🇲🇳🇲🇳🇲🇳 INTERNATIONALE MATHE OLYMPIADE | Wunderschöne Aufgabe aus der Mongolei (GEOMETRY PROBLEM IMO)

[@magdaliebtmathe]

*Wer war schonmal in der Mongolei? Und aus welchem Land würdet ihr gerne mal eine Matheolympiade sehen? Mit diesem Video wünsche ich euch allen ein schönes Wochenende! 🦊😃* *PS: Wenn ihr was über Amazon bestellen wollt die Tage, und mir so kostenlos was spenden möchtet, dann geht über diesen Link zu Amazon:* amzn.to/3Do3IM5 Es muss nichts mit dem Mikrofon zu tun haben, zu dem ihr über den Link kommt, ihr könnt alles bestellen was ihr sowieso bestellt hättet und für euch ändert sich überhaupt nichts. Aber: Amazon gibt dann einen prozentualen Anteil an mich ab und ich bin euch super dankbar! 🦊🦊

[@opahorst162]

Deine mathematischen Fähigkeiten kann ich nur immer wieder bewundern. Ein schönes Beispiel. Ohne Deine Hilfe wäre ich kläglich gescheitert.

[@opytmx]

Schöne Aufgabe und sehr clever gelöst - Respekt!

[@magdaliebtmathe]

Jaaaa, mir ist so ein richtiger kleiner Freudenschrei rausgerutscht als es endlich aufgegangen ist 🤣🤩😍. Hat mir total viel Spaß gemacht! 🙂

[@stefka5107]

Interessante Aufgabe mit pfiffiger Lösung. Danke dir.

[@magdaliebtmathe]

Ich fand sie auch superschön! In den Kommentaren sind noch einige andere clevere Lösungen - total cool und wie immer echt horizonterweiternd!! 😍🤩

[@renesperb]

Gut gemacht,Magda!

[@magdaliebtmathe]

Danke, René! 😃 Hast du’s auch hinbekommen? 😇

[@renesperb]

@@magdaliebtmathe Es gibt bei diesem Problem sicher mehrere Lösungen , deine ist sehr naheliegend . Schwierig wäre bei einer solchen Aufgabe ,zu zeigen , dass es nur eine oder keine Lösung gibt . Das wäre dann auf einem ganz anderen Schwierigkeitsniveau.

[@WolfgangKais2]

Sehr cool! 😃👍

[@magdaliebtmathe]

Find ich auch! Hat mit total viel Spaß gemacht die Aufgabe zu lösen! 😃😍

[@deepinpowder9749]

Wunderschöner Beweis...... danke für das tolle Video. Tolle Idee. Meine Lösung ging auch über die Höhe.

[@magdaliebtmathe]

Heyyyy, jetzt komme ich endlich mal dazu zu antworten 😃🦊. Hier war so viel los die letzten Tage 🙈. Erstmal: Tausend Dank für deine Mitgliedschaft - ich weiß den Support sehr sehr sehr zu schätzen!!! ❤️ Dann: Danke für die Komplimente! Ich fand die Aufgabe auch total schön als ich sie entdeckt hab und war mir sicher euch gefällt sie auch 🍀😍. Geometrie ist einfach toll!!

[@Marvin-kg9zy]

Echt Respekt da wäre ich im Leben nicht drauf gekommen👍🏻

[@magdaliebtmathe]

Nach 5 Jahren Mathestudium muss ich sowas hinkriegen. 🙃😉

[@Stanislaw2344]

Äußerst interessante Aufgabe.

[@magdaliebtmathe]

Das freut mich, Stanislav! Mir hat sie auch total gut gefallen! 😃💙😇

[@my.lionart]

Wow, sehr clever!!

[@magdaliebtmathe]

Danke!! 🦁

[@mathejogi9586]

Ich habe die linke Seite in 5 gleichgroße Abschnitte geteilt und jeden Teilpunkt mit der rechten oberen Ecke verbunden. Dann die Diagonale in 5 Teile zerlegt und die unteren drei mit der rechten unteren Ecke verbunden. Den dritten Teilpunkt auch noch mit dem Mittelpunkt der rechten Seite verbunden. Fertig.

