KLAUSURAUFGABE Stetigkeit, Differenzierbarkeit (partiell und total), Richtungsableitung

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MathePeter

Күн бұрын

Пікірлер: 101

@Timbo-ck7bd 3 ай бұрын

Danke Peter, durch dich kommen wir durchs Mathestudium. Wir lieben dich

@eddill2638 2 жыл бұрын

Peter du bist eine Legende, genau das was ich und sicherlich viele andere zur Klausurvorbereitung brauchen. Danke!

@Mr.Brickz Жыл бұрын

Brutalste Erklärung der Erklärungen. Einfach partielle Differenzierbarkeit auf Ehrenlos gegeben. Vallah krank.

@johnymahmuti9286 Жыл бұрын

Wirklich gut gemacht, du erklärst langsam, mimmst dir Zeit, sprichst drutlich und einzelnen Schritte, die zur Lösung führen. Weiter so👍

@niklas4628 2 жыл бұрын

Genau das, was ich heute zur Klausurvorbereitung gebraucht habe. Top!

@niklas4628 2 жыл бұрын

Du hast ja im Video erwähnt, dass das mit der Umwandlung in Polarkoordinaten nicht immer so einfach ist wie hier und du das in einem anderen Video zeigst. Ist das Video schon hochgeladen ?

@MathePeter 2 жыл бұрын

Ja, ich habe eine Infokarte an der Stelle erstellt mit Link zum Video. Das kam vor 2 Wochen raus.

@tillmanntroster4663 6 ай бұрын

Du schaffst es echt immer wieder gut, die oft erst unverständlichen Themen einfach wirken zu lassen. Das hilft sehr! Bester Mann

@MathePeter 6 ай бұрын

Danke dir! :)

@lauramignoli7288 Жыл бұрын

ich finde deine Erklärungen wirklich sehr gut! Vielen lieben Dank für die Arbeit, die du in deine Videos steckst.

@MathePeter Жыл бұрын

Das freut mich, vielen lieben Dank!

@jontumlp 2 жыл бұрын

Hm ich muss Stetigkeit wiederholen, PUFF da hat jemand was perfektes hochgeladen, großen Dank für alles 😊

@Baniire 2 жыл бұрын

Find ich klasse, dass genau die Themen hochgeladen werden, die mich besonders kirre machen :) Kannst du vielleicht mal ein Video zur Einsetzmethode bei Extremwertproblemen machen? Lg!

@MathePeter 2 жыл бұрын

Klar mach ich! Freut mich, dass die Videos weiterhelfen :)

@tomfleischmann4994 Жыл бұрын

Genau was ich brauche Peter!

@massimofontana5709 Жыл бұрын

Existieren alle partiellen Ableitungen von f in x_0 und sind diese stetig, so ist f differenzierbar in x_0 und damit ist f auch stetig, denn wie wir wissen gilt: Diff'barkeit => Stetigkeit, d.h. die Aufgabe b) löst gleichzeitig Aufgabe a). Falls jemand es nachlesen will: z.B. Ehrhard Behrends Analysis Band 2, Satz 8.2.4. (ii). Danke für die weitere Möglichkeit.

@lawlies7714 Жыл бұрын

exakt! Jedoch immer merken: partielle Differenzierbarkeit /=> Stetigkeit! Denn wie du gesagt hast, müssen sie nicht nur partiell differenzierbar sein in x_0, sondern auch stetig! Erst dann ist f differenzierbar in x_0 und somit auch stetig.

@cookingandjava7574 2 жыл бұрын

Super video! Richtig trickreich, dieser Stetigkeitsbeweis

@meemdt7455 2 жыл бұрын

Nice, genau das was ich brauche. Dankee!!! Ein video zu Phasenpotraits zu dgls, dgl systeme, kritischer punkt, quellen usw. Wenn du das in dgl playlist mit reinpackst, wäre das sehr hilfreich Ich empfehle dich jeden meiner Kommilitonen hier auf der rwth. Gibts bald wieder Live streams zu den Themen?

