なぜ円錐の体積は1/3がつくの？【ゆっくり解説】

円錐って不思議(^^)
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/ @yukkuri_suugaku
【イラスト】
〇いらすとや
〇ニコニ・コモンズ
〇Pixabay
〇Wikimedia
〇Adobe Stock
【SE】
〇効果音ラボ
【BGM】
〇ほのぼのワルツ（リコーダー）
〇日曜の午後

[@ゆうやと]

多くの人が勘違いしていると思うが、アイスについてくる「コーン」はcorn(とうもろこし)ではなく、cone(円錐)。逆にとんがりコーンはcornという不思議。😅

[@たなーし]

ユニコーン(一角獣)はUni(単一)+cone(円錐≒角)だと思ってたんだけど、スペルはUnicorn。ということはユニコーンの頭に付いてるのはとうもろこし！？

[@最近の中学生-q3w]

@@たなーしユニコーンのラテン語の造語から来てるからなぁ。

[@スカートよりスカーチョが好き]

どこかの大学の発音問題に出てきたのでこの話は覚えてます。

[@Sirius_F]

とんがってる（コーン）型のトウモロコシ（コーン）なのかな…

[@ゆうやと]

@@最近の中学生-q3w さん　仰るとおり「語源はラテン語の ūnus 「一つ」と cornū 「角」を合成した形容詞 ūnicornis （一角の）・・」らしいのでとうもろこしがついているわけではないようです。ｗ

[@モリモリ-m6m]

今日の課題にこの問題があったので本当に助かりました。すごくわかりやすかったです！

[@kitahii]

こういう問題はまず最初に積分する事を考えてしまうのが理系の悪い癖なのかもしれない

[@関皓介]

微積を知ってしまったら何でもかんでも微積に頼ってしまいがち。それはよくないよ。

[@bo-shi-chan]

サムネを見て積分で堆積が導出できるのを確認してから動画を開いた自分が恥ずかしいぜ

[@hitoshiyamauchi]

動画ありがとうございます。 四角錐の体積から円錐の体積に相似を使って同じ3分の1を導いたところは参考になりました。 立方体からピラミッドが6個できることで3分の1になる話はしていましたが，円錐への話というのを省いてしまっていました。どうもありがとうございました。😃

[@GALaxy__777]

ってことは 半径rの球の中心に 点OをおいてOから 放射状に線をたくさん引いて 三角形をたくさん作って (イメージ的にはサッカーボール) 球の表面を下に平になるように (イメージ的には剣山) 割り広げて 錐(剣山)の頂点を 高さを変えずにくっつけたら 底面積が球の表面積 (S=4πr^2)に等しくて 高さが球の半径(r)に 錐ができる！ そしてこの円錐の体積は 体積=底面積×高さ×1/3 V= 4πr^2×r×1/3 =4/3πr^3 になってこの考え方でも 球の体積の公式が求められる！

[@ニョキニョキニョッキ-m9j]

はは～ん、どうせ積分でわかるだろう？？と高を括ってたんだけど、最初の「立方体6分の1分割」は感心した、これなら小学生でもわかりそう

[@plusk8613]

立方体を1/6にして四角錐に1/3を登場させて円錐を面積比で求めるのはすごく分かりやすい ただ、一般化するには高さを1/2aじゃなくて任意にする必要があって、それには高さをk倍すると錐の体積がk倍になる事の説明が必要になる 高さをaじゃない直方体でやってもちゃんと1/6ずつになるんだけど、三角錐の公式を知らない状態で判断するのはむずいな やっぱり一般化は積分しないと出せないか

[@chicha5358]

任意の錐体の高さをhとすると、底面が一辺2hの正方形である特殊な錐体と比較することで体積を導けます。僕も初めて知った時感心しました。

[@こあらって]

とんがりコーンは厳密には、中が空洞の円錐の全表面積-底面積が食べる部分であり、体積の話ではないのだけどね🎉

[@nice9000]

答え→３次元だから。ｎ次元なら１／ｎとなる。例えば２次元の三角形の面積は同じ高さの四角形の１／２である。数学の積分は人類の英知。携帯端末のスマホも人類の英知の塊。人類の英知をそのまま使えると便利。

[@NT-zf8dx]

立方体を6分割は頭いいな

[@kk3835]

立方体を6つに分割すれば、6個の角錐ができるわけだから、分割によって得られた角錐の体積が、立方体の体積の6分の1になることが、まず納得できるね。

[@ootakizfour]

すげぇ分かった。土砂、砂山の体積聞かれたとき自慢します。現場で役に立つな〜〜。

[@しめじ-r7p]

動画がアップロードされた5月25日はとんがりコーンの日だそうです！ 1978年5月25日に発売されたとか。タイムリー！

[@Channel-gc3em]

立方体の６分の１のところがうまいです。対称性をうまく利用してますね☆

[@Kikyo_Bangdream]