[@Waldlaeufer70]

Da wäre ich mit meinem ersten Ansatz ja fast ans Ziel gekommen. Ich hätte ihn bloss mal aufs Papier bringen müssen.

[@Waldlaeufer70]

Ich habe auch mit 100 Flächeneinheiten gearbeitet, hab's aber nicht geschafft. Hab's aber auch nur vor dem inneren Auge versucht. Erster Ansatz: - Eine Diagonale ziehen und auf einer Quadratseite stehend fünf Dreiecke mit Grundseite 2 und Höhe 10 einzeichnen. Die sind dann alle verschieden. - Bei der zweiten Hälfte des Quadrats die Diagonale fünfteln und dann auf der Diagonalen fünf Dreiecke bilden, die in die Ecke zeigen. Da kommen aber je zwei Stück doppelt vor. Weitere Zerlegungen für die zweite Hälfte waren mir dann rein in der Vorstellung zu schwierig. Zweiter Ansatz: - Vier unterschiedliche Ecken abschneiden, so dass jedes weggeschnittene Dreieck eine Fläche von 10 FE hat. - Dann bleibt ein Achteck, was sich leicht in sechs Dreiecke teilen lässt. Aber da wurde es mir dann rein in der Vorstellung zu schwierig. Dann habe ich den zweiten Ansatz mal zu zeichnen versucht, wurde aber ungeduldig. Und dann habe ich mir das Video angeschaut. Schöner Lösungsansatz. Ich denke auch, dass es noch mehr Möglichkeiten gibt.

[@eckhardfriauf]

Lustig. Wie war das noch mit 'gleicher Wellenlänge'? Die Diagonal-Strategie bin ich auch gefahren und dann an die Spiegelsymmetrie-Wand gefahren (siehe meinen Kommentar). Erst Magda machte mich darauf aufmerksam. Dann der g = 5 Trick. MatheJogi hat es ebenso gelöst.

[@Waldlaeufer70]

Wobei man die letzte Trennung in der Lösung von MatheJogi auch noch in die dritte Richtung ausführen könnte. Dann müsste man aber noch die Mitte des dritten Dreiecks abmessen, also bräuchte einen Schritt mehr. Alle Lösungen sind auf ihre Art schön. Ich würde mir noch eine völlig unregelmässige Lösung, die dann eher an ein Puzzle erinnert, wünschen.

[@porkonfork2021]

nein. schweiz (buchungs-, konten-, anlagetricks?). ;) geht so eine zeichnung als lösung durch? ist nicht eher ein allgemein gültiger beweis verlangt (bei einer olympiade)?

[@timurkodzov718]

Also, ich würde sagen, wenn man eine Beispielmöglichkeit gefunden hat, dann gilt diese Möglichkeit für jedes Quadrat. Wenn man z.B. in Mathematik etwas widerlegen will, tut man dies (manchmal) schließlich auch mit einem (Gegen-)beispiel. Seitenlänge 10 LE soll vielleicht im Video nur ein Beispiel sein. Ich habe sofort mit Seitenlänge a des Quadrates gearbeitet (siehe mein Kommentar) und a=20 cm habe ich erst danach nur als Beispiel gewählt.

[@rainerinedinburgh5807]

Das gilt auf jeden Fall. Die Frage in der Aufgabe war: Ist es möglich oder nicht? Wenn wir beweisen wollen, dass es möglich ist, dann genügt es, ein Beispiel zu finden. Wenn man Glück hat, ist es kinderleicht! Wenn wir beweisen wollen, dass es NICHT möglich ist, tja, das wäre dann schon echt schwierig.

