KLAUSURAUFGABE Stetigkeit, Differenzierbarkeit (partiell und total), Richtungsableitung

Klausuraufgabe Analysis, 26.07.2021 Aufgabe 1, Universität Koblenz-Landau. In dieser Aufgabe soll von einer Funktion mit mehreren Veränderlichen die Stetigkeit, partielle Differenzierbarkeit, totale Differenzierbarkeit und Richtungsableitungen im Punkt (0,0) untersucht werden.
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Inhalt:
0:00 (a) Stetigkeit in (0,0) untersuchen
9:14 (b) Partielle Differenzierbarkeit in (0,0) untersuchen
14:33 (c) Richtungsableitung in (0,0) bestimmen
19:39_ (d) Totale Differenzierbarkeit in (0,0) untersuchen
21:09 Outro
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.

[@eddill2638]

Peter du bist eine Legende, genau das was ich und sicherlich viele andere zur Klausurvorbereitung brauchen. Danke!

[@Mr.Brickz]

Brutalste Erklärung der Erklärungen. Einfach partielle Differenzierbarkeit auf Ehrenlos gegeben. Vallah krank.

[@jontumlp]

Hm ich muss Stetigkeit wiederholen, PUFF da hat jemand was perfektes hochgeladen, großen Dank für alles 😊

[@johnymahmuti9286]

Wirklich gut gemacht, du erklärst langsam, mimmst dir Zeit, sprichst drutlich und einzelnen Schritte, die zur Lösung führen. Weiter so👍

[@tillmanntroster4663]

Du schaffst es echt immer wieder gut, die oft erst unverständlichen Themen einfach wirken zu lassen. Das hilft sehr! Bester Mann

[@MathePeter]

Danke dir! :)

[@niklas4628]

Genau das, was ich heute zur Klausurvorbereitung gebraucht habe. Top!

[@niklas4628]

Du hast ja im Video erwähnt, dass das mit der Umwandlung in Polarkoordinaten nicht immer so einfach ist wie hier und du das in einem anderen Video zeigst. Ist das Video schon hochgeladen ?

[@MathePeter]

Ja, ich habe eine Infokarte an der Stelle erstellt mit Link zum Video. Das kam vor 2 Wochen raus.

[@lauramignoli7288]

ich finde deine Erklärungen wirklich sehr gut! Vielen lieben Dank für die Arbeit, die du in deine Videos steckst.

[@MathePeter]

Das freut mich, vielen lieben Dank!

[@happyhappyme6467]

Voll gut perfektes timing❤️

[@tomfleischmann4994]

Genau was ich brauche Peter!

[@cookingandjava7574]

Super video! Richtig trickreich, dieser Stetigkeitsbeweis

[@Baniire]

Find ich klasse, dass genau die Themen hochgeladen werden, die mich besonders kirre machen :) Kannst du vielleicht mal ein Video zur Einsetzmethode bei Extremwertproblemen machen? Lg!

[@MathePeter]

Klar mach ich! Freut mich, dass die Videos weiterhelfen :)

[@johnymahmuti9286]

Danke dir, sehr gut erklärt👍

[@Julian-do6pl]

Sehr gutes Video!

[@massimofontana5709]

Existieren alle partiellen Ableitungen von f in x_0 und sind diese stetig, so ist f differenzierbar in x_0 und damit ist f auch stetig, denn wie wir wissen gilt: Diff'barkeit => Stetigkeit, d.h. die Aufgabe b) löst gleichzeitig Aufgabe a). Falls jemand es nachlesen will: z.B. Ehrhard Behrends Analysis Band 2, Satz 8.2.4. (ii). Danke für die weitere Möglichkeit.

[@lawlies7714]

exakt! Jedoch immer merken: partielle Differenzierbarkeit /=> Stetigkeit! Denn wie du gesagt hast, müssen sie nicht nur partiell differenzierbar sein in x_0, sondern auch stetig! Erst dann ist f differenzierbar in x_0 und somit auch stetig.

