🚀🚀🚀 FASZINATION FRAKTALE | Unendliche Flächen in der Geometrie

[@magdaliebtmathe]

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[@hiker10]

Magda, du wackelst dauernd hoch und runter, mir wird schwindlig dabei 😅 (Ich hab mal in Brilliant geschaut. Das war nur für einen kurzen Zeitraum kostenlos 🤔)

[@Waldlaeufer70]

Zum grossen Kreis: Man kann sich diesen mit Radius 4 vorstellen. Da es nicht um die Flächen, sondern den Anteil geht, kann man einfach mit Quadratzahlen rechnen. Grosser Kreis: 4² = 16 Grauer Kreis: 2² = 4 Grosser oranger Ring: 16 - 4 = 12 Grauer Ring: 2² - 1² = 3 Grosser oranger und grauer Ring zusammen: 12 + 3 = 15 Anteil des grossen orangen Rings: 12/15 = 4/5 = 80% Von jedem orange-grauen Ring nimmt der orange Anteil 80% ein. Somit sind am Schluss 80% vom Kreis orange gefärbt.

[@GetMatheFit]

Sehr schön. LG Gerald

[@Nikioko]

Korrekt. Und hier merkt man dann auch, dass 4:1 und 4/5 zwei unterschiedliche Sachen sind.

[@GetMatheFit]

@@Nikioko Stimmt. Gut erkannt. Vorbildlich gelöst. LG Gerald

[@eckhardfriauf]

Brilliant!

[@ArKa_47]

Moin Meine Lösung ( nur die Erste): Die farbige Fläche der vier Beispielfiguren einzeln ausgerechnet: 1/3 + 1/15 + 1/63 .. usw. Gemerkt, der Nenner ist immer eine Zweierpotenz minus eins, also: 1/(2^2 -1) + 1/(2^4 -1) + 1/(2^6 -1) ... usw. Gesehen, dass der Exponent der 2 jeweils um 2 erhöht wird! Damit kann ich mir eine unendliche Reihe bilden: Sprich: Summe von k = 1 bis Unendlich über 1/(2^{2k} - 1) Soweit erstmal, jetzt weitergucken 😉 Edit: 1/3 ? .. Da hab ich irgendwo ein Denkfehler gemacht xD (2 uhr morgens ) Edit2: Im Nenner die 1 nicht mehr abziehen und ich käme dann auch auf 1/3 .. : Summe von k=1 bis Unendlich über (1/2)^{2k} = 1/3 MfG

[@gelbkehlchen]

Lösung bei der 1.Figur: Wenn ich in meinem Gedächtnis krame über Mathematik in meinem Gymnasium in Ahlen/Westfalen und mein logisches Denken hinzufüge, komme ich zu folgendem Ergebnis: Der Anteil der gelben Fläche ist die geometrische Reihe sn, die aus den Summanden besteht: sn = 1/4+(1/4)²+(1/4)³+……(1/4)^(n-1)+(1/4)^n mit n = natürliche Zahl und q = 0 < 1/4 < 1. Herleitung der allgemeinen Summenformel der geometrischen Reihe: (1) sn = q^1+q²+q³+… +q^(n-1)+q^n (2) q*sn = q²+q³+… +q^n+q^(n+1) (2) minus (1) ergibt (3) q*sn-sn = q^(n+1)-q ⟹ (3a) (q-1)*sn = q*q^n-q = q*(q^n-1) |/(q-1) ⟹ (3b) sn = q*(q^n-1)/(q-1) |da 0 < 1/4 < 1, sind Zähler und Nenner negativ, mit *(-1) sind sie positiv: ⟹ (3c) sn = q*(1-q^n)/(1-q) Wenn man ins Unendliche geht, muss man n ins Unendliche laufen lassen, also: s = lim(sn) = lim(q*(1-q^n)/(1-q)) = q/(1-q) n➝∞ n➝∞ In diesem Fall ist q = 1/4 und somit ist der Anteil der gelben Fläche, wenn man ins Unendliche geht: s = (1/4)/(1-1/4) = (1/4)/(3/4) = 1/3

[@Birol731]