[@Waldlaeufer70]

Jetzt ist mir zum Glück ein Gedankenblitz von vorher wieder in den Sinn gekommen: Die Summe von 1, 2, 3 und 4 ist 10. (Manchmal haben es solche Blitze an sich, dass sie genau so schnell verschwinden, wie sie aufgetaucht sind.) Nehmen wir der Einfachheit halber ein Quadrat mit Seitenlänge zehn an: 1) Ich teile die vier Seiten des Quadrates in 1, 2, 3 und 4 gleiche Teile. - Dabei müssen die ganze Seite und die geviertelte Seite einander gegenüber liegen. - Entsprechend liegen dann die halbierte und die gedrittelte Seite einander gegenüber. 2) Nun setze ich einen Punkt ins Quadrat, der die eine Seite im Verhältnis 1 : 4 und die andere im Verhältnis 2 : 3 teilt. 3) Nun ergeben sich die folgenden Dreiecke: - Von einer Seite geht ein Dreieck mit Basis 10 und Höhe 2 weg => 1x 10 FE - Von einer Seite gehen nun zwei Dreiecke mit Basis 5 und Höhe 4 weg => 2x 10 FE - Von einer Seite gehen nun drei Dreiecke mit Basis 10/3 und Höhe 6 weg => 3x 10 FE - Von einer Seite gehen nun vier Dreiecke mit Basis 2,5 und Höhe 8 weg => 4x 10 FE Die Spitzen aller zehn Dreiecke treffen sich in der Mitte beim erwähnten Punkt. Es bildet sich eine Art "Sonne". Die gegenüberliegenden Dreiecke ergänzen sich auf fünf Stück, da sie gemeinsam die Hälfte des Quadrats füllen: s²/2.

[@eckhardfriauf]

Klasse.

[@Nikioko]

Geht sicherlich. Wenn ich sägezahnartig schräge Linien durch das Quadrat ziehe, kann ich Dreiecke abtrennen. Damit diese nicht kongruent werden, zerlege ich das Quadat vorher in zwei ungleiche Trapeze mit dem Flächenverhältnis 3:2. Dann trenne ich im größeren Trapez 6 und im kleineren 4 Dreiecke ab. Sieht dann aus wie ein windschiefes Backgammon-Brett. Dadurch, dass ich das Quadrat in zwei Trapeze geteilt habe, haben alle Dreieck eine unterschiedliche Höhe und damit auch eine unterschiedliche Basis.

[@Waldlaeufer70]

In diese Richtung hatte ich mir auch Gedanken gemacht, kommt mir jetzt wieder in den Sinn. Wäre ich mal nicht zu faul gewesen, mir das konkret aufzuzeichnen.

[@timurkodzov718]

👏👏👏👏👏 Habe einen anderen Lösungsweg gefunden.

[@magdaliebtmathe]

Megaaa! Welchen denn?

[@timurkodzov718]

@@magdaliebtmathe Also ein Quadrat mit Seitenlänge a (z.B. a=20 cm). Unterteile die untere Seite a in 5 Grundseiten (wenn a=20 cm ist, so ist jede Grundseite 4 cm). Wähle die Höhe a und zeichne alle Dreieckslinien in linken oberen Eckpunkt. Die rechte Seite des Quadrates a soll jetzt die Grundseite a eines Dreiecks sein und Höhe soll a/5 gewählt werden. Dabei soll die Höhe a/5 die Diagonale des Quadrates berühren. Unterteile die obere Seite a in 4 Grundseiten der Dreiecke und Verbinde jede Dreiecksseite mit genau diesem Berührpunkt. Wir haben also insgesamt Dreiecke mit Grundseite g = a/5 und Höhe h = a (5x) g =a h=a/5 (1x) g =a/4 h=(4a)/5 (4x) Jedes Dreieck besitzt also die Fläche A=a²/10. Sie sind alle paarweise nicht kongruent.

