ロピタルの定理①(定理と使用例)

受験数学で悪名高い(?)ロピタルの定理についてしっかと解説します。
大学生にとっては解析学の学習の入り口です
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【おすすめの教科書や資料】
数研講座シリーズ 大学教養 微分積分
amzn.to/2RuIcOk
→ロピタルの定理の証明が詳しく書かれています
チャート式シリーズ 大学教養 微分積分
amzn.to/2tAyjqq
→上の本の演習書として最適。例題が豊富です
ネット上のpdf
mathematics-pdf.com/pdf/lhopi...
→さまざまなケースの証明が非常に詳しく書かれています
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【ヨビノリたくみの書籍一覧】
「難しい数式はまったくわかりませんが、微分積分を教えてください!」
amzn.to/33UvrRa
→一般向けの微分積分の入門書です
「難しい数式はまったくわかりませんが、相対性理論を教えてください!
amzn.to/33Uh9Ae
→中学の易しい数学しか使わない相対性理論の解説本です
「予備校のノリで学ぶ大学数学 ~ツマるポイントを徹底解説」
amzn.to/36cHj2N
→数学動画で人気の単元を書籍にしてまとめたものです
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[@tatsumi3261]

受験の時、めっちゃお世話になりました。答えが分かるとどう変形して極限求めればいいか察しがつくので重宝してた。

[@kazu6152]

もう四半世紀も前の大学受験の時に予備校で習いました。ものすごく便利だけど全然その理由がわからない定理だったので、とてもよく覚えてます。文系だったこともあってその証明までは手が伸びませんでしたが、今になってこうやって学びなおすことができることをとても嬉しく思います。 続きを楽しみにしています。これからも頑張って下さい！

[@user-tz5wi1bl3l]

社会人ですが、たくみさんのおかげで、素敵な数学ライフを過ごさせていただいております。第二講以降もしっかり受講させていただきます。

[@user-kn8qt9iw2i]

大学から本格的な数3始めたけど、毎回助かってます。ロピタルの定理は神

[@user-ol8zx8ne1z]

ありがとうございました。大学の先取りの課題が出ていて難しくてできなかったのですが、この講義をきいて理解できました。本当に助かりました。

[@matsushun9286]

存在は知ってたけどここまで深い内容は知らなかったし知れて凄いおもろい

[@kayounglee5508]

大学に入るにつれ見られる動画が増えてうれしいです！

[@gary8593]

高校時代、数学の証明とかはぼんやりなんかやってるな〜と遠目に眺めてるだけだったのですが、ヨビノリさんの授業を受けてると、なんだか自分も感情移入してきて、早く理解を進めたい。って気持ちが昂ってきます。 いつもありがとうございます。これからも頑張ってください。

[@yobinori]

※進んだ注 「(sinx)'=cosxの証明にlim_{x→0}sinx/x=1を使うから、lim_{x→0}six/xの計算にロピタルの定理を用いてはいけないのでは？」 という(趣旨の)コメントがいくつかありますが、(たとえ高校の範囲でも)sinxの微分はlim_{x→0}sinx/x=1を使わずに導出することができるので、 特に問題のある行為だとは認識しておりません(導出方法についてはググってみてください)

[@yaranaika1984]

@rariru 自分がサラっとググった感じでは「高校数学の範囲内でlim sinx/x = 1を用いないsinxの微分の導出方法」について東北大学大学院理学研究科数学専攻の黒木玄助教による解説がありました twitter.com/i/events/857377316032307200

[@user-schezo]

そもそも扇形の面積を円内の三角形と円外の三角形の面積を使って、はさみうちの定理で持ってくのはだめなの？ sin x/2＜x/2＜tan x/2 からの式変形

[@Iolite-gm3vq]

シェゾウィグィィ それが一応正解なはず

[@user-mr4ud1nv6z]

@@Iolite-gm3vq 確かに教科書に載ってるオーソドックスなやつなんだけど、そもそも扇形の面積は積分の計算からきていて、sinの微分を考えるための(sinx)/xの極限を考えるはずなのにsinなどの積分を使っちゃっているから堂々巡りな気がする。自分はまだ大学の数学をきちんと学んでいないからうまい方法とかは言えないけど、数Ⅲを一週学び終えたときには気持ち悪くなった。

[@user-xd3tt5mo3d]

