Fun integer problems for the Math Olympiad

1990年数学オリンピック日本予選の整数問題です！
整数問題の3パターンに加えて、常に「何を求めるのか」を意識しなければならない面白い問題です！
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『勉強はコスパ最強の遊びだ』
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『神脳・教育界の革命家　河野玄斗』
東大医学部在学中に司法試験に一発合格。頭脳王連覇。
初書籍『シンプルな勉強法』( www.amazon.co.... )はタイ語版、繁字体版など世界でも翻訳され、シリーズの累計１２万部突破。2020年3月14日には図解版が刊行。
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河野玄斗： • Video
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[@karin___05]

理解したらめちゃめちゃ面白いけど、 実際に初見でこの問題出されたら、 涙で問題が読めないと思う。

[@user-xg3om4ww9s]

@@user-pm6ez4nj7r げんげんならできそうと思ってしまう

[@user-pt7he1cv6w]

涙💧が意味不明。

[@user-pg6el1qk8l]

@@user-pt7he1cv6w感動の涙でしよ？

[@user-lm8ue1vl2o]

この問題作った人が1番すごい

[@user-sk9cl4oo6e]

すげぇなあ、教え方めちゃめちゃ上手いわ

[@user-oi3gy9cv7w]

河野玄斗さん教えるの上手い

[@user-rg4du7oe3y]

うまそうだけどごめん🙇わかんね

[@user-mp2nq6lm1l]

@@user-rg4du7oe3y 自分が理解しようとしてないからだろ

[@user-rg4du7oe3y]

@@user-mp2nq6lm1l ごめんお前が返信してねぇー期間でわかったわ

[@user-zn5bq6df5o]

すごいな〜 この人が分からない問題と向き合った時の反応が見てみたい

[@user-yq1dn6ve7p]

よろしいかな、って言い方がほんとに好き

[@c.k1219]

別解 (a+b)^2の形にするのがゴールだから (2^27+2^n)^2と予想 展開して 4^27+2^28×2^n+4^n これを与式と係数比較してあげるとn=972 数オリなら途中式求められないから結構ガバガバだけど大丈夫だと思う

[@user-gp7mu7ob9m]

天才...?

[@user-pv8mw3tu3l]

すげえ

[@raiha_mh]

この場合、そのnは本当に最大なんだろうかという疑問が残る気がするんですけど、どうなんでしょうか

[@nazo_no_message]

厳密さを少し加えると、(2^250+2^N)^2も考えるべきってとこかな？でもこれは答え出すだけなら考えるまでもないよね。これで問題ない？

[@sss-mj8ms]

2行目をどうやって出したのか教えて欲しいです

[@user-qr2lz4id7g]

整数問題は思考過程こそが大事だと思うので、河野先生の問題への向き合い方や解く視点を知ることができて、とても勉強になります！

[@appearenceace4096]

これは数学っていう概念を理解してるような人じゃないと解けないだろうなぁ だからこそ数オリに出されてるんだろうけど

[@user-ee5yb6ne9n]

つまづいたら問題文を再確認すると道が拓けるかも、と学んだ

[@Khaiyam0903]

すごくおもしろかったです 積の形の正体に笑っちゃったり2^N+2^Nが2^N+1になってあわてたり そんな自分でも非常に楽しかったです 改めて河野さんがこれら問題たちを一つ一つ選んでupしてくれていると思えば うれしさも感謝もひとしおです いつもありがとう！

[@user-cv6gs5pl4f]

むっず...こんなん解けないわ。解けた人ほんと尊敬

[@Vtuber_kenty]

9:05 ここまで参考にさせて頂きましたが、そこからは何とか自力で解けました😅

[@user-ww8wj8ji1f]

ただ足し算しただけで草

[@user-bw1hg2wo9b]

めっちゃ頭良くて草

[@user-oe3kd9px5b]

すげええええ

[@MT-qt9dz]

4が平方数なのでとりあえず4^27で括ってみて、(2x+1)^2=4x^2+4x+1の形に近い、と気付けば簡単に答えが出せる気がします。

[@user-rt4yn7uo8j]