Herzlichen Dank für diese Frage aus der unendlichen Summe 🙏 Der Anteil im Quadrat von gelb wäre: 1/3 Grau: 2/3 b) wenn man die Seite des Quadrats 1 LE nehmen würde: Fläche von dem gelben Quadrat wäre: (1/2)² = 1/4 wenn man das gleiche für das 1/4 Quadrat macht: (1/2/2)² = 1/16 dann : (1/4/2)²= 1/64 ⇒ Das Verhältnis wäre: 4⁻ˣ, für x= 1,2,3. 1/4+1/16+1/64+1/256+1/1024 + 1/4096 + ......... = 0,333..... = 1/3 wäre die Summe der unendlichen Addition ! Frage 2) Wenn der Radius von dem großen Kreis r= 1 LE ist: Die Fläche von dem großen Kreis: 1²= 1 innerer Kreis= (1/2)² = 1/4 gelber Kreis= 1-1/4 = 3/4 grauer Kreis= (1/2/2)²= (1/4)² = 1/16 grauer Ring= (1/2)²-1/16= 3/16 Gesamtfläche= 3/4+ 3/16 = 15/16 davon gelb= 3/4 % Anteil= 100*(3/4)/(15/16) = 100*12/15 = 80 %

[@eisikater1584]

Fraktale haben mich Anfang der 1990er Jahre unheimlich fasziniert, weil man ja kaum an den vielen Fraktaldarstellungen vorbei laufen konnte. Ich war damals mal in Prag, da hat ein Künstler eine ganze (kleine) Ausstellung mit Fraktalgrafiken bestückt, na, gesponsort von der Uni, die hatten Rechenleistung und anständige Ausgabegeräte. Da konnten mein 486 DX und der HP-Tintenstrahler natürlich nicht mithalten. Aber falls du das Thema mal vertiefen möchtest: Könntest du die rekursive Definition der Mandelbrot-Menge auf deine unnachahmlich verständnisfördernde Art erklären? Ich habe damals zwar Fraktalgeneratoren für meinen Computer programmiert, aber nicht ganz verstanden, was ich da eigentlich tue.

[@Birol731]

Hezlichen Dank für diese Informationen 👍🙏

[@KarlHeinzSpock]

sei A die fläche des quadrats. dann ist die sume G der gelben quadrate: G =(1/4)*A+(1/16)*A+(1/64)*A+..... =(1/4+1/16+1/64+.....)*A und der klammerausdruck R ist eine geometrische reihe, für die man mithilfe einer formel den Wert 1/3 berechnen kann, was die gesuchte größe darstellt. es ist nämlich R=[1/(1-1/4)]-1, wobei ich von der standardformel für geometrische reihen ausgegangen bin und durch subtraktion von 1 das erste glied eliminiert habe.

[@wollek4941]

Fraktale juhu. 🤗 Habe erstmal die Summenfunktion von 1/4^x in den Rechner gehackt. Konvergiert zu ⅓. Dann kurz nachgedacht. Macht ja auch Sinn: Im ersten Quadrat ist bereits ¼ gelb und da kommt immer noch ein Viertel vom nächsten Fraktal dazu. Im ersten Fraktal ist ⅓ gelb, skaliert man das nun unendlich oft in die freie Fläche, dann muss es gegen ⅓ der Gesamtfläche konvergieren. Allerdings ist das freie Quadrat dabei nie ganz ausgefüllt, denn es wird ebenfalls mitskaliert. Es bleibt immer noch etwas weiß übrig. Die Kreisflächen im Ring können dargestellt werden als 1², 2² und 4². Der gelbe Teil hat also 16-4=12 FE, der graue 4-1=3 FE. Der gelbe Teil ist mithin viermal größer als der graue. Skaliert man diese Ringe also beliebig oft in die weiße Mitte, konvergiert der gelbe Teil zu 4:5 oder 80%. Erinnert mich irgendwie an die Bagel 🥯 die ich am Wochenende gebacken habe. 😄 Die konvergierten allerdings in meinen Bauch. 🙈😂

[@schnullobullo]

1. Das ganze Quadrat ist nie ausgefüllt. Auch wenn man es unendlich oft macht, es bleibt immer ein noch kleineres Quadrat unausgefüllt. 2. Das mit dem Drittel habe ich leider nicht verstanden. Was wiillst du uns damit sagen?

[@Nikioko]

Bei einem normalen Würfel ist der Erwartungswert (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. Bei einem explodierenden Würfel wird eine 6 noch einmal gewürfelt und das neue Ergebnis zur 6 hinzuaddiert. Das wird ggf. so lange wiederholt, bis keine 6 mehr gewürfelt wird. Was ist der Erwartungswert eines explodierenden Würfels?

