Найдите площадь без тригонометрии

Найдите площадь треугольника, если основание равно 2 и углы при основании равны 30° и 45°. Интересная геометрия!
1) Найдите площадь четырёхугольника на рисунке • Хитро-мудрое решение ➜...
2) Японская задача по геометрии ➜ • Известная японская зад...
3) Пять кругов касаются внешним образом • Найдите площадь круга ...
Предыдущее видео: • Найдите сторону четырё...
Valery Volkov / valeryvolkov
‪@arinablog‬ наш семейный канал
/ @arinablog

[@ValeryVolkov]

Интересная геометрия! 1) Найдите площадь четырёхугольника на рисунке kzbin.info/www/bejne/hpjFoH2lhZVqZ68 2) Японская задача по геометрии ➜ kzbin.info/www/bejne/b2TXfp6nrM-CasU 3) Пять кругов касаются внешним образом kzbin.info/www/bejne/enPTl62uZ9Nlqbs

[@user-cc9zv1fh6e]

😢😢😢😢😢😢😢🎉😢😢😢😢😢😢😢😢🎉

[@user-dv8tb1oj3x]

Спасибо🙏💕

[@user-fz8ui5nd6v]

Я по двум углам и стороне нашла, ответ сошелся=0,732 кв. ед.

[@Vitaliy_Gushchin]

53 года назад эта задача была у меня на экзамене по математике при поступлении в техникум, как дополнительный вопрос после решения билета. Как только провёл высоту из вершины тупого угла на основание (через секунду), экзаменатор сказал достаточно и я был принят в техникум. Приятные воспоминания :)

[@user-kt2yl7qx2y]

👍

[@user-vw4wo7id6h]

Кто ясно мыслит ясно излагает

[@alexandr6905]

Вступительные экзамены в техникум формальность. Конкурса не было

[@user-nm6zh5kj6d]

@@alexandr6905 Вы упустили тот момент, что дело было 53 года назад :)

[@user-lg2hv4tu8r]

Вспомнить бы, задачу которую я решал в ВУЗе на последнем экзамене по физике чисто алгебраическим методом. Лекции читал профессор Шеретов. А экзамены принимал Колотилин. Глаза Колотилина округлились, как-будто он испугался чего-то. Он немного отклонился назад, а потом открыл зачётку и посмотрел оценку по математике. Там было 4, и он тоже поставил 4 по физике. Надо сказать, что я не математический гений, но 9 баллов из 10 на вступительном экзамене в ВУЗ заработал честно по математике. На первом курсе я получил честные 4 по вышке на геометрической задаче и ещё какой-то. И всегда получал 4. В конце я получил 3, потому что устал от вышки, не видел уже смысла, но сторговался на 4. Однако у меня были очень хорошие способности к ТОЭ. Я нашел ошибку в неработающем стенде из-за того, что не пришел вовремя и сдавал второй раз, меня посадили на нерабочий стенд. Я не претендую, что я единственный ее нашел, но думаю таких людей мало. Моя специальность 2201. Но в жизни я занимаюсь информационными системами в экономике и и маркетингом. Плюс я отлично знал теорию и практику реляционных баз данных.

[@getention]

Ну хоть какая-то задача которую я мог бы сделать, спасибо!

[@mors4414]

Герман, ты наверно уже студент, как минимум 3-го курса математического факультета РОССИЙСКОГО университета?

[@user-vw4wo7id6h]

Да. Иногда простенькие задачи ставят в тупик. Гордыня. С удовольствием подпишусь на этот канал. Встряхивает по ходу.

[@ivansakovich7653]

Через теорему синусов, а потом по формуле Герона

[@sershiden5531]

Можно найти из теоремы синусов две стороны, а дальше через формулу площади с синусом

[@Koko_koko12]

Гении. А синус 105 градусов вы где брать собрались?

