神奇的伯特兰悖论：一道概率题竟然有三个不同的答案！

[@znxf1328]

本人在初学概率导论的时候，书中提到过这个概论，它说明这样一个原理:解决一个实际问题的时候，必须建立无歧义的概率模型。谢谢李老师让我今天重温了一下。

[@samhuangsanjia]

可是这几个模型都有问题。。。充分必要条件不明确，很多条件的设定是不符合对应的规则的。

[@wxw0924]

有歧义的概率模型有歧义的原因是没有把所有变量都考虑进去

[@springwhite4085]

@@wxw0924 有歧义的原因不应该是语言吗？是没有描述清楚。当问题描述清楚时，答案就是唯一的。

[@DrehF]

@@springwhite4085 也不能这样说，完全随机现在从技术上来说貌似还不能实现，需要靠量子力学的进一步发展----所以人类目前只能用各种附条件的随机来逼近最后的答案。如果人类足够幸运的话，可能实现得了，但也有可能这个问题就是无解的，只有上帝才能掷骰子

[@bantmenj420]

谁，哪个人类说过数学概念是可以诠释一切的？本来就是漏洞百出的抽象思维孕生的东西，等式本来就是错的怎么可能得出正确的解答

[@haofeifan6322]

这个概率问题非常好！这其实是引导小朋友们 critical thinking 的非常好的例子，看似一个“随机”，细心的小盆友会问，如何随机，如何具体定义这个随机，进而引发到分布，然后才会有概率论里那些看似稀奇古怪的标准定义”？我猜这才是老师讲这个视频的本质。如果将这样的思维贯彻到以后的学习生活工作中，会大有用处！标题的悖论，其实加一个引号比较好。

[@boring6540]

弦随机理解应该是弦所在直线随机，直线随机的话圆上着色应该是均匀的。着色模拟后，感觉1和3着色是明显偏向圆周的。尤其3，圆心几乎是空白的。codepen上liushengqi000/pen/jOKERoa可以看模拟

[@hubenbu]

形式邏輯的表述系統非常有力。

[@DrehF]

对，排除语意对逻辑的影响，实际上这些随机都不是完全随机而是附条件的机械随机，应该最终会有人解出来这三个答案都是错误的

[@DangoHsu]

@@boring6540 我認為弦所在位置隨機，著色反而應該不均勻 我們可以考慮隨機弦剛好是一條直徑的機率。如果弦所在位置隨機，這條弦是直徑的機率應該遠小於不是直徑的機率。然而，直徑兩端線段卻會有多條弦經過，如此即可推論出圓心處的顏色應該較淡；換言之，即是著色會偏向圓周。 綜上，如果您的理解是弦所在位置隨機，應該支持的論點是 3 而非 2。

[@ziluzhao3244]

厉害

[@Quetalocatl]

後面解釋很好清楚，其實就是隨機變量的域(domain)會影響到概率的分佈，所以得出不同的結果

[@hanguo9103]

第一种方法对应的是这样的问法：已知圆周上两个点X，Y相互独立。随机变量A，B分别表示两个点在圆周上的角度（在以圆心为原点的极坐标下）。有 A、B相互独立且在0～2pi上均匀分布： p(A) ~ uniform(0, 2pi) p(B) ~ uniform(0, 2pi) 设弦XY长度为随机变量C，求Pr(C > 三角形边长)。 李老师的解释很棒，严格用概率语言就是，如果X, Y两点中有一点固定，不妨设X固定在x点 （此时A=a），即三角形某个顶点，则按照视频里的图形所示，Pr(C > 三角形边长 ｜ A=a) = 1/3. 我们有联合概率分布 Pr(C > 三角形边长, A=a) = 1/3 * 1/(2pi). 在0～2pi上积分消掉A就得到Pr(C > 三角形边长) = 1/3. 第二种方法对应的是这样的问法：已知圆周上有一点X，随机变量A表示该点在圆周上的角度（在以圆心为原点的极坐标）。A在0～2pi上均匀分布，即p(A) ~ uniform(0, 2pi). 在半径OX上有任意一点Y，随机变量B表示OY的长度。不妨设此为单位圆，则B在0～1上均匀分布，即 p(B|A) ~ uniform(0, 1). 过点Y作垂直于半径的弦MN. 设弦MN长度为随机变量C，求Pr(C > 三角形边长)。 按李老师所述，当X处于任意一点x时 （A=a），Pr(C > 三角形边长 ｜ A=a) = Pr( B < 1/2 ｜ A=a) = 1/2。 我们有联合概率分布 Pr(C > 三角形边长, A=a) = 1/2 * 1/(2pi). 同样在0～2pi上积分消掉A就得到Pr(C > 三角形边长) = 1/2. 第三种方法对应的是更简单的问法：单位圆内有一个半径为1/2的小圆。如果有一点X，均匀落在这个单位圆内，则其落在这个半径1/2的小圆内的概率是？答案是小、大圆的面积之比，1/4. 实际上，我们换一种假设随机性的方式还能得出不同的答案。比如，我们这样来描述随机性：已知单位圆内有任意一点X, 其极坐标A, B为相互独立的随机变量，p(A) ~ uniform(0, 1)，p(B) ~ uniform(0, 2pi)。过点X作垂直于OX的弦MN。设弦MN长度为随机变量C，求Pr(C > 三角形边长)。此时我们有Pr(C > 三角形边长) = Pr(X(A, B)落在半径为1/2的小圆内部) = Pr(A

