Matematyka Trygonometria Tego W szkole Ci Nie Powiedzą

Trygonometria Tego Nauczyciel Ci Nie Powie. Skąd się to wzięło i z czego wynika.
Odnośnik do wspomnianych w filmie nagrań.
3 Odcinek
• Trygonometria i Zmiany...
1. odcinek trygonometrii
• Będą Zmiany w Książkac...
Algorytm obliczania pierwiastka pisemnie.
• Pierwiastek Trzeciego ...
Obliczył funkcje trygonometryczne dla drugiego kąta ostrego w tym trójkącie uzyskując.
Następnie napisał twierdzenie Pitagorasa dla tego trójkąta.
Przy okazji wprowadził nowy sposób oznaczenia kwadratów funkcji trygonometrycznych.
To już go bardziej zaciekawiło, bo wzór wynikała w zasadzie z tw. Pitagorasa pomyślał ciekawe.
Nie wiedział jeszcze do czego będzie mu ten wzór potrzebny, ale zapisał sobie je sumienie w swoim notatniczku wniosków.
Ten wzór tak mu się spodobał, iż nazwał go jedynką trygonometryczną. Chciał poznać więcej wzorów jednak przez dłużą chwile niczego szczególnego nie mógł znaleźć.
Zmienił wówczas kierunek swoich poszukiwań.
Uznał, że warto by było poznać kilka dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla pewnych kątów.
Wziął sobie trójkąt prostokąty o kątach 45\degre, 45\degre, 90\degre, czyli taki, który powstaje po dorysowaniu w kwadracie przekątnej.
Pomyślał, że ten trójkąt był zbył "łatwy" i zaraz do głowy wpadł mu trójkąt równoboczny z wysokością. Tak miał do dyspozycji trójkąt o kątach. 30\degre, 60\degre, 90\degre.
Chcąc poznać wartości $\sin$ $\cos$ $\tg$ dla kątów $30\degre$ i $60\degre$ szybko wykonał rachunki $\sin 30\degre$ $\sin 60\degre$ $\cos 30\degre$ $\cos 60\degre$ $\tg 30\degre$ $\tg 60\degre$.
Okej mam dla 3 kątów obliczone funkcje. Sporządził sobie tabelkę podsumowująca, wraz z przybliżeniami.
Zaznaczył owe punkty na wykresach dla poszczególnych funkcji.
Teraz w jego głowie pojawiło się pytanie. Jak wygląda kształt tych funkcji? Miał za mało punktów, aby go dojrzeć.
Odpowiedź na pytanie bardzo go ciekawiła. Jedne co widział, że nie jest to linia prosta.
Zastanawiał się skąd jeszcze może wyliczyć jakieś kąty. Myślał myślał i w końcu wymyślił.
Wtedy sobie przypomniał, iż kiedyś analizował pięciokąt foremny i pojawiały się tam kąty 18\degre, 36\degre, 54\degre, 72\degre. Chciał się bardzo dowiedzieć jakie są wartości dla takich kątów funkcji trygonometrycznych.
Brakowało mu jeszcze kąta prostego, więc dorysował wysokość do tej podstawy. Tak miał trójkąt prostokąty o kątach 18\degre, 72\degre, 90\degre. Teraz aby móc wyliczyć wartości tych funkcji muszę znaleźć sposób na wyrażenie dwóch boków pozostałym.
Jak mogę to zrobić? Co jest potrzebne długo zmagał się z tym problem, aż w końcu znalazł sposób.
Mógł dorysować punkty dla kątów 18\degre, 36\degre, 54\degre, 72\degre.
Zaczął się bawić wartościami funkcji trygonometrycznych dla kątów, które już znał. W pewnym momencie pomnoży $\sin 30\degre$ z $\cos 30\degre$. jakimś dziwny zbiegiem okoliczności zauważył, iż jest to $\frac{1}{2}\sin 60\degre$.
$$2\cdot \sin 30\degre \cdot \cos 30\degre = \sin 60\degre.$$
Zaciekawiony postawił, więc pytanie czy to tylko tak dla kąta 30\degre czy może dla dowolnego kąta też będzie okej?
Tu przez długi czas nie potrafił ani tego uzasadnić ani tego obalić, a jednocześnie nie dawało mu to spokoju i nie mógł przez to spać w nocy, aż któregoś ranka w końcu się udało.
Skoro miał uzasadnienie wzoru na $\sin 2x$ to zadał sobie pytanie czy jest podobny wzór na $\cos 2x$.
Po czym szybko wrócił do swojego rysunku i zaczął wypisywać zależności i szybko znalazł wzór, który o dziwo był nie podobny do poprzedniego.
Zaczął się zastanawiać do czego może przydać się taki wzór i wtedy pojawił się ten błysk w oku, olśniło go, że dzięki tym wzorom może obliczyć połowy kąta jeśli zna kosinus kąta podwójnego.
Podekscytowany i mając ten genialny plan zabrał się natychmiast do wyliczenia $\sin 15\degre$ Wykorzystał kosinus podwójnego kąta oraz swoją jedynkę trygonometryczną.
Zaczął więc potem bez opamiętywania wyliczać kolejne wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta $15\degre$, $75\degre$, $9\degre$, $81\degre$, $22,5\degre$ itd.
Punktów zrobiło się już dużo i zaczął wyłaniać się kształt funkcji trygonometrycznych.
W między czasie Marek odkrył nowy wzór. Będący uogólnieniem sinusa podwójnego $\sin (\alpha+\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha$.
Wzór na sinusa sumy dwóch różnych kątów $\sin(\alpha+\beta)=?$.
Teraz mógł wyliczać funkcje dla innych kątów np.
Wersja na blogu:
www.kowalskimateusz.pl/matemat...
Mateusz Kowalski
Autor Wideo Bloga Matematycznego
www.kowalskimateusz.pl

