[EM#2] Suites arithmético-géométriques (Démonstration)

[@oljenmaths]

Cher spectateur, salutations ! Si tu veux rentrer directement dans le vif du sujet, je te suggère de lire mes livres, qui sont mes produits les plus aboutis: 📘 Les principes d'une année réussie: amzn.to/33RoTUH 📗 Le petit manuel de la khôlle: amzn.to/35AeFZ9 Cette émission fait partie de mon défi personnel 100 jours, 100 émissions, entamé le 28 août 2017 [74/100]. Depuis, de l'eau a coulé sous les ponts et la qualité du contenu produit s'est considérablement améliorée. Ainsi, si tu viens d'arriver sur la chaîne, je te recommande le visionnage d'une de mes dernières émissions, qui te donnera une meilleure idée de ce que je produis, ainsi que de la vidéo d'introduction de la chaîne. 🎥 La vidéo d'introduction de la chaîne (2'30''): kzbin.info/www/bejne/barafHiphqiqpqc Enfin, si tu souhaites me contacter, voici comment le faire. 📧 Contact: [e-mail] 🌞 Bonne écoute !

[@thecrazzxz3383]

J'aime beaucoup, c'est vrai que c'est très important la démonstration rigoureuse et non intuitive de toute la recherche, qui permet de deviner le théorème, en se plaçant à la place de celui qui l'a démontré !

[@AviciaBT]

Not only you provide us with elegant proofs but you also have a soothing voice , you are GREAT !👍🏻

[@oljenmaths]

A pleasure 🥳!

[@walidlakas5224]

Parfait, vous juste excellent, un grand bravo et merci !

[@yousseftoumi7792]

Merci beaucoup! I like the way u explain things, keep up the good work.

[@oljenmaths]

Thank you so much :-) !

[@marinacb73]

Incroyable merci 🎉

[@ahmedahannach4713]

So so so so..... Good! Thanks bro keep up

[@stormz4040]

Merci beaucoup ! C'est très intéressant !

[@rideridmu8330]

Vous êtes excellents

[@jeandie5226]

Merci, c'est tellement limpide !

[@dylanlemouellic1282]

J’ai appliqué la même démarche mais en posant vn = un - c du coup ça change le signe et on a (a-1) au dénominateur et non (1-a). Super vidéo

[@abandamvondo5767]

Très très appréciable et excellente explication ..mais j'ai un exo qui me tracasse depuis ,, j'ai besoin de votre aide pour pouvoir avancer

[@sylviajean7878]

Bravo j'aime 👏

[@hammadiazaiez9337]

THANKS FOR YOUR TIME SIR!

[@shaihulud69]

j ai pas tout compris mais c est beau, je cherche des infos sur ce genre de problemes.

[@unepersonne4173]

Clair, net, precis. Enfin je sais d où vient la "trouvaille " de c=ac+b 👍👍👏

[@oljenmaths]

C'est souvent rassurant d'avoir une explication rationnelle aux prétendues "astuces". Dans 90% du temps, une telle explication existe, je dois dire que c'est très agréable 👍.

[@emmajuniet]

merci 🙏

[@yasak6476]

excellent!

[@gabrield.3600]

Hello, y'a-t-il une explication au fait de retrouver la somme des termes d'une suite géométrique dans la formule générale ? En développant a^n à partir de un=a^n(u0-b/(1-a))+b/(1-a), on trouve un=a^n*u0+b*(1-a^n)/(1-a)

[@oljenmaths]

Salutations ! Oui ! C'est une autre façon d'appréhender la formule qu'avec mon histoire de point fixe. Pour voir cela, je vous propose de calculer u_3 en fonction de u_2, puis de u_1, puis de u_0, en développant tout à chaque fois. On obtient, en bout de chaîne: u_3 ​ = a³ u_0​ + a²b + ab + b. Et vous voyez qu'on peut factoriser les trois derniers termes par b, pour reconnaître la somme des termes d'une suite géométrique. On pourrait ainsi conjecturer la formule et la démontrer par récurrence 👍🏻.

[@gabrield.3600]

@@oljenmaths D'accord, très intéressant merci :)

[@salomonlesage34]

Très bien expliqué ; mais svp comment déterminé les valeurs de a et b pour que la suite soit convergente?

[@oljenmaths]

Merci 🙏🏻! À partir de l'expression explicite obtenue en fin d'émission, il n'y a plus qu'à distinguer les cas. 👉🏻Si |a| < 1, la suite converge vers b/(1-a). 👉🏻Si a = 1, la suite converge aussi. 👉🏻 Si a = -1, on a deux cas en fonction de si u0 vaut b/(1-a) ou pas (à détailler). 👉🏻 Si |a| > 1, on a à nouveau les même cas qu'au-dessus.

[@nicolasp301]

@@oljenmaths Bonjour, si a = 1 suite arithmétique donc diverge non ? et de même pour |a| > 1 non ? 🤔

[@oljenmaths]

Bonjour@@nicolasp301 ! Oui, j'ai craqué dans mon commentaire: pour a = 1, la suite diverge bel et bien dès que b est non nul. Quant au cas où |a| > 1, il y a divergence, sauf dans le cas où la suite est stationnaire, égale à son premier terme (cas où u0 vaut b/(1-a)).

