Hat diese Gleichung NULLSTELLEN? - Rätsel FAZ

[@MathemaTrick]

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[@fabis8797]

Mittlerweile bin ich 34 und als Rechtsanwalt tätig. Hatte damals Mathe LK. Habe großen Spaß an deinen Videos und finde deine Art sehr sympathisch. Erschreckend, wie wenig noch von den Mathe Kenntnissen hängen geblieben sind ;)

[@MathemaTrick]

Hey Fabi, Dankeschön für deine lieben Worte! 🥰

[@mr.mystery9876]

Also ich bin in Mathe eine Nullstelle aber deine Vids helfen sehr, danke

[@MathemaTrick]

Haha, freut mich, dass ich dir mit meinen Videos helfen kann! 😊

[@kaltaron1284]

Schreib dich nicht ab, du kannst auch noch ein Wendepunkt werden. ;)

[@tori7872]

@@kaltaron1284 bestimmt findet er noch einen lokalen Höhepunkt

[@kaltaron1284]

@@tori7872 Danach geht es dann aber leider erstmal wieder abwarts.

[@Birol731]

Herzlichen Dank für diese Frage 🙏 Mein Lösungsvorschlag lautet für die Gleichung: 0,5x^(4)-1,5x²+2, ich würde x²=u definieren, dann bekommen wir: 0,5u²-1,5u+2=0 und wenn wir beide Seiten mit 2 multiplizieren, bekommen wir: u²-3u+4=0, die Diskriminante wäre: b²-4ac= 9-4*1*4= 9-16= -7

[@uwelinzbauer3973]

Habe mir das Video angesehen. Habe mich auch erinnert, vor langer Zeit biquadratische Gleichungen gehabt zu haben. War aber gut, die Vorgehensweise mit der Substitution noch einmal gezeigt zu bekommen. Danke dafür! Herzliche Grüße!

[@MathemaTrick]

Hey Uwe, freut mich, dass dir das Video gefallen hat! :)

[@sonic8486]

Schöne Frage und, wie immer, eine schöne Erklärung. Danke.

[@klausherzog2605]

Um festzustellen, ob die Funktion reelle Nullstellen hat kann man auch einen komplett anderen Ansatz wählen: - die höchste Potenz ist 4 - damit geht die Funktion für +/- unendlich nach +unendlich. - Extremwerte berechnen f'(x)= x(2x^2 -3) = 0 --> f(x) für alle 3 Extremwerte positiv, daraus folgt, dass die Funktion nie negativ wird und von daher auch keine reellen Nullstellen hat.

[@renekoelzer2328]

Hallo Susanne, der Ausdruck "biquadratische Gleichung" war mir völlig neu. Wieder was gelernt. Danke und freundliche Grüße!

[@MagicChris86]

Lernt man meist frühestens ab Klasse 11, wenn man nicht gerade auf einer Schule mit mathematisch betontem Zug ist (dann manchmal schon in der Zehnten), vielleicht daher?!

[@renekoelzer2328]

@@MagicChris86 Hallo, ich meinte speziell den Wortlaut "biquadratisch". Gleichungen mit X^4 + x^2 .... sind mir natürlich bekannt. Grüße!

[@goldfing5898]

@@MagicChris86 Bei uns auf einem humanistischen Gymnasium schon in der 10 Klasse.

[@Retromucke1304]

Mathe bzw. Rechnen ist einfach super entspannend : ) War schon immer Fan der Quadratischen Ergänzung...Bin zum Glück auch aufs gleiche "Ergebnis" gekommen, allerdings erst nach dem Hinweis, dass man Substituieren muss : ) Oh boy, Schule ist echt lang her....

[@goldfing5898]

Anstatt f(x) kann man auch 2*f(x) auf Nullstellen untersuchen, also die Gleichung f(x) = 0 bzw. 0,5x^4 - 1,5x^2 + 2 = 0 mal 2 nehmen: x^4 - 3x^2 + 4 = 0 um Bruchrechnung zu vermeiden. Mit der Substitution x^2 = t erhält man die quadratische Gleichung t^2 - 3t + 4 = 0. Man kann nun die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung berechnen: a = 1, b = -3, c = 4. Also D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*1*4 = 9 - 16 = -7 und sieht, daß sie negativ ist, die Gleichung also keine (reellen) Lösungen bzw. die Funktion f keine (reellen) Nullstellen hat.