[@martaopalska3969]

"Każdy kulturalny człowiek usuwa niewymierność z mianownika", tak jest :D

[@kamill8906]

Mam 13 lat i bardzo się interesuję matematyką dzięki panu mam co robić na wakacjach.

[@LildonSliding2glockslikemax]

XDDDDDD

[@majkel9974]

@@LildonSliding2glockslikemax czego się śmiejesz jedni lubią grać w nudne gry drudzy wola naukę każdy inaczej spędza wolny czas

[@magognia1398]

Mam tak samo

[@rados123]

+Mateusz Kowalski Właśnie tak nas uczono matematyki w liceum. Nauczycielka brała ochotnika do tablicy i wyprowadzał wzory. Jednak w klasach niematematycznych z przeciętnymi uczniami taki sposób nauczania raczej jest niemożliwy do zrealizowania. Ciężko, żeby uczniowie w ciągu 3 lata wpadli na to samo co kilku łebskim facetom zajęło całe ich życie.

[@matbas7255]

Super film , fajnie ,że robi pan odnośniki do innych filmów :) Więcej filmów tego typu !

[@mikikaboom9084]

Super film! Tak jak poprzedni odcinek, genialnie wytłumaczone. Wystawiam szóstkę.

[@krzysztofauguscik4454]

Powiem krótko: Jest Pan geniuszem logiki. Gdyby tacy jak Pan byli wykładowcami na uczelniach, Polska byłaby potęgą intelektualną świata. Etam świata .... Kosmosu.

[@wiesawawecki3221]

Mam 66 lat. Kiedyś po 5 latach nauki w technikum miałem matematyczne bardzo dobry na maturze. Pański wykład był dla mnie balsamem na serce i na dusze. Gratuluję podejścia do królowej nauk.

[@mordacwelu920]

takie 8/10, brakowało mi wzorów redukcyjnych do tego, już pomimę twierdzenia sin i cos, bo na to nie starczyło by Panu czasu. Podczas rachunków troszkę się gubiłem i tempo Pana było zbyt pośpieszne w niektórych momentach, ale film dał mi szerszą wiedzę na temat trygonometrii za co bardzo dziękuję ;].