[@yunminwei1163]

我没有读很高的书感觉上：对于随机端点法，出现的三角形的顶点对应的概率是1/3，可以说是圆上每一个点的概率是1/3，但是每一条线必定是圆上的2个点组成，这样就成了，当用圆上所有点出来的答案有刚好重复一遍同一条线，对这1/3概率没有影响吗？

[@章北海-b8w]

太妙了，虽然不学数学很多年了，但仍然对这门学科很感兴趣，李老师能通俗的给大家讲懂，很感谢！

[@章北海-b8w]

上大学学了人文社科专业，仍然能从这些例子中受到很多启发！

[@leonzh.9285]

谢谢老师，又学到了新知识。这个问题之所以存在，是因为“随机分布的弦”不是明确的、唯一的、无歧义的。应该跟自然语言与形式语言的严谨程度有关：自然语言是人的语言，人平时并不会意识到这些不同；但是用形式语言的时候，这些差异就会显现出来。

[@XY-zy3ew]

计算机语言就是形式语言，所以自然语言编程其实是要求AI解决自然语言到计算机语言转换过程中的“随机分布弦”不明确、不唯一以及有歧义的问题，这就需要生成一个庞大的静态化词库以覆盖所有的可能, 以及足够多的触角感知上下文

[@valnaglyz4148]

说得好

[@xinyuhu2253]

哈哈，这和计算机“和”和“或”的问题类似，仔细体会下面的两句话。 爸爸和妈妈的朋友今晚会来我家吃饭。 爸爸或妈妈的朋友今晚会来我家吃饭。 意思不一样，但很多人都会用错。

[@VerseUtopia]

那是狭义扭曲的概念。。 方法二 是要把360度角 半份都压在 半径一半的范围内，让人错以为可以有180度角。。 方法三 是把360度角 强加未知距离 让人错以为周长除四就等于角度缩减成90度。。

[@leonzh.9285]

@@XY-zy3ew 对的，严谨的数学也是形式语言。不过你说的从自然语言到形式语言，据我所知，目前这中间还有着巨大的鸿沟。实现了的话，是不是就成了强人工智能了？

[@shenglongzhu6395]

很有意思的讨论。其实如果知道概率分布的定义，就比较好理解了。只有定义了随机变量，才能谈概率分布。在正方形的例子中，如果正方形的边长 L 是一个满足均匀分布的随机变了，那么面积 S = L^2 是一个新的随机变量，但是 S 不是均匀分布的； 反过来，如果 S 是均匀分布的， L = sqrt(S) 就不是均匀分布的。 伯特兰悖论的例子里也类似，如果 theta 是一个满足均匀分布的随机变量，半径上的点的位置 d = f(theta) 是一个新的随机变量，那就不是均匀分布了； 反之类似

[@KIRA-0227]

第一次了解到這個悖論，我認為很有趣，甚至可以說明生活，就算理論是合理的，切入點不同結果便不同，彼此對隨機的定義不同所以假設的內容也有所差別，感謝永樂老師的講解

[@noname-anonymous-v7c]

我记得概率论课程的一开始就会讲到这个悖论。

[@ck574b027]

感覺是取樣空間的差別，就像自然數和實數都是無限多，但從離散上來講兩者個數是不同的

[@sssrock]

講解得非常簡潔、清晰而有條理，即使第一次聽到這個術語也可以輕易理解、增長知識，感謝老師!

[@caoquei]

替李老师捉只虫：三角形在圆内的是内接（圆即三角形外接圆），在圆外叫外切（或叫三角形内切一圆亦可）

[@taowu99]

这个难得一次，我自己就看出来问题所在，虽然没有李老师最后说的那个解释那么完美，可是方向是一致的，三种方法的随机分布是不一样的

[@CyberLogical]

感谢李老师让我理解了概率分布的概念。但弄懂这个概念以后，我反而觉得1/3才是这个问题的答案。根据圆的定义，同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，我们可以认为这些点的分布是连续且稠密的。这样的话就只有第一种方法的随机取点的概率分布是均匀的，第二种方法势必导致圆上的点的分布是不均匀的，那就不符合圆的定义了，只能说是一个像“圆”的图形。第三种方法也不成立是因为我们讨论的圆的定义就是空心圆，圆内没有点，第三种假设圆内点均匀分布讨论的是实心圆。所以我认为当我们严格限定了伯特兰悖论中的圆的定义的话，就只有1/3才是答案了。

[@nekochino3634]

我也支持你的論點，根據弦的定義為「圓上兩點的連線」，只有第一種方法能根據圓及弦的基本定義做討論

[@edwahza5595]

根据你的理解，“随机弦”是由圆上的两个“随机点”产生的。那这条弦能否由平面上（圆上+圆内+圆外）的两个随机点产生的呢？我的一个理解是，首先平面上由随机的两个点（对应圆上两个随机的点）产生一条随机的直线，然后在所有与圆相交的直线中，弦长小于a所占的比例。

[@edwahza5595]

我的另一个想法就是往圆上扔针，统计和圆相交线中，弦长大于a的比例。

[@isaaclearningtominecraft4751]

我受的訓練是，一聽見「隨機」，就會問「分佈呢？」，所以這類問題都不是問題，一聽見什麼「隨機弦」就知道有古怪。

[@leonzh.9285]