@MathePeter 2 жыл бұрын

Es kommen bald wieder Livestreams. Die werden aber wahrscheinlich in einem neuen Format passieren. Damit ich flexibler bin :)

@happyhappyme6467 2 жыл бұрын

Voll gut perfektes timing❤️

@speckpackgamer 2 жыл бұрын

Was bedeutet es genau, wenn die Funktion bezüglich φ nicht beschränkt ist? Und wie kann man nachprüfen, ob die Funktion überhaupt bzgl φ beschränkt ist?

@speckpackgamer 2 жыл бұрын

Also wenn man einen von φ abhängigen Ausdruck im Nenner hat, kann man keine Behauptung zur Stetigkeit austellen, weil φ eigentlich jeden beliebigen Wert annehmen kann und auch der Nenner somit möglicherweise 0 sein kann. Ist die Funktion nun abhängig von r und φ, verlangt man deshalb eine Beschränktheit bzgl φ, damit der oben beschriebene Fall nicht auftreten kann. Versteh ich das richtig haha

@MathePeter 2 жыл бұрын

Genau! Wenn du noch ein Phi im Nenner hast und dadurch der Nenner gegen Null läuft, würde der Grenzwert unendlich groß werden. Dann kannst du keine Aussage treffen. Die Beschränktheit ist wichtig, damit beim Multiplizieren mit r, was ja gegen Null läuft, am Ende auch Null als Grenzwert rauskommt. Oder allgemein der Funktionswert im untersuchten Punkt.

@speckpackgamer 2 жыл бұрын

@@MathePeter Danke

@MikeyBarca02 2 жыл бұрын

12:38 meine Frage dazu wäre, also existiert die partielle Ableitung nach x, weil wir im Grenzwert 0 bekommen haben und das identisch ist mit der Ableitung der Funktion an der Stelle 0? An der Stelle 0 ist die Funktion ja einfach als Null definiert und 0 abgeleitet bleibt 0 und ist das die Begründung für die Existenz der partiellen Ableitung? Wenn bspw. hier im Grenzwert 1 rausgekommen wäre, sagen wir dann, dass die part. Abl. nicht existiert mit der selben Argumentation, die ich gerade gemacht habe?

@MathePeter 2 жыл бұрын

Nein, du darfst nicht einfach die Null ableiten und sagen das bleibt Null. Wenn du die Ableitung in einer bestimmen Stellen wissen willst, wie hier in (0,0), dann machst du es genau wie in 12:38 beschrieben. Die Ableitung nach x an der Stelle (0,0) ist gleich 0 und das hat NICHTS mit dem Funktionswert 0 zu tun! Wenn bei dem Grenzwert hier eine 1 rauskommen würde, dann wäre die Ableitung nach x an der Stelle (0,0) eben die 1. Aber noch mal: Das hat nichts mit dem Funktionswert von f selbst zu tun. Edit: Schau dir gern den Livestream von heute an zu dem Thema: kzbin.info/www/bejne/rmbJfp-PmqybjLc

@MikeyBarca02 2 жыл бұрын

@@MathePeter Ahh okay vielen Dank, das hatte ich so nicht mitbekommen. Heißt das dann, dass die Funktion nach x partiell diffbar ist, wenn der Grenzwert an der Stelle (0,0) eine Reelle Zahl ist, weil wir uns in IR befinden also komplexe Zahlen oder +- unendlich als partielle Ableitung wären ungültig und dann wär die Funktion nicht partiell nach x ableitbar?

@MathePeter 2 жыл бұрын

@@MikeyBarca02 exakt!

@MikeyBarca02 2 жыл бұрын

@@MathePeter okay vielen Dank, du bist echt ne große Hilfe!

@gustavgotthelf7117 2 жыл бұрын

Vielen Dank für das Konzept mit den Polarkoordinaten. Leider taucht es in meinem Skript nirgendwo auf. Stetigkeit wird dort entweder mit dem Epsilon-Delta-Kriterium bzw. einer einfacheren Abschätzung bewiesen oder mittels des Folgenkriteriums widerlegt.