[@sebastianki-t2m]

Ich verstand zuerst nicht, was "paarweise" nicht-kongruent bedeutet. Nach Magdas Erläuterung halte ich das Wort "paarweise" für unnötig. Dann verstehe ich, dass alle Dreiecke verschieden sein müssen. ---- Meine Aufteilung: Quadrat ist Koordinatensystem xy von 0;0 bis 1;1. Alle 10 Dreiecke haben einen gemeinsamen Eckpunkt bei 0,2 ; 0,4. Also ist jede Dreiecks-Basis auf einer Seite des Quadrats, und die Höhe der Abstand von dort zum gemeinsamen Eckpunkt. Bei h = 0,2 ist b = 1 also 1 Dreieck. Gegenüber bei h = 0,8 ist b = 0,25 also 4 Dreiecke nebeneinander. Bei h = 0,4 ist b = 0,5 also 2 Dreiecke. Gegenüber bei h = 0,6 ist b = 1/3 also 3 Dreiecke. Die Fläche jedes Dreiecks ist b * h /2 = 0,1. Der gemeinsame Eckpunkt liegt so günstig, dass alle Dreiecke mit gemeinsamer Höhe dennoch andere Winkel haben. So ein Glück !

[@Waldlaeufer70]

Bei mir beginnt das Problem schon beim Verstehen der Aufgabe: - Alle zehn Dreiecke sollen die gleiche Fläche haben. - Sie sollen aber "paarweise nicht kongruent" sein. Was soll denn das bedeuten? Was macht zwei Dreiecke zu einem Paar? Und die Dreiecke eines Paares sollen nicht kongruent sein? Heisst das dann, dass die Dreiecke mit Dreiecken aus anderen Paaren kongruent sein dürfen? Oder heisst es vielmehr, dass immer zwei kongruent sein müssen, aber die fünf Paare untereinander nicht?

[@magdaliebtmathe]

„Paarweise xy“ ist eine sehr präzise mathematische Formulierung. 🦊🦊 Hier mal das Beispiel zu „paarweise verschieden“ gut erklärt: de.m.wikipedia.org/wiki/Paarweise_verschieden

[@Waldlaeufer70]

Danke, Magda, schaue ich mir mal an. Ich habe die Formulierung noch nie gehört und leider ist sie nicht selbsterklärend.

[@Waldlaeufer70]

Danke, jetzt habe ich es verstanden: Es sollen alle zehn Dreiecke verschieden sein. Ich finde den Begriff - auch wenn er mathematisch präzise definiert ist - sehr ungünstig. Viel verständlicher wäre, wenn man einfach sagen würde: Es sollen nicht zwei kongruent sein (wenn man unbedingt die Zahl zwei verwenden möchte). Noch besser wäre es, einfach zu sagen, dass alle verschieden sein sollen. Ich sehe in der Formulierung "paarweise" keinen Gewinn an Klarheit.

[@eckhardfriauf]

@@Waldlaeufer70 Ich habe bei 1:55 etwas gestutzt; "nicht durch Verschieben, Spiegelung und so weiter". Mit dem 'und so weiter' konnte ich nicht viel anfangen. Frage an Magda: was meinst du damit konkret? Übrigens: die schelmische Antwort auf die gestellte Frage (Kann ein Quadrat in ... zerlegft werden?) kann so lauten: "Ja!" Oder?

[@_Udo_Hammermeister]

Jedem Grüppchen seine Sprache, damit man sich vom gemeinen Volk etwas absetzen kann. Der Jäger sagt zum Schwanz Rute und der Seemann sagt zum Steuerrad Ruder und zum Ruder Riemen.