@@user-mr4ud1nv6z 11ヵ月も経ってるしもう解決してるかもしれないけど扇形の面積は「面積を用いて中心角を定義した後その中心角が弧度法によって定義されるものと一致することを証明する」という方法で弧度法における積分を使用しないで導ける。(面積による定義でlim x→0 sinx/x = 1を証明→それを用いて面積による定義上で(sinx)’=cosxを証明→それを用いて置換積分で中心角x、半径1の扇形の弧の長さがxを証明→弧度法においてもlim x→0 sinx/x = 1、という流れ) この流れの一部の省略と言い換えをすれば教科書の証明になる。

[@user-ei8vt9nv6j]

いつも通りわかりやすい授業の上編集がお洒落だったのでこの動画は5回高評価を押させていただきました。

[@integral_dv]

センター終わって2次の対策してくれてて嬉しい

[@user-ml7mc9fk2u]

大学の授業では、いきなり証明から、しかも１時間半の授業一コマでドバっと説明され混乱していました。後の講義もちらっと見ましたが、丁寧に疑問点も説明されているので助かります。

[@u1-160]

個人的に結構気になってたからめちゃめちゃ嬉しい

[@user-hd3ym4wb3h]

ファボゼロ大学の教授の有難い授業

[@user-zl6nl3fz9x]

よびのり大好き。よびのり最高。よびのりこれからも頑張って！

[@user-yw1mr9yc3d]

今日、ロピタルの定理について友人と話していたところだったのでありがたいです！

[@Celebi0412]

ものすごいわかりやすくて感動です！！ 授業で意味不明だったのでもう授業中話聞かずにこっち家で勉強する方が効率いいことに気づきました！ これからお世話になりますー！！

[@user-fu9lt8bi1w]

そういえば本届きました！！めっちゃ分かりやすいですね！

[@kanao1399]

私でも理解できました。ありがとうです☆

[@user-od2dm4es8w]

マジで助かる なんなんだよこの授業

[@user-tp9vn5qx4p]

3年前は二次関数ですらよく分からなかったのに高２の今、このレベルの講義をある程度まで理解出来るようになった自分に驚き。なんか遠い所まで来ちゃったな…

[@user-nz6qq8yp7v]

俺のバンザイシステム全然バンザイしてなくて泣きそう…

[@yobinori]

切り替えよう

[@user-jo9xo1zq1j]

ピカルの定理って懐かしいですよねー

[@user-qy3fh7vq2i]

いつも知識の整理の仕方や解説の手順が 芸術的でおもしろい！

[@user-hahatvy]

ほんま字きれいやな、ユーキャンの黒板チョーク字講座してた？

[@takesy2084]

そんなのあるんだ、、ユーキャンの守備範囲広いな、

[@hiroakinakajima]

関数の漸近挙動を求めてグラフを描くのに便利なんですよねえ～

[@kititanu8768]

待ってました〜！

[@user-ns5ww1rv1d]

大学休校になって微積分が先生の授業ノートをみて自分で勉強しなさい形式だったから、困ってたけどヨビノリいて助かった

[@user-tl1bv3tz6y]

この定理まじで便利

[@kotfkotf]

近傍という言葉が使えればもっと簡単に説明できるのに高校生にもわかる範囲の単語だけで説明するのはつらいのう

[@AlTiMet_Sub]

ファボが0/0の時もロピタルの定理を適用すれば解決だね

[@SolingTube]

結局ゼロに収束することは自明でしょ（）

[@hiroakinakajima]

分母のゼロの起源は(笑)？もしかして見ている人がいないとかですか？

[@ccxx3789]

Hiroaki Nakajima みんなが見なかったことにする、忘れようとするため0になる。

[@hiroakinakajima]

@@ccxx3789 なるほど～極限だからそうですね！

[@hiroakinakajima]

@@user-rx2bn1en2d そこまで考えてなかったです。まあロピタルの定理を何回も使わないといけないかもしれないケースということでご勘弁ください(笑)。

[@douglasdaikon5310]

待ってました

[@fu_ga_pi]

高専2年でロピタルの定理習ったから受験で使える！やった！

[@quartersblue557]

Focusに最大値の定理からロルの定理、平均値の定理を導いて最後にロピタルの定理を証明の記述がありましたね…

[@kenichisugiyama-tj7yq]

再度視聴させて頂いております。非常に勉強になっております。どうも有難うございます。

[@user-ty5rc9xf1o]

まってました

[@user-ps9yt5pd9w]

理系大学生じゃないけど素敵な数学ライフのためにロピります。

[@akitea5392]

