Μαθήματα Ανάλυσης Γ' Λυκείου - 21. Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών

[@tsanos66]

Είστε τρομερός μας βοηθάτε πάρα πολύ!!!! Ευχαριστούμε πολύ!!

[@iossifid]

Σ' ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια. Να έχεις καλή επιτυχία στις Πανελλήνιες.

[@newuser8114]

Γεια σας κύριε Νίκο. Στο 3ο παράδειγμα αυτού του μαθήματος (...υπάρχει ξ στο διάστημα (1,3) ώστε 3f(ξ)=f(1)+f(2)+f(3) ... ) μήπως θα έπρεπε να έλεγε : " να δείξετε ότι υπάρχει ξ που ανήκει στο [1,3] ώστε 3f(ξ)=f(1)+f(2)+f(3)" ; Στην 1η περίπτωση όπου m=M το ξ μπορεί να είναι οποιοδήποτε από τα 1, 2 ή 3 Στην 2η περίπτωση όπου m

[@iossifid]

Σας ευχαριστώ για την επικοινωνία. Εξηγώ πολύ αναλυτικά αυτό που λέτε στο 18:40-19:50

[@newuser8114]

@@iossifid έχετε απόλυτο δίκαιο, μου είχε διαφύγει της προσοχής. Σας ευχαριστώ πάρα πολύ

[@ΑΣΠΡΌΜΑΥΡΑΑΝΑΤΟΛΙΚΆ]

Γεια σας κύριε Νικο, κατ αρχήν ευχαριστώ για τη βοήθεια στις ασκήσεις. Ηθελα να σας κάνω μια ερώτηση σχετικά με το παράδειγμα 6: θα μπορούσαμε έτσι όπως ήταν η σχέση f(x) εις το τετράγωνο =4 να βάζαμε ρίζες έτσι ώστε να έμενε /f(x)/=2 και μετά να λέγαμε ότι η f δε μηδενίζει ( απόδειξη με άτοπο) άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R (αφού f συνεχής) . Άρα με αυτόν τον τρόπο να βγάζαμε το απόλυτο διακρίνοντας 2 περιπτώσεις f(x) =2 αν f(x) >0 η f(x)=-2 αν f(x)

[@iossifid]

Ευχαριστώ για την επικοινωνία. Η απόδειξη που υποδεικνύεις είναι σωστή, αλλά στηρίζεται στο αμέσως επόμενο μάθημά μου (το 22ο) ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Έδωσα τη συγκεκριμένη απόδειξη στηριζόμενος στα μέχρι τώρα μαθήματα.

[@ΑΣΠΡΌΜΑΥΡΑΑΝΑΤΟΛΙΚΆ]

@@iossifid ευχαριστώ για την απάντηση σας και συγνώμη για την ενόχληση

[@ΔιονύσηςΤ-π5ρ]

Κύριε Νίκο θα ήθελα να ρωτήσω αν το θεώρημα Bolzano είναι εναλλακτικό με το θεώρημα ενδιάμεσο τιμών για όλες τις ασκήσεις ή αν υπάρχουν προβλήματα που λύνονται αποκλειστικά με την χρήση του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών. Επίσης, στο εν λόγω βίντεο όλες οι ασκήσεις δύναται να λυθούν και με Bolzano ή όχι;

[@iossifid]

Σας ευχαριστώ για την επικοινωνία. Το θεώρημα Bolzano και το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών είναι ισοδύναμα. Δηλ. από το πρώτο προκύπτει το 2ο ως συμπέρασμα και από το 2ο προκύπτει το 1ο. Αυτό έχει ως συνέπεια ΚΑΘΕ άσκηση που μπορεί να αποδειχθεί με το θ. Bolzano, μπορεί να αποδειχθεί και με το θ. των ενδιαμέσων τιμών και αντίστροφα ΚΑΘΕ άσκηση που μπορεί να αποδειχθεί με το θ. των ενδιαμέσων τιμών μπορεί να αποδειχθεί και με το θ. Bolzano.

[@ΔιονύσηςΤ-π5ρ]

Σας ευχαριστώ κατάλαβα. Δηλαδή και η άσκηση 3 στο παρόν βίντεο που κάνετε την χρήση του αριθμητικού μέσου για να πάρετε το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών βγαίνει και με Bolzano ( δεν ξέρω πως βγαίνει το αρνητικό γινόμενο). Μήπως ενώ και τα δύο θεωρήματα είναι εναλλακτικά η προτίμηση του ενός , ίσως βάση κάποιων κριτηρίων, δίνει πιο γρήγορη και εύκολη λύση; Όλοι πάντως οι μαθητές, βιβλία, καθηγητές προτιμούν πάντα το θεώρημα Bolzano, δεν ξέρω γιατί. Νομίζετε είναι πιο εύκολο στην κατανόηση ή οδηγεί πιο εύκολα στην λύση μιας άσκησης;

[@iossifid]

@@ΔιονύσηςΤ-π5ρ Αν θέλουμε να αποδείξουμε με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών ότι μια συνάρτηση παίρνει την τιμή η αποδεικνύουμε ότι παίρνει μια τιμή μικρότερη του η και μια τιμή μεγαλύτερη τιμή του η, άρα παίρνει και την τιμή η, ενώ με το θ. Bolzano θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x)-η και αποδεικνύουμε ότι παίρνει μια θετική και μια αρνητική τιμή, οπότε σε κάποιο ενδιάμεσο σημείο x0 η g μηδενίζεται, άρα f(x0)=η. Το θ. των ενδιαμέσων τιμών σε πολλές περιπτώσεις είναι πιο άμεσο, δηλ. πιο γρήγορο, όμως και το θ. Bolzano μπορεί να "κάνει τη δουλειά" πολύ εύκολα θεωρώντας τη βοηθητική συνάρτηση g που περιγράφω πιο πάνω.

[@stavrosmarinos5139]

Γεια σας Κύριε Νίκο, στην τελευταία άσκηση, πως είμαστε σίγουροι ότι υπάρχει ο αριθμός κ που λέτε. Aν δεν κάνω λάθος το αξίωμα της πληρότητας του απειροστικού λογισμού μας εξασφαλίζει ότι για κάθε πραγματικό αριθμό υπάρχει σίγουρα ο επόμενος του. Γίνεται τα f(1),f(2),f(3) να είναι διαδοχικοί αριθμοί? Ευχαριστώ πολύ.

[@iossifid]

Σας ευχαριστώ για την επικοινωνία. Τα f(1), f(2), f(3) δεν είναι ακέραιοι, είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί. Μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών, πάντοτε υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός, π.χ το ημιάθροισμά τους (υπάρχουν βέβαια άπειροι πραγματικοί μεταξύ δύο οποιωνδήποτε πραγματικών αριθμών)

[@lizardoz6970]

ωραια δουλειααα

[@iossifid]

Σας ευχαριστώ

[@thanasisportokali1737]

5:03

[@thanasisportokali1737]

6:04