[@aurelienm]

top!

[@hafssatibari6656]

Bonjour monsieur , et si le module de a n était pas inférieur à 1 alors la formule reste valable ou non??? Svp répondez moi Rien que ceci vous êtes génial

[@oljenmaths]

Oui, j'y réponds de 3:16 à 3:30, justement.

[@marinacb73]

Vous avez alors démontré que la suite U(n+1) convergeait toujours vers c ? Comment est ce possible si |a| n’est pas < 1 ?

[@oljenmaths]

Négatif: je me suis juste servi du cas où |a| < 1 pour conjecturer une expression crédible de c (3:16), dont je montre par la suite qu'elle convient dans tous les cas pour établir une expression explicite de (un), cela au-delà de toute considération de convergence 👨🏻‍🏫. N'hésitez pas à me dire si ce n'est pas clair 😉.

[@marinacb73]

⁠@@oljenmathsMerci pour votre réponse ! Je comprends mais y a-t-il un moyen de justifier que c = b/(1-a) autre que celui de simplement dire que c’est vrai puisque ça marche ?

[@marinacb73]

@@oljenmaths autrement dit : quelle(s) est/sont l’/les autre(s) raison(s) pour laquelle/lesquelles cette égalité est vraie si ce n’est pas parce que la suite U(n) converge ?

[@oljenmaths]

@@marinacb73 Je ne dis pas que « c'est vrai parce que ça marche ». Je dis que j'ai vérifié que ce c fonctionnait pour un ensemble extrêmement grand de suites (toutes les suites convergentes), et donc, que je peux faire une conjecture raisonnable en pensant que le c convient peut-être pour toute suite arithmético-géométrique, ce qui s'avère être vrai.

[@oljenmaths]

@@marinacb73 On pourrait simplement chercher à quelle condition la suite (un-c) est géométrique, dans le cas général. Ce serait un peu plus pénible à rédiger, mais on tomberait sur la même valeur de c ce faisant 👍🏻.

[@jad609]

Très belle démonstration, j'imagine qu'elle est bien vulgarisée, j'aimerais savoir si vos livres sont disponibles au Maroc ? Et si vous aviez des théorèmes sympathiques pour tout ce qui est calcul (calculs de limites, intégrales, suites, sommes) à me conseiller car je m'apprête à passer un concours qcm, donc on a le droit d'ouvrir nos connaissances sur le supérieur, je me demandais donc si vous aviez quelque chose qui puisse être utile s'il vous plaît

[@jad609]

à noter que j'ai déjà grâce à vous assez bien maitrisé bolzano weirestrass, somme de reimann et taylor young !

[@oljenmaths]

Merci 😇. Non, je ne pense pas que les livres soient disponibles ailleurs que là où Amazon les expédie. Quant à des théorèmes de calcul, je ne peux que vous conseiller de fouiller un peu sur ma chaîne ; aux miniatures, vous trouverez des choses sympathiques, comme kzbin.info/www/bejne/pqS0aaGbotB_gMU par exemple.

[@loiseguiader9635]

Wahou !

[@Wulfhartus]

génial

[@الانسةمليكة-ص4ج]

merci beaucoup you are excellent

[@pierre-marcshinkaretzky8851]

une erreur dans la formule, le terme contant est. b / (a-1) si on l'ajoute . Si on veut conserver b/(1 - a) il faut le soustraire. On peut visualiser que la suite est quasi géométrique pour a > 1 car passé un rang le b rajouté est négligeable par rapport à l'explosion due à la raison > 1, (l'argument n'est pas valable pour a

[@youssefbouarhroum9706]

Je pense qu il aurait été mieux d écrire au début Un-c=a(Un-1-c) parceque sinon le c dans l autre équation dépendra de n et donc lorsqu on tiendra vers l infini on doit remplacer par la limite de cn qui est alors b/1-a

[@oljenmaths]

🔹 Le c qui est introduit à 1:30 ne dépend pas de n puisque le quantificateur d'existence précède le quantificateur universel. C'est précisément ce qui permet, puisque le c est valable pour tout n, de faire tendre n vers l'infini et de récupérer une équation que vérifie c. 🔹 Par la suite (3:39), le c est désormais posé et ne dépend que de a et de b. Je n'ai pas exactement compris le message, mais si nous sommes d'accord sur ces deux points, alors c'est là l'essentiel 😁!

[@youssefbouarhroum9706]

Merci pour ces éclaircissements. Dans ma tête j' ai compris qu'on cherchait un c pour que la suite Un-c devienne géométrique et je n ai pas bien fait attention à ce qui était écrit. Très Bonne vidéo. J adore votre chaîne, j ai l impression qu à chacune de vos vidéos j aime encore un peu plus les maths donc merci 🙏🙏🌹🌹.