大学の授業ですらもlim（x→a）g'（x）/f'（x）の計算するだけと教わってました（数学科） なので驚きました

[@user-vs3ec7pc4t]

本当にありがとう

[@shinsansub]

わかりやすく説明してくれてる気がしますが中1の僕にはわかりません 勉強してきますね（この動画が理解できるまで）

[@user-ps3ss6dq2u]

中１で微分が分かる方がマイノリティだと思います？(因みに微分は、グラフの傾きを出すモノ。中学生が興味持つ言い方すると｢オッパイの形を求めるのが微分｣で｢オッパイの大きさ求めるのが積分(因みに２重積分は、高校生でも習わないです)｣)

[@user-dg1hb1yh8k]

大学のテストの採点とか見てると先生達はかなり好意的に回答を汲み取ってくれるイメージ

[@user-vy7ov8xz9w]

え？大学受験では使うなって言われてるよ

[@user-vd7gp9xm8y]

@@user-vy7ov8xz9w 日本語理解力皆無で草

[@yarirafi-]

@@user-vy7ov8xz9w人の話聞いてないねってよく言われない？😢

[@ref2179]

数学苦手だけど見に来ちゃうなぁ

[@xxxonigiri182]

軌跡の逆教えてほしい

[@yuuki2453]

「微分が先」っていうのがロピタルの定理を繰り返して適用することで極限が求まることの根拠になってるのか……

[@ARJUNADDR]

微分形の極限があるから元の形の極限もある。 完全に逆に覚えていました😅。 ロピタルの定理、ので、証明が楽しみです😀

[@user-ws2wo3ii1r]

過去一ファボった

[@xy8066]

ありがたい

[@user-kc5gr1se2p]

8:48くらいに赤ん坊の泣き声がする

[@mtmath1123]

最近の学問書は圧倒的に柔らかい(物理的に) 微分の比の極限の存在確認が取れてからでないうちに元の極限について繋げて書くのはまずい！という指摘がとてもいいですね。細かいことのようで、照明をフォローしたりまずい例を考えたことのある者がその重要さに気付けるところですね。 ざっくりいえば(無限遠点含め)テイラー展開の係数を比較している定理なので、ある意味平均値の定理を何度も使っているという感じなのでしょうが、やたらに背伸びしてロピタルを使いたがる人が受験生のみならず大学生にも居たり居なかったりする実情は少し危険かもしれませんね。 シリーズ化するようで楽しみです👍🏻

[@NI-us1gx]

うぃ

[@3ch323]

*うぃ*

[@mtmath1123]

3浪阪大生たぴおか【数学解説ch】 謎の連帯感が生まれつつある

[@user-zw9ic2pv8r]

東大出版会基礎数学シリーズのハードカバーめっちゃ好きです（？）

[@user-qm2mb9jt7c]

うれぴー

[@todasan4613]

明日期末で泣きながら見とる

[@user-lx3is1np9i]

テストでロピタルこんな細かいの出る？

[@te_llurium]

@@user-lx3is1np9i大学生じゃね？

[@user-hahatvy]

リアルに明日のテスト範囲なんけど。感謝

[@user-xo2wu9et7i]

なんでヨビノリってこんなにわかりやすいんだ

[@chachaz-channel]

ロピタル便利！！が去年の口癖だった

[@bonnama]

イメージ的には、f(x)の変化量/g(x)の変化量を 例えば n として見ると、 ""切片が0のときを考えれば""明らかに n とf(x)/g(x)は一致している 　(例えば、「xと3x」「2x(^2)と5x(^2)」は n と関数の値が一致していて、「xと2x+100」は一致しない) 　ここで、0/0の時を考えれば、式からわかるように切片は無い。 　∞/∞のときは、有限の切片は無視できる。 よってこれらのときだけロピタルの定理は使うことができると言うことなのかな？(①だけ見た感想)

[@user-bc3go2mi7w]

あれ今回めちゃくちゃ聞こえやすいんですが？？僕難聴なんですけど結構聞き取りやすいです！！！

[@yobinori]

よかった！ピンマイクにした！

[@user-bc3go2mi7w]

@@yobinori ピンマイクというと初期のころ使ってたと思いますが黒板のおとが大きかったような…… けど今回のは黒板のおとが気にせずすごく聞き取れて何度も再生しなくても聞き取れやすくなりました！ありがとうございます！

[@terwin7233]