[@eckhardfriauf]

Wow, Geometrie -- wie noch nie!? Ich teile das Quadrat SW_SO_NO_NW in 2 rechtwinkelige Dreiecke (SW_NO_NW und SW_SO_NO). Die Strecke SW_SO unterteile ich in 5 gleichlange Stücke (Länge 2). Dasselbe mache ich mit der (diagonalen) Strecke SW_NO (jedes Stück hat die Länge sqrt(200)/5. Die Punkte auf SW_SO verbinde ich mit dem Punkt NO, die Punkte auf SW_NO verbinde ich mit dem Punkt NW. Damit erhalte ich in jedem der beiden rechtwinkeligen Dreiecken 5 Dreiecke für die gilt: gleiche Grundseite, gleiche Höhe. DOCH VORSICHT Bei der Kontrolle fällt auf, dass die 5 von der Diagonale zur Spitze NW gezeichneten Dreiecke spiegelsymmetrisch sind und dass daher Dreieck 1 und 5 sowie 2 und 3 kongruent sind. Um das zu vermeiden, korrigiere ich so. Dreieck 4 und 4 zeichne ich um, dass beide als Grundseite die Hälfte der Strecke NW_NO haben. Dann ist die Aufgabe gelöst. 🙂 Ich werde meine Skizze mal per E-Mail an Magda senden; ggf. kann sie diese Skizze (und andere) mal wo präsentieren (a picture is worth a thousand words). PS: SW steht für Südwesten, NO für Nordosten .... PPS: @Magda: Auf welchem Niveau wurde die MO-Mongolei-Aufgabe gestellt?

[@magdaliebtmathe]

PPS: Die war aus der Kategorie "Teacher of Elementary School" 🙃. Also theoretisch relativ einfach 🙈😅. So einfach fand ich's aber nicht!

[@eckhardfriauf]

@@magdaliebtmathe Nein, einfach war sie nicht. Sie erfordert jedoch Kreativität und Logisches, Strukuriertes Denken. Viel Vorwissen (höheres Schulniveau) ist nicht nötig (halt Drei-Eck-Kenntnisse). Dennoch stellt sie Ansprüche. Deshalb fand|finde ich sie so Klasse! Looking forward to seeing more.

[@-datolith2775]

Autsch, ich hatte null Plan...

[@magdaliebtmathe]

Jetzt aber, oder? 😇😇 Kennst du das blaue Wunder schon? Auch in einem Quadrat…. kzbin.info/www/bejne/d5vWdJ-ul5eEn9U

[@wollek4941]

Jetzt wollte ich doch mal wissen was „10 flächengleiche und paarweise nicht kongruente Dreiecke“ auf mongolisch heißt. Was soll ich sagen, es klingt, als wenn ein Japaner 10 Säcke Katzenfutter kauft.: „Khosooroo tokhirokhgüi ijil talbaitai 10 gurvaljin“ 🙈😂 Jedenfalls kann ich es genau so wenig aussprechen. 😈

[@rainerinedinburgh5807]

Du hast eine gute Strategie angewendet, um eine Lösung zu finden, bei der ALLE zehn Dreiecke sich von einander unterscheiden. In deiner Lösung gibt es kein Paar, in dem das eine Dreieck sich vom anderen nicht unterscheidet. Das ist eigentlich, glaube ich, ein stärkeres Ergebnis, als gefragt war. Beachte den Unterschied zwischen "paarweise nicht kongruent" und "nicht paarweise kongruent". Es hätte eigentlich genügt, eine Lösung zu finden, bei der es etliche Kongruenzen gibt. Nur als theoretisches Beispiel: Sagen wir mal, wir könnten eine Teilung finden, bei der fünf Dreiecke A1 bis A5 alle unter sich kongruent sind, und die anderen fünf Dreiecke B1 bis B5 ebenfalls unter sich kongruent sind, aber bei der A1 und B1 nicht kongruent sind (und deshalb KEIN Ai mit KEINEM Bj kongruent ist, für alle i,j zwischen 1 und 5). Dennoch wäre diese Teilung "paarweise nicht kongruent", denn Paar (A1,B1) ist nicht kongruent, und Paar (A2,B2) auch nicht, und so weiter.