[@goldfing5898]

PS: Die pq-Formel würde ich hier nicht verwenden, da zwar a = 1 ist, b = p = -3 aber ungerade, was ungünstig ist (unnötige Bruchrechnung, da p/2 = -3/2 nicht ganzzahlig). Her st die abc-Formel bzw. Mitternachtsformel besser geeignet.

[@lotharkramer5415]

Noch ein Satz zum Abschluss: Die Rücksubstitution bleibt uns diesmal erspart.

[@sergiujianu2643]

Ich denke man sieht es von Anfang: x hoch 2 und x hoch vier ist immer positiv. nach der substitution bleibt dann 0,5 mal irgendwas zum quadrat soll um 2 mehr sein als das etwas mal 1,5. das geht auch nicht.

[@felistrix7163]

Meinst du, weil 1,5-0,5=1

[@larsstapel641]

Vielen Dank für ihre Videos ich hätte da aber eine Frage könntest du auch ein Video machen das um Dezimalzahlen in Brüche umwandeln geht😊❤

[@easywebb2171]

Die Überprüfung der Diskriminante D liefert unmittelbar D

[@kyoriyasanagi]

Wo war jetzt die Rücksubstitution?

[@chitamazing4237]

Danke für die Erklärung. Aber, was passiert wenn die Zahl unter der Wurzel nicht negativ ist? Wie rechnet man das dann weiter?

[@bachglocke3716]

Wenn wir schon dabei sind, die Nullstellen in der komplexen Ebene zu suchen, dann können wir auch die Lösungen für die "x" angeben: Es muß also dann jeweils die Wurzel aus der komplexen Zahl errechnet werden. Keine Angst davor: Man gibt die komplexe Zahl zunächst als Polarkoordinaten an: Betrag und Winkel. Dann zieht man vom Betrag die Wurzel und halbiert den Winkel. Danach kann man das Ergebnis wieder in Real- und Imaginärteil umrechnen und man hat dann auch die Lösungen für die "x".

[@mohammedcraft711]

bin in der 10 klasse und habe es trotzdem verstanden ,dankeeeeee

[@MathemaTrick]

Wow, super!! ☺️

[@uwelinzbauer3973]

... mir ist noch was eingefallen: Wenn ich Buchstaben für Variablen brauche (wie hier für die Substitution), nehme ich alles mögliche, aber kein "o", das kann man zu leicht mit einer Null verwechseln. Mache auch immer einen Strich in die 7 und in das z. Und i nehme ich nur für Wurzel aus -1.

[@learninggermanwithtom]

Die Gleichung mit 4. Ordnung sollte 4 Lösungen haben. Macht das Sinn, nur reelle Lösung zu finden?

[@pinkeHelga]

Kann man sich stets darauf verlassen, daß kein reelles Ergebnis herauskommen kann, wenn eine negative Zahl unter der Wurzel in der Substitution steht? Oder müßte man eigentlich noch die Rücksubstitution prüfen, ob man wieder auf ein reelles Ergebnis zurückkommen könnte? - Falls ja, hast Du ein Beispiel, bei dem der Fall eintrifft? Es gibt ja einige Rechenwege mit reelen Endergebnissen, bei denen man einen Ausflug über die komplexen Zahlen macht. Daher bin ich in dem Fall etwas unsicher.

[@goldfing5898]

Das kann bei einer biquadratischen Gleichung der Form ax^4 + bx^2 + c = 0, wie sie in der Schule öfters vorkommt, nicht passieren. Was Sie beschreiben, kann jedoch bei einer kubischen Gleichung (also Gleichung 3. Grades) vorkommen, der Form ax^3 + b^2 + cx + d = 0. Ein einfaches Beispiel wäre x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 Dieses hat 3 reelle Lösungen 1, 2, 3, da man den Term auch (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0 schreiben kann. Wenn das Ding aber keine ganzzahlige Lösung hat, die man erraten kann, wird's schwierig: Dann braucht man die sog. Cardanische Formel als Lösungsformel, die komplizierter als die Mitternachtsformel ist, und deshalb in der Schule nicht drankommt. Und die hat dieses Problem genau dann, wenn es sogar 3 reelle Lösungen gibt.

