Matrices - Propiedades de la matriz inversa

En este video estudiamos distintas propiedades de la matriz inversa.

[@mayragomezmartinez3467]

Hola, disculpa si multiplico una matriz inversa por un vector columna, el vector resultante está a la inversa?

[@ArdiJohn]

Hola, no no (no tiene demasiado sentido hablar de un vector a la inversa). Multiplicar por una matriz inversa funciona similar a multiplicar por el inverso multiplicativo de un número. Sirve mucho para resolver ecuaciones. Con números, si tenés 5x=4 multiplicas por el inverso de 5 para despejar x x=5^(-1)4. Del mismo modo, con matrices si tenés que x y b son vectores y tenés Ax=b podes multiplicar por la inversa de A para obtener x=A^(-1)b.

[@Kiara-yk7nr]

Si A y B son matrices inversas, cómo se puede demostrar que el resultado de A+B también es inversa?

[@ArdiJohn]

No estoy seguro a qué te referís con que A y B sean matrices inversas. Si hablas de que una sea inversa de la otra, o si hablas de que sean matrices invertibles (es decir que tanto A cómo B tengan inversas). En cualquier caso A+B no tiene por qué ser inversa de otra matriz o ser invertible. De hecho A+B es la matriz de ceros si B es igual a -A!

[@mateo3027]

hola tengo q demostrar que una matriz solo tiene 1 inversa, pero no entiendo porque cuando a ambos lados multiplico por C , la misma debe ir si o si a la izquierda (espero q se entieda) , gracias

[@ArdiJohn]

Hola Mateo, No estoy del todo seguro de como estás haciendo la demostración, así que puede que este pifiando con lo que te voy a decir, pero C deberia ir del mismo lado en ambos términos de la igualdad, porque el producto de matrices no es conmutativo. En principio podrías multiplicar por C a la derecha, aunque depende como hayas definido matriz inversa. Si decís que B es la inversa de A si y solo si BA=I, entonces la C deberia multiplicar a la izquierda. Si definís como AB=I, entonces la C debería ir a la derecha. Si definis inversa como AB=BA=I, entonces la C podría ir en cualquier lado.

[@mateo3027]

@@ArdiJohn A*B=I C(A*B)=C*I (C*A)*B=C*I I*B=C*I B=C mi duda estaba en cual es la justificacion de porque C debe ir a la izquierda pero creo q es por lo q me dijo recien : (C deberia ir del mismo lado en ambos términos de la igualdad, porque el producto de matrices no es conmutativo), igual pensandolo birn , creo q si lo pongo del lado derecho no me daria la demostracion

[@ArdiJohn]

ahí pones C a la izquierda porque empezaste con AB y estas pensando en la inversa de A. Si haces (AB)C=IC IC=C C=C es lo único queno podes hacer porque no sabes qué es BC. Lo que podrías haber hecho es arrancar con BA; BA=I (BA)C=IC B(AC)=C BI=C B=C

[@mateo3027]

@@ArdiJohn muchas gracias por la explicacion , me ayudo un monton, saludos !

[@ArdiJohn]

por nada, genial que te haya servido

[@martinfriedrich6840]

podrias explicar la segunda ? como la demuestro

[@ArdiJohn]

Sale utilizando la regla de la transpuesta de un producto: (AB)^T=B^T A^T Fijate que si B es la inversa de A, entonces tenés I=(AB) I^T=(AB)^T pero I=I^T, entonces I=(AB)^T=B^TA^T y entonces B^T es la inversa de A^T.