4^27+4^500+4^n=k^2·····① k=4^a+2^bと置く (ここをこう置く理由は割愛します) k^2=2^2b+2^(b+1)∙4^a+4^2a·····② ①と②の対応する指数を比較 2a=n,2b=2∙27,a+(b+1)/2=500 これを解く b=27 a+14=500 a=486 n=2∙486 よってn=972

[@user-lc8nb4ih6h]

最大を証明しなきゃ

[@user-ro7fs6vq8f]

ここをこう置く理由が一番知りたいんだが… 数学弱者にあなたの脳内を覗かせてくださいな

[@user-kd3ph6cx8i]

言語化が上手いからほんと頭いいんだなあと思うよね。

[@user-ns7dc4xp7m]

差というより、 (K-1)(K+1)=8 だったら8の約数は1，2、4、8と 4つあるけどKが最大となるには K+2を8と置けば良い、するとK−2が1 となり結局のところ約数の差が一番大きい組に分ければいいと言う意味だ。 Kが最大になるには

[@user-wx8cw2yk2m]

問題を捌いていくぅ

[@user-mu9zt6gg5e]

これは面白い。「最大の」がこんなに鍵を握るなんて。

[@user-jtgajo]

難しい問題を初見で解いてる過程を見たい

[@user-pd3im2jx8u]

相変わらず分かりやすい解説

[@user-od2ud9dw1w]

塾講やってるけどこんなに教え方上手い人いないよ... やめるか迷う

[@user-ue2oe1il4r]

本当に頭がいい人は教えるのも上手い。塾の先生が言ってたえ

[@1-4-7s]

全く同じ問題2次で出ないかな〜ww

[@qb3926]

類題は本当に出そう

[@asu2487]

4^27+4^500+4^n=(2^27)^2+2•2^999+(2^n)^2 2^27•2^n=2^999 27+n=999 n=972 って考えたけど違うんやね

[@user-dd7im4pi6t]

4^a+4^b+4^cが平方数となる正の整数の組(a,b,c)は(m,m+n,m+2n-1)と任意のその並び替え

[@user-cf1wz2gt7c]

高一でも簡単に理解できるってのが最高に面白い

[@user-hs5vy9bd7j]

解説聞いてるだけで楽しいw

[@user-ir3jv1zg2s]

頭おかしいだろ笑

[@watermelon3288]

@@user-ir3jv1zg2s ブックオフなのに本ないんですけど

[@user-cu9vo1wl4q]

1:15 捌いていくッ！

[@yt-rq8nc]

頭が豆腐みたいに柔らかいですね。(誉め言葉です) 私は別の意味で豆腐みたいな脳ミソですが笑

[@user-qj1cl2jd1i]

7:09 (k^2+2^n)(k^2-2^n)=(4^473+1)×1から k^2+2^n=4^473+1･･･① k^2-2^n=1･･･② ①-②より 2×2^n=4^473 2^(n+1)=2^946 n=945 差⇒距離ですね

[@assstoya5110]

分かりやすかったです。河野さん出会って良かったです

[@shun560]

頭柔らかすぎだろ

[@NatureJapan3776]

答えのみで良いなら、4²⁷+4⁵⁰⁰+4ⁿ=4²⁷(1+2*2⁹⁴⁵+2²ⁿ⁻⁵⁴) なので、2n-54=945*2の時が最大で、この時n=972 ＼(^O^)／ m²の次の平方数は(1+m)²=1+2m+m²だから、nが大きくなりすぎると、平方数にならんのよねぇ～

[@user-pu7hb7dl4e]

n=972のとき平方数になることはいえても, n>=973では平方数にならないことはいえないよね つまり最大かどうかはわからずたまたま正答だった

[@NatureJapan3776]

@@user-pu7hb7dl4e 「m²の次の平方数は(1+m)²=1+2m+m²」の部分を解釈できてますか？ 2²ⁿ⁻⁵⁴は平方数(2ⁿ⁻²⁷)²ですが、次の平方数は？と考えてみてください。→(1+2ⁿ⁻²⁷)² 1+2*2⁹⁴⁵の部分が固定値なので、nが大きいと次の平方数まで足りない。