[@carstenlechte]

Wenn man eine komplexe Zahl quadriert, kriegt man wieder eine komplexe Zahl raus (a+ib)²=a²+2abi-b². Zwei Abis sind ziemlich komplex! Das hätte Susanne erwähnen können.

[@pinkeHelga]

@@goldfing5898 Cool, danke Euch beiden.

[@naveedchaudhry5164]

Du erklärst das so gut , mein Abo und like ist immer dabei❤. Hab das meine Freude auch empfohlen und die haben auch ein Abo und like hinterlassen

[@MathemaTrick]

Vielen Dank für deinen Support ❤️

[@naveedchaudhry5164]

Immer gerne

[@MatthiasHolgerMieth]

Die Substitution ergibt keine reelle Lösung für 0,5u² - 1,5u + 2. Die Diskriminante ist negativ (-1,75). Die Resubstitution ergibt erst recht keine reelle Lösung.

[@noidea3714]

Hallo 🙂 Welches Programm verwendest du bitte? Verwendest du Mac oder Windows? Vielen lieben Dank für deine Hilfe :-)

[@MathemaTrick]

Schau mal in der Videobeschreibung, da habe ich alles verlinkt was ich benutze ☺️

[@noidea3714]

@@MathemaTrick Sorry - ur lieb von dir (also sehr lieb - falls du das in Deutschland mit dem ur nicht so verstehst :-) ) PS: Deine Videos sind wunderbar - bitte mach so weiter 🙂

[@ossital1808]

Danke

[@felistrix7163]

Ich habe es ganz anders gelöst. Ich habe mir zunächst den groben Funktionsverlauf vorgestellt. Da x an beiden Stellen gerade Exponenten besitzt, ist eine Unterscheidung zwischen positiven und negativen x-Werten nicht notwendig. x⁴ steigt bis 1 flacher als x² und anschließend steiler. Der Faktor 0,5 lässt das x⁴ noch flacher ansteigen und das 1,5 das x² noch steiler. Es verschiebt sich also nur der Schnittpunkt, davor bleibt aber x⁴ flacher als x² und danach steiler. Alles nach dem Schnittpunkt fällt raus, da von einer größeren Zahl eine kleinere Zahl abgezogen und dann wieder 2 addiert wird; das ist immer größer als 0. Mein erster Versuch war es, den Schnittpunkt (von 0,5x⁴ und 1,5x²) zu ermitteln. Wäre der Funktionswert dort kleiner als 2 gewesen, hätte das bereits eine Lösung ausgeschlossen. Er beträgt aber 4,5. Mein zweiter Versuch war es, die Tiefstelle von 0,5x⁴-1,5x² zu finden; also die Nullstellen der Ableitung. Diese liegt bei x=√1,5. In die Gleichung eingesetzt ergibt das -1,125. Durch die Addition von 2 hat die ursprüngliche Gleichung somit nur Funktionswerte ≥ 0,875 und somit keine Nullstellen. PS: Das ist zwar viel Text, das wirkt aber komplizierter als es (für mich) ist, da ich hier nunmal einfach keine Bilder malen kann, ich es mir aber bildlich vorgestellt habe.

[@MagicChris86]

Clevere und durchaus legitime Herangehensweise. Ich habe mir im Kopf grob die Substitution vorgestellt und konnte dann recht schnell "sehen", dass der Graph der Funktion oberhalb der X-Achse liegen muss, da der kleinste Wert zwischen 0,5 und 1 liegen muss, weshalb es keine Nullstellen gibt.

[@theomietzke993]

DAS WAR ABER LEIDER NICHT RICHTIG IHR LIEBEN ❤😂❤

[@Stefan-S]

Was ist denn aus MoonSun geworden, leider schon lange nichts mehr gehört.

[@samo53696]

Hey, ich verstehe folgende Aufgabe nicht und wie ich die löse. Ich soll die Funktionsvorschrift von einem Polynom bestimmen. In der Aufgabe wird ein Graph 3. Grades angezeigt mit einer doppelte Nullstelle bei -3 und zwei einfachen Nullstellen bei -1 und 2 und einem Punkt (1;-1). Ich hätte gerne Hilfe!

