Qu'est-ce qu'un nombre entier naturel ? Définir ou axiomatiser

[@Raqi799]

Très belle vidéo ! Est-il possible d'avoir quelques détails supplémentaires sur pourquoi le concept d'entier naturel est nécessaire pour bâtir la théorie des ensembles ? Est-ce que les axiomes de ZF nécessitent un concept primitif d'entier naturel pour pouvoir être formulés ? Merci beaucoup !

[@Mathesis-Univers-Mathematique]

Merci ! Certains entiers naturels sont nécessaires pour formuler certains axiomes de la théorie naïve des ensembles (par exemple l'axiome de la paire dans ZF, conçue comme théorie informelle). Dans la théorie axiomatique des ensembles, les choses sont différentes puisque les axiomes (par exemple de ZF) sont des objets mathématiques, des formules du calcul des prédicats : vous n'avez alors pas besoin d'un concept d'entier naturel interne au langage pour écrire les axiomes. Mais : le calcul des prédicats présuppose une théorie naïve des ensembles, et donc à mon sens certains entiers naturels comme concepts primitifs, à défaut d'un concept de nombre entier naturel, (ce qui est autre chose). A moins qu'à l'aide de la conjonction logique "et", on puisse s'en passer, voir la discussion à ce sujet en commentaire de la réponse suivante sur Quora : fr.quora.com/La-math%C3%A9matique-est-elle-r%C3%A9ductible-%C3%A0-la-logique?q=les%20math%C3%A9matiques%20sont-elles%20r%C3%A9ductibles%20%C3%A0%20la%20logique

[@nina8214]

merci! :)

[@LAtomeAZZAZProDuNeu9-]

factoriel adjectif et nom féminin Relatif à un facteur. MATHÉMATIQUES Produit des nombres entiers inférieurs ou égaux à (un nombre donné). La factorielle de 3 est : 3! = 1 × 2 × 3 = 6. Un facteur est un terme qui intervient dans une multiplication. Exprime 56 sous la forme d'un produit de facteurs. Voici deux possibilités :56=2×28 ou 56=4×2×7 56 = 2 × 28 ou 56 = 4 × 2 × 7 Pour la première factorisation de 56 , les facteurs sont 2 et 28 . Mieux les bases dans l’ordre d’apparition du plus petit facteur… voyons leurs compositions qui constituent le résultat des successeurs… 56 = 0 x 1 x 2 x 2 x 2 x 7 = n! ? /45⁰ N! = 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x … x n ou 9… = 1! ; 2! ; 3! ; … ; N! 0 x 1 = 0! Ici la table de 1 numérateur un 1/1 ou/et 1 : 1 des n uns… N x N = 1 x 1 = 1! N x ( N - 1 ) = 1 x ( 2 - 1 ) N (N - 1)! = 1 x ( 2 = 3 - 1 ) = 2! 1 x 2 x 3 = 6 = 3! 1 x 2 x 3 x 4 = 24 = 4! 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 = 5! 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 = 6! 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040 = 7! 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40320 = 8! 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 362880 = 9! N! = n ( n + 1 ) ( n + 1) … x n + 1 = n ( n - 1 ) ( n - 1 ) x ( n - 1 ) N! = 1! x le résultat + 1 N! = n x ( N! = N - 1 ) N! = ( n = successeur multiple = 0 x 1 x 2 x 3 x… x n ) x ( N! = N - 1 successeurs multiples ) 0! = 1!/1 = 1/1 1! = 2!/2 = 2/2 = 1 x 2 2! = 3!/3 = 6/3 3! = 4!/4 = 24/4 4! = 5!/5 = 120/5 5! = 6!/6 = 720/6 Alors!! Dans l’ordre ordonnés naturellement d’apparition par AZZAZ rabih 3! = 6 = 0 x 1 x 2 x 3 factorielle 3! = 6 = 1 x 2 x 3 facteurs 3! = 6 = 2 x 1 x 3 facteurs 3! = 6 = 1 x 3 x 2 facteurs 3! = 6 = 3 x 1 x 2 facteurs 4! = 24 = 0 x 1 x 2 x 3 x 4 24 = 1 x 2 x 2 x 2 x 3 24 = 2 x 1 x 2 x 2 x 3 24 = 1 x 3 x 2 x 2 x 2 24 = 3 x 1 x 2 x 2 x 2 24 = 1 x 6 x 4 24 = 6 x 1 x 4 24 = 1 x 4 x 6 24 = 4 x 1 x 6 … … … 9…999! = 0 x 1 x 2 x 3 x … x égal ou plus petit que 9…9999 /45°

[@terminator1716]

Formaliser les entiers naturels c'est mettre toute la mathématique dans une prison et l'affaiblir sans raison. La mathématique doit rester libre basée seulement sur la logique aristotelicinne qui coïncide avec la logique humaine simple et sensée, la notion intuitive d'ensemble au sens de Cantor et l'ensemble des entiers naturels. Dans ce cadre on ne peut jamais tomber sur une contradiction ni avoir le moindre paradoxe. Je remarque que dans ce cadre l'ensemble des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes n'est pas un ensemble ni même l'ensemble des ensembles. Aussi le paradoxe connu : "qui rase le barbier du village ?" n' est pas un paradoxe c'est une entourloupe basée sur un énoncé qui n'est pas une assertion car une assertion doit être ou bien vraie ou bien fausse.

[@Mathesis-Univers-Mathematique]

Vous me semblez confondre axiomatisation et formalisation. Les anciens mathématiciens grecs (n'oubliez pas que Pythagore a paru avant Aristote et même avant Platon) avaient compris la nécessité des axiomes, car il faut partir d'une base qu'on ne peut démontrer. La formalisation vient plus tard, et quand je fais référence à la théorie des ensembles dans ces vidéos, c'est souvent justement au sens intuitif de Cantor. Mais le paradoxe de Russell apparaît même avec cette notion, et d'ailleurs Cantor le savait parfaitement, lui qui parlait de "pluralité inconsistance". Il est d'ailleurs l'auteur d'un paradoxe qui porte son nom et a trait à la pluralité de tous les cardinaux. D'ailleurs, pour disposer de "l'ensemble des entiers naturels" et en faire de l'arithmétique rigoureusement, il faut soit poser les axiomes de Peano, soit admettre l'axiome de l'infini avec une théorie axiomatique, même rudimentaire, des ensembles.

[@aurelienm]

bg