Maßtheorie - Teil 4 - Nicht alles ist Lebesgue-messbar

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Hier erzähle ich etwas über die Maßtheorie. Hier geht es um das klassische Maßproblem, was bekanntlich nicht lösbar ist. Ich zeige einen üblichen Beweis für eine nicht Lebesgue-messbare Menge.
(Aufgabe passt zur Vorlesungen wie Mathematik für Ingenieure, Mathematik für Physiker, Mathematik für Naturwissenschaftler, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler und natürlich auch für Mathematik-Vorlesungen für Mathematiker)

[@keyyyla]

Ich finde diese eher technischen Videos grade gut, weil, wenn sie gut erklärt sind (was deine Videos sind), man nach 2-3 maligem Wiederholen den Beweis richtig versteht. Also wegen mir gerne mehr davon, deine Struktur gefällt mir! :)

[@brightsideofmaths]

Danke :) Das freut mich.

[@viktoria7497]

Fehlt nicht in der Definition von A die Eigenschaft, dass jede existierende Äquivalenzklasse auch in A vertreten wird?

[@brightsideofmaths]

Da hast du vollkommen recht! Eigenschaft (i) sollte eher lauten: Für alle Äquivalenzklassen [x] gibt es ein a \in A mit a \in [x]. Sehr aufmerksam! Danke!

[@puzu9202]

Bro.... Bro.... Du hast mir eine interessante Perspektive geschenkt. Dafür möchte ich dir danken.

[@Robert…Schrey]

Ich habe mal versucht, meinen alten Vater zu beeindrucken, indem ich ihm den Satz von Banach Tarski präsentiert habe. Da hat der gesagt: Jong, deshalb hat der Volksschullehrer damals schon gesagt, man dürfe niemals mit Unendlich rechnen, denn damit könnte man ALLES beweisen.

[@julianowezarek4989]

Woher wissen wir, dass die A_n das Intervall (0,1] überdecken?

[@brightsideofmaths]

Die Eigenschaft (i) im Video ist nicht ganz richtig. Eigenschaft (i) sollte eher lauten: Für alle Äquivalenzklassen [x] gibt es ein a \in A mit a \in [x].

[@davud4185]

Tolles Video wieder, etwas schwer zu verstehen, aber vielleicht geht es auch nicht anders.

[@brightsideofmaths]

Ja, es ist leider etwas technisch und an einer Stelle etwas ungenau. In der neueren englischen Version habe ich es besser dargestellt, glaube ich. Aber man kann Teil 5, 6, ... auch ohne Teil 4 verstehen :)

[@davud4185]

@@brightsideofmaths dann schaue ich mir das auch noch auf Englisch an, vielen Dank.

[@frankansari3457]

Ich gebe zu ich habe mir dieses Video mehrfach ansehen müssen um diesen Beweis zu verstehen.

[@brightsideofmaths]

Das kann ich durchaus verstehen. Es ist nicht ganz so einfach. Ich habe das Gefühl, dass ich bei der englischen Version noch etwas andere Erklärungen reingebracht habe. Vielleicht hilft das ja: kzbin.info/www/bejne/i6OWoJmAa5aVps0

[@frankansari3457]

@@brightsideofmaths Testen wir mal, ob ich es verstanden habe. Wenn ich die Zahlen für die Äquivalenzrelationen auswähle dann spricht im Prinzip nichts dagegen auch rationale Zahlen zu verwenden. Wenn ich das aber tue, dann darf es maximal eine rationale Zahl sein. Denn die zweite rationale Zahl, die ich auswählen würde hätte ja als Differenz zu der ersten wieder ein rationale Zahl als Ergebnis und läge dann in derselben Äquivalenzrelation. Demzufolgen muss kann ich nur eine rationale Zahl wählen und die anderen Zahlen müssen irrational sein. Oder ich muss auschließlich irrationale Zahlen auswählen.

[@HoloBoss]

Also das kann ich mir aber net vorstelllen, dass das eine typische übumgsaufgsbe ist, wie soll man denn darauf kommen so sich eine äquivalenzrelation zu definieren und dann daraus sich so die An zu definieren? Das wäre dann vom schwierigkeotsgrad ein so krasser bruch mit analysis 2....

