Площадь правильного многоугольника и площадь круга

Этот этюд расскажет как вычислить площадь правильного многоугольника и площадь круга; в нем выводится формула, по которой вычисляется площадь правильного многоугольника и формула, по которой вычисляется площадь круга.
Также показывается, как связаны площади подобных фигур.
Читает Игорь Тиняков
#планиметрия #окружность

[@footballer_22]

Здравствуйте! 1. 2:20. Почему центры вписанной и описанной окружностей совпадают в правильном многоугольнике? Пусть A и B - две соседние вершины правильного многоугольника. Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин A и B. Пусть O - точка их пересечения. Треугольник AOB - равнобедренный с основанием AB и углами при основании, равными α / 2, где α - градусная мера угла многоугольника. Соединим точку O с вершиной C, соседней с B. Треугольники AOB и BOC равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда имеем OC = OB = OA. OCB = α / 2. Так как C = α, то CO - биссектриса угла C. Аналогично, рассматривая последовательно вершины, соседние с ранее рассмотренными, получаем, что каждый треугольник, у которого одна сторона - сторона многоугольника, а противолежащая вершина - точка O, является равнобедренным. Все эти треугольники имеют равные боковые стороны и равные высоты, опущенные на основания. Отсюда следует, что все вершины треугольника равноудалены от точки O на расстояние длины боковой стороны и лежат на одной окружности, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром в точке O и радиусом, равным высотам треугольников, опущенным из вершины O. 2. 11:17 другое определение выпуклости многоугольника. Мне почему-то, после вашей формулировки, на ум пришли определения из топологии. Односвязность, связность... возможно они отсюда и появились) Это было лирическое отступление) 3. 26:58 показать, что полупериметры подобных треугольников относятся, как коэффициент подобия. p1 = 0.5*(a1+b1+c1) p2 = 0.5*(a2+b2+c2) a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 = k p1/p2= (a1+b1+c1)/(a2+b2+c2) = (k/b2c2+k/a2c2+k/a2b2)/(1/b2c2+1/a2c2+1/a2b2) = k ч.т.д.

[@iamzeus1250]

Спасибо!

[@elemath]

Пожалуйста!)))

[@olegvertual6787]

👍🥇

[@анатолийандреев-з3щ]

Мне больше нравится другое доказательство: если круг посечь на кусочки, дуги которых будут чуть больше градуса, и расположить их особым образом, то получится прямоугольник, площадь которого будет близка к площади круга

[@elemath]

анатолий андреев наверное можно и так доказать, я не пробовал...

[@yamato_no_orochi7028]

Насчет подобия полупериметров: Если расписать стороны по теореме синусов и вынести их удвоенные радиусы, то в скобках остаются суммы синусов одинаковых углов которые сокращаются. Это можно считать доказательством?

[@yamato_no_orochi7028]

((а1+b1+c1)/2)/((a2+b2+c2)/2)= (2*R1*(sin(A)+sin(B)+sin(C))/(2*R2*(sin(A)sin(B)+sin(C))= R1/R2

[@elemath]

Хорошая идея! Одно замечание. Вы свели все к R1/R2, а можно по Вашей схеме было бы привести, скажем, к а1/а2. Все же а1/а2=k по определению подобных треугольников, а R1/R2=k хоть и простое, но следствие (поэтому тоже требует доказательства).

[@yamato_no_orochi7028]

@@elemath то есть сразу перейти именно на отношение а1/а2 после преобразований?

[@elemath]

да! Ну или дополнительно доказать R1/R2=а1/а2 (в видео об этом хоть и было сказано, но не доказано!), что при Вашем подходе не вызовет затруднений.

[@РамазанДжанибеков-о8м]

Здравствуйте! Можете, пожалуйста, помочь решить следующую задачу по геометрии (желательно без использования вышмата, так как экзамен предполагает только элементарную математику): "Площадь параллелограмма больше 20, но меньше 30. Тогда его периметр не может быть равен a) 17 b) 18 с) 22 d) 23 e) 100 P.S. Эту задачу не смогла решить даже нейросеть, так что вся надежда только на Вас! Правильный ответ a), но как до него дойти... можно перебором, но на это уйдет все время, предоставленное для экзамена.

[@elemath]

Здравствуйте! Можно подождать следующего релиза искусственного разума. И есть еще два момента по Вашему вопросу. Один указан в описании канала, а другой - Вы достаточно давно смотрите и могли бы решить задачу самостоятельно. Тем не менее... Площадь параллелограмма вычисляется как S=a*b*sinφ. Угол можно уменьшать как угодно, а стороны увеличивать, не меняя при этом площадь, но увеличивая периметр. P=2(a+b)=2(a+S/(a*sinφ))>=4√(S/sinφ)>4√S kzbin.info/www/bejne/h3XSl5l7ibl4mM0si=VbGTqD9tr9eZoeVV

[@elemath]

ну и дополнительно kzbin.info/www/bejne/Y2mboHmelpiHmbcsi=Vdpxhqsj1DzcvZGN и продолжение kzbin.info/www/bejne/fIvaXoyLm9qLpbcsi=mptHt-YKhJMYz_2r

[@РамазанДжанибеков-о8м]

@@elemath Огромное Вам спасибо! К сожалению (или к счастью), у ИИ огромные проблемы с абстрактным мышлением, поэтому и с математикой современный гпт не особо справляется... зато с ним информативно обсуждать какие-то книги и прочие произведения! А так, в геометрии я, мягко скажем, слабоват, поэтому и не смог прикрутить тут неравенство о средних... Буду исправляться!