問題か。 色々な問題が絡んでいるので、苦手な人は直ぐ放り出しそうな気がします。 それにしても…『我慢して計算する』入試問題って、結構難行苦行のような。 これ解いた受験生はどれだけ居たのやら。

[@御子様昼食-i7u]

最近将棋の解説ばかり見かける気がするなぁと思ってましたが、久しぶりに面白い問題を見られましたわ

[@senhueichen3062]

I know I can do. But, when I do it during examination, I will be nervous and fail to solve it.

[@user-pi-man-suki]

Right

[@ニッキー]

なるほど、その気持ちはよくわかるぞ、実際テスト本番で力を発揮するのは難しいからね 結局何度も練習するしかないんやろな

[@senhueichen3062]

@@ニッキー So do I.

[@harukiishiguri625]

丁度昨日何年か前のこの問題の動画見ました笑 運命を感じました

[@morita..]

見たことあるなーって思ったら1年前に貫太郎さんが動画上げてた。

[@Ryo-ge9kf]

2a^2-3a+2の定数2をa^0の係数と見たら最初にA3まで求めなくても漸化式で求めやすくなりますよね

[@azumamurakami7842]

これすごく悩みました。この種類の問題はある程度自信があると思ってました。先生はさりげなく「-2になって不思議だと思うかもしれないけど、この式が虚数解を持っている・・・」と言われました。ほんとにびっくりしました。そして納得しました。そのようにつぶやいて頂いてありがとうございました。

[@the7jump]

a^3=2a^2-3a+2 b^3=2b^2-3b+2 c^3=2c^2-3c+2 ------------------------ A(3)=2A(2)-3A(1)+2*3=2*(-2)-3*2+6 =-4-6+6=-4 これでA(3)を出しました。

[@KT-tb7xm]

気づきませんでした シンプルでいいですね👏

[@wesleydeng71]

👍　実はn=0、A(0)=1+1+1=3.

[@KT-tb7xm]

@@wesleydeng71 さん なるほど 実はn=0でも成り立つ漸化式とも見なせるわけてすね👏

[@coscos3060]

@@KT-tb7xm さん　　これならいいですね😉

[@KT-tb7xm]

@@coscos3060 さん はい、まさにこれです😊

[@packpack3349]

A_0=3を使うとA_3は直接求めなくてもすみますね。

[@江戸川こなん-g2y]

直接解きにかかるのではなく、回り道をして 漸化式をたててやったほうが近道ですね。 急がば回れ。

[@masudaya1966]

解と係数の関係からでる、3次方程式を用いて次数下げを行い求めました。

[@へいほー-k3t2e]

コメント失礼します。この場合の次数下げとはどのような操作をされましたか？

[@masudaya1966]

@@へいほー-k3t2e a a^3=2a^2-3a+2なので a^4=a・a^3=2a^3-3a^2+2a =2(2a^2-3a+2)-3a^2+2a=a^2-4a+4 同じようにして ∴a^5= -2a^2+a+2 となります。これより a^5+b^5+c^5=-2(a^2+b^2+c^2)+(a+b+C)+6 ここで a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=-2 なので 代入して a^5+b^5+c^5=4+2+6=12 となりました。

[@user-rv7kc4gg3y]

おはようございます☀ 全統記述模試行って参ります

[@中村吉郎]

貴殿の健闘を、陰ながら祈っております。

[@数学好きな大学一年]

僕もいってきやーす

[@中村吉郎]

@@数学好きな大学一年 様　貴殿の健闘を祈っております。さらに数学好きになられますように。

[@数学好きな大学一年]

@@中村吉郎 はい！頑張ります！

[@KT-tb7xm]

健闘を祈ります👍

[@そーすかつどん]

昨日の動画の流れで、x^5を(x^3-2x^2+3x^2-2)で割るのかと思った。 余り(-2x^2+x+2)だから、 A(5)=-2A(2)+A(2)+6=-2(-2)+2+6=12

[@そーすかつどん]

タイプミス A(5)=-2A(2)+A(1)+6

[@受験生大学]

おはようございます。昨日、最後のオープン模試が終わりました。出来としては、数学はいつもの演習のおかげで割と取れた気がします。ただ物理は難しく、あまりできなかったので、これから演習、復習を積み上げていきたいと思います。 今日からも数学、よろしくお願いします！

[@KT-tb7xm]

お疲れさまでした😄

[@中村吉郎]

大変お疲れ様でした。

[@ああ-z3h3f]

漸化式みたいなことできるんだ

[@ironia006]

2乗と3乗に分けてやろうとしたが面倒になったので、 解と係数の関係と次数下げでやりました

[@KT-tb7xm]