[@meemdt7455]

Nice, genau das was ich brauche. Dankee!!! Ein video zu Phasenpotraits zu dgls, dgl systeme, kritischer punkt, quellen usw. Wenn du das in dgl playlist mit reinpackst, wäre das sehr hilfreich Ich empfehle dich jeden meiner Kommilitonen hier auf der rwth. Gibts bald wieder Live streams zu den Themen?

[@MathePeter]

Es kommen bald wieder Livestreams. Die werden aber wahrscheinlich in einem neuen Format passieren. Damit ich flexibler bin :)

[@talha8310]

Danke

[@db9021]

danke!!!

[@JustfluffyNora]

Sympathisch😄 wünscht mir glück für morgen 🫂

[@MathePeter]

Hab Daumen gedrückt! Wie ist es gelaufen?!

[@JustfluffyNora]

@@MathePeter dankeschön und mit 3.3 bestanden des passt🫡👍

[@MathePeter]

Sehr cool, freut mich für dich :)

[@JustfluffyNora]

@@MathePeter danke :)

[@dimp2352]

Erstmal danke für deine ganzen sehr guten Videos! Eine Frage: Also kann man die Richtungsableitung mit 2 verschiedenen Formeln ausrechnen? Denn ich habe ein anderes Video von dir gesehen (Altklausur) und dort hast du mit dem Gradienten gerechnet (da die Funktion total differenzierbar war). Ich hatte nämlich mal eine Aufgabe zur Richtungsableitung gerechnet und konnte diese ohne Probleme mithilfe des Gradienten ausrechnen, aber nicht mithilfe der Formel aus diesem Video f(x+hv1,y+hv2)- f(x,y) / h. Eigentlich macht es ja auch mehr Sinn den Gradienten zu benutzen, wenn es um eine Richtungsableitung geht, oder? :D

[@vtouz3504]

Der Moment in dem er aus Versehen geteilt durch Null aufschreibt ich musste so lachen was ist nur aus mir geworden...

[@MathePeter]

Fast wär das Universum in sich zusammen gestürzt 😅

[@fanost175]

Kann man, bei einer Funktion, die nicht stetig ist auch die Methode mit Polarkoordinaten als Gegenbeweis nutzen und dann bleibt beispielsweise cos(phi) im nenner übrig?

[@MathePeter]

Ja genau.

[@speckpackgamer]

Was bedeutet es genau, wenn die Funktion bezüglich φ nicht beschränkt ist? Und wie kann man nachprüfen, ob die Funktion überhaupt bzgl φ beschränkt ist?

[@speckpackgamer]

Also wenn man einen von φ abhängigen Ausdruck im Nenner hat, kann man keine Behauptung zur Stetigkeit austellen, weil φ eigentlich jeden beliebigen Wert annehmen kann und auch der Nenner somit möglicherweise 0 sein kann. Ist die Funktion nun abhängig von r und φ, verlangt man deshalb eine Beschränktheit bzgl φ, damit der oben beschriebene Fall nicht auftreten kann. Versteh ich das richtig haha

[@MathePeter]

Genau! Wenn du noch ein Phi im Nenner hast und dadurch der Nenner gegen Null läuft, würde der Grenzwert unendlich groß werden. Dann kannst du keine Aussage treffen. Die Beschränktheit ist wichtig, damit beim Multiplizieren mit r, was ja gegen Null läuft, am Ende auch Null als Grenzwert rauskommt. Oder allgemein der Funktionswert im untersuchten Punkt.

[@speckpackgamer]

@@MathePeter Danke

[@luzz3l399]

Analysis 2 kann jetzt kommen! :)

[@gustavgotthelf7117]

Vielen Dank für das Konzept mit den Polarkoordinaten. Leider taucht es in meinem Skript nirgendwo auf. Stetigkeit wird dort entweder mit dem Epsilon-Delta-Kriterium bzw. einer einfacheren Abschätzung bewiesen oder mittels des Folgenkriteriums widerlegt.

[@MathePeter]

Freut mich, dass ich mit dem Video weiter helfen konnte! Die genannten Strategien sind auch interessant. Leider helfen sie nur bedingt weiter.