[@thorstenschluter3698]

@M.Großmann, hier muss sich ein Fehler eingeschlichen haben. Eine Funktion 3. Grades kann nicht eine doppelte UND zwei einfache Nullstellen haben. Dafür bräuchten wir eine Funktion 4. Grades. LG

[@gelbkehlchen]

Lösung: Man kann die Funktion auf GeoGebra 5 zeichnen, und man sieht, dass sie keine reellen Nullstellen hat. Man kann aber auch die Tiefpunkte mit der Ableitung f’(x) = 0,5*4*x³-1,5*2*x = x*(2x²-3) suchen, in dem man die Ableitung gleich null setzt x*(2x²-3) = 0 und erkennen, dass die Tiefpunkte über der x-Achse liegen, und dass die Funktion für x gegen plus unendlich und für x gegen minus unendlich gegen plus unendlich geht und das deshalb die Tiefpunkte nicht nur lokale Tiefpunkte sind, sondern auch absolute Tiefpunkte und damit die Funktion keine reellen Nullstellen haben kann: lim(0,5x^4-1,5x²+2) = lim[(0,5-1,5/x²+2/x^4)*x^4] = 0,5*x^4 = +∞ x➝±∞ x➝±∞ Außerdem ist sie überall differenzierbar und hat deshalb keine Sprünge.

[@constanzes.5159]

Schöne Aufgabe - und wie immer hab ich erst einmal selbst herumgerechnet. Ich hab auch munter substituiert, nur eben mit z= 1/2*x^2, da die Faktoren in der Funktion vor den xen beide 1/2 enthalten. Mit z^2 - 3*z + 2=0 hab ich dann aber tatsächlich Ergebnisse für z1 und z2 bekommen, nämlich 1 und 2. Wo liegt mein Fehler? Nach Vergleich mit Susannes Ergebnis habe ich mich gewundert, dass der Widerspruch in meinem Lösungsweg nicht irgendwann bei der Rücksubstitution zutage tritt. Stattdessen kriege ich zwei Koordinaten für Nullstellen, die ganz prinzipiell Sinn machen würden - (2/0) und (-2/0) und zwei weitere, die gar keine Nullstellen sind (sqrt2/1) und (-sqrt2/1). Hat jemand von euch eine Idee? 😵‍💫

[@BloxxingDinosaurus]

Substitution: z = x² 0,5z² - 1,5z + 2 = 0 Aber 1,5² - 4×0,5×2 ist negativ, und man kann in der Mitternachtsformel keine negativen Wurzeln ziehen, weswegen es keine Nullstellen gibt.

[@m.h.6470]

KANN man schon. Da wir aber im reellen Zahlenraum sein sollen, ignorieren wir diese Lösungen einfach.

[@BloxxingDinosaurus]

@@m.h.6470 Echt jetzt? Keine Ahnung, ich habe das Abitur noch nicht abgeschlossen.

[@m.h.6470]

@@BloxxingDinosaurus Ja, echt. √(-1) wird in höherer Mathematik einfach als "i" bezeichnet. Oder um es exakt zu sagen: Für "i" gilt i² = -1. Damit rechnet man dann einfach weiter. Das Ergebnis wird dann als komplexe Zahl bezeichnet. Deshalb haben solche Aufgaben in der Regel den Zusatz "im reelle Zahlenraum", oder "gebe reelle Lösungen an".

[@Dialga-Palkia]

Wenn nicht nach den Nullstellen selbst gefragt wird, sondern nur ob es welche gibt, kann man sich die Antwort schon denken. :)

[@habichmeyer]

Für die Gleichung in der Z-Form sollte das Gleiche bezüglich der Nullstelle gelten, wie für die X-Form. Ich sehe gerade nicht, wozu wir eine Rück-Substitution brauchen sollten

[@Rollkragenpullover]

Ich denke, die Rücksubstitution brauchen wir "normalerweise" (z.B. beim genauen Berechnen der Nullstellen); bei dieser Aufgabenstellung hier können wir aber vorher schon abbrechen (eben beim Nachweis für die z-Fassung), was Susanne ja auch macht.

[@habichmeyer]

@@Rollkragenpullover Normalerweise-Denken finde ich in der Mathematik bedenklich. Erstmal schauen, was wirklich gegeben ist und im Kopf behalten, was man sucht. Solche Überlegungen, wie man könnte dann noch ... hier: die Nullstelle ausrechnen, sind natürlich immer möglich, aber oft nicht nötig

[@carstenlechte]

Man muss halt sicher sein, dass eine komplexe Zahl durch die Rücksubstitution niemals reell werden kann.

