Oral mines pont d’algèbre en légende

[@youNes-de7or]

merci trés bon exercice, le calcul différentiel semble trés intéressant.

[@pauljlr7207]

la matrice E12+E21 respecte la propriété mais n'est pas un projecteur

[@Bibibolobobolobibipiopi0]

lemme de décomposition des noyaux : E = keru + ker(Q(u)) avec Q non divisible par X. Donc, on montre que im(u) contient ker(q(u)) (grace au fait que le dernier coef de Q soit non nul). Par dimension et th du rang, on montre que l'inclusion est égalité. On a donc montré le pt 2. Pour le point 1, il suffit de montrer une seule inclusion. soit x dans ker(u2). on écrit u(x)=a+b avec a et b resp dans ker et dans im. on a u2(x)=u(b)=0 donc b=0 car la somme d'avant est directe (b serait à la fois dans im et ker). puis, a=u(x) implique que a est dans ker et im donc a est nul. On a montré ce qu'on voulait.

[@tumorios2323]

Très jolie solution alternative bravo

[@BenoitBoero]

Pour le premier point, X et Q sont premiers entre eux donc il existe F, G des polynomes tels que : FX + GQ = 1. Ainsi, F(u) o u + G(u)Q(u) = id. En composant par u on obtient : F(u) o u² = u (Q(u) o u =0). On voit donc que u²(x) = 0 implique u(x) = 0 et donc que Ker(u²) est inclut dans Ker(u), la réciproque étant claire le résultat est démontré. A-t-on vraiment besoin de la dimension finie du coup ?