Théorème de Descartes- une preuve de 2022!

[@dominiquelaurain6427]

Merci Alden Bradford pour la belle preuve et Phil pour la vidéo ;-) Je n'ai pas la référence mais une relation similaire à celle de Descartes existe, quand on remplace les xi par les variables complexes zi où les zi représentent les positions des centres des cercles (de Soddy) dans le plan complexe.

[@philcaldero8964]

@@dominiquelaurain6427 excellent ! Ça doit pouvoir se trouver

[@Eric-jm6he]

@@philcaldero8964 C'est le "Théorème complexe de Descartes" datant 2001. Voir l'article Wikipedia "Théorème de Descartes (géométrie)" qui référence la source. Formule quadratique sur les xi.zi analogue à la formule de Descartes!

[@philcaldero8964]

@Eric-jm6he merci !!!

[@charlesb6490]

Il y a 2 ou 3 jours au réveil, je pensais justement à ce problème avec une sphère "intérieure" posée sur les 3 autres et pouvant grossir, les contacts de la minimale donnant le cercle solution dans le plan 2D - ou bien à un cône en contact, et dans ma génération et plutôt en math app ou informatique (en 3D, simu physique, etc.) certains savaient (ou avaient compris d'eux même ?) la relation entre aires ou volumes et déterminants, produits vectoriels et scalaires, sans avoir besoin d'agrégation, c'est dans les librairies élémentaires de calculs 3D ;) Quelle synchronicité étrange ! C'est Noël, étendu au calendrier Julien. Merci pour la preuve (triviale, Det=0, k non nul) et le calcul, même si il est pas très compliqué ça reste un peu de craie et de sueur. Surtout, même sur du très ancien on peut moderniser et simplifier, c'est adorable dans ces mathématiques accessibles à tout BAC +?. Peut-on creuser tout ça en algèbre, géométrie et arithmétique autour des quaternions et nouvelles trouvailles d'un Sarnak ? Cette forme de linéarisation, sous contraintes géométriques simples mais fortes de racines carrées me fascine de naturel et de puissance (en parlant de rayons ...)

[@philcaldero8964]

@@charlesb6490 je pense que ça peut se faire en MP * dans le cadre du L3 et bien sur à l agreg. La généralisation a des sphères me paraît pas impossible, c est une super idée. Ça vaut le coup de voir si ça marche

[@charlesb6490]

@@philcaldero8964 Je cherche en fait à voir si on peut connecter par un principe (cohomologie ? inspirée des quaternions ?) tous ces antiques théorèmes qui partagent ces similarités formelles, comme la somme des 2, 3, 4 carrés (puisque par simple inversion matricielle on sait quel entier paire de carré associer à telle autre pour Descartes sur des entiers, ou bien tel entier carré à tel entier de 3-carrés), les cercles de Ford Farey, permettant de circuler entre rationnels et nombres algébriques. Il y a probablement des objets sous jacents à exhiber. Et merci pour l'encouragement de bon french flair à y regarder un peu plus en profondeur ;)

[@christophebal1692]

Et dire que l'on retire de plus en plus de géométrie de l'enseignement...

[@philcaldero8964]

@@christophebal1692 il y a une leçon d'agrégation qui s'appelle technique d'Algebre en géométrie et je pense que c'est quelque chose qu'il faudrait intégrer dans le programme universitaire

[@clmasse]

Les matrices n'existaient pas au temps de Descartes, et il a quand même démontré le théorème. Laissez-le reposer en paix.

[@philcaldero8964]

@@clmasse 😅 et la chaîne hi-fi n'existait pas à l'époque de Mozart

[@clmasse]

@@philcaldero8964 Descartes a introduit les coordonnées qui font qu'on peut utiliser des matrices. J'en peux plus de l'arrogance des scienceux actuels.

[@philcaldero8964]

@clmasse bon bah il est pas prêt de se reposer alors

[@toto-yf8tc]

Dude, ça s'appelle le théorème de Descartes mais un ce qu'il décrit n'appartient à personne. Je ne vois pas en quoi ça le dérangerait ?

[@clmasse]

@@toto-yf8tc T'as un théorème?