说明你是概率方面的高手👍

[@snorlaxmunchlax1886]

之前還有看到有一題是： 這題答對的機率有多少？ 1. 0% 2. 25% 3. 50% 4. 100% 這算不算一種這個悖論呢？ （此題來自b站，稍有改編）

[@squirrel7910]

1.25% 2.25% 3.50% 4.100% 這樣比較絕

[@snorlaxmunchlax1886]

@@squirrel7910 命題錯誤，所以送分

[@PigSirotan]

哇塞這可真是超悖論呀～ 答對也不是、答錯也不是...XD

[@franklv8869]

选④

[@陳宏丞-c8v]

有100%就不會形成矛盾了吧

[@jwh001]

也许可以这么理解：概率只是人类的观察和理解，并不是客观事实。这就像量子纠缠，人类的观点并不是正确的。

[@samhuangsanjia]

如果愿意进行完全的随机模拟的话，应该是一个圆的内部有任意线条（排除掉不经过园内的线条），该直线与圆（半径为1个单位）相交的弦长，长度大于内接正三角形的边长（根号3）的概率。 这类似于“切蛋糕”，是一个在面积层面的随机分布，这个交线不一定会经过某个点，不一定在某个线段上（对应的前提是有限制的），只是在面积层面是随机的。所以最终的模拟结果应该是接近于随机中点法的结果，概率为1/4。

[@王小二-t8j]

我也觉得，我理解真正意义上的随机的话，应该是四分之一。

[@samhuangsanjia]

我尝试做了一个初步的模拟：在一个100的圆内部随机取点，然后把这些点按照相邻顺序（实际是随机位置）连线，延长，得到与圆的交线，然后只取圆内部的那一部分弦长，如果大于100*根号3，则计数统计，最终模拟结果是有0.75的概率是大于的--这下我有点不会了--应该是遗漏了一些信息。 这个模拟的过程应该是没问题的，点是完全随机（随机多次，结果都在0.75左右徘徊），不论是随机300个点，500个点，5000个点，10000个点，结果都是0.75左右。 李永乐老师的三个方法都是【必要条件】，但还没有找到【充分必要条件】，所以概率会偏小。 但是把随机半径法和随机钟点法的概率相加（1/2+1/4）居然就是模拟的结果，我有点懵逼。 希望有人再进一步解答，或者指出我这个模拟模型的错误。

[@Sailo-hd5si]

@@samhuangsanjia 你並沒有錯，你的作弦方法可以視為取圓內和圓周各隨機一點，並延長作弦。就是第一種方法的變種，結果是三角型面積+1邊扇形面積：圓面積，大概=0.75。 事實上還有更多作弦的方法，並得出不同結果。

[@samhuangsanjia]

@@Sailo-hd5si 第一种方法其实和第二种方法是一样的概率（按照面积计算，而不是长度），第一种是整个圆减去两个侧边小块，第二种是半个圆减去一个底边小块（三角形外部的三个小块是一样的面积）--这个面积可以算出来，大约是0.6倍圆的面积--这又和模拟结果不符了，我现在也很迷糊。估计这个问题要想一阵子。 在弄清楚〖充分必要条件〗之后，应该是可以得到一个统一的结果概率的，中间过程有几种，但是最终都会统一起来。

[@boring6540]

@@samhuangsanjia 你做法有问题，圆内随机2点产生一弦，那样的话长弦生成概率比短弦大很多。假设短弦上有10个点，长弦上有20个点，那长弦出现概率是短弦的4倍。我对随机的理解是弦随机则弦所在直线随机。平面上直线随机则平面上覆盖应该是均匀的。去掉与圆无交的直线，剩下的直线应该圆内覆盖均匀。模拟后我觉得第二个解答比较合适。第一和第三个圆周都有偏深，尤其是第3个圆心几乎没有弦经过。

[@不再犹豫-s1n]

看这种视频是一种最纯粹的享受。

[@aijunxuan7618]

谢谢老师，讲得太清楚了！

[@weili9349]

很想看一下计算机模拟，6:40，当样本足够多的情况下，圆内部不同区域被线覆盖的密度是否一样。

[@boring6540]

不一样，2均匀，1和3圆周比较深，3的圆心几乎透明

[@true_livealive]

@@boring6540 如果把直线用旋转角度和平移截距两个参数描述，并要求直线在平面上的覆盖率均匀，可以得出其在这两个参数上分别均匀分布。直观的看，均匀平面应该具有平移和旋转对称性，所以“均匀”的直线分布也应该如此，故而分布函数不应该显含角度和截距。而由于问题所求概率与角度无关，故而可以简化为在均匀截距空间中的概率，也就是第二种解读。

[@chenbai7840]

其实只要理解了随机取弦和随机取半径点不等价就很简单了。半径上等概率取的点对应的弦在圆上是不等概率的。

[@jondava9154]

我觉得应该用极限来解释，就是两个函数相除，趋于极限时，结果与函数本身有关。毕竟做线是做了无数条，两个无穷大相除可能是无穷大，也可能是常数。哇，我太佩服我自己了！

[@dra9on]

老师可以讲一期，你用的模拟软件是什么以及如何模拟数学模型。😁

[@芭樂王-r1w]