[@Pogramista]

Skoro teraz to ja jestem nauczycielem wystawiającym ocenę, to ją wystawię... Otóż, mój drogi twórcą, muszę Ci niestety powiedzieć, że... WSZYSTKO ZROZUMIAŁEM XD. Świetny materiał, jestem Ci za niego naprawdę wdzięczny, oby tak dalej, pozdrawiam i życzę dalszej pasji w tworzeniu kolejnych materiałów i nauczania matematyki!

[@700buzz]

Kończąc oglądać całość odcinka napiszę tak: BRAWO. Bardzo fajny, przejrzysty obraz :)

[@giovannipaolo2137]

Genialne!

[@bartolomeodiaz7847]

Dziękuję Panu. Dzięki tej prezentacji mogę spojrzeć na geometrie z szerszej perspektywy i bardziej ją zrozumieć

[@ankanka1287]

Dzięki, Mateusz! I strasznie lubię Twoją dykcję i gestykulację :D do matmy idealne :D

[@erykfrackowiak60]

genialny film. Dzięki bardzo za jasne wytłumaczenia!

[@Ale_ORO123_PL]

Świetny materiał! Bardzo logicznie, praktyczne i w dodatku w przyjaznej formie dla odbiorcy przedstawienie tematu, który niestety, dopiero od dzisiaj wiem, jak bardzo jest ciekawy. Szkoda że w obecnych szkołach nie robi się wstępu do trygonometrii w jakikolwiek podobny sposób jak Pan tutaj. Młodzież naprawdę mogłaby naprawdę dużo bardziej lubić, a co ważniejsze, rozumieć, czym fizycznie są te wszystkie wzory, do czego służą i jak je interpretować. Co do oceny filmu, bezwarunkowe 10/10 :))

[@joruyashi3216]

Bardzo przyjemny materiał, dużo z niego wyciągnąłem. Dziękuję.

[@kkkkkk-ip6lc]

później z chęcią obejrzę, ale teraz nie mam na to czasu. Muszę nadrobić materiał rozszerzony z trygonometrii, bo nie ogarniam prawie nic

[@privatenoreply8815]

super film! więcej takiego typu dla innych filmików ☺

[@dominiksoys7746]

Swietny materiał :)

[@WiktoriaPop]

Epicki film. Czemu mi się to nagle na głównej pojawiło?

[@wiktordrebski6538]

Świetny film!

[@holyshit922]

W geometrii obliczeniowej zamiast sinusa używa się wyznacznikowego wzoru na pole powierzchni równoległoboku, zamiast cosinusa używa się iloczynu skalarnego a zamiast tangensa współczynnika kierunkowego prostej

[@jankes7298]

Kocham cię. Dzięki tobie zrozumiałem trójkąt 30 60 90. A pani na matematyce nic o tym nie tłumaczyła

[@jarekk4688]

Brawo! To jest apetyczna matematyka:)

[@wojciechwojciechowski8859]

Cel matematyczny jest , więc do rzeczy innych , poza tematem uważam można przejść do porządku dziennego. Natomiast sprawa wyłożona jest z cudowną pasją , otwarcie dla mnie tak żeby pokazać wiedzę. Chwalę bardzo bo wielu nauczycieli robi pseudo-wykłady, gdzie liczą niby, ale co, skąd sądzą , że uczniowie powinni wiedzieć zapominając kto kogo powinien uczyć. Czekałbym więcej tematów i patrzył, bo tak ciekawego wykładu nie pamiętam abym widział. Dziękuję serdecznie i życzę powodzenia we wszystkim :D

[@robertmielewczyk9804]

Podoba mi się ten kremowy papier, a filmy bardzo bardzo interesujące

[@pawepep5024]

Jedna z lepszych lekcji trygonometrii jaką słuchałem. Dziękuję i pozdrawiam .

[@dominiksoys7746]

Właśnie kończę gimnazjum i bardzo mnie zainteresował ten materiał :)

[@kersener]

Dobry film, !!

[@kowalskimateusz]

+kersener Dzięki

[@grequchannel]

super film!