[@user-ln9tv9kg5n]

​@@Koko_koko12синус(90+15) и 15 открываем как 45-30

[@Koko_koko12]

@@user-ln9tv9kg5n с первым так сработает. А вот синус45-синус30 не равно синус 15. Я проверил. Так что не получится так

[@user-lf4fd2dr2z]

​@@Koko_koko12 так понятно, что там будет не sin15, там будет формула синуса разности: sin(45-30) = sin45cos30-sin30cos45

[@user-ts1kn8hr4k]

Тут, кстати, формула, что недавно Б.В. рассказал, не очень удобная, так как придётся чуток повозиться, чтобы вычислить, sin(75°) и подставить обратно, так что лучше идти другими путями.

[@moratakki]

угол С = 105, по т. синусов найти любую вторую сторону, после чего найти площадь через полупроизведение двух сторон и синуса угла между ними.

[@lev_ti4374]

Тоже так сделала бы.

[@user-oz6ii3tf6n]

Смотря для какого класса задача.

[@DraCat1993]

Мысль правильная, вот только 105 не табличный как 30 45 и 60

[@user-ts1kn8hr4k]

@@DraCat1993, sin(105°) = sin(75°) = sin(45°+30°) =...

[@user-bw7yp9ji4u]

@@DraCat1993 Можно расписать 105 как 60+45 и найти синус 105 градусов по формуле синуса суммы.

[@larisakrupnik7729]

Эту задачу также можно решить, используя теорему синусов и представив угол 105гр. , как 105=60+45 без доп. построений. А затем по теореме S=absin30 (или 45)/2.

[@ssjerome]

Первое что приходит на ум Но можно заехать и через Австралию )

[@user-cx2vt6oi7z]

Прекрасная задача на применение теоремы Пифагора и квадратного уравнения, 8 класс, никакой тригонометрии не потребуется!

[@Brandon_Lee_Good]

Спасибо! Очень интересный разбор задачи

[@AlexeyEvpalov]

Всё подробно и понятно. Спасибо за решение.

[@user-xo4iu9dq1l]

Я бы достроила фигуру до прямоугольника, а найдя его площадь простым умножением сторон, поделила пополам.

[@nazar.zinenko2004]

1. Кут С=180-(30+45)=105°. 2. АС/sinВ=АВ/sinC; AC=(AB*sinB)/sinC; AC=(2*√2/2)/0,966=√2/0,966=1,46. 3. S=0,5*AC*AB*sin30°= =0,5*1,46*2*0,5=0,73 (кв.од.) Задача розв'язана

[@Shterman_26682]

В самом начале получается, что S=X (S=2x/2). Когда нашли X, дальше можно площадь не искать. Вот она.

[@user-ld5cf5bh4t]

Геометрия Царица Всех Наук Изящно и Лаконично .Спасибо Валерий

[@user-or7is1tl3p]

Геометрия -царица ; Тригонометрия - императрица

[@kerasqwerty3756]

Решил через тангенс: также как и в видео обозначил высоту за х, но потом отметил, что AD = AB - x = 2 - x. Тогда tg(CAD) = x / (2 - x). Но так как угол CAD имеет величину в 30°, tg(CAD) = tg30° = 1 / √3. Получаем уравнение: x / (2 - x) = 1 / √3 Решая, получаем x = 2 / (1 + √3). Находим площадь: S=(AB * x) / 2 = 2 * x / 2 = x = 2 / (1 + √3) = √3 - 1

[@natalyanatalya8146]

Ваше решение мне нравится больше, потому что оно совпадает с моим))

[@andyananchenko1746]

Да проще на много

[@dmitrygurban8635]

Пусть высота треугольника равна h. Тогда площадь равна S=0,5*2*h=h, т.е. площадь равна высоте. Найдем высоту. Опустим её на основание длиной 2. Высота отсечет от основания 2 отрезка: один длиной h (т.к. правый треугольник равнобедренный), а второй отрезок будет равным 2-h. tg30°=h/(2-h). tg30° имеет табличное значение, т.е. 1/sqrt(3)=h/(2-h). 2-h=sqrt(3)*h или h*(1+sqrt(3))=2, откуда h=2/(1+sqrt(3)). Т.е. S=h=2/(sqrt(3)+1). Сейчас сравню решение с решением Валерия. P.S. А вот от иррациональности в знаменателе забыл избавиться. Но решение верное.