看了眾多大神的解釋，得出一個算是能說服自己的概念，不知道理解的對不對。 結論就是生成弦的條件會影響弦的分佈。 但有個疑問是，分佈的不同不是也代表不同區域會獲得的弦並非完全均勻？ 這樣的話還算是符合「隨機弦」的條件嗎？ 如果生成弦的方式用以下方式生成有沒有可能成功達到均勻呢 無限大的空間內隨機生成一點，然後360度夾角線段全部生成，取穿過圓的線段作為隨機弦。

[@kazahanamizuki]

很有意思的评论，我也思考了一下这个问题。应该说是悖论中的三种方式，当然也包括你评论中提到的这种观念方式，都是完全随机，也都是完全均匀，只是选择的随机条件不一样。 后面的正方形的例子已经说得很清楚了，随机边长还是随机面积，都是完全随机，也都是均匀的，但是在不同的随机条件下得出的概率分布不同。 其实就有点像物理里的参照物系统，汽车上的人觉得方向盘是静止的，但是路上的人就觉得方向盘的速度等于汽车的速度，而太阳上的人就觉得方向盘的速度等于地球公转的速度，虽然结果都不一样但是都是对的。 另外你的随机点的随机条件其实也没有说明白，比如说是到圆心的距离随机，还是平面内随机（也就是到圆心的距离的平方随机），其实这就等于是正方形的边长随机还是面积随机问题了，这也会得到不同的结果。

[@正知-o7g]

李老師可不可以多講一點這種機率（概率）的問題 像是三門選擇或抽獎之類的 我覺得那種違反悖論的問題都好難 好奇怪喔 哈哈 現在幾乎都是靠硬記硬背 如果要證明還真不一定會證😅

[@你媽的餒餒讚]

謝謝老師講解得很清楚 想請問後面圖形模擬是用什麼程式做出來的

[@hy5090]

永乐老师说的对，这道题不是讨论哪个答案对，哪个答案错的问题。是分析问题的角度不同。3个解题思路分别是：“点，线，面”3个不同的视觉角度。第1个方法是假定你就站在这个圆环上去划线。第2个方法是假定你仅从平面的一个方向上（比如从上至下）去划线。等3个方法是假定你在空中俯视这个平面圆，随意划线。特别是在统计学里，从不同的角度，观点出发，会得出不同的统计数字，很正常的事情。

[@leerichard7489]

我一听他说内切三角形我就去搜了一下,果然是他说错了,要么内接,要么外切...

[@黃力瑋-l3k]

這就像要你去菜市場買水果一樣，你可以買蘋果，香蕉或芭樂，每種水果都是正確答案，但今天我再規定只能買紅色的水果，那答案才會是蘋果。所以它成為悖論最大的原因是，它讓你以為它的條件足以讓你找到唯一解，但其實不能。

[@LukenCloud]

草莓、番茄、櫻桃、紅莓、蓮霧表示： 好啦，我懂樓主的意思🤣確實是認知不同才造就的悖論

[@rocky_talkie]

同意第一種畫弦方法，最為簡潔明瞭。後兩者的輔助線將概率分佈改變了

[@SodaWithoutSparkles]

我曾经看见一个答案会变的问题，如下： 如果随机选择这一题的答案，那么答案正确的机会是多少？ A. 25% B. 60% C. 50% D. 25% 正常来说四选一正确概率是25%，但是答案有两个"25%"，所以正确概率是50%。但是作为答案的"50%"只有一个，所以正确概率是25%，持续循环

[@dallasthunder]

这个是诡辩了吧。真的答题答案是事先确定的，在此前提下看考生选中的概率。

[@quanshi5535]

个人认为，题目中的‘随机弦长’就表明了弦长是均匀分布的。从老师的模拟动画就可以看出，2和3取的弦长并不随机（2更容易取到长的弦，而3容易取到短的）只有1才是真正意义的，随机弦长。这也可以理解为无穷元素集合之间的比较，由于每一种方法都可以取到无穷多个弦，看似都包涵了所有能取到的弦，但实际上1的空间是最大的。

[@胡宸溍-g7w]

第一個算法符合原始假設，兩個點都在弦上(在圓的圓周上），第二跟第三算是用二次算法推導。

[@boring6540]

不对的。圆周上点均匀的话，小夹角（靠近圆周的弦）出现概率会比较大

[@胡宸溍-g7w]

跟正方形的例子一樣，當第一句邊長L=10到20時，通常的理解是邊長是均佈的。 我是覺得弦的定義是圓周上的兩點相交，第一個算法比較符合弦的定義。 我只能說是我個人看法。

[@boring6540]

@@胡宸溍-g7w 我的理解是弦均匀随机等于弦所在直线均匀随机，平面上直线均匀随机等于平面上直线均匀覆盖。去掉与圆不交的直线，弦在圆内的覆盖应该是均匀的，20000次不透明度0.007的随机弦着色后，方法2比较均匀，方法3圆心几乎是白的（方法3圆心对应无数弦问题最大），方法1圆周略微偏深。可能因为弦在圆周出现概率偏高使得方法1算出的概率比方法2低。对随机的理解依旧是个问题。

[@hongc5991]

要考虑到所有的弦再求比值才是正确的。答案是唯一的1/4。解一无法去重复，解二需去重复。解三标题容易误导，其实已考虑所有弦。我用的其他解法。

[@de-vv3rc]

11:20我觉得解释的不太严谨，因为如果角度均匀的话，就不能取弧长了。因为直接映射过去应该是不均匀的。两边占据的映射点更稀疏。虽然答案都是三分之一。严谨的思路应该是另一点在整段圆弧上概率均匀分布。也可以理解为圆心角三百六十度均匀分布。