ほぼ同じ解き方でしたが、4:42の因数分解の存在は知りつつも詳細を思い出せず，A[3]をどうやって求めるか少し悩みましたが 　(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 - 3a^2*b - 3a*b^2 - 3b^2*c - 3b*c^2 - 3c^2*a - 3c*a^2 - 6abc = a^3 + b^3 + c^3 - 3ab(a + b +c) - 3bc(a + b +c) - 3ca(a + b +c) + 3abc = a^3 + b^3 + c^3 - 3(a + b +c)(ab + bc +ca) + 3abc として求めました。

[@智之-u1r]

さすがです(^-^) by coscos

[@KT-tb7xm]

@@智之-u1r さん ありがとうございます😊

[@KT-tb7xm]

@@智之-u1r さん あ，でも，A[3]は三項間漸化式のまま使えば，もっと簡単に出せるみたいです😅

[@coscos3060]

@@KT-tb7xm さん　三項間漸化式ですね　　ｔｒｙしてみます

[@カテル尿道]

超有名問題ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!

[@へいほー-k3t2e]

賢いな…

[@へいほー-k3t2e]

普通にゴリ押しました。形があまりにも綺麗だったのと、a＝1と出たもので…

[@鯖味噌煮の水煮]

試験本番だったら多分普通に五乗して計算用紙パンパンにする自信あるw

[@wasabi7thv]

コメント欄にあった動画を受講してきて、２回めです(^^)d。 良い復習になりました。

[@田舎の爺さん]

a、b、cは三次方程式の解と見做して、オイラーの公式でまとめると、1+8√2COS(5θ)=12、但しCOSθ=1/√8

[@わわわわわわ-p1x]

a^3+b^3+c^3もx^3=2x^2-3x+2を足し合わせる方法でできますね

[@hiroyukimatsumoto9257]

A3の求めるのアプローチが少し違いました。 n乗をかける前に足せば出てきました。

[@へその緒食べたい]

マーク模試頑張ります

[@KT-tb7xm]

健闘を祈ります👍️

[@テテ-g3r]

a.b.cはx^3-2x^2+3x-2=0の解で (x-1)(x^2-x+2)= 0を解いて x=1,(1±√7i)/2 a=1,b=1+√7i,c=1-√7i としても一般性は失われない a^5=1^5= 1 1+√7iはx^2-x+2=0の解であるから b^2-b+2=0これを用いて b^5-b^4+2b^3=0 b^5=b^4-2b^3=(b-2)^2-2b(b-2) のように計算していくと b^5=-b+6=(11-√7i)/2 同様に c^5=-c+6=(11+√7i)/2 ∴a^5+b^5+c^5=12

[@あああ-b6m8p]

最後のb^5=-b+6を利用すれば、求める式は(-a+6)+(-b+6)+1になるので、元からあるa+b+c=2を使って-a-b出しても楽にできますね。 コメント欄見る限りでもいろんな方法があって楽しい問題です。

[@onpudding6174]

今日もわかりやすい講義、さすがです^ ^

[@いしかわだいさく]

ｘ＝１がわかるから、それで出てくる2次式で5乗のやつ割りまくって1次にして数値代入っていうのでも早そうですね

[@井上成美-m8s]

おはようござます。a^5+b^5+c^5の次数を下げて、解答。５次くらいならそれぞれの次数を下げれば計算できますが、それ以上に次数が多いと、貫太郎さんの４項間漸化式が威力を発しますね。明日もよろしくお願いします。

[@ak12456]

今ちょうど数2Bの確認をしているところです☺ たのしい☺

[@vacuumcarexpo]

他の人のコメントにもありますが、a,b,cを解に持つ3次方程式x^3－2x^2+3x－2＝0が、整数解x＝1を持つため、フツーに解けて、x＝1，(1±√7i)/2となるので、直接代入して求めても、対称式の変形を工夫してる間に出来てしまいますね。5乗くらいなら符号に気を付けながらやればすぐですし。 もっと楽をしようと思えば、虚数解の方は共役なんで、n乗してもやっぱり共役だから、虚数項はどうせ相殺して消えるので初めから計算せずに、実数項だけ出して2倍してもいいですね。 自分は、対称式で求めてから、検算がてらに、直接代入して確かめました。 n次方程式の各係数が、n個の変数の基本対称式になっていて、かつ、5次以上の方程式の解の公式が存在しないという事は、変数が5個以上の時は、基本対称式が全部出揃っていても、それらの組み合わせからでは、各値は求められないという事になりますね。 不思議ですね。

[@積分極限チャンネル]

定石を覚えていれば瞬殺ですね！

[@Mr-oe6hd]

漸化式の発想はすごいですね( ^ω^ ) 実数とは書いてないですが2乗の和が負になることに不安があるのは良く分かります

[@HachiKaduki0501]

おはようございます。 a,b,c が x^3-2x^2+3x-2=0 の３つの解になるわけですが、３次方程式に必ずある一つの実数解が１とわかるので、c=1 として、a,b の対称式を考えてもいいですね。 （勿論、係数が "いい感じ" になるこの問題限定の考え方ですけれど。）