[@user-ky2un8dt7j]

Я тоже так решил

[@user-qo6gs6kp6k]

Каким образом площадь может быть равной высоте? Размерность не сходится.

[@dmitrygurban8635]

@@user-qo6gs6kp6k по численному значению. Я знаю, что размерности не сходятся, а в численном значении они равны

[@user-oj3su5hj7i]

Сппсибо , как всегда интересно , понятно и профессионально !!!

[@user-wp7tb6io2i]

А я уже, было, начал в книге по магии искать нужное заклинание, но Валерий успел раньше решить... Получается, что математика сильнее магии.

[@user-dm6lp3jy5d]

Очень хорошее и понятное решение и объяснение .

[@user-xr6ey3iz9i]

Очень доходчиво.Спасибо

[@user-bl8yl3bu8q]

Мне нравиться как вы подробно объясняете. Спасибо

[@tatyanaturisheva76]

Спасибо! Всё просто и понятно!

[@anakodark4184]

Учусь в 7 классе. Не знаю многих этих теорем и корней, но объяснение было очень понятным. Спасибо за хороший разбор!

[@historrmv]

Я тоже😅

[@xrilicc1154]

Опускаем высоту. Находим стороны, дальше герон. Сейчас домой приду, поем и потом подумаю над более красивым решением

[@schepuda]

Все еще домой идешь? ))

[@xrilicc1154]

@@schepuda хах) да, все ещё иду))

[@fanBivoniklov]

Как-то вы долго идёте

[@xrilicc1154]

@@fanBivoniklov хаха)))

[@user-ie3ig4fi7n]

Решил, практически также. Только второй катет записал, как (2-х). В итоге имеем квадратное уравнение (2-х)^2+ x^2=(2x)^2. x= корень с 3 минус 1. S=1/2*2*х=х

[@noname9163]

Я думал, вы общую формулу выведите, т.е., зная сторону и прилежащие к ней углы, найти площадь.

[@Kumiry_Fnaf]

Трушин))

[@ka1zj720]

@@Kumiry_Fnaf если что не он её открыл...

[@Kumiry_Fnaf]

@@ka1zj720 я говорю про то, что он на эту же тематику видео снял

[@user-vn9db5fc5o]

Можно и через теорему синусов. AC = (AB/sin(75))*sin45 = AB*sin(45)/(sin(45)cos(30)+sin(30)cos(45)) = AB/(cos(30)+sin(30)) = 2AB/(sqrt(3)+1). Ну а дальше понятно.

[@user-wh9ge7vt6r]

почему 75 градусов? там разве не 105?

[@user-vn9db5fc5o]

​@@user-wh9ge7vt6r sin(90' + a) = sin(90' - a) -> sin(115') = sin(75')

[@P.S.Q.88]

@@user-vn9db5fc5o чему равно "а"?

[@user-vn9db5fc5o]

@@P.S.Q.88 что такое "a"?

[@P.S.Q.88]

@@user-vn9db5fc5o В вашем комменте sin(90+а) чему равно а, если 90+а=115, а 90-а=75?

[@Victoria_investment]

Люблю формулу c^2 / 2 * (ctg A + ctg B) По ней решила

[@delmar6780]

Violet, а что это за формула?

[@Victoria_investment]

@@delmar6780 ну просто существует такая формула, с - это известная сторона, в данном случае, равная 2, А и В - прилежащие к ней углы, тогда нужно два в квадрате, то есть 4 делить на 2, умноженную на сумму котангенсов 30 и 45 градусов , получим 4/ 2 * (√3+1), дальше просто избавляемся от иррациональности, как в видео

[@aleksandrkvashin4510]

AD = (2-x) Из треугольника ACD: (2x)² = x² + (2-x)² Получаем уравнение: x² + 2x - 2 = 0 Отсюда: x = sq(3) - 1 Ну и далее вычисление площади

[@nikolai99569]

Простая задача. Можно использовать Теорему Пифогора, можноо достроить до прямоугольника, можно косинус использовать, при таких углах он простой. А самое современное решение использовать интегрирование. Ведь интеграл-площадь

[@user-oq8tm6fz7o]

Смотрю Вас для того, чтобы хорошо поспать. Ни слова не понимаю. Но очень интересно))))

[@elmurazbsirov7617]

Мне очень понравилось.Спасибо.Привет из Баку.