[@HoloBoss]

Abgesehen davon kann ich mich nicht erinnern, dass in ana 1 oder 2 das auswahlaxiom dran kam

[@brightsideofmaths]

Selbstverständlich muss die Übungsaufgabe den Studenten durch die Konstruktion lotsen.

[@brightsideofmaths]

@@HoloBoss Und wann kam bei dir das Auswahlaxiom dran? :)

[@HoloBoss]

@@brightsideofmaths wir hatten in lina2 das zornsche lemma, was nach wikipedia das selbe ist qie das auswahlaxiom aber auch nur ganz kurz und nicht so super ausführlich also bisher noch gar nicht

[@HoloBoss]

Das haben wir nur kurz benutzt um zu zeigen, dass jeder vr eine basis hat wenn ich mich richtig erinnern

[@thomaslehner5605]

kzbin.info/www/bejne/opyXfYt_ib1ojdE Ich verstehe nicht, warum man zwei Forderungen hat. (2) folgt doch aus (1)? Wenn das Maß der Länge des Intervalls entspricht, dann bleibt es bei Verschiebung konstant. Weil (b+x) -(a+x) = b-a

[@brightsideofmaths]

Und wenn die Menge A kein Intervall ist?

[@thomaslehner5605]

Dann würde es unter Umständen Sinn machen ;-) Danke für die Antwort !

[@smftrsddvjiou6443]

The Bright Side Of Mathematics, kann es ein sinnvolles Maß geben, wenn a,b kein Interval ist ? zumindest im Sinne eines Volumens.

[@arisboch366]

Wann geht es weiter?

[@brightsideofmaths]

Das wird leider noch ein wenig dauern. Ich versuche das nächste Video wieder etwas weniger technisch zu machen. Dieses hier scheint nicht so gut angekommen zu sein ;)

[@adilbhatti4577]

Ist das der Satz von Vitali?

[@1qayxsw2100]

Jetzt habe ich den Beweis doch noch verstanden: Es wird ein Intervall (0,1) festgelegt. Aus dem Intervall werden alle irrationalen Zahlen ohne die rationalen Zahlen in Menge A gesteckt. Es wird ein weiteres Intervall (-1,+1) aufgemacht. Alle rationalen Zahlen in diesem Intervall werden mit natürlichen Zahlen durchgezählt rn. die rn werden zu den Mengen A hinzuaddiert. dadurch ergeben sich neue Mengen An = A + rn. Diese Mengen decken gemeinsam das Intervall (-1,+1) ab. Die Mengen A können keine gemeinsamen Elemente besitzen. Dadurch ergibt sich dann die Ungleichung das die Vereinigung der Mengen A zwischen den Intervallen (0,1) und (-1,+1) liegen. Daraus folgt, dass die Menge A, also die Anzahl aller irrationalen Zahlen im Intervall (0,1) das Maß 0 erhalten. Insofern ist dieses Mengensystem nicht messbar.

[@brightsideofmaths]

Freut mich, dass du den Beweis verstanden hast, allerdings stimmt das noch nicht alles, was du dort geschrieben hast. Die Menge A besteht nicht einfach nur aus den irrationalen Zahlen, sondern wird mit einer Auswahl aus den Äquivalenzklassen konstruiert.

[@fhhs3431]

Richtig coole videos aber ich hass es so sehr wenn man das zum verständnis bei niedrigem selbstwert sich anguckt und dann kommt "das ist einfach, das überlass ich euch" und man steht da und will nur heulen.. ansonsten cool

[@brightsideofmaths]

Danke! Da stimme ich dir vollkommen zu. Sowas hasse ich auch! Sorry dafür. Es ist allerdings nicht so gemeint, dass es einfach ist. Es ist eher so gemeint, dass es eine gute Übung ist, darüber selbst nachzudenken. Wenn es nicht klappt, wenn es Probleme gibt, ist das auch ein ganz normaler Lernprozess. In diesem Fall kannst du hier einfach nochmal nachfragen :)

[@fhhs3431]

@@brightsideofmaths ogott jetzt hab ich n schlechtes gewissen:DD hej aber danke für die antwort!!