[@user-pu7hb7dl4e]

@@NatureJapan3776 ありがとうございます。わかりました。 n-27≧1のとき2²ⁿ⁻⁵⁴は平方数(2ⁿ⁻²⁷)²だから，もしそれより大きい1+2*2⁹⁴⁵+2²ⁿ⁻⁵⁴が平方数になるならば 1+2*⁹⁴⁵+(2ⁿ⁻²⁷)²≧(1+2ⁿ⁻²⁷)²=1+2*2ⁿ⁻²⁷+(2ⁿ⁻²⁷)²　∴n-27≦945 等号(n=972)の時は確かに平方数.　■

[@user-gj6qg1qq8y]

整数徹底解説動画お願いします

[@user-wi9qz9yu2r]

1:14 捌いていくぅ

[@toaru_math]

おもしろい問題。 難易度はJMO予選5-6番くらいかな。

[@user-ui7nf5kq6l]

数学オリンピックと名のつくモノの中では非常に簡単ですね。 1988年の国際数学オリンピック第6問解説してくれないかな、個人的に好きな問題なので...(笑)

[@user-yx4ke2bn6u]

Vieta jumpingゲー

[@user-ui7nf5kq6l]

ですね

[@user-ui7nf5kq6l]

Vieta jumping 知らずに完答した方々強すぎませんかね

[@uKhaiyam]

00:59 04:22 整数問題の3箇条 06:44 答えから逆算 08:08 よろしいですかね 08:57 よろしいかな

[@kochaaan]

nが最大の時=差が最大は思いつかんて、、、、、

[@user-haruto420]

これってなんでこうなるんでしょうか…

[@TukamaeTeiTene]

やってみたけど、思ってたより簡単で面白かった

[@fyuu_0211]

明日で現役生最後の日です

[@user-dj2yp8sm5r]

受験生最後の日にしてこいよ

[@user-hitonokokorotokanainka]

@@user-dj2yp8sm5r かっこよ

[@Coolantoolant]

平方根……??となって詰まった俺、、

[@hiro-ty8we]

すごいとしか言いようがない

[@user-pq6gg7ip5e]

数学オリンピックは、ほんとに思考力問われる問題多いから良く2次試験の対策に解いてました。

[@user-oi8nw2iu4f]

2次試験対策ってちなみにどこの大学出身ですか？笑

[@user-jk6ii7dp8f]

対策に向いてない気がするけど

[@joycon_breaker]

聞いたらすっと入ってくるから整数問題は好かれてるんだと思う

[@user-oq9ms8tv6t]

何も考えずに何となく (4^x+1)^2＝k^2(＝1+4^473+4^N) って置いて解いて、大きい方のN取ったら答え合ってたんだけど、だめかな…？

[@user-tl9xk8st4q]

4^x+1の形の自然数の平方数となるnの最大値は求められてますが、それ以外の形かもしれませんよね？

[@zero56420960]

楽しい解説なので30秒を10分に感じる！

[@user-ik6tl1io4e]

分かりやすいはずだけど一つもわからんw

[@user-qs8td3uv6i]

1:14 捌いていく⤴︎

[@user-ic8lz9mz7z]

片栗粉恐怖症

[@user-mb3hb3fg7e]

デデン

[@user-tl4tj4zx2u]

聞いたことあるな

[@user-lw5zk7xw5m]

余った数字はね、ご近所さんに配りたいと思います

[@jo5319]

うっわぁスッゲ！！ゾクッとする！！

[@user-km4lx6xd8j]

数学オリンピックは、ただの数学の知識わ問われるだけでなく、思考力もやはり大事だと感じました。難しい…。

[@user-km4lx6xd8j]

@@user-pm6ez4nj7r 僕らみたいな凡人には解けません笑

[@user-km4lx6xd8j]

@@user-pm6ez4nj7r 言いたいことは分かります‪w

[@user-gg1jh6nz9l]