[@natkapietruchy9115]

i ten filmik pokazuje jak bardzo do tyłu jestem. nie nadążam xD ogólnie dobre tłumaczenie(powiedzmy ,że dla mnie brzmi bardziej po ludzku).dzięki :) (może dzięki temu zdam hihih :P )

[@haczyk84]

Bardzo fajny film, oglądam w nocy chociaż nie bardzo mi to potrzebne :)

[@maciejkrzyzanowski1643]

Dziękuje =)

[@babababb30]

Byłby to kanał idealny gdyby nie coachingowa maniera prowadzącego :/

[@fyu1945]

coachingowa?

[@arkadiuszniedziela4196]

Do około 30 minuty zrozumiałem wszystko, później musiałem się zastanawiac, ale ogolem fajny material

[@perarubin6041]

Maturzystka z 2k20/21, będę z tobą nocki zarywać w święta c:

[@wasmaro1988]

Nurtuje mnie, jak wyznaczyć wzór na np. sin(1 deg) czyli jedynka w stopniach (nie w radianach) używając wzorów takich jak: sin(3x), sin(2x), sin(0.5x), sin(x+y), sin(x-y)? Nie chodzi mi o wzory z liczbą Eulera, jednostką urojoną (i), liczbą PI oraz jakieś nieskończone szeregi/iloczyny. Wzór może być skomplikowany, byleby był tylko w postaci ułamka z pierwiastkami i zwykłymi liczbami. Dla kątów 18 i 15 są znane krótkie wzory, więc można obliczyć dla kąta 3 stopni wykorzystując wzór sin(x-y): sin(18-15) = ... następnie dzięki sin(x/2) można obliczyć sin(1.5 deg), tj. dla 1 stopnia i 30 minut następnie sin(0.75 deg) itd. Czy da się jakoś uzyskać dla kąta równego dokładnie 1.0 deg? - czy jest może wzór na sin(x/3)? Czy dla każdego kąta da się wyznaczyć?

[@kowalskimateusz]

Bardzo dobre pytanie, faktycznie dla 1,5 stopnia znajdziesz dla 0,75 stopnia znajdziesz, ale dla jedynki już nie. Gdyż nie ma wzoru na na sin(x/3). A tego wzoru nie ma bo wynika to z równania 3 stopnia, do którego dochodzimy próbując wyznaczyć sin(x) ze wzoru na sin(3x). równanie ma 3 rozwiązania rzeczywiste, które wyrażone są przez funkcje trygonometryczne, więc próbujemy złapać się za własny ogon. Mówiłem o tym w filmie kzbin.info/www/bejne/d2KrZ5mZj52bh5I coś koło 15-25 minuty.

[@wasmaro1988]

@@kowalskimateusz Właśnie skoro nie ma wzoru na sin(x/3), to bardzo mnie ciekawi, czy nie dałoby radę poskładać tę jedynkę z takich jakby "klocków"? Mamy np. trzy ciągi (kolejne wyrazy to połówki poprzedniego wyrazu) dla których możemy znaleźć wzór: An = 3, 1.5, 0.75, 0.375, 0.1875, 0.09375, ...; Bn = 9, 4.5, 2.25, 1.125, 0.5625, 0.28125, ...; Cn = 15, 7.5, 3.75, 1.875, 0.9375, 0.46875, ...; 0.5625 + 0.46875 = 1.03125 (prawie jedynka, heh) - a jeszcze możemy od tego wyniku odejmować inne kombinacje sum/różnic. Tak właściwie, to nie musimy złożyć jedynki, bo np. możemy kombinować by uzyskać 0.25/0.5/2/4/5/7/8), a potem sobie wyliczymy dla jedynki.

[@krystianseklecki2333]

Tylko czemu ty tak bazgrzesz czlowieku, ale film fajny dziekuje serdecznie :)

[@mordacwelu920]

ciężko jest "ładnie" napisać jakieś działanie, sam mam z tym problemy, gdy edukuje młodszego kolegę ; p

[@zz184]

Hmm. Operujesz na trójkącie. Świetnie. Z wykresu widać, że sin 0 stopni jest zero, ale zaraz, zaraz... w trójkącie nie ma 0 stopni. Jak to policzyć w takim razie?