@MathePeter 2 жыл бұрын

Freut mich, dass ich mit dem Video weiter helfen konnte! Die genannten Strategien sind auch interessant. Leider helfen sie nur bedingt weiter.

@herbertklumpp2969 Жыл бұрын

Du kannst schreiben abs ( y^3/ ( x^2 +y^2) - f(0,0) = abs ( y) abs( y^2/x^2+ y^2)

@fanost175 Жыл бұрын

Kann man, bei einer Funktion, die nicht stetig ist auch die Methode mit Polarkoordinaten als Gegenbeweis nutzen und dann bleibt beispielsweise cos(phi) im nenner übrig?

@MathePeter Жыл бұрын

Ja genau.

@JustfluffyNora 8 ай бұрын

Sympathisch😄 wünscht mir glück für morgen 🫂

@MathePeter 8 ай бұрын

Hab Daumen gedrückt! Wie ist es gelaufen?!

@JustfluffyNora 8 ай бұрын

@@MathePeter dankeschön und mit 3.3 bestanden des passt🫡👍

@MathePeter 8 ай бұрын

Sehr cool, freut mich für dich :)

@JustfluffyNora 8 ай бұрын

@@MathePeter danke :)

@King-wx4id 4 ай бұрын

geht des ganze im Fall von f(x,y,z) auch mit Kugelkoordinaten analog, dass ich r zuschnüre ?

@MathePeter 4 ай бұрын

Ja!

@johnymahmuti9286 Жыл бұрын

Danke dir, sehr gut erklärt👍

@dimp2352 9 ай бұрын

Erstmal danke für deine ganzen sehr guten Videos! Eine Frage: Also kann man die Richtungsableitung mit 2 verschiedenen Formeln ausrechnen? Denn ich habe ein anderes Video von dir gesehen (Altklausur) und dort hast du mit dem Gradienten gerechnet (da die Funktion total differenzierbar war). Ich hatte nämlich mal eine Aufgabe zur Richtungsableitung gerechnet und konnte diese ohne Probleme mithilfe des Gradienten ausrechnen, aber nicht mithilfe der Formel aus diesem Video f(x+hv1,y+hv2)- f(x,y) / h. Eigentlich macht es ja auch mehr Sinn den Gradienten zu benutzen, wenn es um eine Richtungsableitung geht, oder? :D

@Julian-do6pl 2 жыл бұрын

Sehr gutes Video!

@nainibrok9139 11 ай бұрын

hi gutes Video. Eine Frage, kann ich immer mit geeigneter Substitution der Polarkoordinaten auf Stetigkeit überprüfen unter der Bedingung \varphi \in (0,2pi] ubd r>0.

@MathePeter 11 ай бұрын

Manchmal musst du die Polarkoordinaten auch anpassen. Hier war das Ziel, dass im Nenner kein \varphi mehr überbleibt, weil die Funktion sonst nach der Substitution unbeschränkt sein könnte. Bei manchen Funktionen im Allgemeinen ist es also nicht hilfreich mit Polarkoordinaten zu arbeiten.

@nainibrok9139 11 ай бұрын

@@MathePeter Danke für die Antwort. genau mit "geeigneter Substitution" meinte ich ursprünglich, dass man immer probiert den trigo. Pythagoras zu erreichen und dann "nur" noch sich um das "r" im Nenner kümmern muss. Ich studiere im 3 Semester Mathe Bachelor und meine Übungsleiterin (Analysis 2) meinte polarkoordinaten gehen grundsätzlich immer mit der substitution wenn man x und y richtig substituiert. Allerdings war das die Antwort auf die Frage wie beweise ich Stetigkeit. Für Unstetigkeit hat sie selbst nicht gewusst ob polarkoordinaten gehen xD long story short danke für die Antwort hat mir auf jeden Fall geholfen und das video wie immer top

@MathePeter 11 ай бұрын

Ja das funktioniert. Das steht auch so in Peter Furlan: Das Gelbe Rechenbuch 2, S.56. "Ist Phi nicht die Nullfunktion und gilt |f(r*cos(varphi),r*sin(varphi))-f(0,0)| =R(r)*Phi(varphi) und existiert lim R(r) nicht oder ist lim R(r) ≠0, so ist f im Nullpunkt unstetig."