[@herbertklumpp2969]

Du kannst schreiben abs ( y^3/ ( x^2 +y^2) - f(0,0) = abs ( y) abs( y^2/x^2+ y^2)

[@yousham8374]

In der zweite Aufgabe, wann würde dann ein funktion nicht partiel differenzierbar sein? Wenn es nicht stetig ist? Wenn ja, ist ein funktion nicht stetig wenn der grenzwert minus oder plus unendlich ist oder wann ist ein funktion nicht stetig? Danke im voraus

[@MathePeter]

Die Funktion wäre nicht partiell diffbar, wenn bei einer der Grenzwerten in (b) nicht existiert. Die partielle Diffbarkeit und die Stetigkeit der Funktion können unabhängig voneinander auftreten oder auch nicht. Für die Stetigkeit schau dir noch mal Aufgabenteil (a) an.

[@nainibrok9139]

hi gutes Video. Eine Frage, kann ich immer mit geeigneter Substitution der Polarkoordinaten auf Stetigkeit überprüfen unter der Bedingung \varphi \in (0,2pi] ubd r>0.

[@MathePeter]

Manchmal musst du die Polarkoordinaten auch anpassen. Hier war das Ziel, dass im Nenner kein \varphi mehr überbleibt, weil die Funktion sonst nach der Substitution unbeschränkt sein könnte. Bei manchen Funktionen im Allgemeinen ist es also nicht hilfreich mit Polarkoordinaten zu arbeiten.

[@nainibrok9139]

@@MathePeter Danke für die Antwort. genau mit "geeigneter Substitution" meinte ich ursprünglich, dass man immer probiert den trigo. Pythagoras zu erreichen und dann "nur" noch sich um das "r" im Nenner kümmern muss. Ich studiere im 3 Semester Mathe Bachelor und meine Übungsleiterin (Analysis 2) meinte polarkoordinaten gehen grundsätzlich immer mit der substitution wenn man x und y richtig substituiert. Allerdings war das die Antwort auf die Frage wie beweise ich Stetigkeit. Für Unstetigkeit hat sie selbst nicht gewusst ob polarkoordinaten gehen xD long story short danke für die Antwort hat mir auf jeden Fall geholfen und das video wie immer top

[@MathePeter]

Ja das funktioniert. Das steht auch so in Peter Furlan: Das Gelbe Rechenbuch 2, S.56. "Ist Phi nicht die Nullfunktion und gilt |f(r*cos(varphi),r*sin(varphi))-f(0,0)| =R(r)*Phi(varphi) und existiert lim R(r) nicht oder ist lim R(r) ≠0, so ist f im Nullpunkt unstetig."

[@nainibrok9139]

@@MathePeter super vielen Dank

[@karon2830]

kann kaum zuhören, weil deine Schönheit mich ablenkt :(

[@MathePeter]

😂

[@user-ff6we1qk7s]

bei stetigkeit , funktionniert immer die polarkoordinaten , um das zu beweisen ?

[@MathePeter]

Kommt auf die Funktion an. Bei Funktionen dieser Form hier funktioniert es immer.

[@daniil8521]

hätten wir 1/0 (1 geteilt durch 0) bei fx oder fy als ergebniss bekommen wäre unsere funktion dann noch partiell differenziebar? Bzw wann ist die funktion nicht differenzierbar?

[@MathePeter]

Nein, weil in dem Fall die partiellen Ableitungen nicht existieren.

[@MikeyBarca02]

12:38 meine Frage dazu wäre, also existiert die partielle Ableitung nach x, weil wir im Grenzwert 0 bekommen haben und das identisch ist mit der Ableitung der Funktion an der Stelle 0? An der Stelle 0 ist die Funktion ja einfach als Null definiert und 0 abgeleitet bleibt 0 und ist das die Begründung für die Existenz der partiellen Ableitung? Wenn bspw. hier im Grenzwert 1 rausgekommen wäre, sagen wir dann, dass die part. Abl. nicht existiert mit der selben Argumentation, die ich gerade gemacht habe?