[@kowalskimateusz]

+kupicipka kupidupska no faktycznie za dużo punktów postawiłem na ostatnich wykresach :-) Ale faktycznie dobre pytanie wrócimy do tego

[@zz184]

Fajnie. To mam jeszcze inne pytanie: Dlaczego 0! wynosi 1? Przecież to absurd! Jeśli zero pomnożymy przez cokolwiek otrzymamy zero, a silnia to przecież mnożenie przez siebie kolejno liczb 1,2,3 itd. Zatem silnia 3! to 6, tu ok. Jak policzyć, że silnia 0!=1? Mógłbyś zrobić program o takich osobliwościach matematycznych?

[@kowalskimateusz]

Przeczytaj komentarze pod tym filmem kzbin.info/www/bejne/o4KWl3ymnMifqcU ta pisałem dlaczego 0! =1. Co do programu to dzięki za sugestię

[@QuavePL]

A co jesli wierzcholki trojkata leza w tej samej plaszczyznie? Czyli jeden ma 0* a 2 mimo lezenia w jednym pkt maja 90*.

[@sawomirkata8323]

☺

[@WOjoElite]

super : ) ! 10/10

[@kowalskimateusz]

Albrecht Xerxes Dzięki

[@WOjoElite]

kowalskimateuszpl Proszę o jakieś materiały o równaniach różniczkowych. Pozdrawiam!

[@kowalskimateusz]

Dzięki za info

[@matbas7255]

kowalskimateuszpl Miło będzie my już w LO 2 mamy :D

[@zosiaklapuch195]

Faaaaaaaaaaaaaaaajne

[@Agnieszka408]

piękne!

[@lilyash918]

Film w miare zrozumialy, ale nie bazgrz tak. Ja bazgrzę bardziej nawet, ale nikogo nie uczę, więc nikt nie muszę się pilnować

[@huskyhusky777]

jest jakaś dalsza część tego wykładu /lekcjii

[@kowalskimateusz]

+Michal Dao Odcienk 3 tutaj kzbin.info/www/bejne/mJCWg4KkeLGFZ7c

[@N3ro20]

A my w szkole uczyliśmy się rozwiązywać kutangensy 😝

[@kradoxpaaskudack]

6/6

[@royhannajohan7628]

Everest. ..😁

[@bobson144]

Jak oglądałem pierwszy film to mnie bardzo irytowałeś... Oglądam kolejny i wychodzi na to, żeś spoko kolo :)

[@kowalskimateusz]

Dzięki

[@JJSvilleguardian]

kto uchodzi za twórcę trygonometrii?

[@kajtus2342]

Bazyliszek

[@pawekoaczynski538]

Ocena to 3!

[@Adiounys]

Zajebiste filmy. Nie wiem czy tylko mi to przeszkadza, ale strasznie bazgrzesz. W zasadzie to mógłbyś w ogóle nie pisać tego tylko opowiadać, bo czasem kompletnie nie mogę rozszyfrować co napisałeś.

[@700buzz]

Co mnie uderza już na początku - to: mówi Pan w liczbie mnogiej: "odkrył, że może ... 6 takich..", "doszedł także do wniosku, że... i .... odkrył, że ... WARTOŚĆ (l. poj.) tych 6 STOSUNKÓW (l. mnoga)" Raczej"niekoniecznie" poprawna forma wypowiedzi. Należałoby ew. z p. Miodkiem w dysputę, bo j. polski jest wciąż "żywy", więc wszystko przed nami ;). Tyle, że na "tablicy" zapisano: "Doszedł do wniosku, iż w takim trójkącie wartości tych stosunków..." Napisałem to tylko dlatego, bo słuchają tego dzieciaki (uczniowie) - przed którymi też wkrótce matura z j. polskiego. Sam specjalistą w tej dziedzinie nie jestem. Ale to "uderza" niespójnością.

[@700buzz]

I bardzo podoba mi się tłumaczenie "...po co masz skróty na pulpicie w komputerze?..." - BARDZO BARDZO BARDZO przemawiające. To naprawdę świetne porównanie !!!!!

[@senditletmeknow]

12:45 CZYDZIEŚCI, CZYDZIESTU, CZYDZIEŚCI CZY - tragednia, uszy bolą od takiego kaleczenia

[@Grivirex]

+CzarodziejEizenhaim faktycznie straszne..