Résistance des matériaux : les moments quadratiques et le théorème de Huygens

Рет қаралды 45,478

Күн бұрын

Démonstratio de la formule du moment quadratique en flexion d'une section rectangulaire.
Application pour une poutre creuse.
Application du théorème de Huygens.
Méthode de détermination de la position de la fibre neutre.

Пікірлер: 41

@HEURTFALT12 5 жыл бұрын

Cour très simple et très clair. Simple et efficace -> on aime ça 😁

@indiamaroomovies1460 2 жыл бұрын

Bonjour vous pouvez visiter cette chaîne pour avoir d'autres vidéos KZbin sur la RDM..kzbin.info/www/bejne/pn3NaGOKm9yHqtU

@yasouyas3748 6 жыл бұрын

j'ai regardé pleins de vidéo celle-ci est la meilleure ! Merci beaucoup !!

@FredericBruyeremeca 6 жыл бұрын

Merci beaucoup pour le commentaire positif.

@adamadiabate1228 4 жыл бұрын

M BRUYERE merci beaucoup pour la vidéo. ça m'a permis de m'eclaircir d'avantage sur certains points . merci infiniment

@francoisguyot789 5 жыл бұрын

Merci beaucoup pour cette démonstration !

@indiamaroomovies1460 2 жыл бұрын

Bonjour et merci bien monsieur pour vos explications..

@raphaeldolo4974 3 жыл бұрын

Simple et efficace merci beaucoup

@indiamaroomovies1460 2 жыл бұрын

Bonjour vous pouvez visiter cette chaîne pour avoir d'autres vidéos KZbin sur la RDM..kzbin.info/www/bejne/pn3NaGOKm9yHqtU

@swimies 5 жыл бұрын

Bravo, meci bcp

@indiamaroomovies1460 2 жыл бұрын

Bonjour vous pouvez visiter cette chaîne pour avoir d'autres vidéos KZbin sur la RDM... kzbin.info/www/bejne/pn3NaGOKm9yHqtU

@ericmu4397 7 ай бұрын

Bonjour, je vous partage 2 observations : 1) j'ai fait des calculs de mon coté sur une section asymétrique : une poutre en T inversée de semelle de dimension 2cm*10 cm et d'arrête 2cm * h1 cm, en faisant varier la hauteur h1 de l'arrête. Et calculé pour plusieurs valeurs de h1 les valeurs du MQ relatif à la fibre neutre et les valeurs du MQ relatif à un axe passant par le barycentre. J'observe que les positions des 2 centres présentent un écart d'environ 0,5 à 0,6 cm quand h1 varie de 6 à 20 cm, et que les valeurs de MQ (MQ fibre neutre Vs MQ barycentre) présentent une différence très faible, variant de 4% à 0,7 % quand h1 varie de 6 à 20 cm. 2) Par ailleurs je constate que les outils en ligne de calcul de moment quadratique (SkyCiv, ClearCalcs, CivilEngineersonline pour ceux que j'ai testé avec ma poutre en T) donnent toujours un moment quadratique relatif à un axe passant par le barycentre de la section. Pouvez-vous me confirmer que c'est bien le MQ relatif à la fibre neutre qu'il faut prendre en compte pour calculer la déformation de la poutre ? Si c'est bien le cas, alors on peut dire que ces outils ne donnent pas le bon MQ pour cet usage. Heureusement l'écart semble faible, on est peut-être dans une marge d'erreur acceptable. En revanche puisque ces outils donnent un MQ relatif au barycentre, alors cette donnée est bien adaptée pour appliquer ensuite le théorème de Huygens. Mais cela reste surprenant car ce n'est pas l'usage le plus courant. En général on va rentrer la section de poutre complète dans l'outil. Est-ce que vous connaissiez cette problématique et qu'en pensez-vous ? Cordialement, E. M. (auto-constructeur)

