Problemi di Cauchy .Esistenza e unicità in piccolo. Esercizi

[@alfredocuomo4284]

Grazie Salvo. Sempre molto utili i tuoi esercizi e i richiami di teoria.

[@salvoromeo]

Grazie a te .

[@myxinlu]

Infinite grazie, Professore

[@itsarmaa]

Il messia🔥

[@matteoavanzi9782]

sei un grande, ho analisi 2 fra 4 giorni

[@salvoromeo]

Speriamo bene dai 🤞🤞🤞

[@michaelrandazzo6111]

Proprio questo semstre ho analisi 2, inondaci di esercizi!!

[@raffdls6318]

buonasera, quando ho, in un equazione a variabili separabili, a(t)=ln(t) e b(y)=e^y, con condizione iniziale y(1)=1. ll dominio della soluzione sarà tutto R oppure dovrò specificare che il dominio della soluzione sarà (0,+infinito)?

[@yanizhelyazkova5930]

Grazie mille!

[@alexvonrom7942]

Buonasera professore, non riesco a comprendere come al 26:50 l'integrale di y'/2radice(y) risulti radice(y)

[@salvoromeo]

Buonasera è un integrale che si tratta nei corsi di analisi matematica 1 .Solitamente quando salto qualche passaggio lo faccio perché sono cose fatte nelle lezioni della playlist di analisi 1 .In pratica deve risolvere integrale di dy/ (2*√y) che è quasi immediato .

[@leonardocaldarella2720]

Prova a calcolarti la derivata di rad(y) e lo capisci immediatamente, comunque con una semplice sostituzione si fa in 3 secondi

[@Marco-fn3ny]

Scusate professore , al minuto 25:55 limite è divergente , ossia che è pari a meno infinito ?

[@salvoromeo]

Buongiorno , si esattamente in questo caso il limite per y che tende a zero dalla parte destra è -infinito .

[@Marco-fn3ny]

​@@salvoromeook grazie

[@Gallox23]

Professore ma al minuto 10:55 perché usa il metodo della 2 categoria e non della prima?

[@salvoromeo]

Deve capire il contesto .Le soluzioni di prima categoria non soddisfano il problema di Cauchy , infatti soddisfano si l'equazione differenziale , ma non soddisfano la condizione iniziale .Pertanto la soluzione va cercata tra quelle non banali (ovvero di prima categoria ) . Se come condizione iniziale avessi avuto y(0)=2 , avrei finito e non avrei fatto nulla per quanto riguarda le soluzioni di seconda categoria dal momento che la funzione y=2 (nell'opportuno dominio ) è l'unica soluzione del problema di Cauchy in virtu del teorema di unicità .

[@Gallox23]

@@salvoromeo grazie prof

[@danielearisco6006]

Buonasera, quando al secondo membro di un'equazione differenziale di secondo ordine ho una somma di polinomi, mi conviene usare il metodo di lagrande o della somiglianza? Perché ho provato con tutti e due e mi è venuta subito con quello della somiglianza anche se so che si utilziza con f(t) del tipo polinomio per funzione...andrebbe bene per somma di polinomi? Perché mi è venuto meglio rispetto a quello di lagrange ed i determinanti. Grazie per la risposta. Buona serata

[@Gallox23]

Professore solo una domanda la la playlist é in ordine ? Oppure i video sono secondo la data di uscita e se gentilmente potrebbe metterlo in ordine in modo che noi possiamo procedere per gradi ed avere le basi del video precedente in modo da collegare tutto ? Grazieeee

[@salvoromeo]

Buonasera Riccardo ho appena messo in ordine gli argomenti di analisi matematica .Ancora la playlist è nello stato work in progress (luglio 2023) ma mese dopo mese la playlist si arricchirà con ulteriori contenuti e non escludo che tra le lezioni presenti inserirò altre videolezioni complementari.

[@AntoninoParisi-matematica]

28:19 non sarebbe x minore o uguale alla radice cubica di 3c? 🤔

[@AndreaPancia1]

Buongiorno professore min 30:46 non ho capito perché C deve essere negativo.

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio Andrea , se c

[@AndreaPancia1]

​@@salvoromeo tutto questo perché alla fine deve risultare x

[@salvatoredipietro5030]

Professore mi scusi, perché calcolando la derivata parziale prima rispetto a Y riusciamo a determinare se la soluzione è unica?

[@giuseppedibiase5856]

14:38 mi scusi, non riesco a capire per quale motivo ha tolto i valori assoluti

[@lorenzocuttitta9474]

per determinare A e B bisogna fare il minimo comune multiplo poi il raccoglimento e mettere a sistema le soluzioni di A e B o si usa un altro metodo ? perche ho provato ma non mi risulta usando questo metodo in pratica ottengo Ay-2A+By dopodiche dovrei raccogliere e mettere a sistema per trovare A e B ma non mi risulta sicuramente sbaglio

[@salvoromeo]

Attenzione ai calcoli .Il coefficiente del termine 1/y deve risultare a=-1 mentre il coefficiente del termine 1/(y-2) deve risultare +1 .Utilizza preferibilmente il metodo dei residui in modo da evitare il sistema di due equazioni in due incognite .