[@magdaliebtmathe]

Hmmmm. „Nicht paarweise kongruent“ wäre meiner Meinung nach, dass zum Beispiel 9 kongruente und ein dazu nicht kongruentes Dreieck okay wären. Dann wären sie nämlich nicht „paarweise kongruent“, weil man eben ein Pärchen bilden kann, bei dem nicht beide kongruent sind. „Paarweise nicht-kongruent“ ist genau das, was ich gemacht habe. Egal welche zwei Dreiecke man sich zu einem Pärchen zusammensucht - sie sind niemals kongruent. Alles andere wäre für eine Matheolympiade auch zu leicht. 🦊 Sag mir, falls ich falsch liege! 😃😃

[@Waldlaeufer70]

Der Begriff scheint im Englischen gleich zu sein: pairwise distinct. Ich finde, der Begriff ist nur schwer intuitiv verständlich.

[@rainerinedinburgh5807]

​@@Waldlaeufer70 Genau, das Problem liegt beim Begriff. Wie heisst es doch im Faust? Irgendwas mit fehlenden Begriffen. Hoffentlich stellt ein Wort zur rechten Zeit sich ein. Aber tut es dass hier? Wir haben eigentlich zwei Fragen: (1) Was ist das Ziel der Aufgabe? (2) Drückt der Wortlaut der Aufgabe dieses Ziel einwandfrei aus, ohne uns irrezuführen? Wenn alle 10 Dreiecke verschieden sein sollen (was ja in Magdas Lösung der Fall ist), dann kann man das so ausdrücken, dass von den 45 möglichen Paaren keines die Eigenschaft hat, dass seine beiden Dreiecke kongruent sind. So weit, so gut. Aber ist diese Aussage identisch mit der, dass die 10 Dreiecke "paarweise nicht-kongruent" sein sollen? Da bin ich mir eben nicht so sicher. Ich finde, letztere ist nicht eindeutig und hört sich fast so an, als ob ihr auch genügt, wenn man sich irgendwelche fünf Paare aussuchen kann, die diese Eigenschaft nicht haben (auch wenn es andere Paare gibt (die wir uns natürlich nicht aussuchen), die diese Eigenschaft doch haben).

[@Waldlaeufer70]

@@rainerinedinburgh5807 Magda hatte mir dazu diesen Link geschickt: de.m.wikipedia.org/wiki/Paarweise_verschieden So gesehen scheint der Begriff geläufig und klar zu sein. Ich würd's dennoch besser verstehen, wenn es einfach hiesse, dass die Dreiecke alle verschieden sein sollen.

[@_Udo_Hammermeister]

Wenn man einen Sachverhalt klar und einfach in der Umgangssprache ausdrücken kann, sollte man das auch tun. Eigens definierte Fachwörter, und auch englische Wörter, sollte man nur benutzen, wenn es mit der Umgangssprache nicht mehr richtig geht.

[@ОльгаОльга-п7в]

Malevich

[@magdaliebtmathe]

Kasimir Sewerinowitsch Malewitsch? 😃

[@jensm5710]

Wen interessiert es

[@magdaliebtmathe]

Mich 🤗.

[@jensm5710]

Das ist schön weiter so. Ich mag Mathe nicht

[@magdaliebtmathe]

Was magst du denn? Und wieso schaust du dir Mathevideos an, wenn du Mathe nicht magst? 😅😅

[@gelbkehlchen]

Gut Magda, ich konnte mit dem Wort "paarweise" in der Aufgabenstellung nichts anfangen. Im Grunde genommen ist bei deiner Lösung kein einziges Dreieck mit einem anderen kongruent.

[@magdaliebtmathe]

Genau das ist es, H-D! Alle Dreiecke dürfen zu keinem andere kongruent sein! 😇

[@_Udo_Hammermeister]

"die paarweise nicht kongruent sein dürfen" hatte ich auch nicht verstanden. Wahrscheinlich ein Übersetzungsfehler aus dem Mongolischen. Auf deutsch müsste es wohl einfach heißen: "die alle nicht kongruent sein dürfen" oder ganz präziese: "wobei keines mit keinem anderen kongruent sein darf."

[@gelbkehlchen]

@@_Udo_Hammermeister Ganz genau, nachdem Magda die Aufgabe gelöst hatte, war die Aufgabenstellung klar!