@FredericBruyeremeca 7 ай бұрын

Bonjour, Oui c'est subtil. Effectivement si l'on veut le même moment quadratique de chaque côté de la fibre neutre (ce qui nous garanti bien que la fibre neutre ne subit pas de contrainte) on trouve un écart avec le barycentre (barycentre = somme(y.ds) et MQ=somme(y².ds). En pratique j'ai constaté que tout le monde part du barycentre pour calculer les MQ et les utilise ensuite pour flèche et contrainte. Au niveau des formules (cf ma vidéo de démo) pour le calcul de la contrainte on positionne une fibre neutre et dit que la somme des petits moments générés par les contrainte sont égaux au mf. Il y a donc une fibre neutre pour laquelle les contraintes sont nulles et l'équilibre statique donne le même moment généré de chaque côté de la fibre neutre donc le même moment quadratique. Ensuite pour la flèche on s'intéresse seulement à la déviation de la surface d'une petite longueur (cf ma démo la dessus) cette dernière dépend de la répartition des contraintes et donc du MQ prit autour de la fibre neutre. Après je me trompe peut-être car je n'ai jamais trouvé le cas dans un bouquin, mais mes démos me donne envie de croire que l'on fait une simplification (pas très élevée) en prenant le barycentre.

@ericmu4397 7 ай бұрын

Merci ! Les vidéos que vous citez permettent de mieux comprendre. On voit en particulier que les formules de calcul de la contrainte comme de la flèche sont effectivement établies en raisonnant avec la fibre neutre. J'ai fait des calculs comparatifs de la valeur du MQ relatif à la fibre neutre et du MQ relatif au barycentre pour quelques sections asymétriques et cela me donne à penser que les valeurs restent assez proches (max 4% pour les cas étudiés, mais il faudrait faire le calcul sur un grand nombre de cas de figure pour avoir une meilleure idée). La flèche est proportionnelle à 1/MQ. Si on pose MQ-fibre/MQ-bary = 1+x alors le ratio f-exact/f-approché obtenu en utilisant respectivement MQ-fibre et MQ-bary dans le calcul sera en 1+(x/(1+x)) or x/(1+x) est très proche de x pour x proche de zéro. Bref un écart de X% entre le MQ exact et le MQ approché conduit à un écart peu éloigné de X% entre la flèche exacte et la flèche approchée.

@marcfauve6971 Жыл бұрын

La fibre neutre ne passe t elle pas tout simplement par le centre de gravité ?

@FredericBruyeremeca Жыл бұрын

Bien vu, j'ai déjà vu ça mais c'est une approximation. La définition donne un moment égal et opposé de part et d'autre de la fibre neutre, donc seul Huygens donne un résultat exact.

@williamcerdeira23 4 жыл бұрын

Merci pour cette vidéo très éclairante. Comment fait-on si la section de notre poutre est variable pour lui attribuer un moment quadratique ?

@FredericBruyeremeca 4 жыл бұрын

Cela veut dire que ce moment quadratique est variable en fonction de la position. Pour le calcul de contraintes il faut chercher la zone la plus sollicitée en fonction de Mf et du moment quadratique. Pour le calcul de flèche ça se corse. Il faut exprimer le moment quadratique en fonction de l'abscisse x avant d'opérer les intégrations des formules.

@indiamaroomovies1460 2 жыл бұрын

Bonjour vous pouvez visiter cette chaîne pour avoir d'autres vidéos KZbin sur la RDM..''kzbin.info/www/bejne/pn3NaGOKm9yHqtU

@ericmu4397 8 ай бұрын

Bonjour, je remarque une subtilité. Vous expliquez que la fibre neutre correspond à l'axe partageant la section en 2 surfaces de moment quadratique égaux. En revanche pour appliquer le théorème de Huygens il faut partir d'un moment quadratique initial défini sur un axe passant par le barycentre de la section. Sauf erreur de ma part ces 2 axes ne sont pas confondus dans le cas d'une section quelconque. En effet pour scinder la section en 2 demi-section de moment quadratique égaux on va calculer l'intégrale double de y^2.dy.dx de ces demi-sections , alors que pour scinder la section selon le barycentre on va calculer l'intégrale double de y.dy.dx de ces demi-sections. Dans le cas d'une section symétrique telle qu'un rectangle ces 2 axes sont confondus, mais ce n'est pas le cas d'une section quelconque. Etes-vous d'accord avec ça ?