[@ramanceregatti4938]

ottimi video!! continua così! sono sicuro che saresti bravissimo anche a dimostrare i teoremi! (lo fanno davvero in pochi e su poche cose) P.s. qual'è il video in cui parli della Lipshitzianità?

[@salvoromeo]

Buonasera per adesso non voglio pubblicare teoria pura per il semplice fatto che gli studenti preferiscono più esercizi che dimostrazioni. Ovviamente non oso mai svolgere gli esercizi in maniera meccanica .Non mi interessa infatti che lo studente superi l'esame eseguendo delle procedure meccaniche , ma è opportuno che capisca ciò che sta facendo . Per il video ti rimando al seguente link in cui ho parlato di funzioni Lipshitziane per funzioni ad una variabile kzbin.info/www/bejne/q4HIlGOvr5qclbc

[@francescocoletti8636]

Salve come si risolve l'integrale con il metodo dei fratti semplici?

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio con piacere spiego il metodo dei fratti semplici con il seguente video m.kzbin.info/www/bejne/f3_YiI2ahZ6DrLc&pp=ygUbc2Fsdm8gcm9tZW8gZnJhdHRpIHNlbXBsaWNp

[@pinomugo8960]

11:22 che sostituzione è stata fatta per avete dt ?

[@salvoromeo]

y(x)=t sicché y' dx=dt

[@marcellodessimone]

minuto 14:25 non riesco a capire perché la soluzione deve per forza essere compresa tra y=0 e y=2

[@marcellodessimone]

il fatto che non possa assumere gli stessi valori delle due soluzioni costanti mi è chiaro, però perché al di sopra (e al di sotto di essi ) non può essere soluzione?? (per la continuità (?))

[@salvoromeo]

Buonasera .Esattamente se vi è discontinuità non ci può essere derivabilitá che è la parte importante di una qualsiasi equazione differenziale .

[@marcellodessimone]

grazie mille@@salvoromeo

[@asamikwork]

Salve, ha fatto per caso dimostrazione del problema di Cauchy? chiedo scusa per il disturbo

[@salvoromeo]

Buonasera , nessun disturbo . Purtroppo non ho fatto alcuna dimostrazione sul teorema di esistenza e unicità in piccolo .Per adesso non sto dedicando spazio alle dimostrazioni dei teoremi dal momento che ( purtroppo ) interesserebbero solo una minoranza di utenti .Si ricordi che sono un accanito sostenitore anche della parte teorica ma in passato o pochi teoremi che ho dimostrato non sono andati avanti in termini di visualizzazione .Attenzione le visualizzazioni le prendo solo come indice di gradimento da parte del pubblico . Forse in un futuro (non imminente ) rilascerò le dimostrazioni dei principali teoremi . Mi dispiace non poterLa accontentare .

[@asamikwork]

Nessun problema… anzi la ringrazio infinitamente per i video che mette solo grazie a tali video suoi che ho superato analisi 1… mi serviva dimostrazione perché mio prof di analisi 2 chiedeva. Le auguro una buona serata

[@AntoninoParisi-matematica]

29:52 radice cubica di 3c, non di cc

[@salvatore2711]

Salve prof. Per la dimostrazione del teorema non ha fatto video?

[@salvoromeo]

Buongiorno Salvatore purtroppo non ho mai rilasciato la dimostrazione .Le distrazioni saranno disponibili in futuro .Per adesso sono impegnato nelle realizzazione dei contenuti più pratici , pur dando qualche cenno di teoria . Mi dispiace non poterLa aiutare da questo punto di vista.

[@AntoninoParisi-matematica]

31:09 Mmm, non devi porre c=0 per via della condizione iniziale? 🤔

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio Antonio .La domanda è interessante .Con c=0 ottengo una delle infinite soluzioni che soddisfano si il problema di Cauchy .Ma non essendo soddisfatto il teorema di unicitá esistono infinite soluzioni che si ottengono sempre al variare di ogni valore che attribuiamo al parametro c purché c

[@Splinter28]

Allora non dovrebbe essere c

[@AntoninoParisi-matematica]

@@salvoromeo Ah ok... 👍

[@AntoninoParisi-matematica]

@@Splinter28 Giusta osservazione... 🤔

[@AntoninoParisi-matematica]

​@@salvoromeo Però se lasci indicata la c, non tutte le funzioni passano da (0;0) 🤔

[@pacomazzarella693]

prof, nell'ultimo esercizio, non risulta anche y=-1 una soluzione?

[@salvoromeo]

Buongiorno Paco no l'unica soluzione che soddisfa il problema di Cauchy èsolo y=1 in virtù del teorema . y=-1 non può essere soluzione e lo può andare a verificare facendo la sostituzione (anche se è inutile )

[@pacomazzarella693]

@@salvoromeo prof sostituendo risulta la derivata di -1=0 e^y^2- e=0, dunque le ipotesi sono verificate o sbaglio?