@nainibrok9139 11 ай бұрын

@@MathePeter super vielen Dank

@TeamNolex Жыл бұрын

HÖR AUF DEN STIFT WEGZUWERFEN!

@MathePeter Жыл бұрын

Hast du Mitleid mit dem Stift? 😅

@TeamNolex Жыл бұрын

@@MathePeter ein wenig.

@byPvPbrosTV Жыл бұрын

kann man den polarkoordinaten-Ansatz auch bei anderen punkten wie (0,0) verwenden? also bildet man dann da einen kreis drum den man zuzieht bsp (0,1) oder geht das nicht da x und y dann nicht gegen 0 laufen?

@MathePeter Жыл бұрын

Du kannst ja bei der Parametrisierung die Verschiebung mit einbinden, sodass sich der Kreis auf einen beliebigen Punkt zusammen zieht.

@byPvPbrosTV Жыл бұрын

@@MathePeter okay wie würde das beispielhaft aussehen kann mit das grade nicht vorstellen wie ich das mache. könnte ich auch die ganzr funktion um 1 in der y koordinate verschieben sodass der punkt von (0,1) -> (0,0) indem ich einfach y = y-1 setze?

@byPvPbrosTV Жыл бұрын

wäre die parametrisierung dann x=rcos und y=rsin +1?

@MathePeter Жыл бұрын

Genauso! Musst dich ja nur fragen, was das Ziel ist, sobald der Radius gegen Null geschickt wird. Und das ist im Fall von (x,y)=(r*cos, r*sin +1) der Punkt (0,1).

@byPvPbrosTV Жыл бұрын

@@MathePeter klasse vielen dank und grüße aus innsbruck

@MiguelGeovaniFouegho 11 ай бұрын

bei stetigkeit , funktionniert immer die polarkoordinaten , um das zu beweisen ?

@MathePeter 10 ай бұрын

Kommt auf die Funktion an. Bei Funktionen dieser Form hier funktioniert es immer.

@yousham8374 Жыл бұрын

In der zweite Aufgabe, wann würde dann ein funktion nicht partiel differenzierbar sein? Wenn es nicht stetig ist? Wenn ja, ist ein funktion nicht stetig wenn der grenzwert minus oder plus unendlich ist oder wann ist ein funktion nicht stetig? Danke im voraus

@MathePeter Жыл бұрын

Die Funktion wäre nicht partiell diffbar, wenn bei einer der Grenzwerten in (b) nicht existiert. Die partielle Diffbarkeit und die Stetigkeit der Funktion können unabhängig voneinander auftreten oder auch nicht. Für die Stetigkeit schau dir noch mal Aufgabenteil (a) an.

@Yulidffl 6 ай бұрын

Danke

@luzz3l399 2 жыл бұрын

Analysis 2 kann jetzt kommen! :)

@daniil8521 Жыл бұрын

hätten wir 1/0 (1 geteilt durch 0) bei fx oder fy als ergebniss bekommen wäre unsere funktion dann noch partiell differenziebar? Bzw wann ist die funktion nicht differenzierbar?

@MathePeter Жыл бұрын

Nein, weil in dem Fall die partiellen Ableitungen nicht existieren.

@josylippolt6957 Жыл бұрын

Mein Tutor hat gemeint dass das Grenzwert Kriterium für Stetigkeit im mehrdimensionalen nicht anwenden darf, sondern nur epsilon delta und Folgenkriterum. Weißt du da etwas drüber?

@MathePeter Жыл бұрын

Da irrt sich dein Tutor. Nachlesen kann man das z.B. in "Das Gelbe Rechenbuch 1" von Peter Furlan.