[@user-fn7li8kx9t]

Я как тот филин. Ничего не понял, но очень внимательно слушал. 😀 Ну, а теперь буду пересматривать с паузами. Заранее спасибо автору. Извините, я пожилой человек.

[@user-rq7je5jg7l]

ИМХО проще решать квадратное уравнение х^2+(2-х)^2=(2х)^2

[@ekari]

Как приятно посмотреть на простое решение, после собственного)

[@wehg602n]

Оказалось, что я тоже помню про катет, который лежит напротив угла в 30 градусов

[@gennadiykiss2368]

Если сделать дополнительное построение, продолжив ас и и бс до пересечения с перпентикулярами из а и б. Получим два прямоуг тр-ка с общим катетом АВ и боковыми катетами длиной 2 и 2/ sqrt3 соответственно. Там будут два подобных тр ка с общей вершиной в яС и коэф подобия sqrt 3. Высоты h + h *sqrt3 =2, отсюда h = 2/(1+sqrt3). Эта высота равна высоте тр-ка АВС, соответственно его площадь численно равна h.

[@allfreacksmeout]

решила через формулу синусов по 2 углам и основнию😊

[@ka1zj720]

вообще-то формула есть... а²•sin beta • sin gamma / 2sin(beta + gamma), тогда S ≈ 0.732

[@rimmashandirova6362]

Спасибо. Решила. Есть еще порох😊....

[@user-tw4sn2fi5b]

Ну 1. Решенеие через теорему о 30 градусах 2. Через оба угла 3. Герон и более сложно

[@shikiryougi5969]

Можно ещё решить через теорему синусов и нахождения площади через 2 стороны и угла между ними.

[@alexniklas8777]

Воспользуемся теоремой синусов. Конечный результат: S= CD= sin(45)/sin(75)= 0,732 (кв.ед)

[@CRnk153]

Что значит S = CD?

[@user-yg3vv6cb6s]

Проще через тангенс 30град учитывая что х=h получаем уравнение h=(2- h)умнож на tg30 легко решается а ответ тотже

[@yuriygusarov]

если сказано, что площадь равна РАЗНОСТИ, то тогда нужно продолжать: корня из трёх и единицы, а не минус один. как-то так)

[@andrewdronsson9028]

Кроме избавления от иррациональности, всё сказанное я проделал в уме. Правда, по ходу что-то забыл, кажется, ошибся в два раза. Ну да несущественно. Главное - башку потренировал. А за то, что есть чем тренировать, спасибо огромное Валерию.

[@user-nu2rn5gv1b]

Аналогично: решил в уме, а избавляться от иррациональности - просто поленился.

[@user-wf6gg2ge8h]

Я решила немного по другому . Спасибо. 🤗🤗🤗

[@user-cb1mr6ls6i]

А я старым дедовским способом - через теорему синусов находим ∠С=180°-30°-45°=105°. sin(105°)=sin(75°)=sin(30°+45°)=(√2+√6)/4, ну и дальше из |AB|/sin(∠С)=|AC|/sin(∠В) находим |AB| и по формуле через две стороны и синус угла между ними - площадь.

[@Andrej_rybak]

Благодарю.

[@mister_golden]

Проще просто начертить и узнать блину А-С, С-В, потом разделить на два равнобедренных треугольника а там уже проще простого, длину умножить на высоту и разделить на 2. И в конце суммировать эти два площади. В итоге мы получим точную квадратуру треугольника, а не эту дребедень с переносами и корнями который в итоге точной квадрату в цифрах не дает

[@barsa2701]

вот только сразу , как только обозначили х, показали , что высота будет х, то площадь треугольника будет равна (2*х)/2 =х (кв.ед.) и достаточно только найти х и все.