[@brightsideofmaths]

@@fhhs3431 Haha. Nein, nein. Es gibt so viel schlechte Lehre dort draußen, auch an Schulen und an Universitäten, dass man die Makel schon hervorheben muss. Gerade in der Mathematik, wird oft ein "das ist trivial" rausgehauen, ohne das Hintergrundwissens des Lehrenden zu berücksichtigen.

[@smftrsddvjiou6443]

Es hat mich schon beim Studium erfreut, wie Mathematiker 1+0=1 so beschreiben, dass niemand mehr weiss, was gemeint ist. Was ist die Potenzmenge von R ? R und jede Teilmenge von R und jede komplentäre Menge von R, also alle nicht R ? p.s. Ich habe noch mal nachgesehen, die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen von R. dies sind nicht disjunkt und allgmein nicht in einem Intervall angeordnet. Daher kann man kein Maß (ok Maß=0) mit den Forderungen erreichen. Ungefähr so ?

[@brightsideofmaths]

Ja, ungefähr so. Ich muss leider sagen, dass diese Videoreihe weder für den mathematischen Laien noch für Mathematikstudenten des erstens Semesters gemacht ist. Die Maßtheorie kann man erst ernsthaft angehen, wenn man die Grundzüge der Mathematik (Logik, Mengenlehre, Analysis) durchgenommen hat.

[@smftrsddvjiou6443]

@@brightsideofmaths , habe vor 25 Jahren mal Physik studiert, da hatten wir in Mathe Analysis, Algebra Funktionentheorie (Laurentreihen), Hilberträume. Kaum Mengenlehre. Allerdings hat mir der praktische, intuitive Zugang immer geholfen, die abstrakten Formulierungen zu verstehen, auch abstrakt zu verstehen. Ich finde es daher immer schade, dass viel Mathematiker bei Erklärungen stur mit Formalismen arbeiten, weil nur diese korrekt sind. Oft sind die mathematischen Formulierungen am Beispiel extrem einfach und offensichtlich.

[@brightsideofmaths]

@@smftrsddvjiou6443 Ich mache auch andere Videos auf einem anderen Level. Das ist mit Absicht der technische Zugang, weil dieser eben auch mal dargestellt werden muss. Ich kann gerne auch mal einen intuitiven Kurs anbieten :)

[@smftrsddvjiou6443]

@@brightsideofmaths Ja, ich bin wohl nicht das richtige Zielpublikum für diese Videos, aber ich werde mich dennoch durch die Videoserie kämpfen.

[@brightsideofmaths]

@@smftrsddvjiou6443 Freut mich, dass du es trotzdem versuchst. Ich sage dir Bescheid, wenn ich eine anschauliche Reihe starte!

[@1qayxsw2100]

Im Beweis wird ein Intervall (0,1] = I festgelegt. Anschließend wird eine Äquivalenzklasse [x] definiert. Diese enthält alle rationalen Zahlen auf dem Intervall (0,1] Es gibt daher nur eine Äquivalenzklasse und nicht mehrere wie im Video behauptet. Wenn nun eine weitere rationale Zahl aus (0,1] nämlich r zu Elementen in [x] hinzuaddiert wird, verändert sich die Äquivalenzklasse nicht. Bzw die Klassen Am etc. sind alles leere Mengen. Daher funktioniert der Beweis nicht. Er beweißt nicht, dass es auf der Potenzmenge auf R eine Algebra gäbe, die nicht messbar ist. Sorry, aber mich hat der Beweis nicht überzeugt.

[@brightsideofmaths]

Wie kommst darauf, dass [x] alle rationale Zahlen enthält? Für den Beweis ist natürlich wichtig, den Unterschied zwischen irrationalen und rationalen Zahlen zu kennen.

[@cartmansuperstar]

@@brightsideofmaths wo ist dieser Unterschied im Beweis wichtig?