これはたくみさんが講義した内容を記述すれば入試でもロピタルの定理が使えるのでしょうか？

[@jalmar40298]

片側極限でもロピタルの定理は成立するので実際はもっとバリエーションが多いですね あとロピタルの定理は±∞に発散することの証明にも使えるのでもっともっとバリエーションが多いですね

[@yobinori]

実は第6講にその話が

[@user-ln6rb9io9r]

編集ちょっと凝ってきたね

[@19880228ab]

ロピタル2回繰り返す例題の1回目使った後って、分母分子に1+cosxかけたら極限求まりますよね？

[@masaoyanagida8479]

たまには予備校のノリじゃないたくみさんがみたい。違うノリの授業も見てみたいです

[@user-io6pt3uk1y]

解析教程(ヴァンナー、ハイラー)によれば、ヨハンベルヌーイが1691年に示していて、ロピタルは1696年らしいですね

[@user-jr5qe6xx5p]

変なこと言ってるかもしれないですが、Mを設定するというより、微分が0になるxの値が壁のようになっていて、それより向こうに行けないみたいな感じだと思いました

[@chestnutsmallwood1193]

２パターンの表記があるところとか、区間をうまく設定するところとか、ε-δ論法にすごく似ていると思いました

[@user-fz2uq8ov7i]

模試の直しをしてるとlim(x→0)(e ⷯ-1)/e ⷯ=1などを覚えておくべきとあって知らなくてやばい！と思っていたけど、ロピタルの定理で出せる！ ありがとうございます！

[@user-my2vf9ib7m]

分母はeのx乗じゃなくてxだと思います

[@user-fz2uq8ov7i]

本当だ、このままじゃ0だw ありがとうございます

[@user-fm4tu1fs4n]

だって微分の定義から出せるでしょ？君数学苦手？

[@user-qj1ng4km5e]

偏微分と積分の入れ替えのときにロピタルの定理使うけどいまいちわかってないので説明してほしいです。

[@user-lx4er4jd6y]

これ知らなかったけど導出して使ってた

[@user-er8ng4bc4t]

ド・ロピタルの定理という名前で覚えてたなあ 解くときにドロピタルの定理よりという注釈を入れてたような

[@user-le2nj8vp3j]

ロピタル数ⅢCのチャートに載ってるから今年から使えるようにならんかなー

[@permy1225]

開区間閉区間悩む 何が開いてて何が閉じてるか分かんない

[@user-hm1ux1iv7w]

5:00の例題(1)についてですが、sin(x)/xの極限が1であることはsin(x)の導関数がcos(x)であることの前提になっているため、ロピタルの定理を適用することは循環論法ではないでしょうか？ 追記:円に内接する正n角形がn→∞で円になる(厳密な言い方ではありませんが)ことを用いたsinc関数の極限の証明やマクローリン展開を用いた各三角関数の定義を用いればこの矛盾は回避可能である、と自己解決しました🙇

[@A_4210]

高校の先生がプリントに「ギョーム・ド・ロピタル大先生」って書いてた

[@sukatro]

今日テストだからマジ助かる

[@user-si5vv7mm4i]

教科書硬い好き

[@peterandrew5224]

ε-δ論法でのロピタルの定理の証明を理解できた時は感動したなぁ。

[@user-rx2bn1en2d]

ええ、ε-δは不可避ですね。

[@user-ps3ss6dq2u]

ε-δ論法って、何で２の２乗が４になるのか？という様な、当たり前体操な事を難しく証明するモノ(１＋１が２になるのを証明するペアノとかいうえげつない証明といういけずなイメージ)だと思いましたが、こんな使い道もあったのですか？ 因みに高校生の頃に、手抜き計算目的で使ったら答えが合わない(ロピタルが使えないパターン)&｢習っていない方式使うのは邪道(小学生のときに、桁数が多い数の計算を指数使って計算して手抜き。中学生の頃は解の方式で解無しが納得行かず虚数出してボツ等)｣と怒られて封印しました。

[@user-rx2bn1en2d]

@@user-ps3ss6dq2u ε-δ論法が分からないのはまずいですね。学部卒業は無理です。

[@user-ps3ss6dq2u]

@@user-rx2bn1en2d 高卒ですが、全く学校では習っていないんですけど､何処で習うモノですか？(職場で大学生がバイトとして来ていましたが｢そんなの知らね～｣とか｢こっちが習っているのは、数３レベルまで(極限とか、自然対数や三角関数の微積分等と言っていました。当然グラディエントやローテーション等のベクトル演算子とかε-δ等知らねってレベル)｣等言っていました。