[@yashkafifa]

Ага тоже так думал

[@user-ft4jc6jn7i]

Все верно решено.спасибо!

[@user-xh3oh7mu2l]

Проведём высоту CD. Возьмём CD за x. Тогда CD=DB=x (по свойству равнобедренного треугольника). Тогда AC = 2x (по теореме о 30°). Так как AB = 2, AD = 2-x. Теперь поставим три стороны в теорему Пифагора. 4x^2=x^2 + (2-x)^2 4x^2 - x^2 - 4 + 4x + x^2. 2x^2 + 4x - 4 = 0 D = 16 + 32 = 48 x = (- 4 + sqrt48)/4 = - 1 + sqrt3 x = (- 4 - sqrt48)/4 = - 1 - sqrt3 (отрицательный корень не подходит) Теперь подставляем известные значения в формулу. S = ((- 1 + sqrt3)×2)/2 = - 1+ sqrt3.

[@-sn4k3-94]

А я по теореме синусов решал) 2/sin 105= x/ sin 45 sin 105 = sin (45+60)= sin 45*cos 60+sin 60*cos 45 = (корень из 2+корень из 6)/4 Ну и потом нахожу икс, а дальше по формуле площади треугольника S=1/2*a*b*sina получаю ответ)

[@user-yf9vz1ym2m]

И я так.

[@user-su6mw2gl6t]

Автор применил тригронометрию, так как он сказал что гипотенуза в два раза больше катета, лежащего напротив угла в 30 градусов. То есть sin 30°=0,5

[@user-vc4jc2fq3w]

По идее Х и S это одно и тоже число, а отрезок АД=2-Х, получаем квадратное уравнение 2sqrtX+4Х-4=0 и находим Х

[@_VV_VV_]

Последнее сокращение объясните пожалуйста 2 и 3-1

[@kamrankurbanov393]

Тут коллеги много вариантов решений предлогают.. Но вариант Волкова занимателнее

[@megabass111a]

можно решить проще, разделив угол в 105 градусов на 90 и 15. Дальше сами думайте.

[@user-ue1oq7ry5f]

S = ah/2= 2h/2=h Один треугольник-прямоугольный и равнобедренный, углы = 45°, след-но и другой катет=h. Другой треугольник, прямоугольный -один угол =30°, след-но гипотенуза= 2h; второй катет=2-h По теореме Пифагора : (2h)** 2= h**2. + (2- h) **2 4h**2 = h**2 + 4 -4h. +h**2 2h**2+4h - 4=0 h**2 + 2h - 2=0 D/4=3 h=sgrt(3)-1 S = sgrt( 3)-1

[@olegator1551]

Можно найти все стороны по теореме синусов и найти площадь по формуле одного чела где полупериметр и все такое)

[@user-bb6mr8uw1e]

У меня сразу площадь была равна высоте, задача хорошая

[@user-ho1hg4pw5d]

Продлить СВ до пересечения с перпендикуляром к АВ в точке А и дальше через площади выйти

[@bkmlks8987]

Люблю математику и особенно геометрию.

[@liftovik]

У данной задачи может быть несколько решений. Но во всех случаях ответ должен быть одинаковым.

[@user-gw7zn5li1p]

2:19 . У меня вопрос, зачем мы делим? Там же сложения, мы же должны вычесть....

[@Fedor___1]

👍

[@user-js3zc2fy4d]

А можно такую же задачу, но не с числом 2, а с дающим ответ в целых числах?

[@user-lg2hv4tu8r]

Наверное надо перемножить катеты и разделить произведение на 2.

[@samsungapp-wk3hl]

ძალიან კარგად ხსნით ყველაფერს, მადლობა

[@Fili229]

Да, хорош!

[@albjes9766]

красиво

[@user-ix6gn7jr8n]

Какой-то нерациональный метод... По теореме синусов находим сторону АС и по формуле площади через синус угла находим площадь

[@user-wq6os1sw9q]

Напишу шутку - обход начальства по катетам всегда короче гипотенузы!