[@zhangzhekai8357]

测度论的知识会对这个问题的理解帮助很大

[@DreamYeh]

前面看到悖論，很快就想起那個簡單解釋：「買彩票中獎，結果只有忠、不中，但顯然中獎概率不是1/2」，推到這一題就是隨機取弦，真的是隨機的嗎?會不會根據取法不同而使每種取樣方式並非均勻分布？果然老師後面就有補充到

[@Ireallyshowspeed-r4w]

不应该把所有概率加起来吗？1/2 + 1/3 + 1/4 因为这些概率的出发点都不一样，感觉夸张了😅

[@alfredchang4413]

条件概率不能直接相加

[@tianrenzhao1680]

老师！一人血书求讲p vs np hard问题😫😫😫😫

[@wufan7790]

李老师，那个不叫内切三角形，叫内接三角形。❤

[@feili1611]

概率是定义在随机试验上，这是三种不同的随机画法，所以是三种不同的随机试验，因此概率不同。其中随机中点法应是真正的，无附加条件的随机画法。

[@dennyfung5661]

個人認為應是算隨機綫，為何計算時變成隨基點？a和b答案，用來產生綫的點已被定條件，不算隨機，c用內圖計算隨機點機率看似合理，但袛有內圖的點才能產生無限的綫，在內圖和外圓之間的點產生的綫是數量是有限制，不可穿越內圓，所以能產生大於對等三角形邊的綫機會是無限和有限之間的分別，純粹個人意見，不敢挑戰數學大師

[@zhaowen1901]

这道题虽然是自然语言定义的，但我认为答案仍然只有一个。我们可以设定一种场景，一个人拿着一根竹竿（长度为三角形边长）从高空往井里，假定一旦人在空中就不能改变方向和位置，但可以沿竹竿的方向移动，现在赌注来了，如果你的杆子比其切的玄长，你就生存下来了，否则就掉进井里了。这个是否你要下堵住，下注多少，就要计算概率了，大家认为用那种方式算更准确呢？我们总说你说得不严谨，如果真要你解决问题，就不是定义的问题，而是要解决我们的生成实践，建立一个正确的概率模型呢。这个”正确的概率模型“该是哪个呢？但我能肯定，不管哪个，只能是一个，答案不可能是两个。多跳几次，1/2 还是1/3可以分得出的。

[@青溪子飞鸟]

又看懂了一期

[@王先森-e9b]

李老师您好，我感觉从题干来来讲随机弦的得到是圆周上任意两点，也就是在整个周长上等密度的随机两点连成线。所以个人认为0.25更符合题干一些。 弄个正N边型模拟一个圆再跑一遍模拟器试试看呗（理解不到位的地方多指点）

[@jinhuang690]

我也这么理解随机的弦

[@肖話幹]

方法1的问题是：我可以在圆内随便画一条弦，甚至是曲线。连A点和曲线上随机一点C，画弦，如果我们认为C点在曲线上均匀分布的话，那么最后的概率P就可以变成任意数值了。其他几种方式也是有同样的问题，甚至不能用对概率的理解不同来解释，只能说是对概率的曲解，或者说只不过是在抖机灵。

[@boring6540]

将所有的弦染色，答案2圆上着色均匀。解法1和解法3都圆周着色比较深

[@dvzheng1917]

我觉得第一种解释最符合题意

[@yindu_Weige888]

谢谢拍摄分享✌️

[@johnnyren9379]

李老师讲讲曼德拉效应和“天将降大任于斯人也”

[@ruiyangxu790]

不同种类之间的随机即不同的概率分布，他们之间应该是可以互相转换的，而且这种转换应该是非常简单的，可不可以理解为其实我们测量的东西是一样，只是单位不同？那么概率分布之间的互相转换就类似于标量单位之间的互相换算

[@edwahza5595]

我的理解是平面上随机生成一条直线，在与圆相交的所有线段中，小于L线段所占的比例。但如何在平面上随机生成一条直线又是新的问题了，我想到的是随机扔两个点，决定跑一下试一试了。

[@nodrinkfortequila]

高中物理也有类似的问题，粒子运动中粒子是按角度均匀分布还是按长度均匀分布完全不一样

[@alvinzhang909]

就是要定义随机变量从omega映射到哪 然后就有push forward measure

[@renmin114]

均匀分布是理想化的脑补，在真实世界中就必须考虑频率密度啦。

[@wxw0924]

贝叶斯定理按我的理解是，先出现什么事件，再出现什么事件，再再出现什么事件，这些事件的先后出现都对明天太阳能不能升起的判断起到了判断能的作用，然后明天太阳能不能升起的概率就不是只有50%和100%两种概率了

[@etrainnew2840]

我觉得随机弦是圆上任意两点的线，而圆上的点无限多，所以弦无限多。那么问题变成了无限多特定条件的（大于某长度）弦占全体无限多弦的百分比，相当于求正无穷除以另一个正无穷的商，所以结果混乱

[@williamwang8603]

你说的不对，两个正无穷的数字也是可以进行加减乘除得到一个有理数的。

[@etrainnew2840]

@@williamwang8603 真的吗？有没有例子？

[@leonzh.9285]

@@etrainnew2840 这是高中数学吧？“无穷”比“无穷”型的极限很多啊，lim(x->∞) x/(2x)= 1/2， 不是吗？

[@williamwang8603]