[@susisonnenschein7034]

Die gelben Anteile vom gegebenen Quadrat sind jeweils 1/4; 1/4 von 1/4=1/16; 1/4 von 1/16=1/64 usw.usf. Diese Anteile bilden eine geometrische Folge mit a1=1/4 und q=1/4 Für die Summenfolge gilt sn= 1/4•(1-(1/4)^n)/(1-1/4) Für n-->unendlich strebt (1/4)^n) gegen Null und damit der Bruch gegen 1/(3/4)=4/3 Und damit ist sn für n-->unendlich Sn=1/4•4/3 sn=1/3 Kreisaufgabe: gelbe Flächen werden addiert, graue subtrahiert AKreis = pi a1=pi a2=-1/4•pi a3=1/16•pi a4=-1/64•pi ... geometrische Folge a1=pi, q=-1/4 sn=pi•(1-(-1/4)^n)/(1+1/4) Für n gegen unendlich sn=4/5•pi entspricht 80% von der Gesamtfläche.

[@GetMatheFit]

Sehr schön. LG Gerald

[@belacqua8472]

πr² - π(r/2)² = 3πr²/4 π(r/2)² - π(r/4)² = 3πr²/16 12πr²/16 : 3πr²/16 = 4 : 1 4/(4 + 1) = 4/5

[@opytmx]

Ich denke 1/3, weil auch der gelbe Anteil der L-Form 1/3 ist. 🙂

[@m.h.6470]

Lösung: Das Ganze ist ja eine unendliche Serie von Additionen. Normalerweise darf man mit unendlichen Serien nicht rechnen, ES SEI DENN, die Serie konvergiert. Also das voraussichtliche Ergebnis ist nicht -∞ oder +∞. Da wir hier aber sicher sind, dass das Ergebnis irgendwo zwischen 1/4 und 1/2 liegt, da das Quadrat ja immer 2 graue Viertel hat = 2/4 = 1/2, können wir mit dieser Serie rechnen. S = 1/4 + 1/4 * 1/4 + 1/4 * 1/4 * 1/4 + ... S = 1/4 + (1/4)² + (1/4)³ + ... S = 1/4 + 1²/4² + 1³/4³ + ... S = 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ... |*4 4S = 4/4 + 4/4² + 4/4³ + ... 4S = 1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ... 4S = 1 + S |-S 3S = 1 |:3 S = 1/3 Die gelbe Fläche konvergiert also zu 1/3.

[@CallindorCray-dp7no]

Deiner Rechnung folgend käme ich dann beim Kreisbeispiel auf S=3/4 pi + (1/4 -1/4²) pi + ... zu 4S=3pi+S zu S=pi bzw. 1, also der gesamte Kreis, was ja nicht stimmen kann. Wo liegt denn da der Fehler?

[@GetMatheFit]

Liebe deine Kommentare. Immer sehr lehrreich. LG Gerald

[@m.h.6470]

Lösung der Kreisaufgabe: Da A = π*r² ist, ist der gesamte Kreis π * 1² = π und der innere Kreis π * (1/2)² = π/4. Damit ist der erste gelbe Ring 3π/4. Nach ein bisschen berechnen findet man dann raus, dass der graue Ring 3π/4² (= π * 1/4 - π * 1/4²) ist. Der zweite gelbe Ring ist dann 3π/4³ (= π * 1/4² - π * 1/4³) Die Serie ist also: S = 3π * (1/4 + 1/4³ + 1/4⁵ + ...) Auch hier wieder: S = 3π * (1/4 + 1/4³ + 1/4⁵ + ...) |*4² 16S = 3π * (4²/4 + 4²/4³ + 4²/4⁵ + ...) 16S = 3π * (4 + 1/4 + 1/4³ + 1/4⁵ + ...) 16S = 3π * 4 + 3π * (1/4 + 1/4³ + 1/4⁵ + ...) 16S = 12π + S |-S 15S = 12π |:15 S = 12π/15 S = 4π/5 S ≅ 2,51

[@m.h.6470]

Lösung der Kreisaufgabe nach dem Schema des Videos: Die erste gelbe Kreis ist 3π/4, der erste graue Kreis ist 3π/16 (siehe andere Lösung). D.h. der Anteil des gelben Kreises an dieser gelb-grauen Teilfläche ist: (3π/4) / (3π/4 + 3π/16) = (12π/16) / (12π/16 + 3π/16) = (12π/16) / (15π/16) = 12π/16 * 16/(15π) = 12π/(15π) = 4/5 Der gelbe Anteil tendiert also zu 4/5 der gesamten Fläche, die ja π ist. Daher ist der gelbe Anteil 4π/5 ≅ 2,51.