[@salvoromeo]

@@pacomazzarella693 non proprio poiché y(0)=1

[@gerry7238]

@@salvoromeo prof scusi ma il dubbio del ragazzo sembra lecito : lei nel video ci mostra che sostituendo y(x) =1 nella eq differenziale si ottiene un identità ( cioè 0 = 0) allo stesso modo però si ha anche se y(x)= -1. Cosa sto sbagliando? la ringrazio

[@santolodambra8381]

y=-1 non fa parte del dominio della funzione G

[@alexanderfox5145]

Come mai la funzione dev'essere compresa tra y=0 e y=2?

[@flaviogrammatico1452]

Perchè sono le soluzioni costanti e di conseguenza la funzione non può attraversarle

[@Salvoo38]

scusi nel caso in cui g(xo)=0 cioè x0 è uno zero di g (in questo caso il valore assoluto) affinche sia l unica soluzione il nostro professore come corollario di un teorema ci ha detto che affinche x0 sia l unica soluzione del problema di cauchy è che g sia derivabile in un intorno di x0 e che la derivata di g sia continua, ma il valore assoluto non è derivabile in 0 (premetto che non ha mai parlato di funzione liptschiziana)

[@salvoromeo]

Buonasera Salvatore approfittando di qualche pomeriggio libero ho il piacere di rispondere alle domande . Se consideriamo (ad esempio ) y'=x|y| con la condizione y(0)=0 è verissimo che la funzione |y| nel punto zero NON è derivabile tuttavia in qualsiasi intorno del punto y=0 la funzione è lipschitziana ed è più che sufficiente per garantire l'esistenza di un 'unica soluzione . Se la funzione fosse derivabile il un intorno di y=0 allora la derivabilità implica la lipschitzianità , ne segue che la derivabilitá sarebbe una condizione troppo forte e abbondante per garantire l'esistenza dell'unica soluzione .Tuttavia si richiede molto meno ...ovvero che la derivata in un determinato intorno di zero sia "limitata " e quindi lipschitziana . Se avessimo (in y=0).un punto di cuspide invece non va assolutamente bene poiché non solo non si ha la derivabilità , ma non si ha la lipschitzianità proprio per la natura del punto di cuspide .Quindi non si può assicurare con certezza l'esistenza di un'unica soluzione .

[@Salvoo38]

@@salvoromeo Grazie mille

[@danielearisco6006]

Buongiorno ma piu in lá fara qualche video di analisi 3?

[@salvoromeo]

Buongiorno Daniele se per analisi 3 intende funzioni nel campo complesso, trasformate di Fourier, Laplace e distribuzioni , la risposta è affermativa .Sto costruendo la playlist che sará completa entro il 2024 .Nel 2023 mi sono concentrato più a costruire la playlist di Analisi matematica 2 anche se ancora è in continuo aggiornamento.

[@danielearisco6006]

@@salvoromeo sisi tutte queste cose. Perfetto grazie millee

[@riccardosinisi311]

Ma la funzione y deve essere di classe C1 o può essere di classe C0?

[@lorenzocicero1846]

Qualche video sugli intervalli massimali?

[@salvoromeo]

Buongiorno Lorenzo .Per quanto riguarda. Il più ampio intervallo in cui è definita la soluzione trova la spiegazione dal minuto 17:50 fino a 21:20 .Qui non è stato necessario fare calcoli laboriosi poiché le disequazioni erano molto immediate .Ma in altri contesti magari sarebbe stato necessario svolgere qualche calcolo in più (roba di poco conto e che nulla ha a che fare con analisi matematica ) . Per tale ragione non ho previsto di rilasciare (nell'immediato ) un video su un nuovo problema di Cauchy . La cosa importante è sapere definire il rettangolo o striscia iniziale e poi trovate le soluzioni vedere se ci sono limitazioni sulla y e andate a imporre altre limitazioni dipendenti da y (nel nostro caso comprese tra 0 e 2 ) che mi faranno risolvere delle disequazioni che potrebbero restringere ulteriormente l'intervallo ]-1,1[ .Tutto ciò lo trova in quella parte di lezione che ho indicato sopra .

[@jahangirzaman6405]

l'esercizio di thumnail ha soluzione y = ln(2)/cos(x)

[@lorenzougo6571]

E io che stavo cercando "esistenza ed unicità per il problema di Dirichlet"

[@matteorizzolio]

Non ha nessun senso fare i problemi di Cauchy in questa maniera.

[@salvoromeo]

Secondo quale criterio non ha senso? Non vedo altri modo di risolvere i problemi di cauchy . .

[@pinomugo8960]

29:47 e se se fosse invece c>0 ?

[@salvoromeo]

Non si avrebbero le condizioni soddisfatte .

[@Marco-fn3ny]

​@@salvoromeoscusi prof ma per quale motivo?

[@giuseppecammarata7528]

​Penso sia perché con c>0, lo 0 della nostra funzione (y) risulterebbe per valori di x maggiori di zero (vedi le condizioni della soluzione fi di x) e quindi non soddisferebbe la condizione di Cauchy (che richiede y(0)=0)