@@etrainnew2840 对，无理数做运算之后的结果是有理数就不用说了，最简单的例子，根号 2 乘以根号 2 等于 2. 无穷与无穷做运算，在极限和微积分里多的是。

[@etrainnew2840]

@@leonzh.9285 感谢讨论！不记得是不是高中数学，我记得无穷比无穷只有特定条件下才能求解，这道题要求的是lim（x,y --> 正无穷）X/Y，X与Y的关系未知，因为这正是要求解的

[@koukouxing]

这么想的话 小时候画圈圈枚举穷举那些算出来的概率也不严谨 因为各种情况发生概率并不是平均的

[@xavier8045]

6:19 小圆的面积是大圆的1/4，小圆面积比环的面积是1:3

[@Anzs1152]

機率不能跨越題目相乘 跨題取機率會造成答案的不同 就跟全球取戴眼鏡的人 你用近視的人、花過錢買近視眼鏡 甚至是1-不戴眼鏡的人 答案都不會是一樣的 因為沒有人可以證明近視一定會戴眼鏡 沒證明買過眼鏡的人一定會戴 而是：1-沒戴近視眼鏡的人才是正解 同一個圓用三種取機率的方法 全都是不一樣的取法 ”圓裡取弦長”跟“內切三角形”是兩個不一樣的概念 弦取的是兩點一線 代表在圓上有兩個點的機率分布 內切三角形的邊長是定值 第一個解法會導致弦固定成一個機率分布 第二個解法也是固定了一個點 第三個解法直接忽略了弦中點不一定垂直圓心 加入忽略的因素就是正解

[@ymj5161]

三角形这种情况是内接吧，内切应该指的是圆与凸多边形的边相切的情况啊

[@Sailo-hd5si]

用不同方法去作弦，那麼不同長度的弦出現機率都是不均勻的。事實上方法跟答案也不止伯特蘭悖論裡提出的3種。 看到李老師正方型的舉例，我就想： 既然題目沒有提供隨機弦的生成方法，我們就不要用任何方法去作弦。 直接取“隨機弦”長度為0-2r，圓內接正三角型邊長為(根號3)r “隨機弦”比圓內接正三角型邊長長概率為 1-根號3/2。不知這個看法怎樣？？

[@Anzs1152]

真正意義的隨機弦還是圓上兩點一線吧 假設在圓心座標為0,0半徑為r的圓上 隨機取兩個點 參考平面圓公式X^2+Y^2=r^2 再取兩點距離（(X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2)^1/2 外接圓正三角形的邊長就是定值r/(3)^1/2 所以這題目要用到積分再微分去算機率 影片講解的方式完全沒有參考座標系 光是第三個解就忽略了很多 尤其是弦中點不一定要垂直圓心…

[@haoyuli9]

这个想法也很有趣，弦长均匀分布在0-2r之间。

[@shuosun3017]

感觉是不是跟“圆里弦的个数是何种无穷”有关？如果是实平面上的圆那就是不可数无穷，第三种情况合理一些；话说这三种情况都是对于圆内弦一一对应到其他玩意的一种合理解释，所以会比较难找出正确答案

[@VC-nk5ii]

李老师能不能说说我们是如何感觉到冷的，像我们都知道热是通过分子的运动来传递，但是是冷是怎么让我们感知或者捕获到的呢

[@nikosmith9288]

我觉得李老师错了。随机弦的计算方式只有随机中点发是正确的，因为所有的随机中点不同时弦也不同所以没有重合的弦。但是前两种都会有重复的弦的可能没有去重。所以这个不是悖论。通货观察计算机生成的弦的密度也能看出显然弦不是均匀分布的，有的地方很密集。

[@ericshum8796]

是有點類似拋出硬幣後落到地面時，硬幣會是反面或是正面的概率是多少這樣嗎? 高中水平只會是1/2，但在專門的統計學科裡就把兩面圖案不一樣而出現兩面重量分別會不一樣從而某一面向天的概率會高點，再進一步又會考慮到以甚麼角度跟地面碰撞，又要多考慮這角度碰撞機率又是多少之類........ 真複雜...........

[@msbelldrum]

視頻最後的計算機模擬蠻靈的，改天也教教我們吧。

[@dhzdhz0]

勃兰特其实给出了他认为唯一正确的答案，就是1/2。他还给出了他的理由。简单地说，就是这些随机的弦对于缩小的圆仍然应该是随机的，所以答案应该不变。而只有1/2这种随机满足这个条件。就像在0和2之间的随机分布应该在0和1之间也是随机的。

[@KDYinYouTube]

無法找尋理解錯誤之處。 最大=最好 因，涵蓋可能值範圍最大。

[@VerseUtopia]

那不是唯一正确得答案。。 1/2 平均分布是基于360度点圆的话， 结果还是 1/2 范围里面你还是一样可以横向连 120条线 而已。。 再转为方法三 120个两点的中间点 等于 乘360度 等于 43200除2点= 21600中间点 21600个中间点也可以对应三个方法对360度的关系。。 最终答案是 1/3

[@elleranlingeriechatswoodwe4567]

很多简单粗暴的人基本上不懂每一个事件的出发点都不一样的，所以很多问题不是简单的可以得到答案。

[@junpingqin3866]