[@user-nl2pl4fh1f]

小林カムイ 理系なら大抵学部1年で習う

[@user-jn1fe6ob6k]

任意の開区間Iということだね。

[@KohanicAcid]

高校の図書館にたくみさんの本ありました

[@ay-oha]

やっぱヨビノリすげぇや

[@user-ft4wl3jo5t]

ロ↑ピタルの定理 ロピ↑タルの定理

[@user-rv2xf5sk6r]

小田茉希 後者派です

[@user-sy8id5xj3h]

ロピタルの定理ってそんなに奥が深いんや……。

[@user-cn8un9dd3p]

待ってた、、、よ！

[@daiiki1098]

ファボゼロのボケで笑ってしまったからいよいよ終わりだわ LU分解やってください

[@user-tw3yh3nt7x]

うちのクラスだけの教科担任がいたんですが、授業でもテストでも簡単な問題しか出さない人で、ラッキーと思ってたら全クラス共通の課題が全く解けなくて絶望しています

[@user-bz5xq9oj3t]

説明が分かり易すぎてヨビノリを見るのが「逃げ」だと思えてくる．

[@user-cc2zo1dw6j]

わかろうとしてるんだから君は偉い

[@user-qy8oi2vx6v]

Iと１が文字だけ見るとかぶってますね

[@user-pu7hb7dl4e]

ロピタルさんがベルヌーイさんからもらった定理

[@user-mr4ud1nv6z]

つまり(Ⅱ)の条件(分母の導関数が自分で設定した開区間で0じゃない、ただし極限を考える場所だけなら0でもいい)ってことは、分母の導関数が常に0になってはいけない、つまり分母が定数になる場合はダメなのかと思いましたが、他にも何か実数に近づける極限を考えるときにⅡの条件がダメになることってありますか？

[@oooshiro]

これ思ったどうなんだろう

[@user-mori_so]

明日ここテストだわ😇

[@user-mb8ro1ef1h]

28:13の式ってどちらも∞に収束するけど、全く同じ∞ではないけどイコールで繋げてもいいんですか？

[@nakaosamu6186]

「開区間を自分で設定」という言い方が、ちょっとストレートじゃなくて分かりにくかったんで、関数f(x),g(x)に対して、aを含む微分可能な開区間で、aを除くすべての点でｇ’(ｘ)≠0　であるような開区間Iが存在すれば、とここまで整理して、あれ、存在しない場合ってありうるのかなって思って考えたら、Aの近傍でｇ’(ｘ)＝0　となるような場合はそうだけど、そりゃどういう関数だ？とさらに分からなくなりました。

[@taiten0807]

アイキャッチオシャレ！ 現役時代に絶対行きたくはなかったけど滑り止めとして学校に受けさせられた防衛大の受験 行きたくなかったのにマークシート形式の問題の数学、ロピタルで瞬殺可能があって 余裕を持って解答完成…受かっちまいました

[@user-rq8bk4tj9d]

正確な表現２だと、f(x)=sinxとかは適用できないってことですか？　絶対f'(x)=0の点できちゃうし。。。

[@user-catBrathers]

ロピタル定理も力学入門とかみたく「ロピタルの定理⑫」とかまであるんですか！？ ⑳あたりまで来ると三次元でもロピタルの定理を使えて、 lim (アンパンマン/たくみ)=１ が示せるんですよね！

[@MotorHybrid]

一番外側の紙が厚くて硬い

[@junya4284]

ずっと気になっていた奴(愛着をもってこの定理をこう呼んでます)の正体が明かされるまでついて行きます！

[@user-be7fs9fg3y]

ピッタリ感

[@user-munakata]

高校でこの定理の最初のほうだけ習うのは僕だけですか？どの高校も少しは習うものですか？

[@user-yp1dj4rt6d]

うちのクラスの今年の流行語は「ロピる」でした

[@user-pk7so6hd7w]

うちのクラスは「ロピタる」でした

[@user-yy5bm3ty6k]

うちのクラスの流行語は｢タピる｣でした

[@user-ie6nt5pl9s]

うちのクラスの俺に対する口癖は｢タヒね｣でした

[@user-ul3gv3up7o]

この流れすこ

[@handballerdesu]

流行語で偏差値わかるの草

[@user-tf6hv3rw6j]

あるあるでもファボゼロ目指すとかむだに裾野を広げるなw