@FredericBruyeremeca 8 ай бұрын

Oui, parfaitement. En fait la fibre neutre passe par l'endroit où le moment quadratique de chaque section de part et d'autre est égal. Le barycentre n'est donc pas une bonne définition. Si vous fouillez sur ma chaîne vous trouverez une vidéo qui traite de ça.

@ericmu4397 8 ай бұрын

@@FredericBruyeremeca Je ne suis pas certain qu'on se soit bien compris. Il est bien clair que la fibre neutre, axe à prendre en compte pour calculer le moment quadratique propre d'une section, est l'endroit où le moment quadratique de chaque section de part et d'autre est égal. Mais ce que je souligne c'est qu'en revanche pour pouvoir utiliser le théorème de Huygens il faut que le moment quadratique initial soit calculé par rapport au barycentre de la section, et non par rapport à la fibre neutre. Dans le cas d'une figure symétrique, les 2 axes sont confondus donc on ne se pose pas de question (et souvent une applique Huygens à un rectangle donc il n'y a pas de soucis). Par contre si on avait le Ig d'une section asymétrique comme un T par rapport à sa fibre neutre et qu'on voulait appliquer Huygens pour calculer le Ig par rapport à un autre axe, il faudrait d'abord calculer le Ig de la section par rapport à son axe barycentre. Je viens de vérifier par le calcul. Le barycentre coupe la surface S en 2 parties A et B telles qu'à tout élément de surface dSA situé à la distance dA du barycentre on peut associer un élément de surface dSB situé à la distance dB du barycentre avec : dSA.dA = dSB.dB Autrement dit on a une égalité des produits (surface * distance à l'axe) de part et d'autre de l'axe barycentre. On a alors dSB = (dA/dB).dSA A partir de là pour vérifier Huygens on va calculer de 2 manières différentes le Ig global de ces 2 petites surfaces par rapport à un axe delta prime situé à la distance D du barycentre. 1ère manière : calcul sans utiliser Huygens. IgABDeltaprimedirect = dSA.(dA+D)^2 + dSB.(D-dB)^2 2ème manière : calcul en utilisant Huygens. IgABDeltaprimeHuygens = IgABbarycentre + dSA.(1+ (dA/dB)).D^2 On constate alors qu'on obtient un résultat identique par les 2 méthodes. Cela démontre la validité du théorème de Huygens quand on part d'un Ig défini par rapport au barycentre. J'ai ensuite reconduit ces 2 méthodes mais en partant d'un Ig initial défini par rapport à la fibre neutre de la section. La fibre neutre coupe la section en 2 parties telles que la relation entre dSA, dA, dSB et dB est : dSA.dA^2 = dSB.dB^2 Si on fait le calcul on constate que le théorème de Huygens ne fonctionne pas dans ce cas : on ne trouve pas le même résultat en appliquant le théorème qu'en faisant un calcul direct du Ig de A et B par rapport à delta prime. Nous avons donc vérifié que le théorème de Huygens s'applique en utilisant un moment quadratique initial calculé par rapport à l'axe barycentre de la section, et non par rapport à la fibre neutre.

@malikboufatah8951 5 жыл бұрын

et pour une poutre a section variable comment on fait (triangle par exemple) mrc

@FredericBruyeremeca 5 жыл бұрын

C'est la même idée simplement les bornes de l'intégrale ne sont pas constantes. Par exemple pour un triangle elles sont de la forme a.x+b (équation de droite). Par contre il y a un soucis pour trouver la position de la fibre neutre si le profil n'est pas symétrique. J'ai fait une seconde vidéo sur la détermination de la position (ce n'est pas une mince affaire). Le mieux au final est le logiciel de CAO qui calcule cela tout seul.

@malikboufatah8951 5 жыл бұрын

@@FredericBruyeremeca mrc c'est gentil et bn continuation j'adore tes vidéos

@chaymaemouhab213 6 жыл бұрын

SVP pouvez vous partager le résultat de la partie détermination de la position de la fibre neutre

@FredericBruyeremeca 6 жыл бұрын

Je trouve environ 17.94mm (sauf erreur car le calcul est assez long).