(与式)=2^2n+2・2^(972+27)+2^54 =(2^n+2^27)^2 となるのはn=972ってしたけど これが最大ってのはこれからじゃきついかな？

[@user-vv3fy7vt6y]

数学苦手だから、解けたの嬉しい😃

[@tbeturan9887]

n=264という答えを出したけど論証がわからないと思ったら答えも違いました😤

[@user-lm2yq3jg1e]

文系だけどなぜか毎回見てしまう

[@user-od5td4bg6h]

大学院修了したけどまた大学入試からやり直したくなってくる

[@s009kawa]

2進数で考えた時になんとなくy=10...010...010...0の形だろうなと思ったら答えが出たけど最大であることが示せなかった yがこの形に限ることを示せればいいのだけれど

[@kazunao5427]

解けました❗ 嬉しい

[@user-rp6xi3uv5p]

いや分かりやす！

[@raymond9588]

抜群に教え方うまいな

[@gamepoy4436]

この人でも手も足も出ない天才が数学オリンピックのメダリスト達か

[@user-yi4bs4gf6v]

はい

[@user-pn5hr1xj6r]

1:13 魚みたいにいうな！気まぐれクックか！

[@junemt.1691]

ほ、ほほぉーーーーーん。。。 奥が深い。

[@yoshikiyo9488]

1+4∧473+4∧N-27=1+4×4∧472+4∧N-27だから (1+2×4∧472)∧2=1+4×4∧472+4×4∧944=1+4∧473+4∧945 よってN-27=945 すなわちN=972 で解いたら答えだけでた。 なんか足りないような気がする もう一つのパターンは(1+2×4∧236)∧2で考えると (1+2×4∧236)∧2=1+4×4∧236+4×4∧472=1+4∧237+4∧473 N−27=237でN=264 やっぱりN=972 動画の解答は思いつかない

[@rm-rv2df]

わ、か、、、り、や、、す、い、、、めちゃくちゃ参考になります

[@user-uq6ou1nu2g]

言われたら分かったけど、自分でこの発想が生まれる気がしない

[@sinoa7000]

数学オリンピックの問題って誰が作ってるの？

[@hugoabe1809]

ハーバード大生

[@user-yx4ke2bn6u]

Olympianです(クソリプ)

[@user-cm1bx4vq4w]

こんなに凄い問題が沢山出る数学オリンピックにももう出れないんだなぁって感じた(高３)

[@user-ww4is4zi4p]

3:53秒あたりの式から 4^N+4^473+1={4^(x)+1}^2[x>1]…① となるxを考えました。 ①の右辺を展開して、 (右辺)=4^(2x)+2×4^(x)+1 両辺の対応する指数を比較して 2x=N(N=n-27)…② x+1/2=473…③ となり、③より x=945/2 これを②に代入して 945=n-27 n=945+27=972 と解いてみましたがこれ合ってますでしょうか。

[@okina_naayo]

すごいスッキリ…

[@kansai0214]

途中で4^473+1を計算し始めるのを想像して笑っちまった…

[@user-gp5wm4fd4u]

なるほど。 つまり9×Nは無セキツイ動物ってことねぇ

[@user-tj5fs9im1t]

頭脳王勝ちましたか

[@soshark]

アホな私は何も考えずにとりあえずログつけます()

[@user-lm8ge3wn2w]

感動するね

[@roseluca8352]

きみ頭いいね、東大行くといいよ

[@user-xi9ij8bl8e]

医者とか向いてそうだよね

[@gozytang]

弁護士もいけそうな顔してる

[@dutcuiasuy3163]

頭脳王でもいいとこ行くんじゃないかな

[@user-gj6ym1ce1m]

きっと投球100キロ出せるよ

[@user-ho5ss7om2i]

会社創ってもうまくいきそう

[@user-dk6yj6nw9c]

頭どうなってんすか

[@montalker]

1 + 4^473 + 4^N が平方数になればいいからこれを二次方程式的に考えたらN=946になるかなと思ったんだけど、これってどうなんだろう？

[@user-jk9bk2ok9r]