[@MathePeter]

Nein, du darfst nicht einfach die Null ableiten und sagen das bleibt Null. Wenn du die Ableitung in einer bestimmen Stellen wissen willst, wie hier in (0,0), dann machst du es genau wie in 12:38 beschrieben. Die Ableitung nach x an der Stelle (0,0) ist gleich 0 und das hat NICHTS mit dem Funktionswert 0 zu tun! Wenn bei dem Grenzwert hier eine 1 rauskommen würde, dann wäre die Ableitung nach x an der Stelle (0,0) eben die 1. Aber noch mal: Das hat nichts mit dem Funktionswert von f selbst zu tun. Edit: Schau dir gern den Livestream von heute an zu dem Thema: kzbin.info/www/bejne/rmbJfp-PmqybjLc

[@MikeyBarca02]

@@MathePeter Ahh okay vielen Dank, das hatte ich so nicht mitbekommen. Heißt das dann, dass die Funktion nach x partiell diffbar ist, wenn der Grenzwert an der Stelle (0,0) eine Reelle Zahl ist, weil wir uns in IR befinden also komplexe Zahlen oder +- unendlich als partielle Ableitung wären ungültig und dann wär die Funktion nicht partiell nach x ableitbar?

[@MathePeter]

@@MikeyBarca02 exakt!

[@MikeyBarca02]

@@MathePeter okay vielen Dank, du bist echt ne große Hilfe!

[@cryptos4047]

der moment wenn man versucht zu beweisen das eine Funktion beschränkt ist aber die funktion beweist das man es selber ist XD jk super video☺️

[@byPvPbrosTV]

kann man den polarkoordinaten-Ansatz auch bei anderen punkten wie (0,0) verwenden? also bildet man dann da einen kreis drum den man zuzieht bsp (0,1) oder geht das nicht da x und y dann nicht gegen 0 laufen?

[@MathePeter]

Du kannst ja bei der Parametrisierung die Verschiebung mit einbinden, sodass sich der Kreis auf einen beliebigen Punkt zusammen zieht.

[@byPvPbrosTV]

@@MathePeter okay wie würde das beispielhaft aussehen kann mit das grade nicht vorstellen wie ich das mache. könnte ich auch die ganzr funktion um 1 in der y koordinate verschieben sodass der punkt von (0,1) -> (0,0) indem ich einfach y = y-1 setze?

[@byPvPbrosTV]

wäre die parametrisierung dann x=rcos und y=rsin +1?

[@MathePeter]

Genauso! Musst dich ja nur fragen, was das Ziel ist, sobald der Radius gegen Null geschickt wird. Und das ist im Fall von (x,y)=(r*cos, r*sin +1) der Punkt (0,1).

[@byPvPbrosTV]

@@MathePeter klasse vielen dank und grüße aus innsbruck

[@josylippolt6957]

Mein Tutor hat gemeint dass das Grenzwert Kriterium für Stetigkeit im mehrdimensionalen nicht anwenden darf, sondern nur epsilon delta und Folgenkriterum. Weißt du da etwas drüber?

[@MathePeter]

Da irrt sich dein Tutor. Nachlesen kann man das z.B. in "Das Gelbe Rechenbuch 1" von Peter Furlan.

[@herbertklumpp2969]

Wichtig ist dabei dass der lim r gegen 0. vom Winkel unabhängig ist als

[@gmemanuellasker2791]

Ich bin bei meiner Klausurvorbereitung auf folgende Aufgabe gestoßen: f:R²->R mit f(x,y)={(x³+y³)/(x*y), falls x*y ungleich 0; 0, falls x*y=0 Es soll geprüft werden, ob die Funktion im Nullpunkt stetig ist und partiell diffbar ist. Ich hatte bei der Aufgabe leider keinen Erfolg...

[@MathePeter]

Die Funktion ist in (0,0) unstetig. Überleg mal: Wenn du dich von einem beliebigen Punkt mit x*y≠0 einer der Achsen annäherst, dann strebt der Funktionswert gegen ±∞, also auch in jeder noch so kleinen Umgebung um den Koordinatenursprung. Deshalb wirds auch eine Richtung geben, aus der du dich (0,0) annähern kannst, sodass du die Unstetigkeit nachweisen kannst. Du musst dich nur unterschiedlich schnell dem Punkt annähern, z.B. mit der Folge (xn,yn)=(1/n,1/n^2). Partiell differenzierbar ist die Funktion mit ∇f(0,0)=(0,0).

