PRÜFUNGSAUFGABE Stetigkeit reeller Funktionen, Beispiel x^arctan(x) für x größer 0 und 1 für x=0

Klausuraufgabe Analysis, 2022 Frühjahr Teil 1 Aufgabe 2, Staatsexamen Lehramt Bayern. In dieser Aufgabe ist nach der Stetigkeit der reellen Funktion x^arctan(x) für x größer 0, bzw. 1 für x=0 gefragt. Für die Untersuchung der Stetigkeit im Punkt x=0 sind einige Umformungen und die Regel von L'Hospital erforderlich.
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Inhalt:
0:00 Aufgabenstellung
2:00 Stetigkeit im Bereich x größer 0
5:21 Stetigkeit im Punkt x=0
20:48 Outro
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.

[@marys4202]

Wow top erklärt! Richtig kompetent mit mega background wissen 🙌🏼

[@jorex6816]

Genau solche Videos hab ich vermisst! Freue mich auf die kommenden Videos! :)

[@mathemitnawid]

Geht mir genauso. Einfach mal wieder Uni-Sachen 👍👍.

[@aequus_formidus8192]

Sowas schaut man sich gerne an, super erklärt und sehr lehrreich :D

[@tolltobipkmn7154]

Genau diese Videos habe ich während der Abi-Zeit vermisst. Top!!

[@MathePeter]

Jetzt kommen sie beinah täglich!

[@Silberstern-bd9jx]

Ich kann gar nicht sagen wie dankbar ich wirklich für deinen Kanal bin! Durch dich habe ich beim Analysis Übungsteil im Semester eine 1 geschafft, und wahrscheinlich rettest du mir die Vorlesungsprüfung morgen auch noch! 😊

[@MathePeter]

Ich hoffe doch haha. Wie ist es gelaufen?!

[@Silberstern-bd9jx]

@@MathePeter Ganz gut, vom Gefühl her brauche ich also keinen 2. Antritt 😊

[@MathePeter]

Das ist sehr schön! :)

[@user-nb7lu7ld3x]

Einfach super :)

[@oktay-canberkpinar7746]

Das Video ist wirklich interessant und gut gelungen. Vielen Dank dafür. :-)

[@MathePeter]

Vielen Dank! Es kommen noch viele weitere spannende Aufgaben :)

[@mehrdodpirmatov4177]

Danke dafür

[@j.p.perfekt5460]

Ich finde es so unglaublich schwer auf so einen langen Lösungsweg selber während einer Prüfung zu kommen, bei welcher man für jede Aufgabe im Schnitt 20 Minuten Zeit hat. wie soll man das schaffen wenn man nicht hochbegabt ist xD.

[@MathePeter]

Wenn ich nicht so viel quatschen würde, wäre die Aufgabe auch in 5 min erledigt gewesen hahaha

[@LebenWerden]

hi. Wie nennt man die Darstellung beider Funktion in der geschweiften Klammer? Grund meiner Frage: Ich habe einen Ordner mit Registerkarten. 1. Polynome 2. e-Funktionen 3. Log-Funktionen usw. Wie aber soll ich die Art von Funktion, wie in der Aufgabe, definieren? Ok, ich könnte Stetige Funktionen sagen. aber was wenn sie nach der Untersuchung unstetig sind?

[@MathePeter]

Vielleicht stückweise definierte Funktionen?

[@mathemitnawid]

Wäre es auch legitim zu sagen/zeigen, dass eine Funktion (streng) monoton steigend bzw. wachsend ist und daher ist sie stetig oder findest du die Begründung zu „schwammig“? (Stimmt für diese Funktion nicht, aber für e^x gilt das zum Beispiel)

[@EnsnaredProductions]

Das gilt I’m Allgemeinen nicht. Zeichne dir die Funktion x für den definitionsbereich [0,1] und die Funktion x+1 im Bereich (1,infty). Dann ist die Abbildung im Punkt 1 nicht stetig, da sie von 1 auf 2 springt. Aber dennoch ist sie offensichtlich strikt monoton wachsend.

[@alexpremium9005]

Ich bin ein bisschen irritiert, dass bei der zweiten Ableitung der Faktor 1/(1+x^2) nicht auch abgeleitet werden muss. Da ich dachte, wenn der Grenzwert der Funktion nicht existiert, was ja hier der Fall ist (0/0), dann kann doch der Grenzwert 1/(1+x^2) -> 1noch nicht gebildet werden, oder?

[@MathePeter]

Der Grenzwert von Summe/Differenz/Produkt/Quotient ist gleich Summe/Differenz/Produkt/Quotient der Grenzwerte, falls diese existieren. Darum kannst du den Grenzwert von 1/(1+x^2) schon mal unter Vorbehalt ausrechnen und musst den Term nicht mehr mit dir rumschleppen. Wenn am Ende wirklich ein Ergebnis rauskommt, war es erlaubt so vorzugehen.

[@alexpremium9005]

@@MathePeter okay, also solange der Grenzwert irgendwann, auch nach meherern l'hopital Anwendungen gebildet werden kann, können Teilgrenzwerte schon im Vorhinein gebildet werden? Ich dachte vorher, dass das nur für den jeweiligen Schritt gilt und wenn dann nicht direkt ein Ergebnis raus kommt, muss quasi wieder mit dem gesamten Grenzwert gerechnet werden. Dankeschön!

[@MathePeter]

Genau! Weil das Argument von der Regel immer auf den nächsten Schritt übertragen werden kann.

[@ncliphd4162]

Warum muss man die neue Basis bilden? x ist stetig & arctan(x) ist stetig -> x^arctan(x) ist stetig.... oder was genau ist der Vorteil wenn ich die e-Funktion in der Basis habe? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Finde es klasse, dass du Klausuraufgaben aus der Uni vorrechnest :) Danke!

[@MathePeter]

Stimmt schon. Um jedoch die Stetigkeit im Punkt x=0 zu untersuchen, müssen wir den Grenzwert bilden. Das geht besonders einfach durch das Umformen mit der e-Funktion :)