这个悖论是无限可分的连续变量和离散量之间的区别造成的，也就是视频最后所谓的相对于谁的均匀概率分布。

[@yongjiewang9686]

关键词：概率分布。 生活中我们大脑自动简化了太多情况，比如概率是均匀分布的就是最简单，最容易理解的。

[@saiwolaw2842]

我認為答案是¼ 從天空把一大堆筷子🥢掉下來， 筷子的重心落在小圓形的概率，相對於大圓形就是¼。

[@非非-e9e]

李老師好！ 老師變瘦了是嗎？

[@jessewang3330]

道理是同一个系统里，一个量均匀变化时，其它量往往不是均匀变化的 告诉我们做事时不能以己度人

[@jaycek556]

豆瓣里《一的法则》是本邪教书吗？ 李老师好！

[@ahchi4238]

精彩👍👍👍👍👍👍👍

[@mojo1285]

延展一下更好玩，概率是否引入观察者的概念，以及，什么才是真正的随机😃

[@zwy5161]

受教了 感谢

[@TommyJone-m2f]

我的第一反应就是，前两种都不够随机，前两种的随机只是完全随机的子集，是特殊情况。我觉得问题提的本身没问题，是伯特兰有点耍小聪明了，既然是随机弦，那必然是角度不固定（排除情况2），通过圆上的点不固定（排除情况1）。但其实第三种解法貌似也不太科学，也许先用计算机模拟一下真正的随机才好。

[@出手]

我看你是不懂喔 情況1的點本來就不是固定的 而是你先隨便畫一弦,弦上有兩個點 之後是為了方便計算,用其中一個點做正三角形而已 情況1的隨機才是真正的隨機

[@kuokongqingyun]

就好比：买彩票，如果“粗略地”说结果在“中奖”和“不中奖”中随机分布，如果我们不知道具体号码有多少个，而是简单把这个条件当作平均分布的结果，那就得出中奖概率是二分之一的荒谬结论，这里面就把中奖和不中奖看成概率相同了，但其实“中奖”和“不中奖”不是等概率的。对应到视频里的这个问题，就是一个“模糊的”条件，通过不同的方法，把它转换解释成了不同的平均分布，就像在彩票里加入了更确切的条件，比如号码数量，又比如这个彩票不是根据号码来的，而是根据某场体育运动比赛结果来的，其实就是对条件里的“随机”进行了二次解释，本质上改变了条件 ，解释的方式不同，条件也就不同，平均分布的变量也就不同，结果自然也就不同。

[@seanz7804]

谢谢

[@niafasas]

我感觉看似有三种不同的答案，然后还有不同的随即定义，但是，应该存在一个真正意义上的随机概率，可以把所有的可能性算进去，并不存在重复计算或者遗漏的情况。

[@leonzh.9285]

你首先就要定义什么叫“真正意义上的随机”，一旦你定义完了，答案就唯一了。

[@boring6540]

弦上色后圆内覆盖是有差异的。比如随机模拟中第3个解答的圆心几乎没有弦经过，圆心对应无数条弦是问题最大的。

[@niafasas]

@@boring6540 不需要担心这个问题，虽然过圆心的直线是无数条，但是与之相对应的三角形也是无数个。所以按照一一对应来看，可以看作是一条直线的效果。

[@niafasas]

@@leonzh.9285 难点就在这里，谁能找到真正的意义上的随机，这需要包含所有的可能性。

[@niafasas]

我今天想明白了，李老师给大家列举出来的三个例子里面，一和三在本质上都没有理解到真正随机的本质，而是在其中偷换了概念，从而导致了错误的结果，带出来的效果就是统计缺失或遗漏。方法二很厉害，真正理解了随机画线的底层逻辑，所以是正确答案。

[@李华-x4p4b]

李老师什么时候能说说mRNA疫苗呢

[@fengwilbur8569]

那如果用计算机不设其它条件随机在圆上做弦，大量测试后得出的弦长大于正三角边长的概率会是多大？有过这种测试吗？

[@黃品澤-d1b]

你還是得用程式碼告訴你的電腦什麼叫做隨機，那電腦做出來的結果就會根據你輸入的邏輯而是影片中所提到的那幾種結果 畢竟電腦不知道什麼叫做隨機，要人告訴他

[@fengwilbur8569]

@@黃品澤-d1b 用random函数生成随机数应该也有内在的法则。

[@hankchang2344]

精辟！！！

[@shashafoever]

1.A可能=B 2.A可以=B 3.O不能等於M 這是缺陷

[@benq9530]

謝謝老師，我腦細胞又死了不少🙏

[@kusogod]

其實腦細胞不會因為過度思考而凋亡，只有抽煙喝酒吸毒才會

[@carterzeng5756]

专家说，随机抽取上海静安区居民存款记录，调查发现，目前中国家庭平均存款约为60万元。我觉得没有任何毛病。

[@非非-e9e]

那個專家是不是說過台灣上班族的年終獎金平均約 12萬元新台幣？

[@jakekuang1272]

分部密度问题，即使都是无穷多、无穷大，密度也是有区别的，也是不均匀的

[@幻梦-f2c]