4:20あたりまでは同じ考え方なのですが、その後の考え方が違ったので、どなたかに添削?評価?していただきたいです。累乗の記号の出し方が分からなかったので、それっぽい∧で代用します。(めっちゃ省略して要点だけ書きます) 奇数の平方数は整数kを使って4・k(k+1)+1と表せるので、 4・k(k+1)+1=4 ∧473+4∧n−27+1 k(k+1)=4∧472+4∧n−28 nが最大のとき、 4∧272+4∧n−28=4∧472(4∧472+1) 4∧n−28=4∧944 n=972

[@user-wv5tb7qc3o]

早稲田基幹理工行ってきました 英語で死にました

[@HS-mf6ov]

(4^a+2*4^b)^2=4^2a+4^(2b+1)+4^(a+b+1) となることを利用して指数で絞り込んだら解けたけど、これって一般性が欠けてそうで怖い。

[@user-ih6hn4eo3r]

捌いていくっ！

[@user-oi3gy9cv7w]

河野玄斗はどうやって勉強とかやっていて頭がいいのですか教えて下さい

[@27歳貯金880万ニート]

好きになる

[@user-wq9lg5lf3e]

なんで差が最大だと積が最大になんの？

[@user-wq5tp4yz4z]

ただひたすら頭のいい人だと思ってたけど 教えんのもこんな上手いとは…

[@user-bv9rf1pz6s]

分からんけどおもろい!

[@user-sh7lr3gk1z]

いや、頭柔らかいなー　すごいわ

[@user-fu4bb4bd8m]

河野玄斗と志田晶ってどっちが数学に関して頭いいんだろう

[@user-nv7wo2os8e]

間違いなく志田先生。志田先生は数学科を卒業してるし受験のプロである予備校の先生を何年もやってるからね。言うまでもなく河野さんはすごいけどね笑　ただ受験生時代の志田先生と比べれば、河野さんの方が数学ができるかもしれない

[@tvmasuo5367]

間違いなく河野。河野玄人は東大。志田は名古屋大。言うまでもない

[@27歳貯金880万ニート]

@@tvmasuo5367 はい数学エアプ

[@tvmasuo5367]

@@27歳貯金880万ニート でも多分、坂田アキラのほうが数学できると思う

[@user-vw9tk9qk7x]

捌いていく

[@裸エプロン先輩]

下手すりゃ中学生でも解ける問題ですね。 やっぱ思考力…

[@user-tl4tj4zx2u]

8:45 揚げ足取りワイ 「2のラージn乗プラス1ではなく 2のラージnプラス1乗では」

[@user-ud1pv6jx6j]

京大目指して予習したいんですが授業動画とか出せませんか？河野さんから学びたいです

[@GS-np4dv]

はー、なるほどね笑わかったわかった。 つまりは、4が平方数ってことでしょ？

[@user-gk9xp1tv9w]

うわーくそおもろ

[@user-tn8vs1wt8m]

4^473の計算を根性でします

[@erissa2216]

最後って4のＮ乗だから486じゃないんですか？教えてください！

[@ko518]

2のN乗と4のN乗の値はもちろん違いますがN=n-27という値自体は変わりません。

[@erissa2216]

@@ko518 理解出来ました！ありがとうございました！

[@user-yv2we1cp9c]

水上くんとコラボして欲しい

[@user-ns7dc4xp7m]

差が一番大きくなるってどういうこと意味わからん。

[@user-kw6gz7oh8p]

逆算ていうヒントあったからとけた

[@user-fu5us1hl2j]

来年共通テストで720とってA判定とって、広島大学合格したいです。 みに来た時やる気が出るよう応援してもらえたら嬉しいです。

[@user-vz6qu2tw8q]

頑張れ！

[@sclllouqg22]

がんばって！！

[@user-pu8pu5hk9v]

君なら出来る。

[@user-ee5yb6ne9n]

がんば！！

[@user-lq3vo3ml7l]

900目指せ

[@OK-pw7ie]

捌いていくぅ