[@user-zf9ku1wg6o]

Спасибо, я так же решила...

[@smirnov-49]

Решение красивое, а ответ не очень. Лучше когда целое число особенно факториал.

[@mariolemieux66]

Высота h, тогда h=DB. Т.к. h напротив угла 30 град, то AD = h*sqrt(3). Имеем: S=1/2*h*2=h, где 2 - длина АВ. Т.е: h+h*sqrt(3)=2. Отсюда: h=2/1+sqrt3 это и будет искомая S, т.к. S=h. И далее по автору видео

[@sh1ro_O]

Да тут по теореме бабкиного пельменя решается в 3 действия

[@RPG_engineer]

Х - гипотенуза при угле 30 градусов. Y - гипотенуза при угле 45 градусов. Тогда Х *cos(30)+Y*cos(45)=2, так как Y=0,5 Х, то Х *cos(30)+ ½*Х =2. Упростим и получим X(√3+1)/2=2, отсюда Х=4/(√3+1). Так как Y=0,5Х, то площадь треугольника равна S=1/2*2*2/(√3+1)=2/(√3+1).

[@NovAl83]

Ну хоть это решил... Правда вид ответа страшный: 2-2/(tg30+1) у Вас изящнее и ответ и решение.

[@maze3285]

По теореме синусов не проще? А потом через синус и две стороны найти площадь

[@NikAlexS]

Площадь треугольника равна 2хh/2, то есть высота h и есть ответ)

[@ghennadiilupenco3365]

спустя 40 лет после школы приятно что помню......

[@user-sl1em7ck7e]

К чему такая дискуссия?))) Понятно, что это легко решается в лоб!!! Одна сторона -а, другая - в, высота - х. Система из трех уравнений с тремя неизвестными))) Ну уж всяко решится))))

[@sergzerkal1248]

45°+45°=90° и открываются большие перспективы!

[@licantrop609]

А у меня вышло ✓2/2sin(105°). Но это, как я проверил, одно и то же.

[@igormerkulov3221]

Есть аксиома. Сторона прямоугольного треугольника против угла в 30 градусов равна половине гипотенузы. Так что здесь и решать нечего. Я даже не смотрел видео и не знаю, если кто-либо написал это.

[@katerynasavchenko7472]

Через т. Синусов, а потом s=ab:2

[@artemkravchenko6210]

Все, кто пишет что решили и получили ответ с помощью тригонометрии. Этот ответ приближенный, он не до конца верный. Другое дело если из тригонометрических величин привести к нормальному виду √3 - 1. И ещё, на конкурсах, ЕГЭ, экзаменах и олимпиадах такой ответ не примут либо не засчитают полностью. Я про 0.732

[@ilovetiktak8134]

Решил задачу сам теоремою синусов. Где sin105° = (sqrt6+sqrt2)/4

[@iaminevitable-_-7882]

Через теорему синусов , а потом 1/2ab sin a

[@viktorviktor5820]

Решал через тангенсы.

[@ewgeniypanarin1434]

У меня получилось 2/(1+✓3)

[@serg-29]

Классненко👌

[@user-bg7qv5dn8e]

Там можно было просто соотношениями решить?

[@siiv7973]

Много е сложно! Няма ли по-прост метод за изписляване? В древен етипет не са имали компютри! Как са го смятали еврейте тогава?

[@user-yy7jr2cb8n]

Если данный тр-к "повернуть" вокруг стороны СВ, получим новый прямоугольный тр-к АВN с катетами- 2, площадь которого (полупроизведение катетов)- 2, исходный - в 2 раза меньше. Где ошибка?!

[@user-op3sc5kn5k]

Два это сантиметры ? Когда пол будите заливать так и скажите корень из трех минус один .

[@user-ej7ml6jm1r]

просто теорема синусов

[@user-vm7wk3jd1i]

Решите систему уравнений пжпжпжпжпжжпжпжпжпжпжпжп Х^2 +У^2= 1 4ХУ(2У^2 -1)=1

[@user-vm7wk3jd1i]

Не пропустите этот пример