这个评论区下有人认为1对，有人认为2对，也有人认为3对，你们都没有理解李老师这个视频的内涵。这三种方法在各自的情景下都是对的，产生不同答案的原因在于弦的随机本身就没有在问题中给出来。 看完视频你就能明白，所谓“随机”，在数学上，你必须要讲清楚它服从什么样的分布，也就是是什么导致了“随机”的产生，这也是导致三种弦产生方法的原因。你题目本身没有讲清楚，我当然可以说我的方法是对的，如果你能找到其他的方法产生随机弦进而算出了一个完全不同的答案，你的方法当然也可以是对的，这是因为产生“随机”的情况变了。 其实想到这一层就更加觉得现实世界就是个计算机模拟的程序了，因为计算机无法理解“随机”的概念，你让计算机产生一个随机，你也必须清晰地告诉他是怎么产生的。

[@57ljt123]

那如果用電腦直接設置隨機產生弦 然後看他的長度是否大於a 這樣的概率會慢慢趨近多少呢？

[@khanwang8469]

估计也会出现悖论？比如我选择一个点然后垂直于圆心的弦；或者先固定一个点然后均匀分布的角度随机取一个theta，这俩取法结果应该不一样。3blue1Brown还专门出了一期视频解释这个现象。本质在于“如何随机取并没有被良好定义”

[@57ljt123]

@@khanwang8469 如果是用隨機產生線段 然後把超出圓邊界的部分切掉這樣呢

[@bowenqiu9123]

@@57ljt123 你依然要规定一个产生线段的条件，比如说如果用两个点确定一条线段的话，就和用一个点加上方向来确定，得到的概率不同。你去实实在在写一段代码就知道了

[@57ljt123]

@@bowenqiu9123 了解 我的想法是 在這個圓的外側包一個大的正方形 且沒有與圓相切（大很多） 然後在此正方形內 隨機挑選兩個點（共四個座標值 隨機變數） 有切過圓的保留 沒有的捨棄 切過圓的將超出圓的部分忽略 僅考慮通過圓內部的線段 也就是弦 以這樣的方式產生弦

[@bowenqiu9123]

@@57ljt123 那不就是视频里的第一种情况

[@plusdesigner5509]

随机分成有限随机和无限随机，这个限定规则决定了概率

[@whoschannel5066]

問點別的 我對第一種算法的答案1/3有疑惑 如果點是平均的 問題既然是問大於邊常a機率的話，答案就應該小於1/3吧， 因為又少了正三角形的端點位置，所以答案不就應該小於1/3嗎 ，或是題目要改成找出b大於等於a才對吧，還是我哪裡理解有錯呢?

[@leonzh.9285]

用几率角度解释： P(b>a) = n(b>a) / n(b任意) = 常数，不会是一个不定式。

[@whoschannel5066]

@@leonzh.9285 那請問端點位置是不用討論的意思嗎？ 不然感覺點數應該會不到1/3

[@pengweijin2038]

感觉1不知道怎么反驳，2和3显然不是随机。应该在园内均匀分布。可以先随机取一个点，再随机360°求分布

[@tmpss92339]

我覺得答案是1/3 仔細看 6:38 的計算機模擬的結果可以發現 後面兩種產生的弦集合並不均勻

[@music1band]

没有对错之分，因为问题不严谨，所以有不同答案。最后一部分就解释了，在不同“随机”定义下，有不同的答案

[@tongliu9545]

李老师您好

[@asalo2826]

数学中一个题目产生数个不同解是再正常不过的事情了，当题目限制条件越来越多，产生的解就会相应变少。最简单的例子就是开方，一般都有正负两个解，如果条件再限制一个正数或者负数，不就只有一个解了。

[@非非-e9e]

請問一下，“ 方 ”是什麼？ “ 方程 ”是什麼？ “ 次方 ”是什麼？ “ 開方 ”是什麼意思？

[@asalo2826]

@@非非-e9e 原来你也是打汉字的？我还以为你是属内裤的洋人呢，那么能装

[@xinyuhu2253]

之前在国外去过一次casino，有一个是猜骰子单双数的赌局。他们会把之前骰子单双数的结果记录下来，显示给赌徒们看。然后我就想到了一个统计学上的问题。因为单双数出现的情况各是50%，所以骰子投得次数越多，越接近各一半的情况。所以如果之前已经是3次单数，5次双数，那么下次单数的可能性会很高。但是，统计学上又说，每次投骰子和之前的结果无关，所以依旧会依照50%的概率出现单双数。这也是种悖论吧？

[@xinyuhu2253]

投10次骰子，单双各半的概率是多少呢？前5次可以随意，后5次必须和前5次相反，也就是1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 2^(-5)。那么投n次，最后单双数各半的概率是多少呢？我想是2^(-n/2)。（概率的概率）。

[@zhangzhekai8357]

这不是悖论 每次投都是独立事件 不管前面出现多少连续相同结果后一次还是50%

[@季悦ふぁん]

大哥，首先说投得足够多的时候，概率接近50%。什么叫足够多？起码都是1万次10万次那种程度；什么叫接近50%？49%算不算接近50%？1%的差别就可以其中一面多出现100次到1000次不等。你觉得这多出来的几百上千次同一面会平均分布么？既然不平均分布，那你看到的连续几次同一面有意义么？你能预知次数接近10万次的时候，哪一面是几率大的那面么？🤣

[@幻能]

老师好

[@candridz872]

提醒一下老师，这个叫内接三角形，不是内切哈~

[@stonegu914]

难怪老觉得概率学不好，原来不是数学课上老师的唯一解才对，分法不同答案不同是正常的。小时候还觉得get不到老师的点，其实那也就是其中一种较为合理的解释罢了。