Теория кос | Упорядоченные группы

Часть 17. Теория упорядоченных групп объединяет методы теории групп и теории порядка, является разделом абстрактной алгебры и проникает в теорию одномерных динамических систем.
Слайды: launch-control-center.notion....
00:00 Инвариантные порядки на группах
05:26 В односторонне упорядочиваемых группах нет кручения
09:17 В двусторонне упорядочиваемых группах нет обобщённого кручения
11:09 Группы кос не являются двусторонне упорядочиваемыми
13:37 Анонс: группы крашеных кос являются двусторонне упорядочиваемыми
15:29 Упорядочиваемость групп кос поверхностей
23:16 Отсутствие делителей нуля в групповых кольцах (групповых алгебрах) упорядочиваемых групп и гипотеза Капланского
26:50 Прочие свойства двусторонне упорядочиваемых групп
33:37 Задание порядка на группе положительным конусом
36:27 Топология на множестве всех порядков на группе
39:16 Положительные конусы на абелевых группах без кручения
44:58 Динамическая реализация упорядочиваемых групп
48:51 Фундаментальные группы поверхностей, отличных от проективной плоскости и бутылки клейна, двусторонне упорядочиваемы
52:39 Исследовательский проект: отражает ли группа кос поверхности геометрию этой поверхности?
Конспекты, задачи, литература, загадки, исследовательские проекты и открытые проблемы теории кос: launch-control-center.notion....
Теория кос является одним из интереснейших разделов маломерной топологии. Современные исследования кос затрагивают различные аспекты теории групп, комбинаторики, динамики, гиперболической геометрии, алгебраической топологии, случайных процессов, теории представлений, а сама теория кос проникает в алгебраическую геометрию, теорию узлов, теорию гомеоморфизмов поверхностей, алгебраическую комбинаторику, теорию гомотопий, криптографию и т. д. К примеру, с помощью кос можно исследовать разрешимость алгебраического уравнения, зашифровать сообщение, описать произвольный узел или отображение между многомерными сферами. Мы охватим базовые и наиболее яркие сюжеты, ведущие к глубинным закономерностям теории кос.
Программа
1. Группа кос и её задание образующими и соотношениями, подходы к решению задачи распознавания кос.
2. Конфигурационные пространства: последовательность Фаделла-Нойвирта, группа кос поверхности.
3. Разложение Маркова-Ивановского-Артина группы крашеных кос в полупрямое произведение свободных групп, причёсывающий алгоритм.
4. Положительность и нормальная форма Гарсайда, жадный алгоритм, введение в теорию Гарсайда.
5. Порядок Деорнуа, алгоритм редукции ручек, введение в теорию упорядоченных групп.
6. Линейные представления группы кос: представления Бурау и Лоуренс-Краммера-Бигелоу, их геометрическая интерпретация.
7. Действие группы кос на свободной группе: координаты Артина и связь с порядком Деорнуа.
8. Группы классов отображений поверхностей: действие группы кос на кривых в проколотом диске, криволинейные диаграммы.
9. Действие группы кос на ламинациях и триангуляциях: координаты Дынникова.
10. Действие группы кос на железнодорожных путях: псевдо-аносовские косы и классификация Нильсена-Тёрстона.
11. Элементы гиперболической геометрии: действия группы кос на прямой и окружности, порядки тёрстоновского типа.
12. (По желанию слушателей) группа кос из трёх нитей, инварианты конечного типа, статистические вопросы, косы и узлы.
Пререквизиты
Знакомство с базовыми понятиями теории групп (действия групп, свободная группа, задания групп образующими и соотношениями), общей топологии (гомеоморфизмы, поверхности) и алгебраической топологии (гомотопии, клеточные пространства, фундаментальная группа). Курс вполне доступен первокурсникам, поскольку основан на материалах занятий для старшеклассников: t точка me/ldtss/388 (их можно считать демоверсией). Подробный алгоритм ликвидации безграмотности, а также обзор курса, его цели и условия получения зачёта доступны по ссылке launch-control-center.notion.....