[@jencas]

Ein bisschen Umformen und man sieht es direkt: 0.5 (x^2 -1.5)^2 + 0.875 wegen (x^2 -1.5)^2 >=0 ist für alle x das Ergebnis > 0.875

[@jencas]

So, und jetzt schau ich mir das Video an

[@DanielEberhard]

Man kann das auch wie folgt lösen: Mit einer Variante von quadratischer Ergänzung: 0,5x^4 -1,5x² +2 = 0 | * 2 x^4 -3x² +4 = 0 x^4 -3x² + 1,5² -1,5² +4 = 0 (x²-1,5)² + 1,75 = 0 Der quadratische Term ist immer mind. 0, und das "+1,75" macht das Ergebnis dann ≥ 1,75 , also immer >0

[@Michael00000001]

Antwort ist NÖ! Kann man doch dem Leser nicht zumuten! Da hatte die FAZ wohl ihren destruktiven Tag 😅.

[@Neidhard-von-Blaufels]

Das war jetzt aber ein abruptes Ende, einfach "Nö".

[@theomietzke993]

ENTSCHULDIGUNG ICH GLAUBE ES WAR DOCH DIE 3. ABLEITUNG ICH MUSS NOCH EINMAL NACHSEHEN 😂😂😂

[@officallarsonyoutube]

Du kannst übrigens auch in einem Kommentar erneut antworten😂😂

[@_H__T_]

Gleich zu Anfang des Videos: ich würde hier die Substitution anwenden: u=x^2 - mal sehen, ob ich recht habe...

[@_H__T_]

BINGO!!!

[@mchljhnk5082]

-1,5 :0,5 und 2 :0,5 sollte man schon ohne Taschenrechner lösen können.

[@ShionShinigami]

Substitution?

[@christianh.3681]

Man kann die Fragestellung auch ohne Rechnung anhand von Überlegungen bzgl. des Graphen der Funktion beantworten 🙂

[@edwardweiss6327]

Dachte ich auch. Man sieht ja sofort dass es eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Y-Achsenabschnitt 2 ist

[@b.wartree3678]

​@@edwardweiss6327 der Graph sieht eher aus wie ein W, daher ist die Überlegung nicht Allgemein richtig in diesem Fall nur weil das b (Faktor vor dem x^2) > -2 ist und daher die Auswirkung vom x^4 Teil immer dem negativ Anteil von x^2 überwiegt.

[@utedalheimer1742]

❤❤

[@thomast3620]

Ich hab hingeschaut und 1 gedacht und weil die Exponenten alle gerade sind natürlich auch -1 aber datt stimmt ja so nit

[@faberson4078]

Ohne Taschenrechner kann man es auch Alternativ mit Satz von Vieta beantworten

[@eisikater1584]

So ganz unemotional ist Mathe ja auch nicht, ohne viel Rechnerei habe ich spontan "Nö!" gesagt, aber danke für die Herleitung.

[@theomietzke993]

NEIN SIE HAT KEINE NULLSTELLEN ❤

[@njr8029]

Habs geschafft 😂

[@MathemaTrick]

Perfekt! 😜

[@BlinkCurios]

Nicht erster schade 😢😢😢😢😢😢😢😭😭😭 Trotzdem können wir uns bestimmt mal in KL treffen, oder? ❤

[@Brammen]

Eine Gleichung hat Nullstellen???

[@afoxlp]

Fast erster

[@m.h.6470]

Lösung: 0,5x⁴ - 1,5x² + 2 = 0 |*2 x⁴ - 3x² + 4 = 0 (x²)² - 3x² + 4 = 0 |Substitution: u = x² u² - 3u + 4 = 0 u₁,₂ = -(-3/2) +- √((-3/2)² - 4) u₁,₂ = 3/2 +- √(9/4 - 16/4) u₁,₂ = 3/2 +- √(-7/4) u₁,₂ = 3/2 +- √(-7)/2 Wurzel aus negativen Zahlen ergibt komplexe Zahlen. Daher gibt es keine realen Nullstellen für diese Gleichung.

[@imperator9396]

Eine Gleichung hat Nullstellen??? Wohl eher Lösungen...

[@thomasfurholzer6517]

Die Funktion hat keine Nullstellen