@herbertklumpp2969 Жыл бұрын

Wichtig ist dabei dass der lim r gegen 0. vom Winkel unabhängig ist als

@lasseprumer6442 2 жыл бұрын

hätte man nicht einfach bei 9:02 den Bruch durch x^2 teilen können, dann hätte man (y^3/x^2)/1+y^2/x^2 da stehen. Für (x, y) --> (0,0) würde der Grenzwert ja auch null sein

@MathePeter 2 жыл бұрын

Einfach durch x^2 teilen kannst du hier nicht. Vielleicht damit erweitern, aber auch damit verstehe ich den Umformungsschritt nicht. Kannst du deine Idee noch mal überdenken und genauer ausführen? Auch ist mir nicht klar, wie du ohne weitere Schritte darauf schließt, dass dein Term gegen Null geht.

@db9021 Жыл бұрын

danke!!!

@maxleibrecht7484 Жыл бұрын

Warum wende ich nicht einfach mehrere male de L´Hopital an ?

@MathePeter Жыл бұрын

An welcher Stelle?

@a.n.7761 4 ай бұрын

endlich verstanden dankee

@karon2830 8 ай бұрын

kann kaum zuhören, weil deine Schönheit mich ablenkt :(

@MathePeter 8 ай бұрын

😂

@gmemanuellasker2791 2 жыл бұрын

Ich bin bei meiner Klausurvorbereitung auf folgende Aufgabe gestoßen: f:R²->R mit f(x,y)={(x³+y³)/(x*y), falls x*y ungleich 0; 0, falls x*y=0 Es soll geprüft werden, ob die Funktion im Nullpunkt stetig ist und partiell diffbar ist. Ich hatte bei der Aufgabe leider keinen Erfolg...

@MathePeter 2 жыл бұрын

Die Funktion ist in (0,0) unstetig. Überleg mal: Wenn du dich von einem beliebigen Punkt mit x*y≠0 einer der Achsen annäherst, dann strebt der Funktionswert gegen ±∞, also auch in jeder noch so kleinen Umgebung um den Koordinatenursprung. Deshalb wirds auch eine Richtung geben, aus der du dich (0,0) annähern kannst, sodass du die Unstetigkeit nachweisen kannst. Du musst dich nur unterschiedlich schnell dem Punkt annähern, z.B. mit der Folge (xn,yn)=(1/n,1/n^2). Partiell differenzierbar ist die Funktion mit ∇f(0,0)=(0,0).

@BlazingTyphlosion Жыл бұрын

Was muss man bei einer Aufgabe tun, wenn sie so gestellt ist: Berechnen Sie die Richtungsableitung der funktion f(x,y) in Richtung Südwest, Nordost und Nordwest. Ich komme bei sowas nicht weiter.

@MathePeter Жыл бұрын

Wenn Südwest einfach bedeutet im Koordinatensystem links unten, dann könntest du den Richtungsvektor (-1,-1) nehmen. Nordost wäre dann (1,1) und Nordwest (-1,1). Aber wie gesagt nur eine Vermutung, je nach Orientierung des Koordinatensystems.

@drstoned8523 2 жыл бұрын

also es wäre nicht differenzierbar hätten wir beide male eine NULL bekommen ?

@MathePeter 2 жыл бұрын

Du meinst bei der partiellen Differenzierbarkeit? Nein daraus allein können wir noch keine Aussage über die Differenzierbarkeit treffen. Sobald hier jeweils eine endliche Zahl als Grenzwert rauskommt, heißt das einfach nur, dass die Funktion nach der entsprechenden Variable partiell differenzierbar ist.

@drstoned8523 2 жыл бұрын

@@MathePeter und falls es kein endlicher wert wäre? gibt es noch weitere methoden die ich testen muss bevor ich sagen kann es ist nicht differenzierbar ? bzw hast du ein video dazu?

@MathePeter 2 жыл бұрын

Wenn es kein endlicher Wert ist, dann existiert die partielle Ableitung nicht. Wenn du ein ausführliches Video schauen willst zu Stetigkeit, (partieller & totaler) Differenzierbarkeit, dann schau dir meinen letzten Livestream an, den ich hochgeladen habe. Da wird jeder Fall bis ins Detail mit allen wichtigen Strategien besprochen und ich zeige eine Komplettübersicht zu dem Thema.

@drstoned8523 2 жыл бұрын

@@MathePeter mach ich danke dir