数3で回転体の体積習った時円錐はななめの直線の回転体で表されるから一次式に二乗してπかけて積分すれば出るから二乗の積分の係数である1/3がかけられることに気づいて感動した

[@arth.48]

3:18 a^2×a/2の式に1/3を掛けると最初に求めた四角錐の体積(a^3)/6になる →その1/3はどこから出てきた？ただの辻褄合わせ？？ってなって結局意味が分からなかった

[@KabutoWLD]

真っ先に積分する方法しか思いつかんかった

[@EF-hk8gl]

マジレスするとんがりコーンは中が空洞だから体積は1/2の方が近い

[@nenu-nenu]

紀元前のエジプトは超先進国だから、古代ギリシャ人の学者はみんな留学したがってたよね(*・ω・)最近でいうアメリカ留学みたいな感じ。で、エジプトで学んだことを故郷ギリシャで発表してみんなをびっくりさせるという。 今も昔も変わらんですなぁ。

[@ミネラルうきた]

直角三角形の面積×円周で求まりそうなのに合わない　なぜでしょうか、、、

[@MedakaNoBoo]

立方升を傾けると三角錐の体積は1/3だと、経験的に知っていたからこいつも1/3だよ、みたいな

[@21-qs6jj]

老人福祉法は天才過ぎるwwwwwwwwwwwwwwwwww

[@cienzi-ell4495]

よくわかんにゃい。立方体を6分割するまでは良かったけどその後が雑なような… 立体の体積だから底面積×高さが当然？ すでに分かってる体積に合わせるために1/3をかける？ 腑に落ちなかった

[@pstc-spurs]

ぼくちんはよぉーくわかっちゃったのだぁ♡

[@sluos4678]

立方体の中には底面積と高さが同じ四角錐が6個入ります。a^2×1/2aはその立方体の半分の体積という意味で四角錐の個数で考えたら3個分ということです。四角錐1個の体積を求めているので四角錐3個の体積であるa^2×1/2aに1/3をかけました。分かりにくかったらすいません。

[@satoshi7063]

途中の取り尽くし法にある三角形の1/16と1/64はどっから出てくるのでしょうか？

[@人浪-t6q]

放物線の性質だね 放物線と二点x=a,bで交わる直線があってその2点の中央x=(a+b)/2での放物線と直線でのy座標の差、それと2点のx座標の差を求めて、三角形だからそれらを掛け合わせて2で割れば求められる。

[@jackdaniels8821]

無限を使うと直線＝曲線は出来るけど、斜辺＝高さor底辺は絶対出来ないの面白い(^^;

[@thdd3865]

断面積πr^2を高さ分積分したら1/3が出てきますね、

[@shikaishik]

地獄の空気でさようならしか頭に入ってきませんね

[@akiyoshi_skymonkey]

中学生だった頃の俺は、錐の体積が柱の堆積の1/3になる理由を考えてて、ある時、晩御飯でお鍋を食べた時に、豆腐を箸で切り刻みながら、これに似た発見をした。 中心を使った切り分け方じゃないけど、それでも証明できる。

[@kutsu_]

二次元でいうと、１辺aの直角二等辺三角形は (1/2)a^2、 三次元で、その1辺aの直角二等辺三角形を底辺とした高さaの三角錐は(1/6)a^3、、、 で、n次元では (1/n!)a^n (^^;

[@seika_iadbeg4563]

数学IIIの積分でやりますね

[@瀬戸口隆之-k8y]

動画見る前用：円の面積は半径の二乗に円周率πをかけることで求められることが前提。円錐の場合、底面にある円の半径Rは頂点Oからの距離(頂点から底面に下ろした垂線の長さ=高さ)Hに比例し定数kを用いてR=kHで表すことができ、その面積SはS=πR^2=π(kH)^2。円錐を極限まで薄くスライスした円の集まりと考えればその体積Vは薄い円の面積s＝π(kh)^2の総和なので、sについてhを0からHまで積分するV=∫sdhことで求められる。kは定数だから積分に関係なく外に出せるのでV=π(k^2)∫(h^2)dhとなりこれを解くとV=π(k^2){(1/3)(H^3)} となって単純に変数ｈの二乗を積分したから1/3が出てくるのです。 未知の定数kを消して式を整理してやるとHが一つ残ってV=H*π(R^2)/3となり普通に習う高さ×底面積÷3と同じになります。四角錐や三角錐でも同様に、底面積が頂点からの距離(高さ)に比例する変数の二乗で求められるので1/3が付きます。まずは単純なxのn乗についての微分や積分について勉強してみましょう わからなければ動画へGO

[@MikuHatsune-np4dj]

ガウスの法則と面積分？

[@riwon746]

オリックス銀行は草。

[@user-ds1bu2gk1b]

17:57 wwwwwwww

[@田中舘]

に