[@hiroakinakajima]

文字2つなら5乗の和でもごり押しでいけますね。

[@HachiKaduki0501]

@@hiroakinakajima さん、返信ありがとうございます。 ５乗くらいだったら、”ごり押し” する受験生も多いでしょう。

[@KT-tb7xm]

なるほど、ここでも、ひとまずx=1を代入してみようってのがが生きるわけですね

[@HachiKaduki0501]

@@KT-tb7xm さん、おはようございます。 わかったところを手がかりに、…というのも有効な手段ですよね。

[@KT-tb7xm]

@@HachiKaduki0501 さん お見事です👏

[@mips70831]

おはようございます。 問題を解いていて、「なんか以前にも解いた記憶がある。」と思いながらも、 a²+b²+c²=−2　(例によって、なぜに2乗の和が負になる？と一瞬焦る。） a³+b³+c³=−4 を貫太郎先生と同様に求めて a⁵+b⁵+c⁵=(a²+b²+c²)(a³+b³+c³)-{(a+b+c)(a²b²+b²c²+c²a²)-abc(ab+bc+ca)} ( a²b²+b²c²+c²a² は別途計算） で求めました。 動画を観ながら、「そう言えば漸化式使って解いていたなぁ。学んだことが定着していないなぁ。」と猛省しました。 4項間漸化式を使う方法を思いつかなければ、試験場で素直に計算するのはちょっとイヤですね。 本日も勉強になりました。ありがとうございました。

[@KT-tb7xm]

私も最初は(a²+b²+c²)(a³+b³+c³)の路線を考えたんですが、計算が面倒そうなので、 早々にあきらめて、その後，少し考えてたら，解と係数の関係が思い浮かんで動画とほぼ同じになりました。 ただ、A[3]は他の方のコメントを見るに、解と係数の関係を使うことにさえ気づければ、 もっと簡単に求まるようですね。

[@mips70831]

@@KT-tb7xm さま 「基本対称式」というタイトルがつくと与えられた3式からなんとか変形ということしか考えなかった私であります。 まぁ、これはこれで式変形の練習になりますが、試験場では･･･ですね。

[@KT-tb7xm]

@@mips70831 さん 試験場ではきついでしょうね😅

[@中村吉郎]

おはようございます。今朝は、富士山と箱根連山まで綺麗に山並みが見え、清々しい気分でした。 　数学を勉強して、清々しい気分になれるように、努力を重ねます。

[@中村吉郎]

式を目的に従って、変幻自在に変形させることの重要性を、学ばせて頂きました。 　また、この問題を解く手順を、確認させて頂き深謝します。ありがとうございました。

[@とまとまと-k6r]

まず三次方程式に戻して一個求めてから漸化式で次数下げしまくる

[@とまとまと-k6r]

a^3+b^3+c^3-3abcの因数分解の導出法美しいな

[@たま-z6n9k]

過去の動画で多くの方から繰り返し指摘されているように、動画におけるAの漸化式はn=0のときにも成り立ちます。従って、A[0], A[1], A[2]　を初期値と考えるほうが計算がやや楽になります。 但しこの場合、0^0の定義は微妙。この議論を避けるために、 　「明らかにa,b,c≠0であること」 に何らかの形で言及しておく方が無難。 ~~~~~~~~~~~~~~~~ 仮定より、a,b,cは３次方程式　x^3 - 2x^2 + 3x - 2 =0　…①　の３解。任意の非負整数nに対し、 　①⇔　「x≠0　かつ　x^(n+3) = 2x^(n+2) - 3x^(n+1) + 2x^n」…② であるから、a,b,cは②の３解でもある。②の第２式に前記３値を代入して辺々加え合わせ、さらに 　P[n] = a^n + b^n + c^n（n=0, 1, 2, ...）…③ と置くことにより、 　P[n+3] = 2P[n+2] - 3P[n+1] + 2P[n]　（n=0, 1, 2, ...）…④ が従う。ところが、仮定および③により 　P[0] = 3, 　P[1] = 2, 　P[2] = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) = -2 であるから、これを初期条件として④を繰り返し用いることにより、 　P[3] = 2P[2] - 3P[1] + 2P[0]　= 　4 - 6 + 6　= -4, 　P[4] = 2P[3] - 3P[2] + 2P[1]　=　-8 + 6 + 4　= 2, 　P[5] = 2P[4] - 3P[3] + 2P[2]　=　4 + 12 - 4　= 12。 以上により、a^5 + b^5 + c^5 = 12。■

[@tmacchant]

abc≠0なのでこれからa, b, cは0でないことをいって置くと良いと思います。この条件ではnは負の整数でも構わない。 A[-1]=1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ca)/abc も良い初期値です。

[@shu_hrgschannel2910]

KKKからの漸化式かな。

[@shu_hrgschannel2910]

やっぱり。