Σημεία που χρειάζονται ιδιαίτερη προσοχή (3)

[@inf3rno691]

Έχω να κάνω μία παρατήρηση...Στο πρώτο παράδειγμα σας, με την f(x)=ρίζα χ^4 - χ^2. Η f είναι συνεχής για κάθε χ στο Df ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Αυτό αμέσως σημαίνει ότι για οποιοδήποτε Χο στο Df ισχύει ότι lim x->Xo (fx) = f(Xo). Στην περίπτωση όμως που Χο=0, το f(0) = 0 όμως το lim x-> Xo f(x) δεν υφίσταται...πέφτουμε λοιπόν σε μία αντίφαση..

[@iossifid]

Δεν υπάρχει καμία αντίφαση. Στο σχολικό βιβλίο σε δύο σημεία αναφέρει “θα μελετήσουμε συναρτήσεις των οποίων το πεδίο ορισμού είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων”. Δηλ. στο πεδίο ορισμού των συναρτήσεων δεν θα υπάρχουν μεμονωμένα σημεία όπως στο παράδειγμα που αναφέρετε. Για τέτοιες συναρτήσεις και με την παραπάνω παραδοχή, το θεώρημα για την συνέχεια της σύνθεσης ισχύει όπως περιγράφεται στο σχολικό βιβλίο. Αν δεν υπήρχε η αναφορά αυτή, η πρόταση πρέπει να διατυπωθεί ως εξής: Αν f συνεχής στο xo, g συνεχής στο f(xo) και ορίζεται η gof κοντά στο xo, τότε η gof είναι συνεχής στο xo. Έχω κάνει αρκετές φορές αναφορές στο θέμα αυτό στα 55 μαθήματα για την ύλη της Γ΄ Λυκείου, στο όριο, στην συνέχεια και στις παραγώγους, αλλά και στα 7 μαθήματα σαν αυτό που παρακολουθείτε.

[@inf3rno691]

Για να είμαι ειλικρινής δεν κατάλαβα..δηλαδή η άποψη σας είναι ότι επειδή το Df έχει μεμονωμένο σημείο και βάση σχολικού βιβλίου έχουμε ότι η συγκεκριμένη σύνθεση δεν είναι συνεχής στο 0?

[@iossifid]

Σε κάθε μαθηματική θεωρία δεχόμαστε κάποια αξιώματα και κάποιους ορισμούς. Τα αξιώματα και οι ορισμοί δεν είναι κοινοί για όλους τους συγγραφείς. Επιλέγουμε το αξιωματικό σύστημα και τους ορισμούς μιας συγκεκριμένης θεωρίας και με βάση αυτά αναπτύσσουμε όλη την θεωρία. Αν αλλάξουμε κάποιο αξίωμα ή κάποιον ορισμό, αλλάζουν αμέσως και τα θεωρήματα. Απευθυνόμενος σε μαθητές που θα δώσουν Πανελλήνιες με βάση το σχολικό βιβλίο, έχω υιοθετήσει τους ορισμούς του σχολικού βιβλίου (το αναφέρω πολλές φορές στα μαθήματά μου και στις διάφορες εισηγήσεις μου) και με βάση αυτά εξηγώ τις θεωρίες και τις ασκήσεις. Αν αλλάξουμε κάτι από αυτά, αλλάζουν πολλά. Η ίδια πρόταση για άλλους συγγραφείς είναι σωστή και για άλλους είναι λάθος. Με λίγα λόγια, το τι είναι σωστό ή λάθος είναι θέμα καθαρά του ορισμού.

[@inf3rno691]

Το παράδειγμα σας είναι σωστό ούτως ή άλλως με οποιονδήποτε ορισμό. Απλά έθιξα ένα πράγμα που θα παρατηρούσε και ένας μαθητής. Σε έναν μαθητή λοιπόν τι θα απαντούσατε σ'αυτήν την ερώτηση? Τέλος επιτρέψτε μου να διαφωνήσω κάθετα με τους συγγραφείς και τους ορισμούς. Κάτι που είναι μαθηματικά σωστό δεν μπορεί κανένας συγγραφέας Γ λυκείου να το καταρρίψει επειδή αλλάζει τους πραγματικούς ορισμούς για να γίνουν πιο κατανοητοί για τα παιδιά ή επειδή έτσι τον βολεύει για τις ασκήσεις του βιβλίου. Οι ορισμοί είναι συγκεκριμένοι στα μαθηματικά και Μοναδικοί. Γι'αυτό και τα παιδιά μπαίνουν στο πανεπιστήμιο και βλέπουν "άλλα" μαθηματικά από αυτά του λυκείου...γιατί στην πραγματικότητα δεν μαθαίνουν σωστά τα μαθηματικά στο λύκειο. Θα δώσω ένα ακραίο παράδειγμα που δεν ισχύει απλά και μόνο για να σας δείξω τι εννοώ. Έστω για παράδειγμα ότι στο L'Hopital ο μόνος ορισμός του βιβλίου είναι του 0/0. Αν κάποιος μαθητής κάνει L' Hopital σε όριο οο/οο θα του πείτε ότι είναι λάθος επειδή δεν το ορίζει το σχολικό βιβλίο? ΛΑΘΟΣ? Εγώ προσωπικά θα του έλεγα ότι είναι σωστό και θα του πρότεινα απλά να χρησιμοποιήσει κάποιο άλλο τρόπο την επόμενη φορά...

[@inf3rno691]

Και ακόμα ένα υπαρκτό παράδειγμα: Στο σχολικό βιβλίο ορίζει το Κριτήριο Παρεμβολής μόνο για Χ->Χο . Έτσι λοιπόν , με την ίδια λογική, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε Κριτήριο Παρεμβολής με Χ->οο ή αν το χρησιμοποιήσουμε θα είναι λάθος αφού δεν ορίζεται (ή δεν διευκρινίζεται) απ'το σχολικό βιβλίο. Ξέρετε πολύ καλά όμως ότι αυτό το χρησιμοποιούμε κανονικά στις ασκήσεις...Τα συμπεράσματα δικά σας..