[@m.h.6470]

@@CallindorCray-dp7no Siehe mein Kommentar zur Kreislösung :)

[@GetMatheFit]

Danke Magda für diese tolle Aufgabe. Anbei mein Lösungsweg: kzbin.info/www/bejne/qoXEaKClZsSojpI Kannst öfters Beispiele vorstellen, ohne Lösungsweg. Das erhöht den Druck 😂 LG Gerald

[@GetMatheFit]

Kreis-Aufgabe: 80%

[@unknownidentity2846]

Das findet meine Zustimmung.

[@GetMatheFit]

@@unknownidentity2846 Danke. Unendlich geometrische Reihe. Ich liebe dieses Thema. Soll ich ein Video dazu machen? LG Gerald

[@MrX-ci2mg]

@@GetMatheFitnicht 75%?

[@GetMatheFit]

@@MrX-ci2mg Der erste Kreisring nimmt schon 75% vom Vollkreis ein. Also kann 75% gar nicht stimmen. LG Gerald

[@Nikioko]

Das deckt sich mit meiner Analyse des Problems.

[@devotion7890]

Das mit dem Quadrat schreit förmlich nach der Anwendung der geometrischen Reihe ;-)

[@horstwerner4939]

Ich hätte erwartet, dass du die Partialsummenformeln entwickelst und dann den Limes davon bildest. verrate mir wenigstens, ob man die bei BRILLIANT findet. Wolltest du einen Cliffhanger setzen, damit wir die Seite aufrufen?

[@Opa_Andre]

Die Aussage bei 1:10 "Wenn ich das unendlich oft mache, dann ist ja irgendwann das ganze Quadrat ausgefüllt" verstehe ich nicht, denn es ist ja immer wieder ein unendlich kleiner Teil neu zu betrachten. Auch wenn sich dadurch am Ergebnis (=1/3) nichts ändert.

[@Waldlaeufer70]

Die Idee ist, dass von jedem L-förmigen Teil 1/3 orange gefärbt ist. Die Figur besteht also aus lauter ineinander geschachtelten Figuren, von denen jeweils 1/3 orange gefärbt ist. Daraus entsteht, wenn man das unendlich oft wiederholt, ein Quadrat, von dem dann ebenfalls 1/3 der Fläche orange gefärbt ist.

[@Nikioko]

Versuche mal, den Begriff der Unendlichkeit zu verstehen. Aus demselben Grund ist 0,999… = 1. Nicht ungefähr, sondern genau.

[@GetMatheFit]

😂😂😂@@Nikioko

[@porkonfork2023]

@@Nikioko Es wird höchste Zeit, der Unendlichkeit mal ihre Grenzen aufzuzeigen.

[@GetMatheFit]

Erster

[@c.f.3503]

🎉

[@unknownidentity2846]

Touché

[@Nikioko]

Und auch der Erste mit der Lösung. Wenn auch nicht in diesem Post.

[@porkonfork2023]

Streber!

[@Nikioko]

@@porkonfork2023 „Herr Lehrer, ich bin fertig. Was soll ich jetzt machen?“

[@frankreinecke4090]

ich komme auf 9/16...

[@azuri.7041]

..

[@c.f.3503]

Mal nicht ich erster 😢

[@GetMatheFit]

😂 Heute habe ich den Upload perfekt erwischt. LG Gerald

[@Nikioko]

Ja... Eigentlich sollte klar sein, dass wir immer zwei graue und ein gelbes Quadrat einfügen. Also ist der Grenzwert der gelben Fläche 1/3. Beim 2. Problem: der äußere gelbe Ring ist 3/4 der Gesamtfläche. Der folgende graue Ring ist 3/4 vom Rest (1/4), also 3/16. Und darin setzt sich das so fort. Deshalb brauchen wir nur die ersten beiden Ringe anzuschauen: Der gelbe Ring ist mit 3/4 = 12/16 viel mal so groß wie der graue mit 3/16, das Verhältnis ist als 4:1. Und damit sind 4/5 = 80 % der Gesamtfläche gelb gefärbt. Und hier macht sich auch deutlich, warum man das Verhältniszeichen : nicht mit dem Divisionszeichen ÷ verwechseln sollte.