[@TeamNolex]

HÖR AUF DEN STIFT WEGZUWERFEN!

[@MathePeter]

Hast du Mitleid mit dem Stift? 😅

[@TeamNolex]

@@MathePeter ein wenig.

[@maxleibrecht7484]

Warum wende ich nicht einfach mehrere male de L´Hopital an ?

[@MathePeter]

An welcher Stelle?

[@BlazingTyphlosion]

Was muss man bei einer Aufgabe tun, wenn sie so gestellt ist: Berechnen Sie die Richtungsableitung der funktion f(x,y) in Richtung Südwest, Nordost und Nordwest. Ich komme bei sowas nicht weiter.

[@MathePeter]

Wenn Südwest einfach bedeutet im Koordinatensystem links unten, dann könntest du den Richtungsvektor (-1,-1) nehmen. Nordost wäre dann (1,1) und Nordwest (-1,1). Aber wie gesagt nur eine Vermutung, je nach Orientierung des Koordinatensystems.

[@lasseprumer6442]

hätte man nicht einfach bei 9:02 den Bruch durch x^2 teilen können, dann hätte man (y^3/x^2)/1+y^2/x^2 da stehen. Für (x, y) --> (0,0) würde der Grenzwert ja auch null sein

[@MathePeter]

Einfach durch x^2 teilen kannst du hier nicht. Vielleicht damit erweitern, aber auch damit verstehe ich den Umformungsschritt nicht. Kannst du deine Idee noch mal überdenken und genauer ausführen? Auch ist mir nicht klar, wie du ohne weitere Schritte darauf schließt, dass dein Term gegen Null geht.

[@drstoned8523]

also es wäre nicht differenzierbar hätten wir beide male eine NULL bekommen ?

[@MathePeter]

Du meinst bei der partiellen Differenzierbarkeit? Nein daraus allein können wir noch keine Aussage über die Differenzierbarkeit treffen. Sobald hier jeweils eine endliche Zahl als Grenzwert rauskommt, heißt das einfach nur, dass die Funktion nach der entsprechenden Variable partiell differenzierbar ist.

[@drstoned8523]

@@MathePeter und falls es kein endlicher wert wäre? gibt es noch weitere methoden die ich testen muss bevor ich sagen kann es ist nicht differenzierbar ? bzw hast du ein video dazu?

[@MathePeter]

Wenn es kein endlicher Wert ist, dann existiert die partielle Ableitung nicht. Wenn du ein ausführliches Video schauen willst zu Stetigkeit, (partieller & totaler) Differenzierbarkeit, dann schau dir meinen letzten Livestream an, den ich hochgeladen habe. Da wird jeder Fall bis ins Detail mit allen wichtigen Strategien besprochen und ich zeige eine Komplettübersicht zu dem Thema.

[@drstoned8523]

@@MathePeter mach ich danke dir

[@samueldarenskiy6893]

naja zweite variante heisst ganz grob einschuerungssatz

[@MathePeter]

👍

[@gabrielmabille9712]

zu krass der trick mit den polarkoordinaten. fasse es nicht, dass die es uns nicht in der uni gesagt haben

[@MathePeter]

Freut mich, dass ich mit dem Video weiter helfen konnte! 😊

[@drstoned8523]

ob ich höma 2 bestehe oder nicht liegt ganz in deinen händen XD

[@MathePeter]

Das kriegen wir hin! :)

[@drstoned8523]

@@MathePeter prof hat nicht gegönnt egal nächstes mal

[@MathePeter]

Oh man tut mir Leid.. Nächstes Mal!! 💪🏽

[@lawlies7714]

wir verdienen dich nicht

[@MathePeter]

Ach Quatsch, ich bin gern für euch da! Es macht Spaß euch bei Mathe weiter zu helfen und immer wieder selbst darüber nachzudenken :)